山西省山西大学附属中学2016届高三12月月考数学(理)试题(答案不全)

河南教考资源信息网 版权所有·侵权必究1山西大学附中2015—2016学年高三第一学期12月月考数学试题（理）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1．若bi i ai -=+1)21(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则=+||bi a (C) A.i +21B.5C.52D.542．已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x xy N =∈+=，则M N = （ D ）A ．()(){}1,1,1,1- B ．{}1 C ．[]0,1 D ．0,2⎡⎤⎣⎦3．下列说法中正确的是（ D ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若:p 0R x ∃∈，20010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --<C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠4．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos 2t an210πααα⎛⎫++== ⎪⎝⎭，则（ B ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．155．执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（A ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥ 6．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ B ）A ．32B ．6262++ C ．12 D ．3262++7 . 已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ B ）（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知()621x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（R a ∈）的展开式中常数项为5，则该展开式中2x 的系数（ A ）A ．252-B ．5-C ．252D ．58(文).对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+，则a 的值等于（ B ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5 9．已知函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，且当0x >时，()f x 单调递增， 则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（ B ）A ．45[,)33B ．]35,34()32,31[⋃C ．)32,31[]31,32(⋃--D ．随a 的值而变化10．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，3PA = ，则该三棱锥外接球的表面积为（ A ）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π411. 如图，1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2F ∆AB 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）A ．4B ．7C ．233D ．3 12．等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，... ，1515S a 中最大的项为（ D ） A ．66S a B ．77S a C ．99S a D ．88S a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．等比数列{}n a 的前n 项和=2+2n n S a a ⋅-，则a =__1_____. C OAB 中任取一点，则该点落在阴影14. （理）如图，在边长为1的正方形部分中的概率为 13． (){}22,|16A x y x y =+≤，集合14.（文） 记集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为___324ππ+ _． 15．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1,AE AF ⋅= ，则λ的值为 2 16．已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为()(),11,-∞-⋃+∞三.解答题(本大题共6小题,共70分.)17．（本小题满分12分）已知函数()()2cos 3cos sin 222x x x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB=1，()31f C =+，且△ABC 的面积为32，求sinA+sinB 的值．解：（1）2()23cos 2sin cos 222x x xf x =-=3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x ++．由()π2cos 3316x ++=+，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或．（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． 因为△ABC 的面积为32，所以31πsin 226ab =，于是23ab =①．在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b ．由余弦定理得2222π12cos 66a b ab a b =+-=+-，所以227a b += ②由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 于是23a b +=+．由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()31sin sin 122A B a b +=+=+．18．(文) 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，∠ADC =0120，11AA AB ==，点1O O 、分别是上下底菱形对角线的交点． （1）求证：1A O ∥平面11CB D ； （2）求点O 到平面11CB D 的距离．ABCD1A 1B 1C 1D O1O （第18题图）又∵1AO ⊄平面11CB D ，1O C ⊂平面11CB D ， ∴1A O ∥平面11CB D ． （2）法一：等积变换．设点O 到平面11CB D 的距离为h ． ∵1D D ⊥平面ABCD ， ∴1D D CO ⊥． ∵AC 、BD 为菱形ABCD 的对角线， ∴CO ⊥BD ． ∵1D D BD D = ，∴CO ⊥平面11BB D D ． 在菱形ABCD 中，BC =1，∠BCD =060，32CO =． ∵111B D =，2211115+1+42OB OD OB BB ====， ∴△11OB D 的面积1112OB D S = ． ∴三棱锥11C OB D -的体积1113312OB D V S CO =⋅= ．在△11CB D 中，11112,1CB CD B D ===，△11CB D 的面积1174CB D S = ． 由11117334CB D V S h h =⋅=⋅⋅ =312，得217h =．因此，点O 到平面11CB D 的距离为217． 法二、作垂线．∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴111AA B D ⊥．∵11AC 、11B D 为菱形1111A B C D 的对角线， ∴1111B D AC ⊥． ∵1111AA AC A = ， ∴11B D ⊥平面11AA C C ． ∴平面11CB D ⊥平面11AA C C ．在平面11AA C C 内，作OH ⊥1CO ，H 为垂足，则OH ⊥平面11CB D ，线段OH 的长为点O 到平面11CB D 的距离.在矩形11AA C C 中，∠OCH =∠11CO C ，111112sin 772CC CO C CO ∠===，2sin 332OH OH OHOCH OC ∠===， ∴2273OH =， 217OH =． 因此，点O 到平面11CB D 的距离为217．18．（理）（本小题满分12分）如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，2,1AB AF ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）14-【解析】OC AB ⊥，根据试题分析：第一问根据等边三角形，确定出面面垂直的性质，得出OC ⊥平面ABEF ，从而得出OC OE ⊥，根据矩形的边长的关系，得出OF OE ⊥，从而根据线面垂直的判定定理，得出OE ⊥平面OFC ，从而得证OE FC ⊥，第二问应用平面的法向量求得二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：连接OC ,OF ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥． 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ， 故OC ⊥平面ABEF ．因为OE ⊂面ABEF ，于是OC OE ⊥．又矩形ABEF ，22AB AF ==，所以OF OE ⊥． 又因为OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， 所以OE FC ⊥．（2）由（1）得，22AB AF ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。

因为AB AC =，所以，3OC =，于是有()()()()0,1,1,0,1,1,0,1,1,3,0,0F E B C -，从而()3,1,1CE =- ，(0,2,0)EF =- ，设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =，由00n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3020x y z y ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩得()1,0,3n = ，同理，可求得平面BCE 的一个法向量()1,3,0m =， 设,m n的夹角为θ，则11cos 224m n m n θ⋅===⨯ ，由于二面角F CE B --为钝二面角，所以所求余弦值为14-．考点：线面垂直的判定和性质，二面角的余弦值．19.（文）(本小题满分12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．（1）甲相对稳定。