7.2.2向量线性运算的坐标表示

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向量的坐标表示及其运算教案

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 学会向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，如$\vec{a} = (a_x, a_y)$ 和$\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$。

3. 向量的加法：两个向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的和向量为$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$ 和$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$。

4. 向量的减法：两个向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的差向量为$\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)$ 和$\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y, a_z b_z)$。

5. 向量的数乘：一个标量$k$ 乘以向量$\vec{a}$ 得到$k\vec{a} = (ka_x, ka_y)$ 和$k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)$。

6. 向量的点乘：两个向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的点乘为$a_x b_x + a_y b_y$ 和$a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$。

三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体演示向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 引导学生通过小组讨论和实例分析，掌握向量的坐标表示和运算。

4. 利用练习题巩固所学知识，提高学生的实际运用能力。

高教版中职教材—数学(基础模块)(下册)电子教(学)案

【课题】6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：（1）了解数列的有关概念；（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】．从小到大依次取正整数时，cos，…．的近似值（四舍五入法）,,n a ，．()n N．其中，下角码中的数为项数，1a 表示第由小至大依次取正整数值时，以表示数列中的各项，因此，通常把第n 项【教师教学后记】【课题】6．2 等差数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等差数列的定义；（2）理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：,,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】6．3 等比数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式．能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】等比数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ,n , n a , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是aq a qa,,比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于,3a 很容易将a 求出.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=ab a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间 *揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N ①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 3AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作手写时应在字母上面加箭头，记作a．aAB的模依次记作AB．模为零的向量叫做，零向量的方向是不确定的．模为AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量= b．也就是说，种性质的向量叫做自由向量．AB= MN，GH= －TK．DA 相等的向量；DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-；BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；OC 的负向量；A D E （练习题FABOC共线的向量．AC叫做AB与位BC的和AC=AB+BC．aa bAB=a, BC=b，AC叫做向量a＋b ，即AB＋BC=AC（7．求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做AD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：a）= 0；总结归纳AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解反复强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则-=+-+=+=．OA OB OA OB OA BO BO OA BA()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点过程行为行为意图间解如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即 BA = a －b ．【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ．说明领会思考求解注意观察学生是否理解知识点70*运用知识强化练习1．填空：（1）AB AD -=_______________，（2）BC BA -=______________，（3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳72*创设情境兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．质疑思考引导启发BbOaAba（1）（2）图7－14过程行为行为意图间类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细分析讲解关键词语理解记忆引导启发学生得出结论78*巩固知识典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＝a ＋b ,BD ＝b −a ，因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ， OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．例6中，12a ＋12b 和−12a +12b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．强调含义说明思考求解领会注意观察学生是否理解知识点图7－16OA，使OA＝12AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作计算：AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材【教师教学后记】【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则OA x yi j，=+将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境兴趣导入【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则图7－172OM=i，3ON=j．由平行四边形法则知介绍质疑引导了解思考从实例出发使学生自然的走向知识点2OA OM ON =+=+i 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的i +=OM x 22,)x y （如图(x ,y )2212(()(i =-==-+AB OB OA x x x y 由此看到，对任一个平面向量，使得(2,3)=OA ）所示，起点为原点，终点为(,=OM x ．）所示，起点为2(=-AB x x ，典型例题－19所示，用并写出它们的坐标．OM ＋MA (5,3)=a (4,3)=-b过程行为行为意图间【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标．解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ．引领讲解说明主动求解会15*运用知识强化练习1．点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2．设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标． 3．已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ．提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情况20*创设情境兴趣导入图7－19过程行为行为意图间【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考27*动脑思考探索新知【新知识】设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j1212()()x x y y =+++i j ．所以1212(,)x x y y +=++a b ．（7．6）类似可以得到1212(,)x x y y -=--a b ．（7．7）总结归纳思考归纳带领学生总结图7－20。

向量的线性运算与坐标表示

向量的线性运算与坐标表示向量是线性代数中一个基本的概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。

本文将重点讨论向量的线性运算以及如何用坐标表示向量。

一、向量的定义与表示在二维和三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向和长度表示向量的方向和大小。

如图所示：[插入示意图：箭头向量的表示]向量有两种表示方法：行向量和列向量。

行向量按照元素排列在一行中，用方括号括起来；列向量按照元素排列在一列中，用方括号括起来。

例如，行向量[a, b, c]和列向量[a; b; c]表示同一个向量。

二、向量的线性运算向量的线性运算主要包括加法和数乘。

1. 向量的加法向量的加法遵循“平行四边形法则”，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头连接起来，箭头的指向为新向量的方向，连接起点和终点，得到新向量的结果。

如图所示：[插入示意图：向量加法示意图]向量加法的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，向量b的坐标为[b1, b2, b3]，则向量a和向量b的和的坐标为[a1+b1, a2+b2,a3+b3]。

2. 向量的数乘向量的数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘，得到一个新的向量。

数乘后的向量与原向量的方向相同（当数乘的实数为正数时）或相反（当数乘的实数为负数时），而长度与原向量的长度之比为数乘的实数绝对值。

向量的数乘的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，实数k，则向量a的数乘结果的坐标为[k*a1, k*a2, k*a3]。

三、向量的坐标表示向量可以用坐标进行表示，坐标是指向量在坐标系中的位置。

在二维平面中，通常以x轴和y轴为基础建立直角坐标系；而在三维空间中，通常以x轴、y轴和z轴为基础建立直角坐标系。

在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。

例如，向量a在直角坐标系中的坐标表示为(a1, a2, a3)。

向量的线性运算与向量的坐标表示

向量的减法
定义：向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则进行计算
运算性质：向量减法满足交换律和结合律，即a-b=-(b-a)和(a-b)c=a-(b+c)
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几何意义：向量减法可以理解为将一个向量沿着相反方向平移，其结果等于原向量与平移向量的和
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定义：两个向量相加，得到一个新的向量
几何意义：向量加法表示两个向量的起点和终点的连线
运算规则：平行四边形法则或三角形法则
向量的数乘
定义：数乘是向量的一种线性运算，表示向量与实数的乘积
性质：数乘满足结合律和交换律，但不满足消去律
几何意义：数乘可以改变向量的长度和方向运算规则：向量与正数相乘，方向不变，长度变大；向量与负数相乘，方向相反，长度变小
坐标表示：在二维坐标系中，向量 a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a-b=(x1-x2,y1-y2)
向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。
几何意义：向量积的方向垂直于a和b所在的平面，其大小等于以a和b为邻边的平行四边形的面积。
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特殊情况：当两向量同向或反向时，夹角为0°或180°
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几何意义：表示两个向量之间的相对位置关系
向量的点积
定义：两个向量的点积定义为它们的对应坐标的乘积之和
几何意义：点积表示两个向量在垂直方向上的投影的乘积计算公式：点积 = |a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长， θ是两向量的夹角性质：点积满足交换律和分配律

平面向量复习课教案

平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。

中职数学下册课件-第七章平面向量

第七章平面向量
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
7.2平面向量的坐标表示 7.2.1平面向量的坐标 7.2.2向量线性运算的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示
7.3平面向量的内积 7.2.1平面向量的内积 7.2.2内积的坐标表示
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
依次作 AB a，BC b，则向量AC 叫做向量a与向量b的和，
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、质量、时间、面积、温度
位移、力、速度
【新知识】向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或
始点
终点
1【.向(模新量)表知的示大识：小】(模向| A)量B: | 的向或有量| a关A|B概或念a 的大小
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
| a || b | √
b
a b
×
2.两个基本向量：
零向量: 模为零的向量(方向不确定). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算

高等代数课件第七章

①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,

高中全程复习方略配套课件：77空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理

(2)若b0为b的单位向量，称_a_·__b_0_=_|_a_|_c_o_s_〈__a_,_b_〉为向量a在向量 b上的投影. 向量的坐标等于它在_坐__标__轴__正__方__向__上的投影. (3)空间向量基本定理如果向量e1,e2,e3是空间三个_不__共__面__的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个_____.
xy11
λx 2 λy2 ,
λ
R
_z_1___λz_2______;
(8)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_⇔_x_1_x_2+_y_1_y_2_+_z_1z_2_=_0_.
【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 A B 与 C A 的夹角θ的大小是________． (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜的最小值为 _________. (3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则 λμ=_________． (4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直，则k=_________.
空间两点间的距离【方法点睛】 1.求空间两点间距离的步骤 (1)建立坐标系，写出相关点的坐标； (2)利用公式求出两点间的距离. 2.两点间距离公式的应用 (1)求两点间的距离或线段的长度； (2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值； (3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|

第一讲向量及其线性运算

➢性质
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲向量及其线性运算
一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标特征:
z
坐标轴 :
2）.

北师大版高二数学必修目录

北师大版高二数学必修4目录第一章三角函数1.周期现象习题1—12.角的概念与推广习题1—23.弧度制习题1—34.正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与诱导公式习题1—45.正弦函数的性质与图像5.1从单位圆看正弦函数的性质5.2正弦函数的图像5.3正弦函数的性质习题1—56.余弦函数的图像和性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数性质习题1—67.正切函数7.1正切函数定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式习题1—78.函数y=A sin(ωx+ψ)的图像习题1—89.三角函数的简单应用习题1—9阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究y=A sin(ωx+ψ)（A＞0，ω＞0）的图像本章小结建议复习题一第二章平面向量1.从位移、速度、力到向量1.1位移、速度和力1.2向量的概念习题2—12.从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法习题2—23.从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理习题2—34.平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示习题2—45.从力做的功到向量的数量积习题2—56.平面向量数量积的坐标表示习题2—67.向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例习题2—7阅读材料向量与中学数学本章小结建议复习题二第三章三角恒等变形1.同角三角函数的基本关系习题3—12.两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数2.3两角和与差的正切函数习题3—23.二倍角的三角函数习题3—3阅读材料三角函数叠加问题课题学习摩天轮中的数学问题本章小结建议复习题三探究活动升旗中的数学问题附录1 部分数学专业词汇中英文对照表附录2 信息检索网址导引。

1-4-2 向量线性运算的坐标表示(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二

坐标，即＝（，）＝（，）.
（2）推导过程：＝（ + ）＝ + ＝（，）.
例 3 已知＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），若＝ + ，则 + ＝
解析
由题意知，＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），
则＝ + ＝(−1，3) + （5，2）＝（ − + 5，3 + 2）＝ 3，2 ，
又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线.
（2）解：若A，B，C三点共线，则，共线.
∵＝- ＝（4 − ， − 7），＝- ＝（10 − ， − 12），
∴ （4 − ）（ − 12） + 7（10 − ）＝0.解得＝ − 2或＝11.
故当＝ − 2或＝11时，A，B，C三点共线.
（2）若向量起点和终点的坐标未知，则可利用向量的线性运算，转化为已知坐标的向量，通过运算求向
量坐标.
2.平面向量坐标运算的技巧
（1）已知向量的坐标，则直接利用向量加、减及向量数乘运算的坐标运算法则求解.
（2）解题过程中，常利用相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，要重视方程思
想的应用.
8
A. 1, 3
B.
13 8
,
3 3
C.
13 4
,
3 3
D. −
13
4
,
−
3
3
（2）已知 + ＝（2，-8）， − ＝（-8，16），则＝（-3，4），＝（5，-12） .
1
3
2
3
解析（1）由题意，得＝（2 − ）＝ −
1
，∴
3
2
3

向量的概念与线性运算

空间的点与始点在原点的向量有一一对应关系，通常向量OM可称为点M对点O的向径，设点M的坐标为 (x,y,z)，即 OA=x，Ob=y，OC=z，由向量的加法法则可知
OM=OA+AP+PM =OA+OB+OC.
如果分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向
量，并依次记为i，j，k，称其为基本单位向量.由向量
的始点移到同一点O，并记a=OA，b=OB.以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB,则称OC=c为a与b的和向量, 记为c=a+b.
向量加法运算的三角形法则：自a的终点B作BC=b，连接AC，则向量AC即为a与
b的和向量.这种求和常称为向量加法的三角形法则.
n个向量相加的法则：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作
向量在轴上的投影有以下性质：
性质7.1 Pr ju AB | AB | cos,其中为轴u与AB间的夹角.
性质7.2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于各向量在该轴上投影之和.即
Prju(a+b+¨¨+e)= Prjua+ Prjub+ ¨¨+Prjue.
七、向量线性运算的代数表示
若向量OM=(x,y,z)，则可知向量OM在x轴，y轴， z轴上的投影依次为x，y，z.因此又称向量OM在三条坐标轴上的投影x，y，z为向量OM的坐标.
即向量OM的模等于其坐标平方和的算术平方根.
设向量OM与x轴，y轴，z轴的正向间夹角分别为 α,β,γ.由几何知识可知
cos OA ,cos OB ,cos OC .
| OM |
| OM |
| OM |
称cosα，cosβ，cosγ为该向量的方向余弦.

向量线性运算的坐标表示PPT课件

x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设 a (x1, y1),b (x2, y2 ),
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．（7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标．（1） a＝(−2,3)， b=(1,1)；（2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)；（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)

向量的坐标表示及运算

非零向量与自己的向量积是零向量。
向量积的坐标计算公式
01
在三维空间中，对于两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的向量积的坐标计算公式为
02
a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
03
这个公式可以用来计算两个向量的向量积的坐标。
05
向量的向量积与运算
向量积的定义及性质
定义
向量积是一种二元运算，其结果是一个向量而不是一个标量。对于两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。
性质
向量积满足以下性质
反交换律
a×b = -b×a
分配律
(a+b)×c = a×c + b×c
与零向量的运算
任何向量与零向量的向量积都是零向量。
与自己的运算
向量的方向角
向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。在二维平面中，向量与x轴正方向的夹角记作$alpha$，取值范围为$[0,pi]$；在三维空间中，向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角分别记作$alpha$、$beta$、$gamma$，取值范围均为$[0,pi]$。
向量的线性运算性质
向量的加法
混合积在几何中的应用举例
01
x_2 & y_2 & z_2 & 1
02
x_3 & y_3 & z_3 & 1
x_4 & y_4 & z_4 & 1
03
混合积在几何中的应用举例
end{matrix} right|$
应用3：求解平面方程。设平面过点$P(x_0, y_0, z_0)$，且平面的法向量为$vec{n} = (A, B, C)$，则平面的方程可表示为

高等数学第7章向量代数与空间解析几何

30
31
32
7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
34
35
36
7.2.5 向量数量积的坐标表达式设有两个向量
37
38
39
40
41
42
43
44
习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如图7.17所示。
第7章向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程和特点.
1
7.1 向量及其运算
12
13
（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ

2023年新高考数学大一轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示(解析版)

专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示【考点预测】一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．二．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算①交换律b b a =+②结合律 )a b c ++=(a b c ++a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a b 的差 ()a b a b -=+-求实数λ与a 的积的运算（|||||a a λ=（0λ>时，a λ与a 的方向相同；当λ<a λ与a 的方向相同；时，0a λ=()()a a λμλμ=)a a a λμλμ+=+（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -=，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=．三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2．平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e eλλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． 3.线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．4.三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5.中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．四．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||(AB x = ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，21||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【方法技巧与总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++=．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+，当且仅当,b a 至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤±或||||||a a b b ±≤+当且仅当,b a 至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．【题型归纳目录】题型一：平面向量的基本概念题型二：平面向量的线性表示题型三：向量共线的运用题型四：平面向量基本定理及应用题型五：平面向量的直角坐标运算【典例例题】题型一：平面向量的基本概念例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（） A ．正方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明AB DC =，且//AB DC ，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD 中， AB DC =，所以AB DC =，且//AB DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．【详解】对于①，向量AB 与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b 为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD 是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B ．例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量； ④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB →，CD →为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，则（） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，c 方向相同 C ．b ，c 方向相同 D ．a ，b ，c 两两互不共线【答案】A 【解析】【分析】根据230a b c ++=，得32c a b =--，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出a,b 0<>=，解得a ，b 方向相同.【详解】因为230a b c ++=，所以32c a b =--，所以22(3)(2)c a b =--，所以222944?c a b a b =++，所以9144cos ,a b a b =++<>，所以4411cos ,a b =⨯⨯<>，所以cos ,1a b <>= 所以a,b 0<>=，所以a ，b 方向相同，故选：A.例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量()4,3a =，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为（） A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．【详解】易知(3,4)b =-是与a 垂直的向量，5b =，所以与b 平行的单位向量为134(,)555b =-或134(,)555b -=-，故选：D ．例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（） A ．若a b =，则32a b > B ．0BC BA DC AD ---=C ．若向量,a b 是非零向量，则a b a b a +=+⇔与b 方向相同D ．向量a 与()0b b ≠共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使λa b 【答案】CD 【解析】【分析】利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】向量不等比较大小，故A 选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B 选项错误. a b a b a +=+⇔与b 方向相同，C 选项正确.根据向量共线的知识可知D 选项正确. 故选：CD例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD 的形状，判断正确的有（） A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形 B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形C ．若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为菱形 D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形【答案】AB 【解析】【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A ；依据梯形判定定理判断选项B ；依据菱形判定定理判断选项C ；依据正方形判定定理判断选项D.【详解】选项A ：若AD BC =，则//AD BC ，=AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形.判断正确；选项B ：若13AD BC =，则//AD BC ，AD BC ≠，则四边形ABCD 为梯形. 判断正确；选项C ：若AB AD AB AD +=-，则2240AB AD AB AD AB AD -=+⋅=-，则AB AD ⊥，即90BAD ∠=.仅由90BAD ∠=不能判定四边形ABCD 为菱形.判断错误；选项D ：若AB DC =，则//AB DC ，=AB DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，又由AC BD ⊥，可得对角线AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 为菱形. 判断错误. 故选：AB例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（） A ．若a b =，则a b =或a b =- B ．若ma mb =，m R ∈，则a b = C ．若//a b ， //c b ，则//a cD ．若0ma =，m R ∈，则0m =或0a = 【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A ，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，无法推出这两点，故B 不正确；对于C ，当0b =时，选项不正确；对于D ，00ma m =⇒=或0a =，即可得到D 错误.【详解】对于A ，若a b =，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A 不正确；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，满足0ma mb ==， a 和b 的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B 不正确；对于C ，若//a b ， //c b ，当0b =时，满足//a b ， //c b ，但是不满足//a c ，故C 错误；对于D ，00ma m =⇒=或者||0a =，即0m =或0a =，故D 错误；故选：ABCD.【方法技巧与总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.题型二：平面向量的线性表示例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +【答案】B【解析】【分析】设,AB m AD n ==，根据向量的线性运算，得到11()()22BD x y n x y m =+--，结合BD n m =-，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】如图所示，设,AB m AD n ==，且BD xa yb =+，则1111()()()()2222BD xa yb x n m y n m x y n x y m =+=⋅-+⋅-=+--，又因为BD n m =-，所以112112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22,33x y ==，所以2233BD a b =+.故选：B.例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （）A ．1566AB AD - B．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+，所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，ABCD 中，AB a =，AD b =，点E 是AC 的三等分点13⎛⎫=⎪⎝⎭EC AC ，则DE =（）A ．1233a b -B ．2133a b -C ．1233a b +D ．2133ab 【答案】B 【解析】【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 2221()3333DE AE AD AC AD AB AD AD a b =-=-=⋅+-=- 故选：B.例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【解析】【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 ()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（）A ．AD DB OB OA +=-B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅【答案】C【解析】【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断【详解】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确，对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确，对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误，对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确．故选：C 例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AH AG +=D ．23BO BH BG += 【答案】D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误.【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误； ()112333AO AH AG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BH BG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（）A ．23a b +-B ．23a b +-C ．23a b --D ．23a b -- 【答案】B【解析】【分析】根据题意得()13AF AC AD =+，再分析求解即可. 【详解】如下图所示，连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点，因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心，所以()()112333a b AF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE =（）A ．1133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．2233AB AC + 【答案】C【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算，即可得出结论.【详解】解：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以13BE BC =，所以1121()3333AE AB BE AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+；故选：C.例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当2AB =时，1BD =，则下列结论正确的为（）A ．DE DH =B ．0AF BJ ⋅=C ．51AH AB +=D ．CB CD JC JH +=- 【答案】AB【分析】连接DH ，AF ，CH ，BH ，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A ，连接DH ，如图，由DF =FH ，108DFH ∠=得：36DHF E ∠==∠，DE DH =，A 正确；对于B ，连接AF ，由,AD AH FD FH ==得：AF 垂直平分DH ，而//BJ DH ，即AF BJ ⊥，则0AF BJ ⋅=，B 正确；对于C ，AH 与AB 不共线，C 不正确；对于D ，连接CH ，BH ，由选项A 知，DH DE BC ==，而//BC DH ，则四边形BCDH 是平行四边形， CB CD CH JH JC +==-，D 不正确.故选：AB【方法技巧与总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b=成立的充分条件是（）A ．a b =且a b ∥B ．a b =-C ．a b ∥D ．2a b = 【答案】D【解析】根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出．【详解】对于A ，当a b =且a b ∥时，a a b b =或a b a b =-，A 错误；对于B ，当a b =-时，a b a b =-，B 错误；对于C ，当a b ∥时，a ab b =或a b a b =-，C 错误；对于D ，当2a b =时，a a b b =，D 正确．故选：D ．例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确；对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确；对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确；对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ，又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选：D 例20．（2022·全国·高三专题练习）已知1e ，2e 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e =，17b e =；②121123a e e =-，1232b e e =-； ③12a e e =+，1233b e e =-．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】【分析】根据平面向量共线定理得到，对于①57a b =，故两向量共线；对于②16a b =，故两向量共线；对于③不存在实数λ满足λa b ，故不共线.【详解】对于①15a e =，17b e =，57a b =，故两向量共线；对于②121123a e e =-，1232b e e =-，16a b =，故两向量共线；对于③12a e e =+，1233b e e =-，假设存在,a b λλ=⇒()121233e e e e λ=-+()()123131e e λλ⇒-=+，因为1e ，2e 是不共线向量，故得到3131λλ-=+无解.故选：A.例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解. 【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且23AM AB =，13AN AC =，D ，E 是线段BC 上的两个动点，且(,)AD AE x AM y AN x y +=+∈R ，则12x y+的的最小值是（）A ．4B ．43C ．94D ．2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线定理可设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，再结合AD AE x AM y AN +=+得26x y +=，最后运用基本不等式可求解.【详解】设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，则AD AE mAB nAC AB AC λμ+=+++=3()()()3()2m AB n AC m AM n AN λμλμ+++=+++x AM y AN =+，3()2m x λ+=，3()n y m μλ+=⇒+=23x ，13n y μ+=，21222633m n x y x y λμ+++=⇒+=⇒+=.所以12112(2)6x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭14142222663y x x y ⎛⎛⎫+++≥++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当32x =，3y =时等号成立. 所以12x y +的的最小值是43. 故选：B例23．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y +的最小值为（） A ．9B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】根据向量共线定理得推论得到21x y +=，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以21x y +=，故()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立，故选：A例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（）A ．53-B ．53C ．35D ．35【答案】A【解析】【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理．【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =- 故选：A ．例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量a ，b ，且2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，选项A ，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B ，D 三点共线，则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确；选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得λ不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，C ，D 三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；选项D ，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，即48(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若||||a b =，则a b =；②若A B C D 、、、是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b =，b c =，则a c =；④a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ．其中正确命题的序号是________ ．【答案】②③##③②【解析】【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB DC = 等价于//AB DC 且AB DC =，即等价于四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；对于③，若a b =,b c =，则a c =，显然正确，故③正确；对于④，由a b =可以推出||||a b =且//a b ，但是由||||a b =且//a b 可能推出a b =-，故“||||a b =且//a b ”是“a b =”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当0b =时，//a b ，//b c ，但推不出//a c ，故⑤不正确.故答案为：②③例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1+【解析】【分析】先利用条件找到12133λμ+=，则12()33λμλμλμ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =， ∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+，又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()113333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即λμ=∴λμ+的最小值为1故答案为：1例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．【答案】3【解析】【分析】以,AN AM 为基底，由G 是ABC ∆的重心和M ，G ，N 三点共线，可得11=133x y+，即求. 【详解】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+，又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则9x yxy+的最小值为______．【答案】8 【解析】【分析】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >． ∴991191191()()(10)(10)8222x y y x y xx y xy x y x y x y x y+=+=++=+++= 则9x yxy+的最小值为8．故答案为：8．【点睛】由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法.. 例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e ，2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d a b λμ=+与c 共线？【答案】存在【解析】【分析】由已知得12(22)(33)d e e λμλμ=++-+，所以要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，从而得222339k k λμλμ+=⎧⎨-+=-⎩，进而可求得结果【详解】因为向量1223a e e =-，1223b e e =+，所以1212(23)(23)d a b e e e e λμλμ=+=-++12(22)(33)e e λμλμ=++-+要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，即222339kkλμλμ+=⎧⎨-+=-⎩得2λμ=-. 故存在这样的实数λ，μ，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线.【方法技巧与总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC （R λ∈）.若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC .题型四：平面向量基本定理及应用例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．若2AD =，(32)7AO AD AB ⋅-=-，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】先以AB AD 、为基底表示AO ，再利用向量的数量积把(32)7AO AD AB ⋅-=-转化为关于AB 的方程，即可求得AB 的长【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．设(01)DO DE λλ=<<， (01)BO BF μμ=<<则11++122AD DO AD DE AD AB AD AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1)33AB BO AB BF AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭由AO AD DO AB BO =+=+，可得2(1)3AB AD μμ-+112AD AB λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则112213λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解之得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3142AO AD DO AD AB =+=+则22(32)(33194242)7AO AD AB AD AB AD A AD AB B ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⋅-=⎭-=-又2AD =，则279AB -=-，解之得4AB ，即AB 的长为4故选：C例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（） A ．AB AC + B．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答. 【详解】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点，所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D例33．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD 上一点，14BM tBA BC =+，则t =（）A ．12 B ．23C ．34 D ．58【答案】D 【解析】【分析】求得1233AD AB AC =+，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出3144AM AB BM t AB AC ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，根据平面向量的基本定理可得出关于λ、t 的方程组，即可解得t 的值.【详解】因为2BD DC =，则()2AD AB AC AD -=-，所以，1233AD AB AC =+， ()131444AM AB BM AB t AB AC AB t AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为M 是线段AD 上一点，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，所以，13342134t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3858t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D.例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在ABCD 中，M 为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＋n ＝（）A ．1B ．43 C ．53D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算可求,m n 的值. 【详解】1122AM AB BC AB AD =+=+，而BD AD AB =-，故()12AC m AB AD n AD AB ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2m m n AB n AD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+且,AB AD 不共线，故4153{13123m n m m n m n n ⎧-==⎪⎪⇒⇒+=⎨+=⎪=⎪⎩，故选：C.例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且均为靠近B 的四等分点，CD 与AE 交于点F ，若BF xAB yAC =+，则3x y +=（）A ．1-B ．34-C ．12-D ．14-【答案】A 【解析】【分析】由题意推出DE AC ∥，可得14DF DE FC AC ==，推出15DF DC =，根据向量的加减运算，用基底,AB AC 表示出BF ，和BF xAB yAC =+比较，可得,x y ，即得答案.【详解】连结DE ，由题意可知，14BD BE BA BC ==，所以DE AC ∥，则14DE BD AC BA ==，所以14DF DE FC AC ==，所以14BD AB =-，34DC AC AD AC AB =-=-，则1135520DF DC AC AB ==-，故11321452055BF BD DF AB AC AB AB AC =+=-+-=-+，又BF xAB yAC =+，所以25x =-，15y =，则31x y +=-，故选：A例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.【解析】【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.【详解】因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP =例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB ACλμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．【答案】13-【解析】【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD DC =，得()2233BD BC AC AB ==-，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-【方法技巧与总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理： A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点.题型五：平面向量的直角坐标运算例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+。

向量及其线性运算

第二节
向量及其线性运算
一、向量的概念二、向量的线性运算三、向量的坐标表示四、小结
一、向量(Vector)的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1 M 2
M
1
以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. | a | 或 | M1 M 2 | 向量的模：向量的大小（长度）.
向量方向余弦的坐标表示式
当 a x a y a z 0 时，
2
2
2
cos
cos
ax a x a y az ay
a x a y az
2 2
2
2
2
,
,
2
cos
az a x a y az
2 2 2
.
方向余弦的特征
cos 2 cos 2 cos 2 1

M ( x, y, z )
o
P ( x ,0,0) x xi yj zk
Q(0, y ,0)
y
N ( x , y,0)
r xi yj zk称为向量的坐标分解式， xi , yj , zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量 1 1 1 1 r xi yj zk ( x , y , z ) 空间的点M r ( x , y, z ) 向量的坐标式
定理1 设向量 a 0，那么向量b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数，使 b a.
证条件的充分性显然；下证必要性 ‖ a 取设b
b , a
当 b 与 a 同向时取正值，

中职教育数学《向量线性运算的坐标表示》课件

（7.8）
巩固知识典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2 a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
(3) 3 a－2 b＝3 (1, −2)－2 (−2,3) ＝(3,−6)－(−4,6) ＝(7, −12)．
仍是一个向量
所以
（7.6）
动脑思考探索新知设平面直角坐标系中，a ( x1, y1 )，b ( x2 , y2 )
观察这三个向量横坐标之间、纵坐标之间的关系
图7－20 两个向量差的坐标恰好是这两个向量对应坐标的差．
所以 a b (x1 x2, y1 y2 ) （7.7）
动脑思考探索新知
运用知识强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标．
（1） a＝(−2,3)， b=(1,1)；
（2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)；
（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
已知
a=(2,1),
b=(-8,6),
c =(4,6),
求
2,a并用5b基底c 向量
i,将j 该向量表示出来.
巩固练习
扩展例题
• 小结
（1）向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积。
• 7.2.2 向量线性运算的坐标表示
创设情境兴趣导入
观察这三个向量横坐标之间、纵坐标之间平行四边形法则的关系
图7－20
两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．