第3讲 机械能守恒定律及其应用

第3讲机械能守恒定律及其应用知识要点一、重力做功与重力势能1.重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2.重力势能(1)表达式：E p＝mgh。

(2)重力势能的特点①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。

②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

3.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p。

二、弹性势能1.定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W＝－ΔE p。

三、机械能守恒定律及应用1.机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。

2.机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

(2)表达式：mgh1＋12m v21＝mgh2＋12m v22。

3.守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。

基础诊断1.将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m 高处，在这个过程中，下列说法正确的是(取g＝10 m/s2)()A.重力做正功，重力势能增加1.0×104 JB.重力做正功，重力势能减少1.0×104 JC.重力做负功，重力势能增加1.0×104 JD.重力做负功，重力势能减少1.0×104 J解析W G＝－mgh＝－1.0×104 J，ΔE p＝－W G＝1.0×104 J，选项C正确。

答案 C2.如图1所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()图1A.弹簧的弹性势能逐渐减少B.物体的机械能不变C.弹簧的弹性势能先增加后减少D.弹簧的弹性势能先减少后增加解析因弹簧左端固定在墙上，右端与物体连接，故撤去F后，弹簧先伸长到原长后，再被物体拉伸，其弹性势能先减少后增加，物体的机械能先增大后减小，故D项正确，A、B、C项错误。

答案 D3.(多选)如图2所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是()图2A.物体的重力势能减少，动能增加B.斜面体的机械能不变C.斜面体对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功D.物体和斜面体组成的系统机械能守恒解析物体下滑过程中重力势能减少，动能增加，A正确；地面光滑，斜面体会向右运动，动能增加，机械能增加，B错误；斜面体对物体的弹力垂直于接触面，与物体的位移并不垂直，弹力对物体做负功，C错误；物体与斜面体组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，D正确。

答案AD4.(多选)如图3所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。

若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是()图3A.重力对物体做的功为mghB.物体在海平面上的势能为mghC.物体在海平面上的动能为12m v2－mghD.物体在海平面上的机械能为12m v2答案AD机械能守恒的理解与判断定义法利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒做功法若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒转化法若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒【例1】(多选)如图4所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中。

在下列依次进行的过程中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统机械能守恒的是()图4A.子弹射入物块B的过程B.物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达到最大的过程C.弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程D.带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达到最大的过程解析子弹射入物块B的过程中，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以系统机械能不守恒；在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子弹组成的系统，墙壁给A一个弹力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止；当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时动能和弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒。

答案BCD1.结合图5，关于机械能守恒说法正确的是(忽略空气阻力)()图5A.将箭搭在弦上，拉弓的整个过程，弓和箭组成的系统机械能守恒B.过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，过山车机械能守恒C.蹦床比赛中运动员某次离开床垫在空中完成动作的过程，运动员机械能守恒D.滑草运动中，某段时间内人与滑板车一起匀速下滑，人与滑板车组成的系统机械能守恒答案 C2.(多选)如图6所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点静止释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()图6A.小球的机械能守恒B.小球的机械能减少C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D.小球和弹簧组成的系统机械能守恒解析小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。

答案BD单物体的机械能守恒问题——真题溯源之教材解读【例2】[教科版必修2·P73“活动”]如图7.9－4所示，将小球从距斜轨底面h高处由静止释放，使其沿竖直的圆形轨道(半径为R)的内侧运动。

(1)若h<R，小球能否通过圆形轨道最高点，为什么？图7.9－4(2)若h＝2R，小球能否通过圆形轨道最高点，为什么？(3)若h>2R，小球能否一定通过圆形轨道最高点，为什么？解析小球刚好通过圆形轨道最高点时需满足mg＝m v2高R①小球从开始下落到圆形轨道最高点，由机械能守恒定律得mgh＝12m v2高＋mg·2R②结合①②得h＝2.5R所以当h<2.5R时，小球不能通过圆形轨道最高点。

(1)若h<R，小球不能通过圆形轨道最高点(2)若h＝2R，小球不能通过圆形轨道最高点(3)若h>2R，小球不一定能通过圆形轨道最高点答案见解析【拓展提升1】如图7所示，在竖直面内有一光滑水平直轨道与半径为R＝0.25 m的光滑半圆形轨道在半圆的一个端点B相切，半圆轨道的另一端点为C。

在直轨道上距B为x(m)的A点，有一可看作质点、质量为m＝0.1 kg的小物块处于静止状态。

现用水平恒力将小物块推到B处后撤去恒力，小物块沿半圆轨道运动到C处后，恰好落回到水平面上的A点，取g＝10 m/s2。

求：图7(1)水平恒力对小物块做功W F与x的关系式；(2)水平恒力做功的最小值。

解析小物块从C到A的运动是平抛运动。

(1)设小球在C处的速度为v C，则由C到A有x＝v C t，y＝2R＝12gt 2。

由以上两式得v2C＝gx24R。

小球从A到C有W F－2mgR＝12m v 2C ，解得W F＝mg(2R＋x28R)＝(0.5x2＋0.5) J。

(2)当W F最小时，物块刚好能够通过C点，此时mg＝m v2CR。

由C到A仍做平抛运动，所以v2C＝gx24R仍成立。

由以上两式得x ＝2R 。

代入公式可求得恒力做功的最小值为W F min ＝(0.5＋0.5×4×0.252) J ＝0.625 J 。

答案 (1)(0.5x 2＋0.5) J (2)0.625 J【拓展提升2】 (2016·全国Ⅱ卷，25)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l 。

现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接。

AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图8所示。

物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5。

用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g 。

图8(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围。

解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。

由机械能守恒定律知，弹簧长度为l 时的弹性势能为E p ＝5mgl ①设P 到达B 点时的速度大小为v B ，由能量守恒定律得E p ＝12m v 2B ＋μmg (5l －l )②联立①②式，并代入题给数据得v B ＝6gl ③若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足m v 2l ≥mg ④设P 滑到D 点时的速度为v D ，由机械能守恒定律得12m v 2B ＝12m v 2D ＋mg ·2l ⑤ 联立③⑤式得v D ＝2gl ⑥v D 满足④式要求，故P 能运动到D 点，并从D 点以速度v D 水平射出。

设P 落回到轨道AB 所需的时间为t ，由运动学公式得2l ＝12gt 2⑦P 落回到AB 上的位置与B 点之间的距离为s ＝v D t ⑧联立⑥⑦⑧式得s ＝22l 。

⑨(2)设P 的质量为M ，为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度不能小于零。

由①②式可知5mgl >μMg ·4l ⑩要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C 。

由机械能守恒定律有12M v B ′2≤Mgl ○11 E p ＝12M v B ′2＋μMg ·4l ○12 联立①⑩○11○12式得 53m ≤M <52m 。

○13答案 (1)6gl 22l (2)53m ≤M <52m【拓展提升3】 (2018·全国Ⅲ卷，25)如图9，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道P A 在A 点相切，BC 为圆弧轨道的直径，O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，sin α＝35。