7.5-1 复合函数微分法[18页]

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5、复合函数微分法与隐函数微分法解析

显函数
u t
v t
证略
推广：设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ，
则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为
z u t v t w t
全导数公式

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
复合函数微分法与隐函数微分法
注意：本节的知识点容易让人产生混乱
一、复合函数微分法复习：一元复合函数 y f (u), u ( x)
dy dy du 求导法则 f (u ) u dx du dx
微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx 要求：熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则
df y df 1 x 2 y 0 du x du x
dz z du z dv dt u dt v dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x 及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x 及y的偏导数都存在，且有： z z z u z v f1 u1 f 2 v1 x u x v x u v
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z
dz z du z dv dt u dt v dt
(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量

复合函数微分法

复合函数的求导法则复合函数的全微分
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一元复合函数求导法则
一、复合函数的求导法则
定理17.5 若函数 x = ϕ(s, t ), y =ψ(s, t )
, ( ，在点(s, t ) ∈ D 可微 z = f ( x, y) 在点 x, y)可微则复合函数z = f (ϕ(s, t ),ψ(s, t ))
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注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 常用导数符号.
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例. 设
f 具有连续偏导数, 具有连续偏导数
2 2 2
x2 + y2 +z2
⋅ 2 xsin y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
2 2
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂x ∂ f dy ∂ f ∂z ⋅ + = ⋅ + ⋅ ∂y ∂ x ∂y ∂ y dy ∂z ∂y
u
x y z
x yx
= 0 + 2 yex + y +z +2ze
1 x x ∂ r y ∂θ x = , = = 2 = 2 y 2 2 r x +y ∂ y r ∂ y 1+ ( x )
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u
r θ
x yx y
例4 用多元复合函数微分法计算下列一元函数的导数：的导数：
1 ）（ y= x
x

复合函数微分法

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注上面第一个等式中，左边的 d z 是作为一元函数 dt
的复合函数对 t 求导数 (这种导数又称为“全导数”);
右边的
z t
是外函数
(作为
u,
v,
t
的三元函数)
对
t
求偏导数．二者所用的符号必须有所区别．
例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:
(1)
y

x
x
x
;
(1 x2 )ln x
(2) y
.
sin x cos x
解 (1) 令 y u v , v w x , u x, w x, 从而有
前页后页返回
dy dx

y u

du dx

y v
v

w

dw dx

v x

v uv1 uv ln u [ x w x1 w x ln w ]
(1
x2 )ln x

(
sin
x

cos
x
)(
2
x
ln
x

1
x x
2
)
.
由此可见，以前用 “对数求导法” 求一元函数导数
的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.
例 5 设 f ( x, y) 为可微函数, f (1,1) 1, fx (1,1) a,
前页后页返回
f y (1,1) b, ( x) f ( x, f ( x, f ( x, x))), 试求 (1). 解令 ( x) f ( x, y), y f ( x, z), z f ( x,u), u x,

复合函数微分不定积分定积分幻灯片课件

8
基 (1)
本积
(2)
分 (3) 表
?kdx ? kx ? C (k是常数);
?x? dx ? x? ?1 ? C (? ? ? 1); ??1
dx
?x
?
ln
x
?
C;
x?0
?
9
(4)
?1
1 ? x 2dx
?
arctan
x
?
C;
(5)
?
1 1?
dx x2
?
arcsin
x
?
C;
(6) ?cos xdx ? sin x ? C;
C.
x2 ? a2
x
t a
18
? 例17 求
1 ? x2 dx.
解令 x ? sin t
dx ? costdt
t?
?? ? ?
?, 2
? 2
?? ?
? ? 1? x2 dx ? 1? sin 2 t ?cos tdt
? ?cos2 tdt
?
?(1?
cos 2t)dt
/
2
1
x
? t / 2 ? sin 2t / 4
常数项的原函数称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为? f ( x)dx.
? f ( x)dx ? F ( x) ? C
6
号分积数函积被式达表积被量变分积数常意任
例1 求 ?x5dx.
解
?
?
x
6
? ?
? ??
x5,
?6?
? ? x5dx ? x6 ? C. 6
例2
求
1 ?1 ? x2

复合函数与隐函数微分法

u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
嘉兴学院
23 August 2019
第七章多元函数微分学
第6页
例设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，求全导数dz . dt
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
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第七章多元函数微分学
第19页
dz z dx z dy x y

z u

u x

z v

v xdx Fra bibliotek z u

u y

z v
x y
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第七章多元函数微分学
第15页
3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形
结论如果u ( x, y)在点( x, y)具有对 x和 y
的偏导数，函数 v ( y)在点 y 可导，且函数
z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z f [( x, y), ( y)]在点( x, y)的两个偏
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z

z
u

z
v

z
w
,
ux
x u x v x w x z v

复合函数的微分法

ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口诀:
并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数的微分法
复合关系结构图求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .

复合函数微分法

§2 复合函数微分法1．求下列复合函数的偏导数或导数： (1) 设 )arctan(xy z =, xe y =, 求dxdz ; (2) 设xyy x e xyyx z 2222++=,求yz x z ∂∂∂∂,; (3) 设22y xy x z ++=,2t x =,t y =,求dtdz ; (4) 设y x z ln 2=,v u x =,v u y 23−=,求求vz u z ∂∂∂∂,;(5) 设),(xy y x f u +=,求yux u ∂∂∂∂,; (6) 设),(z y y x f u =,求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,. 解：(1) 令xy u =, 则 u z arctan =, xe y =,x x =,xxx ex e x y x xe y x y dx dy y u du dz x u du dz dx dz 2222221)1(11++=+++=∂∂+∂∂=. (2)xyy x xyy x e y x y x y xy y x e y x y x y x z 22222222222222)()(++−⋅++−=∂∂xyy x e xy yx yx y x 22)1(22222+++−=.xyy x e xy yx xy y x y z 22)1(22222+++−=∂∂(3)t t t y x t y x dtdy y z dt dx x z dt dz 2341)2(2)2(23++=⋅++⋅+=∂∂+∂∂= (4)]233)23ln(2[311ln 222v u uv u vu y x v y x u y y z u x x z u z −+−=⋅⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ]231)23ln(1[222v u v u vv u v yy z v x x z v z −+−−=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5) 由于xdy f ydx f dy f dx f xy d f y x d f du 221121)()(+++=++=dy xf f dx yf f )()(2121+++=所以2121,xf f yu yf f x u +=∂∂+=∂∂. (6)22121,1,1f z y z u f z f yx y u f y x u −=∂∂+−=∂∂=∂∂. 2．设 )(22y x f yz −=,其中f 为可微函数，验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂. 证：设22y x u −=，则)()(22u f u f xy x u u z x z ′=∂∂∂∂=∂∂，)()()(222u f u f u f y y z +′=∂∂，所以 22)()(2)()(211yz u f u f y yu f u f y yzy x z x =′++′−=∂∂+∂∂. 3．设 )sin (sin sin y x f y z −+=，其中f 为可微函数，证明：1sec sec =∂∂+∂∂y yzx x z . 证：设y x u sin sin −=, 则x u f x z cos )(′=∂∂，y u f yzcos ))(1(′−=∂∂，所以 1))(1()(sec sec =′−+′=∂∂+∂∂u f u f y yzx x z 4．设 ),(y x f 可微，证明: 在坐标旋转变换θθsin cos v u x −=，θθcos sin v u y +=之下,22)()(y x f f +是一个形式不变量，即若),cos sin ,sin cos (),(θθθθv u v u f v u g +−=则必有2222)()()()(v u y x g g f f +=+ (其中旋转角θ是常数).证：因为θθsin cos y x u f f g +=，θθcos )sin (y x v f f g +−=，22)()(v u g g +θθθθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 2sin cos 22222222y x y x y x y x f f f f f f f f −+++= 22222222)()()cos (sin )cos (sin y x y x f f f f +=+++=θθθθ故2222)()()()(v u y x g g f f +=+.5．设)(u f 是可微函数, )23()2(),(t x f t x f t x F −++=，试求:)0,0(x F 与)0,0(t F解：f f f F x ′=⋅′+′=43, 0)2(2=−⋅′+⋅′=f f F t 故 )0(4)0,0(f F x ′=, 0)0,0(=t F .6．若函数),,(z y x F u =满足恒等式),,(),,(z y x F t tz ty tx F k= )0(>k ,则称),,(z y x F 为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数 ),,(z y x F 为k 次齐次函数的充要条件是：),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++，并证明：xy yx xy z −+=222为2次齐次函数.证明：必要性：设),,(),,(z y x F t tz ty tx F k=,令tz ty tx ===ζηξ,,，代入上式并两边对t 求导得),,(),,(),,(),,(1z y x F kt zF yF xF k −=++ζηξζηξζηξζηξ.令1=t , 则有),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++.充分性：设),,(1),,,(tz ty tx F t t z y x G k= )0(>t ，令tz ty tx ===ζηξ,,, 求G 关于t 的偏导数得[]{}),,(),,(),,(),,(11ζηξζηξζηξζηξζηξkF t zF yF xF tt G k −++=∂∂+. 由已知 0=∂∂t G,于是G 仅是关于z y x ,,的函数. 记 ),,(),,(z y x G z y x =ϕ, 所以),,(),,(tz ty tx F z y x t k =φ, 令1=t , 则有),,(),,(z y x F z y x =φ.因此),,(),,(tz ty tx F z y x F t k =.故F 为k 次齐次函数. 因为 ),())(()()())((),(2222y x z t ty tx ty tx ty tx ty tx z =−+=，所以),(y x z 为2次齐次函数.7．设),,(z y x f 具有性质),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk= )0(>t ，证明: (1) ,,1(),,(m knxz x y f x z y x f =; (2) ),,(),,(),,(),,(z y x nf z y x mzf z y x kyf z y x xf z y x =++. 证：(1) 在),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk=中令 xt 1=，得),,(),,1(z y x f x x z x y f n m k −=，即),,1(),,(mk nx z x y f x z y x f =(2) 令z t y t tx mk===ζηξ,,，并对),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk=两边关于t 求导得),,(),,(),,(),,(111z y x f nt zf mt yf kt xf n m k −−−=++ζηξζηξζηξζηξ，令1=t , 则有),,(),,(),,(),,(z y x nf z y x mzf z y x kyf z y x xf z y x =++.8．设由行列式表示的函数)( )( )( )()(1111t a t a t a t a t D nn n n "##"=，其中 ),,2,1,( )(n j i t a ij "= 的导数都存在，证明∑=′′=nk nn n kn kn t a t a t a t a t a t a dt t dD 111111)( )( )( )( )( )()("##"##" . 证：记 ),,2,1,( )(n j i t a x ij ij "==,且nnn n n nnn ij x x x x x x x x x x x x x f ),,,,,(2122221112111211"""""""""=, (1)由行列式定义知f 为2n 元可微函数，易见))(,),(,),(),(()(1211t a t a t a t a f t D nn ij ""=.于是由复合函数求导法则知)()(1,1,t a x fdt dx x f t D ijijnj i ij ij nj i ′⋅∂∂=⋅∂∂=′∑∑==. (2) 记(1)的右边行列式中ij x 的代数余子式为ij A ,则ij ij nj i nn ij A x x x x x f ∑==1,1211),,,,,(""，从而 ij ij A x f=∂∂ 代入(2)得)()()(11t A t a t D ij ijn i nj ′==′∑∑==.其中)(t A ij 是将ij A 的元素kL x 换为)(t a kL 后得的1−n 阶行列式，它恰为行列式)( )( )( )( )( )( )( )( )(212111211t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n n kn k kn "###"###"′′′ 中)(t a ij′的代数余子式, 于是由(3)知 ∑=′′′=′n i nn nn n ini i n t a t a t a t a t a t a t a t a t a t D 112111211)( )( )( )( )( )( )( )( )()("###"###".。

复合函数的微分法

z
2
2ze
x2

y2

z
2

2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y

f y

f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
二、多元复合函数的全微分
11
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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复合函数、隐函数微分法

2
f1′ − 表示对第一个变量 u 求一次偏导数；
f 2′ − 表示对第二个变量 v 求一次偏导数 .
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1 = = 2 xyf1′ + f 2′ ⋅ ． + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x 2 = = x f1′ − f 2′ ⋅ 2 ． + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y y
令 F ( x, y ) =e x y + sin( x + y ) ,
∂F dy ye xy + cos( x + y ) = − ∂x = − xy . ∂F dx xe + cos( x + y ) ∂y
隐函数定理2 隐函数定理2 设三元函数 F ( x, y , z ) 和点 ( x0 , y0 , z0 ) 满足下列条件：
2. 隐函数求导公式：
当 ( x, y ) ∈ U 时， = z ( x, y ) 有连续的偏导数 . z
∂F ∂z ∂y =− ∂F ∂y ∂z ∂z ∂z 2 2 2 例2 设 x + 2 y + 3z − 1 = 0 .求 , . ∂x ∂y ∂F ∂F 2y 解 ∂z = − ∂x = − x , ∂z = − ∂y ∂F ∂x ∂F = − 3z . 3z ∂y ∂z ∂z
6.4 二元复合函数、隐函数微分法
一．复合函数的求导法则二．隐函数的微分法
一. 复合函数的求导法则
定理1: 定理1:（复合函数微分法1） 1: 设 z = f (u , v) 可微， u = ϕ ( x) , v = ψ ( x) 可导 . 则有
dz ∂z du ∂z dv = + dx ∂u dx ∂v dx

7.5 多元复合函数与隐函数的微分法解析

且
z z u z v …(7.5.3) x u x v x
z
u
x y
z z u z v y u y v y
…(7.5.4)
v
9
注1 此定理也可称为求导的链式法则. 事实上, 当z对x求偏导时, 应将y看作常数, 此时的中间变量 u,v均是x的一元函数, 从而z亦是x的一元函数, 于是可利用公式(7.5.1). 此时应把相应的导数记号改写成偏导数记号, 就可得公式(7.5.3)；类似地可得公式(7.5.4)．可将此定理中复合函数的中间变量推广到多于两个的情形. 例如, 设由函数
(t ), (t )均连续, 所以当t 0时, 0;
x dx y dy 同时亦有 , ; 于是有 t dt t dt o( ) o( ) o( ) x 2 y 2 lim lim lim ( ) ( ) 0 t 0 t 0 t t t 0 t t
故
dz z z dx z dy lim dt t 0 t x dt y dt
4
即复合函数z f ( (t ), (t ))在点t处可导, 且有公式(7.5.1)
成立.
由于多元函数的复合关系可能出现多种情形, 因此, 分清复
合函数的复合层次是求偏导数的关键.
u s t x y z
f u f s f t f 2y t y s y t y s
u f s f t f f 2z z s z t z s t
15
注2 在计算多元复合函数的偏导数时, 可不写中间变量, 而
又有
而
z z u z v y u y v y
u v 2 y, x y y

复合函数微分法

z z u z v x u x v x

f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y

f12 f2 2
x yx y
即书P88定理9.8
3) 中间变量有三个，自变量有2个，例如 z f (u,v, w) ,
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t, 则相应中间变量有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v 则有u 0, v 0,
u du , v dv t dt t dt
解: z x
z v v x
eu sin v eu cos v 1
x y z
uv
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
x yx y
例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x

2xex2 y2
z2
2ze x2
y2

z
2

2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin 2 y) e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u y

f y

f z

z y

2ye
x2

y2

z2
2ze
x2

y2

z
2

d uv vdu udv,

5、复合函数微分法与隐函数微分法

0
(Fx(x0,y0)
0)
则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x)，满足条件y0=f(x0)，并有连续导数 (x=f(y))
Fx dy dx Fy
（隐函数求导公式）
dy ----一元函数的求导 Fx , Fy ----二元函数的偏导数 dx 故使用公式时要注意确定一元函数的自变量和因变量，并构造二元函数。
复合函数微分法与隐函数微分法
Байду номын сангаас一、复合函数微分法
复习：一元复合函数 y f (u), u ( x)
dy dy du 求导法则 dx du dx
微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx
要求：熟练掌握多元复合函数求导的链式法则
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z
练习:P212 6,7,8,9,10,11
z 1 2 2 2 z x 2 z x 3 2 x 2 z 2 z
2
小结：隐函数求导方法
Fy Fx dy Fx z z 或 , (1)运用公式 dx Fy x Fz y Fz
(2)利用复合函数求导法则直接计算
2 z 例1：设x2+y2+z2-4z=0，求 2 x
分析：函数z的两个自变量为x,y 法2：利用隐函数求导
z z 2x 2z 4 0 x x
再对x求导
z x x 2 z
z z z z 2 2 4 0 x x x x x x

复合函数微分法则详解

复合函数微分法则详解在微积分中，复合函数微分法则是一种用于求解复合函数的导数的方法。

复合函数是由一个函数和另一个函数组合而成的函数，例如y=f(g(x))。

在这种情况下，如果我们想要求f(g(x))的导数，我们可以使用复合函数微分法则来简化计算。

复合函数的定义复合函数是指一个函数中包含另一个函数，形式为y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是函数。

在这种情况下，g(x)被称为内函数，而f(x)被称为外函数。

复合函数微分法则的推导为了推导复合函数的导数，我们首先需要理解导函数的定义。

导函数表示函数的斜率或变化率，在微积分中通常用导数符号$\\frac{dy}{dx}$表示。

对于复合函数y=f(g(x))，我们可以将其作为两个函数的复合：u=g(x)和y=f(u)。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：$$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$这里，$\\frac{dy}{du}$表示外函数f(u)对u的导数，$\\frac{du}{dx}$表示内函数u=g(x)对x的导数。

复合函数微分法则的应用假设我们有一个复合函数y=(3x2+2x)4，要求其导数。

首先，我们可以将其分解为y=u4，其中u=3x2+2x。

根据复合函数微分法则，我们有：$$\\frac{dy}{dx}=4u^3 \\cdot \\frac{du}{dx}=4(3x^2+2x)^3 \\cdot (6x+2)$$通过简化计算，我们得到$dy/dx=4(3x^2+2x)^3 \\cdot (6x+2)$。

这样，我们成功地求得了复合函数的导数。

总结复合函数微分法则是一种用于求解复合函数导数的重要方法，通过将复合函数拆解为两个简单函数来简化计算。

在应用复合函数微分法则时，我们需要注意内函数和外函数的区分，并结合链式法则进行计算。

熟练掌握复合函数微分法则对于理解函数导数的计算和应用具有重要意义。

4复合函数微分法

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二阶偏导连续
4xyf 2( x2 y2 )exy f xye2xy f (1 xy)exy f
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练习设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶连续偏导数，求w 和 2w . x xz
2w xz
z z u z v z w x u x v x w x
z
u v
x
z z u z v z w
wy
y u y v y w y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],令 v x, w y,
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、 w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y的偏导数，复合函数z f [( x, y),( x, y), w( x, y)] 在对应点( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
dt t t0 u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
定理 2
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
故
z x

2 fu

复合函数微分法

复合函数微分法复合函数微分法是一种求解复合函数的数学方法，它是一种运用微积分求解连续复合函数的数学方法。

它是用微分学的结果来求复合函数的微分形式，对连续复合函数进行一阶或多阶的求导，从而解决复杂的函数方程。

复合函数微分法的定义及基本原理复合函数微分法是指在一次函数或多次函数的基础上，把另一函数加进去，构成复合函数，然后通过求导来求得复合函数的微分形式。

基本原理是，假设有一组未知函数f(x)，其中f是复合函数，它由一个函数g(x)和另一个函数h(g(x))组成，即f(x)=h(g(x))。

进行复合函数微分法时，首先求g(x)的导数，然后再求取h(g(x))的导数，从而得到f(x)的导数。

复合函数微分法的具体应用复合函数微分法可以应用于各种函数的求解，比如求复杂函数的微分形式、求函数及其极限、求积分等。

具体来说，复合函数微分法可以帮助解决有一次函数和多次函数组成的复合函数方程，其中可包括多项式函数、指数函数、对数函数等。

一次函数求导时，可以用一次函数微分法，求出函数的导数；多次函数求导时，可以用链式法则，求出函数的导数。

另外，对于函数的极限或积分的求解，都可以用复合函数微分法。

比如，求取指数函数的极限时，可以用复合函数微分法，从而很容易求取指数函数的极限。

复合函数微分法的优势复合函数微分法具有很多优势，比如：（1）复合函数微分法可以解决复杂的函数方程，这是其最大的优势；（2）复合函数微分法能同时运用一次函数微分法和链式法则，可以求出各种复杂函数的导数；（3）复合函数微分法可以计算函数的极限，也可以计算积分，从而方便得到方程的解析解。

总结复合函数微分法是一种求解复合函数的数学方法，它是用微分学的结果来求复合函数的微分形式，用于求解复杂函数方程、函数极限和积分等问题。

复合函数微分法具有解决复杂函数方程、同时运用一次函数微分法和链式法则、计算函数极限和积分等优势，是一种有效的复合函数求解方法。