高二【数学(人教B版)】二项式定理与杨辉三角(1)-学习任务单
高中数学人教B版选修2-3《1.3.2杨辉三角》教学设计
《杨辉三角》教学设计一、教材分析《杨辉三角》是高中数学新课标人教B版选修2-3教材第1.3.2节的内容。
本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质后，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。
对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。
本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。
从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。
二、学情分析对于高二的学生来说，他们已经具备了比较理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。
同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。
本节课授课班级为普通班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。
另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，他们之间相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。
三、教学目标：本节课让学生掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新；通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力，在学习中鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化，培养学生的爱国情感。
高中数学《杨辉三角》教学设计
《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。
本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。
杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。
（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。
通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。
二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。
同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。
2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。
班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。
三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。
2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思【摘要】本文通过介绍杨辉三角和二项式定理的基本原理，探讨了二者之间的联系，并结合教学实践展示了如何将杨辉三角融入二项式定理的教学中。
具体操作包括利用杨辉三角展示二项式系数的规律，引导学生理解二项式定理的概念，并通过实例演示二者之间的对应关系。
在教学实践中，学生表现出良好的学习效果，对二项式定理和杨辉三角有了更深入的理解。
反思部分分析了教学中遇到的困难和不足，并提出了改进的建议。
将杨辉三角融入二项式定理的教学能够激发学生的学习兴趣，提高他们的数学能力，有助于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
在未来的教学中，可以进一步探索更多的教学方法，促进学生对数学知识的深入理解和应用。
【关键词】杨辉三角, 二项式定理, 教学实践, 学习效果, 反思, 展望1. 引言1.1 引言杨辉三角和二项式定理是高中数学中重要且常见的概念，它们在代数学习中扮演着重要的角色。
杨辉三角最早起源于中国古代数学家杨辉的工作，它是一种数学图形，数字按照一定的规律排列在三角形中，具有一些特殊的性质和规律。
而二项式定理则是代数学中的一个重要定理，描述了如何展开一个形如(a+b)^n的表达式。
本文将探讨杨辉三角和二项式定理之间的联系，以及如何将杨辉三角融入到二项式定理的教学中。
我们将首先介绍杨辉三角的基本原理，然后简要回顾二项式定理的基本概念，接着深入探讨杨辉三角和二项式定理之间的联系。
在教学实践中，我们将分享一些具体操作和案例，探讨学生学习效果及教学过程中的反思。
通过本文的研究与实践，我们希望能够更好地理解和运用杨辉三角和二项式定理，帮助学生更好地掌握代数知识，提高他们的数学能力和解决问题的能力。
我们也将对教学实践中的一些挑战和改进方向进行探讨，以期能够进一步完善教学方法，提高教学质量和效果。
2. 正文2.1 杨辉三角的基本原理杨辉三角是中国古代数学的杰出成就之一，它由中国数学家杨辉在13世纪提出。
杨辉三角是一个由数字构成的三角形，每一行的数字是通过上一行相邻两个数字相加而得到的。
人教B版高中数学高二选修2-3学案 1.3.2 杨辉三角
1.3.2杨辉三角1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用.教材整理1杨辉三角阅读教材P29，完成下列问题.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n＋1＝C m－1n ＋C m n.1.如图1-3-1是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________.13 356 571111791822189图1-3-1【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.【答案】2n－12.如图1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1…… 图1-3-2【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n， 即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！， 解得n ＝34. 【答案】 34教材整理2 二项式系数的性质 阅读教材P 29后半部分，完成下列问题.1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T n2＋1的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n .1.已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________. 【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n ＝8.【答案】 82.已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于________.【导学号：62980026】【解析】 二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.【答案】 53.(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________. 【解析】 因为(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10， 两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.【答案】 1－3102预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：与“杨辉三角”有关的问题如图1-3-3，在“杨辉三角”中斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为S n ，求S 19的值.图1-3-3【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211. 【自主解答】 S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：1.(2016·南充高二检测)如图1-3-4所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.图1-3-4【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)2＋1＝n2－n＋22.【答案】46n2－n＋22求展开式的系数和设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值.【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解.【自主解答】(1)令x＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ). ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.2.若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.二项式系数性质的应用探究1 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】 对称性，因为C m n ＝C n －mn ，也可以从f (r )＝C r n 的图象中得到.探究2 计算C k nC k －1n ，并说明你得到的结论.【提示】 C k nC k －1n ＝n －k ＋1k .当k <n ＋12时，C k nC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小.探究3 二项式系数何时取得最大值？【提示】 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项Cn －12n ，Cn ＋12n相等，且同时取得最大值. 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号.【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r ). 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得.3.已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值. 【导学号：62980027】【解】 由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r ·C r5·x 20－5r 2， 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ， 由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝±3.1.(1＋x )2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3【解析】 该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项.【答案】 C2.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )【导学号：62980028】A.64B.32C.63D.31【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.【答案】 B3.若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________.【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.【解析】 (a －x )5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5a 5－r x r，令r ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15.在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中， (1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项.【解】 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r x 4－5r 2. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大.则⎩⎪⎨⎪⎧ C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r≥19－r.解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 所以T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6. (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1.在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A.第15项 B.第16项 C.第17项D.第18项【解析】 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件.【答案】 B2.(2016·吉林一中期末)已知⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A.5B.20C.10D.40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r ， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C.【答案】 C3.设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A.2nB.3n －12C.2n ＋1D.3n ＋12【解析】 令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，①令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，②①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )，∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12.故选D. 【答案】 D4.(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a的值为( ) A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r ，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A. 【答案】 A5.在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )【导学号：62980029】A.23 015B.－23 014C.23 014D.－23 008【解析】 因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014. 【答案】 B二、填空题6.若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________.【解析】 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 【答案】 －17.若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________.【解析】 7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n 9n (－1)0＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n －1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示.那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-3-5【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45. 化简得kn －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62. 故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.【答案】 62三、解答题9.已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.①(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10.已知⎝⎛⎭⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数.【解】 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝⎛⎭⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝⎛⎭⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358.1.若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A.1B.－1C.2D.－2【解析】 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.【答案】 A2.把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图1-3-6所示的三角形数阵.记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )13 57 9 1113 15 17 19……图1-3-6A.91B.101C.106D.103【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3.(2016·孝感高级中学期中)若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________.【解析】 令x ＝2，得－5＝a 0，令x ＝3，得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.【答案】 54.已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和.【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N ＋，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3，设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.。
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（2）求
x
1 x
9
的展开式中含
x
3
的项.
解：因为
x
1 x
9
[x (x1)]9,
所以展开式中的第k+1项为
Tk 1 C9k x9k (x1)k (1)k C9k x9k k (1)k C9k x92k ,
也就是说 Cn0 Cn2 Cn4 ... Cn1 Cn3 Cn5 ... 结论2：在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数和
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对于(1 x)10，令x=1，可得
210
C100
C110
C120
...
C10 10
②
令x = – 1，可得
(1 1)10
C100 (1)0
C110 (1)1
C120 (1)2
我们知道：(a b)1 (a b) (a b)2 a2 2ab b2
而且
(a b)3 (a b)2(a b) (a2 2ab b2 )(a b) a3 a2b 2a2b 2ab2 b2a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
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小结：
求二项展开式中指定项的解题程序： S1：确定定理中的a , b , n 在题目中指的都是什么； S2：写通项公式Tk 1，通过指数运算进行整理； S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指 数等于 t（常数项的指数为0），计算出 k ； S4：将 k 代入通项公式 Tk 1 ，即为所求．
新高考新教材一轮复习人教B版 第九章 第二节 二项式定理与杨辉三角 学案
第二节二项式定理与杨辉三角课程标准解读1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.[知识排查·微点淘金]知识点一二项式定理1．二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．2．通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项．3．二项式系数：展开式中第k＋1项的二项式系数为C k n.知识点二二项式系数的性质[微思考](a＋b)n展开式的某项的系数与其对应的二项式系数相同吗？提示：不一定．(a＋b)n展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k＝0,1…n)，不一定是这一项系数．[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(链接人B 选择性必修第二册P 31例3)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20. 3．(链接人B 选择性必修第二册P 33T 6)化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________.解析：因为C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n ，所以C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝12(C 02n＋C 12n＋…＋C 2n 2n )＝22n －1. 答案：22n －14．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为__________.解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5，令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－1一、基础探究点——二项展开式中特定项及系数问题(题组练透)1.⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．－150 B ．150 C ．－240 D ．240解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240. 2．在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________. 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 5·2r ·x 5－3r .令5－3r ＝2得r ＝1.因此，在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数为C 15·21＝10. 答案：103．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.解析：由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9， 当项为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5. 答案：16 2 5求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量．二、综合探究点——二项式系数的性质或各项系数和(师生共研)[典例剖析][例1] (1)(2021·合肥模拟)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64[解析] 选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64.(2)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32 D ．－1[解析] 选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.(3)(2021·天津西青区模拟)在(1＋x )n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝________.[解析] 二项式中仅x 5的系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.[答案] 10赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可；(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．[学会用活]1．(2021·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：选A 由题意知C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.2．(2021·淄博模拟)已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.三、应用探究点——多项式展开式中特定项、系数问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 几个多项式和展开式中特定项问题[例2] (2021·长沙雅礼中学模拟)在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25[解析] 选C 含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝20.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．思维点2 几个多项式积展开式中特定项问题 [例3] ⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 [解析] 选C因为(x ＋y )5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5x5－r y r ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝15.故选C.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．思维点3 三项展开式中特定项问题[例4] (1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________.[解析] 法一：(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3·(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 55×25＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.法二：(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 55×35＋C 15(－1)C 45×34＋C 25(－1)2C 35×33＋C 35×(－1)3C 25×32＋C 45×(－1)4C 15×31＋C 55×(－1)5C 05×30＝92. [答案] 92(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的求解方法[学会用活]3．(2021·沧州七校联考)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24解析：选A展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.4．(2021·嘉兴联考)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：选C法一：利用二项展开式的通项求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：利用排列组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.。
最新人教版高中数学选修2-3《“杨辉三角”与二项式系数的性质》学案2
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是__，与这两个1等距离的项的系数____．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__，即________． 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与____________的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C nn ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐____的，由对称性可知它的后半部分是逐渐____的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数____取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数______________相等，且同时取到最大值．3．各项二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝__.(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝__. 预习交流(1)(1＋2x )2n 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )． A ．第n －1项 B ．第n 项 C ．第n ＋1项 D ．第n 项，第n ＋1项 (2)(x ＋1)10的展开式中的各项系数和是( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．210答案：1．(1)1 相等 (2)和 C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn2．(1)首末两端等距离 (2)增大 减小 2C n n 12C n n-，12Cn n+3．(1)2n (2)2n －1预习交流：(1)提示：C (2)提示：D一、与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )．A ．144B ．146C ．164D ．461思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．二、二项式系数的性质(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2，确定k 的值．1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )． A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )． A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．三、二项式系数、展开式系数的求和1．(2012山东临清三中模拟，理14)设(3x 13＋x 12)n 的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________.思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出．1．(2012北京昌平期末考试，理13)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则m ＝__________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝__________.2．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________.赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．答案：活动与探究1：C 解析：由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19.∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29)＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29)＝C 210＋C 310－1＝164.迁移与应用：解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2：解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8. ∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为 T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4. 设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6. ∴k ＝5，或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})．∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.迁移与应用：1.B 解析：由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．2．C 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.活动与探究3：1.1 解析：由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，∴h ＋t ＝4n ＋2n＝272，解得n ＝4.∴(133x ＋12x )n＝(133x ＋12x )4. 则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(133x )4－r ·(12x )r＝34－rC r 4436rx+，令43＋r6＝2，则r ＝4.∴含x 2项的系数为1.2．41 解析：f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4， 令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81，又m >0，∴m ＝2.令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1. 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41.迁移与应用：1.1 1 解析：展开式通项公式T r ＋1＝C r 7x 7－r·(－m )r ，令7－r ＝4，则r ＝3.∴C 37·(－m )3＝－35.∴m ＝1. ∴(x －1)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 令x ＝0，得a 0＝(－1)7＝－1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝0， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.2．729 解析：由已知2n －1＝32，∴n ＝6. ∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6. 而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729.1.⎝⎛⎭⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( )． A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项2．若(2－x )n 的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则含x 4项的系数为( )． A ．－45 B ．45 C ．180 D ．－1803．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )． A ．32 B ．1 C ．－243 D ．1或－243 4．(2012山东济南二月月考，理14)已知⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．5．若(1－2x )2013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为__________．答案：1．D 解析：由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．2．C 解析：由已知C 3n ＝C 7n ，∴n ＝10.∴(2－x )n ＝(2－x )10.∴展开式通项公式为T r ＋1＝C r 10·210－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x r 2，令r 2＝4，则r ＝8. ∴含x 4项的系数为(－1)8·C 810·22＝4C 210＝180.3．B 解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，∴a ＝2.∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.4．10 解析：由已知2n －1＝16，n ＝5，∴⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为C 35＝10.5．－1 解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.。
【高二】高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
【高二】高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
第13时
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
学习目标
掌握二项式系数的性质.培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.
学习过程
一、学前准备
复习：（本P37B2）求证：
.
二、新导学
◆探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处）
问题1：计算展开式的二项式系数并填入下表：
展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
◆应用示例
例1．（本P34例3）试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
◆反馈练习
1. （本P35练1）填空：
（1）的各二项式系数的最大值是；
（2） ;
(3) .
2. （本P35练2）证明（是偶数）.
三、当堂检测
1. （本P40A(7)）的展开式中，系数最大的项是第项.
2.已知为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 .
3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.
A.-7
B.7
C.-28
D.28
2.（本P35练3）写出从1到10的二项式系数表.
后作业
1．（本P37A7）利用杨辉三角，画出函数
的图象.
2. （本P37A8）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
3.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
3.3 二项式定理与杨辉三角(二项式定理)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
+
+
3
2
1
=+
= 2 + 2 + 2
= 3 + 32 + 3 2 + 3
+ 4 = 4 + 43 + 62 2 + 4 3 + 4
根据上述分析，你能写出 + 5 的展开式吗？
+
5
= 50 5 +51 4 + 52 3 2 + 53 2 3 + 54 4 + 55 5
−1
+ ⋯ … + −1 + 1
−
+
⋯ … + −1 .
【解析】 解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求
解．
原式= 0 + 1 +1 + 1 −1 −1 + ⋯ … + + 1 − −1 + ⋯ … +
= 3 + 32 + 3 2 + 3
= 4 + 43 + 62 2 + 4 3 + 4
分析
（1）右侧的项数比左边的次数大
；
（2）各式有一定的对称性，都是按照a的
（3） + 的第k+1项式定理
【尝试与发现】观察下面的等式：
)6的展开式中的常数项为
.
四 课堂练习
【练习3】已知
【答案】270
32
2 5
+ 3 的展开式中所有项的系数之和为 32，则展开式中的常数项为
3.3二项定理与杨辉三角 高二数学同步精讲课件(人教B版2019选择性必修第二册)
2x
1
9
C10 10
2x 1 10
所以含有 x2 项的为 C190 3x2 C9919 C1100C180 2x 2 18 210x2 . 所以3x2 2x 1 10的展开式中，含 x2 项的系数为210.
题型三：三项展开式的系数问题
展开式中，可以看出常数项是32 x 的系数是-80，
注意到展开式中第1项的二项式系数是 C50 1 第2项的二项式系数是 C51 5
展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等
一、二项式定理
例2：求 (x 1 )9的展开式中含 x3的项. x3.3二项式定理与杨辉三角
教学目标： 通过讲解二项式定理与杨辉三角，使学生能够深刻理 解并熟练运用二项式定理解决生活中的问题，并了解 杨辉三角的发现与历史。
考情： 二项式定理是高考的一个重要考点，分值在5分左 右，主要出题形式是填空题或选择题。
思考：小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，
也就是说 Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 ,
C100 C110 C120
C10 10
210
1024.
学生笔记 3.3二项式定理与杨辉三角
2.二项式系数的性质
令 a b 1
2n Cn0 Cn1
Cnk
C n1 n
Cnn
;
令 a 1,b 1
0 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 Cn5 , Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 ,
二、二项式系数的性质
例4：已知 (x2 1)n 的展开式中，所有的二项式
系数之和为1024，求展开式中含 x6 的项.
依题意可知 2n 1024 ，因此n=10. 从而展开式的通项为 Tk1 C1k0 (x2 )10k (1)k (1)k C1k0 x202k , 要使此项含x6,必须有20-2k=6，从而有k=7，
4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)
二项式定理知识要点（一）探究34a b a b ++,（）（）的展开式 问题1: 展开式中每一项是怎样构成的？ 展开式有几项？问题2：将上式中, 若令 ,则展开式又是什么？思考一: 合并同类项后, 为什么 的系数是3？问题3: 的展开式又是什么呢？结论: ；（二）猜想、证明“二项式定理”问题4: 的展开式又是什么呢？思考二：（1） 将 展开有多少项？（2）每一项中, 字母 的指数有什么特点？（3）字母 指数的含义是什么？ 是怎么得到的？（4）如何确定 的系数？二项式定理:0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++()n *∈N ；（三）归纳小结: 二项式定理的公式特征（1）项数: _______；（2）次数: 字母 按降幂排列, 次数由____递减到_____；字母 按升幂排列, 次数由____递增到______；（3）二项式系数: 下标为_____, 上标由_____递增至_____；（4）通项： __________；指的是第 项, 该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________, 右边的多项式叫做 的二项展开式。
典型例题例1.求 的展开式；例2.① 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求9)1(x x -的展开式中含3x 的系数。
变式练习1.写出 的展开式；2.求 的展开式的第3项；3.写出n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第1r +项；4. 的展开式的第6项的系数是 ；例3.求 的展开式中 的系数。
例4.在 的展开式中, 求 的系数例5.求展开式中的系数例6. , 则＝（）A. 9B. 10C. －9D. －10例7、已知的展开式中, 第五项与第三项的二项式系数之比为14: 3, 求展开式的常数项高考真题1. 的展开式中, 常数项为, 则（）A. B. C. D.2、的展开式中常数项为. （用数字作答）3.若的二项展开式中的系数为, 则（用数字作答）.随堂练习1. 的展开式中常数项是。
2020-2021学年新教材人教B版选择性必修第二册 3.3 二项式定理与杨辉三角 学案
3．3二项式定理与杨辉三角1．每一行的两端都是____，其余每个数都等于____________________．即____________________.2．每一行中，与首末两端“________〞的两个数相等．即C m n ＝C n －m n .3．如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项____的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项________与________的二项式系数相等且最大．4．二项展开式的二项式系数的和等于________．知识点三杨辉三角的特点1．在同一行中，每行两端都是____，与这两个1等距离的项的系数________．即C m n ＝C n －m n. 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的________，即________________．[根底自测]1．以下判断正确的()A ．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．B ．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．C ．C k n an －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项． D ．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．2．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是()A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 4103．(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么n 等于________．4．(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，那么n 等于________．题型一二项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n n .状元随笔(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．方法归纳1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪训练1(1)求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n . 题型二二项式系数与项的系数问题例2(1)求二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求⎝⎛⎭⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数． 状元随笔利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．方法归纳1．二项式系数都是组合数C k n (k ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数〞与二项式展开式中“项的系数〞这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280. 跟踪训练2(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．题型三求展开式中的特定项 状元随笔1.如何求⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？ [提示]利用二项展开式的通项C k 4x 4－k ·1x k＝C k 4x 4－2k 求解，令4－2k ＝0，那么k ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b)(c ＋d)展开式中的每一项为哪一项如何得到的？[提示](a ＋b)(c ＋d)展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？ [提示]⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x·C 33＋1x·C 13(2x)2＝x ＋12x ＝13x.即⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x.例3在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项． 状元随笔写出通项T k ＋1→令k ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数→考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项方法归纳1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)假设⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，那么常数a 的值为________． 题型四求展开式的系数和先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．例4设(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021·x 2021(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2021|的值．方法归纳1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法〞是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．跟踪训练4假设(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.题型五二项式系数性质的应用状元随笔1.根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示]对称性，因为C m n ＝C n －m n. 2．计算C k n C k －1n，并说明你得到的结论． [提示]C k n C k －1n＝n －k ＋1k . 当k<n ＋12时，C k n C k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k>n ＋12时，二项式系数逐渐减小． 3．二项式系数何时取得最大值？[提示]当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．例5f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项． 状元随笔求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋〞“－〞号．方法归纳求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练5(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3教材反思3．3二项式定理与杨辉三角新知初探·自主学习知识点一C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N ＋)k ＋1 知识点二1．1它“肩上〞两个数的和C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n2．等距离3．12n T +12n T +112n T ++4．2n知识点三(1)1相等(2)和C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n [根底自测]1．解析：A 错误，因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．B 错误，因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．C 错误，因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．D 正确，因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C k n .答案：D2．解析：含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.答案：D3．解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n 2＋1＝5，所以n ＝8. 答案：84．解析：二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.答案：5课堂探究·素养提升例1【解析】(1)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝⎛⎭⎫－32x 2＋…＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x－135x 4＋4058x 7－24332x 10. (2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .跟踪训练1解析：(1)方法一：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n .例2【解析】(1)由得二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 6·26－k ·332k x -，∴T 6＝－12·92x -.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T k ＋1＝C k 9x 9－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 9·x 9－2k ， ∴9－2k ＝3，∴k ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.跟踪训练2解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8.∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1120x 4.例3【解析】通项公式为：T k ＋1＝C k n 3n k x - (－3)k 3k x -＝C k n (－3)k 23n k x -. (1)∵第6项为常数项，∴k ＝5时，有n －2k 3＝0，即n ＝10. (2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈Z .令10－2k 3＝m (m ∈Z )， 那么10－2k ＝3m ，即k ＝5－32m . ∵k ∈Z ，∴m 应为偶数，m ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61236,295245x －2.跟踪训练3解析：(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎫x －a x 26的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据得C 26a ＝60，解得a ＝4.答案：(1)207(2)4例4【解析】(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021＝(－1)2021＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2021＝32021.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2021)＝－1－32021，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝－1－320212. (3)∵T k ＋1＝C k 2021(－2x )k ＝(－1)k ·C k 2021·(2x )k ，∴a 2m －1＜0(m ∈N ＋)，a 2m ＞0(m ∈N )．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2021|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2021＝32021.跟踪训练4解析：(1)令x ＝0，那么a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，①所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，②由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8128.例5【解析】令x ＝1，那么二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n ，由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x . 跟踪训练5解析：该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．答案：C。
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《二项式定理（1）》学习任务单前事不忘，后事之师。
《战国策·赵策》关注本店铺，下次再找不迷路师院附中李忠海【学习目标】举世不师，故道益离。
柳宗元◆教学目标：1．掌握二项式定理及其简单应用；2．发展观察、归纳、类比、猜想的意识，提高发现问题、探求问题和逻辑推理能力，养成科学的思维方式；3．培养勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美．教学重点、难点：二项式定理及其应用．【课上任务】1．()()a b c d ++的展开式是什么样的？取出1枚五角硬币和1枚一元硬币，两枚硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？设五角硬币的正面为a ，反面为b ；一元硬币的正面为c ，反面为d ．2．()2a b +的展开式是什么样的？取出2枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？ 设五角硬币的正面为a ，反面为b （下同）．3．()3a b +的展开式是什么样的？取出3枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？4．()4a b +展开式是什么样的？取出4枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？5．()n a b +的展开式是什么样的？取出n 枚五角硬币水平摆放在桌面上，观察向上的面，有几种可能？6．二项展开式是什么样的？有什么特点？7．什么是二项式系数？什么是项的系数？8．你会写出二项展开式的通项公式吗？9．如果遇到根号，你会化成分数指数幂进行运算吗？10．如果给出二项展开式的某一项指数，你会利用通项公式求这一项的系数吗？11．如果给出三项展开式的某一项指数，你会利用类似的方法求这一项的系数吗？12．本节课你学到了什么？你是如何获得这些知识的可以谈谈自己的体会吗？【学习疑问】13．哪个推导过没看明白？14．哪个环节没弄清楚？15．有什么困惑？16．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序是什么？【课后作业】17．求37(2)x x +展开式的第4项，以及第4项的二项式系数和系数．18．求10展开式中含4x 的项． 19．求81()x x-展开式中的常数项． 课后作业参考答案】17．解：33431547()(2)280T C x x x ==，所以第4项的二项式系数是3735C =，系数是280．18．解：10105221101010((3)(3)r r rr r r r r r r r T C C x x C x ----+==-=-， 令54r -=，得1r =，所以144210(3)30T C x x =-=-19．解：8821881()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令，得4r =， 44418(1)70T C +=-=，所以81()x x-展开式中的常数项是70． 【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
人教B版高中数学选修杨辉三角教案(1)
1.3.2二项式定理----杨辉三角学习目标：1掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L二、讲解范例：例1． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++L ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ②∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，由①+②得：()0122nn n n nS n C C C C =++++L ， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅．例3．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=， 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例4．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+L 3n=，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--L011228(88)8k k k k C C C -=+++L （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除 三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()953399632+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82256=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6313652+= 六、板书设计（略） 七、课后记：。
人教版数学高二人教 《杨辉三角与二项式系数的性质》 同步教案
各项系数和即为 ,奇数项系数和为 ,偶数项系数和为 , 的奇次项系数和为 , 的偶次项系数和 .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为 .
②令 ,各项系数和为 .
③奇数项的二项式系数和为 ,
偶数项的二项式系数和为 .
④设 ,
令 ,得到 …(1),
令 , (或 , )得 …(2)
(1)+(2)得 ,
∴奇数项的系数和为 ;
(1)-(2)得 ,
∴偶数项的系数和为 .
⑤ 的奇次项系数和为 ;
的偶次项系数和为 .
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第二课时
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为 ，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
又∵ ②
∵ ，∴ ，
由①+②得： ，
∴ ，即 ．
（法二）：左边各组合数的通项为
，
∴ ．
例8．在 的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项ห้องสมุดไป่ตู้数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤ 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数 ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 中的系数无关.
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思1. 引言1.1 杨辉三角和二项式定理的简介杨辉三角是我国古代数学家杨辉创制的一种数学工具，它是一个三角形式的数字表，其中每个数字等于它上方两个数字的和。
杨辉三角在数学领域有着广泛的应用，尤其在组合数学和概率论中起到了重要作用。
二项式定理是代数学中的一个基本定理，描述了两个数之间的幂的展开形式。
二项式定理在代数运算和多项式求解中起到了关键的作用，被广泛应用于数学、物理等领域。
将杨辉三角与二项式定理结合起来进行教学，not only可以帮助学生更好地理解和掌握二项式定理的概念和运用方法，还可以引导他们通过实际的操作体会数学中的美妙和规律，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
教授杨辉三角融入二项式定理的教学内容，将会为学生打开一扇新的数学思维窗口，激发他们对数学学习的兴趣，培养他们的逻辑思维和创新能力，提高他们的综合素质。
这种教学方式既有助于学生自主学习和探究，又能够激发他们的学习潜力，是一种富有启发性和实践性的教学方法。
1.2 教学实践的重要性教学实践对于学生的学习具有重要意义。
在教学实践中，学生可以通过实际操作和实践经验来深化对知识的理解和掌握。
而杨辉三角和二项式定理的教学实践，不仅能够帮助学生理解抽象的数学概念，还可以激发他们的学习兴趣和学习动力。
通过教学实践，教师可以更加全面地了解学生的学习情况和学习需求，及时调整教学策略和方法，提高教学效果。
教学实践还可以促进教师与学生之间的互动和沟通，建立良好的师生关系，增强教学的互动性和参与性。
2. 正文2.1 教学内容设计与展示教学内容设计与展示是教学活动中至关重要的一步，对于杨辉三角融入二项式定理的教学来说尤为重要。
在设计教学内容时，首先要确保内容的逻辑性和系统性，要将杨辉三角和二项式定理的概念一步步展开，清晰地呈现给学生。
教学内容设计要注重渐进式的知识传递，引导学生由浅入深地理解和掌握相关知识。
在教学中，可以通过实例和案例来展示杨辉三角和二项式定理之间的联系，让学生通过实际操作和计算来理解其中的规律和特点。
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学习资源
1．人教B版教材
2.《学习·探究·诊断》
4.能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出指定的项或系数．
5.体验二项式定理的发现过程，能运用不完全归纳法进行合理猜想．
6.能利用赋值法求二项式系数和，培养学生利用赋值的方法解决问题的能力．
课前学习任务
复习排列组合相关知识．
课上学习任务
【学习任务一】二项式定理的发现
对于
首先观察右边各项，根据多项式乘法的结构特征，归纳总结．
归纳反思：
（3）3次式，选k个b（得到 ）系数就是 ．
请根据特例猜想规律：
【学习任务二】二项式定理及相关概念
一般地，当n是正整数时，有
．
上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为 的展开式，它共有n+1项，其中 是展开式中的第k+1项（通常用 表示）， 称为第k+1项的二项式系数，我们将 称为二项展开式的通项公式．
【小结】：求二项展开式中指定项的解题程序：
【学习任务三】二项式系数和的特征
根据二项式定理可知： ，
再对比课前引入的投篮问题，要计算的是： ，
思考ห้องสมุดไป่ตู้者关系．理解赋值法的含义及目的．
对于 ，令x=1，可得 ，
如果令x= – 1呢？可以得到
即 ，
利用赋值法，小结二项式系数和的规律：
【学习任务四】
教材P33习题3–3A4、2、6
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
11
学期
上
课题
3.3二项式定理与杨辉三角（1）
教科书
书名：数学选择性必修第二册（B版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
1.能根据特例归纳猜想二项展开式系数以及二项展开式的通项．
2.理解二项式定理通项的意义，并会灵活应用．
3.能正确区分二项式系数和某一项的系数．
分析 的特点：a与b的指数和为n，b的指数k与二项式系数上角标相同，二项式系数是 ，这些都是对应展开式中的第k+1项．
例1.(1)写出 的展开式．
(2)写出 的展开式．
归纳反思：
例2.（1） 的展开式的第4项是_______，含 的项的二项式系数是________．
（2）求 的展开式中含 的项．
（3）求 的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．