第5章两立体相交

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10.第五章第二节立体的相贯简介

相贯线是由若干段平面曲线 (或直线)所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。
2.作图方法
求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。求出各棱面与回转体表面的截交线。连接各段交线，并判断可见性。
例1：已知平面立体与曲面立体相贯的H面和W面投影，补全主视图
相贯线一般为光滑封闭的空间曲
线，它是两回转体表面的共有线。
2.作图方法
表面取点法利用投影的积聚性直接找点。用辅助平面法。一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。
利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法，称为表面取点法。
第二节立体的相贯简介
一、
相贯的概念及其特点
相贯线——两立体相交，在立体表面留有的交线。
相贯线的形状取决于参与相交的两立体的形状和两立体之间的相对位置。
参与相交的两立体不同，相贯线又可分为：
1、两平面体相贯线
2、平面体与曲面体相贯线
3、两曲面体相贯线
㈠两平面立体相贯线的性质
1、相贯线是两立体表面的公有线；相贯线上的点是两立体表面的公有点。 2、相贯线的形状为空间多边形。
垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线水平圆柱较大两圆柱直径相等上下两条空间曲线两个互相垂直的椭圆水平直径较小左右两条空间曲线
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。

画法几何立体表面的交线

1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
点击动画
例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。
截交线
点击动画
截交线
点击动画
1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条平行直线
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。

第五章相贯线

第五章相贯线两立体表面相交，交线称为相贯线。

准确地画出相贯线的投影能更完整地表达立体。

实际中两立体相交可分为三种情况：平面立体与平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲立体相交，如图5-0-1所示。

相贯线有如下性质：1．相贯线一般是封闭的空间折线或曲线。

其形状随两相交立体表面的性质和相对位置的变化而不同。

2．相贯线是两立体表面的共有线，是两立体表面公共点的集合。

求相贯线，也就是求两相交立体表面的公共点。

第三节两曲面立体相交两曲面立体相交，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线。

下面介绍常用的两种方法。

一、表面取点法两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影，就积聚在圆柱面的有积聚性的投影上。

于是可以在这个相贯线有积聚性的投影上取一些点，按已知曲面立体表面上的点的一个投影，求其它投影的方法，即表面取点法，作出相贯线的投影。

例1：如图5-3-1所示，求作两正交圆柱的相贯线。

解：相贯线系两圆柱表面公共点的集合，应在铅垂轴线的小圆柱面上，其水平投影重合在水平投影中的小圆周上；同理相贯线的侧面投影也应重合在侧面投影的大圆周上。

故只有它的正面投影需要画出，可以用已知曲面上点的一个投影求另外投影的方法。

作图步骤如下：（1）先求特殊点，即求相贯线上的最前、最后、最左、最右、最上、最下等点。

在水平投影的小圆周上直接确定出相贯线上最左、最右点的投影1、3和最前、最后点的投影2、4；对应在侧面投影中为1″、3″和2″、4″，也是最高、最低点的侧面投影；按投影关系可得出它们的正面投影1′、3′和2′、4′。

因为两曲面立体前后对称相贯，故最前、最后两点的正面投影重合。

（2）求作若干一般位置点。

依连线光滑准确的需要，作出相贯线上若干个中间点的投影。

如在水平投影上取5、6点，其侧面投影为5″、6″，再求出其正面投影5′和6′。

（3）依次光滑连接1′、5′、2′（4′）、6′、3′各点，即得相贯线的正面投影。

两立体表面相交

(a)Leabharlann (b)(c)(d)
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合，画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大（直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相贯线的近似画法（三）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时，为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆

第5章立体与立体相交--相贯线

第5章立体与立体相交——相贯线
一）两圆柱相交
相交两回转体的相互位置不同可分为正交、偏交、斜交。例1：如图示，求两圆柱正交的相贯线。作图：求特殊点：a'、b' 就是两圆柱表面共有点的 a' b' a" b 1" (2 ") 分析：两圆柱体轴线垂直相 " 正面投影，也是相贯线的 • • • •• 交，其轴线分别为铅垂线和 • 最高点、最左点、最右点。 • c" d"• • 2' 侧垂线，因此小圆柱的水平 1' c' (d') 从侧面投影轮廓线的交点
a'
a" 4" • •3" •c" d" • 2" • • •1"
b" •
b'
2 d • •• 4 b• •a
• ••3 1c
连相贯线，判别可见性。
第5章立体与立体相交——相贯线
完成后的相贯线三视图
第5章立体与立体相交——相贯线
例2：求作圆台与部分球面相交的相贯线
第5章立体与立体相交——相贯线
注意：
辅助球的大小不能超出相贯线的范围。
第5章立体与立体相交——相贯线
例题：求作圆柱与圆锥的相贯线。
第5章立体与立体相交——相贯线
分析： 1、特殊点：
用辅助正平面可求得最高点1点；最低点2点。 2、一般点：用辅助球面法求。 1）求与圆锥轴线离得最近的点3、4 两点（辅助球与圆锥相切）。
2）求5678四个一般点。求910两一般点 3、连线并做相贯线的水平投影。正投影面中依次连接点得到相贯线的正面投影。
相贯线为两个相同的椭圆，椭圆平面垂直于两轴线所决定的平面。

第五章相贯线

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2020/6/11
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1
§4.1 概述
在日常生活中,我们经常见到一个圆柱从另一个圆柱上贯穿而过,即两立体相交,它们表面产生的交线称之为相贯线。(如下图)
一、相贯线的定义
由概述可知：两曲面立体相交，他们的交线称为相贯线。二、相贯线的分类
平面立体与平面立体（简称平、平相贯）（建筑类重点研究）平面立体与曲面立体（简称平、曲相贯）（难点）曲面立体与曲面立体（简称曲、曲相贯）（重点）
圆的一部分。要求
圆锥被截后的投影，
只需先分别求出各
截平面与圆锥的截
交线，再求截平面间的交线即可。
5-４动画演示
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（二）作图过程（略）
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§4.2 曲面立体与曲面立体相贯线的画法
一、求取步骤： ①分析交线情况（是否对称），投影情况（是否有积聚性） ②找公有点（特殊点和一般点） ③ 判别可见性：一曲面立体表面可见，交线可见 ④ 整理轮廓线。
水平面
一般点 Ⅱ
正平面
最低点 Ⅰ
最高点 Ⅳ
最前点 Ⅲ
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二)作图：1、求特殊点:〔转向轮廓线上点，如：最高（低）点、最前（后）点、最左（右）点〕选正平面求出最高
(低)点Ⅳ、Ⅰ。选侧平面求最前(后)点Ⅲ、Ⅱ。 2、求一般点：选水平面求出一般点Ⅴ、Ⅵ。
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5-15 动画演示
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第五章直线与立体表面的交点、两立体表面的交线

E:\proe-course\8-2.prt.2
§5.2 平面立体与曲面立体表面的交线两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线。两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线。 1、相贯线的性质：①相贯线一般是封闭的空间曲线或折线；②相贯线是两形体表、相贯线的性质：相贯线一般是封闭的空间曲线或折线；面的共有线，相贯线上的点一定是两形体表面的共有点。面的共有线，相贯线上的点一定是两形体表面的共有点。 2、求相贯线投影的方法：①利用有积聚性的投影求相贯线；②作投影面平行的辅、求相贯线投影的方法：利用有积聚性的投影求相贯线；助平面求相贯线；用辅助球面法求相贯线。助平面求相贯线；③用辅助球面法求相贯线。
相贯线为圆
E:\proe-course\p8-13.prt.1
（3）画法）辅助球面法还是根据三面共点的原理来作图。原理来作图。 ①先确定辅助球面的最大与最小半径：半径：在一般情况下，在一般情况下，球心到两回转面轮廓交线（相贯线）轮廓交线（相贯线）较远的一个点的距离，就是最大球面半径；点的距离，就是最大球面半径；最小球面半径一般为内切于较大回转面的球面半径。回转面的球面半径。 ②在最大与最小球面范围内作若干辅助球面球求一系列交点。干辅助球面球求一系列交点。判断可见性，连点。 ③判断可见性，连点。
[例]求直线与立体的交点并将被立体遮住的线段画成虚线。
利用有积聚性投影求交点
E:\proe-course\8-1-1-b.prt.2
[例]求直线与立体的交点并将被立体遮住的线段画成虚线。
用辅助平面法求交点
E:\proe-course\8-1-2-b.prt.1
[例]用换面法求直线
与圆球的交点。

立体及其交线

C B A 利用积聚性先求出水平投影
4.圆柱面上的曲线
a’ c’
注意求出特殊位置的点（A、C） ----特殊点利用积聚性先求出侧面投影
曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。
二、圆锥体的投影
圆锥的形成
1.圆锥体的组成由圆锥面和底圆组成。
S
1’ a’
b’ c’ c c”
1” a”
a锥被截切后的水平投影和侧面投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
y
4 1
3
y
2
[例题5] 求立体切割后的投影
6 6 5 4 1 2
（5 ）
1
4
2
（3）
3
Ⅵ Ⅴ 3 5
1 2 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4
第二节曲面立体的投影
3.具体的作图步骤
4.截交线上的特殊点
极限点转向点
特征点结合点
一、平面与圆柱相交
矩形
圆
椭圆
一、平面与圆柱相交
截平面垂直于圆柱轴线，截交线为垂直于轴线的
截平面平行于圆柱轴线，截交线为平行于轴线的
截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为
椭圆
圆
两条直线
[例1] 求圆柱被截切后的侧面投影
棱柱体
棱锥体
平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥
平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合 ----由直线段组成的封闭图形。
1 棱柱的投影
1. 六棱柱
由两个底面和六个侧棱面组
成。侧棱面与侧

画法几何及工程制图第五章习题详解

a
e d
c
m
还有其他求解办法？
换面法
M f F
L
6
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-圆柱
a
c (d)
b
d
a (b) c
D A
B
C
a
c (d) d
b
d a (b)
c
A
C
a c
b
AA — 最左素线， BB — 最右素线 CC — 最前素线， DD — 最后素线
m
m ）（
m
辅助圆法
m M m
13
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
Z
V
W
X
Y
14
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
b
a
d
c
15
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
m （n'）（n ）
s
p 完了吗？ S
31
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与球相交
32
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与球相交
2'
2"
7' 8' 3'4' 5'6'
1 '
8" 4"
6"
7" 3" 5"
1"
6
4 8
1
2
7 5 3
33
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与环面相交
p
34
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与环相交

两立体相交

两立体相交ppt xx年xx月xx日•引言•两立体相交的基本概念•两立体相交的作图方法目录•两立体相交的实例分析•两立体相交的应用场景•结论与展望01引言探讨两立体相交的特性和方法，为进一步研究几何形状的交集提供思路。

目的几何形状的交集在计算机图形学、计算机视觉、机器人技术等领域具有广泛的应用，对于两立体相交的研究具有重要的实际意义。

背景目的和背景研究现状目前对于两立体相交的研究已经取得了一定的成果，但还存在一些问题需要进一步探讨。

问题现有的研究方法对于某些特殊情况下的两立体相交处理效果不理想，需要寻找更有效的方法来处理这些情况。

研究现状和问题02两立体相交的基本概念两立体相交是指两个立体图形在某个平面上有且仅有一个公共点。

相交的两立体图形会形成一条交线，交线是两立体图形的共有边。

1 2 3两个平面在某个方向上有且仅有一个公共点。

两平面相交两个曲面在某个方向上有且仅有一个公共点。

两曲面相交一个平面和一个曲面在某个方向上有且仅有一个公共点。

平面与曲面相交03判断两立体图形的共有边是否为交线如果两立体图形在某个方向上有且仅有一个公共点，那么这个公共边就是它们的交线。

两立体相交的判定方法01判断两立体图形的交线是否存在如果两立体图形有且仅有一个公共点，那么它们会有一条交线。

02判断交线的形状和位置根据两立体图形的形状和相对位置，可以判断交线的形状和位置。

03两立体相交的作图方法步骤选择一个合适的辅助平面，使得该平面与两个立体均相交，然后分别求出两个立体在该平面上的投影，最后根据投影的交点确定两立体相交的位置。

定义辅助平面法是一种通过引入一个或多个辅助平面来寻找两立体相交的方法。

应用范围适用于各种形状的两立体相交的情况。

辅助平面法投影法是一种通过分别在两个立体上投影对方立体的轮廓线来寻找两立体相交的方法。

定义步骤应用范围首先分别在两个立体上投影对方立体的轮廓线，然后根据投影的交点确定两立体相交的位置。

适用于具有明显轮廓线的两立体相交的情况。

两曲面立体相交

土木制图技术
3.两个轴线相互平行的圆柱相交或两个共锥顶的圆锥相交时, 其相贯线为直线段
土木制图技术
例求圆管与半圆管的相贯线。
VR模型，识码即现
土木制图技术
重点：
1、了解两曲面立体相贯线特点； 2、了解两曲面立体贯线的投影作法； 3、掌握特殊情况两曲面立体贯线的投影做法。
难点：
两曲面立体贯线的投圆柱的轴线
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直立圆柱位置变化时相贯的变化
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四、相贯线的特殊情况
1.两回转体共轴时，相贯线为垂直于轴线的圆。
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2.当相交两回转体表面共切于一个球面时,其相贯线为椭圆。在两回转体轴线同时平行的投影面上,椭圆的投影积聚为直线。
第五节两曲面立体相交
一、两曲面立体相交的相贯线及其性质
1．相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 2．一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况下成为平面曲线或直线。
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二、求相贯线的方法及步骤
求相贯线常用的方法有表面取点法和辅助平面法。求相贯线的步骤 1.分析(谁与谁相贯)； 2.求相贯线---用描点法； 3.连线、判别可见性； 4.整理轮廓线。
可见性的判别原则：
只有同时位于两立体可见表面的相贯线才可见。
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例求两圆柱的相贯线。表面取点法
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例已知圆锥上挖切圆柱槽,完成其水平投影和侧面投影。表面取点法
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例求作球和圆锥相贯的正面投影和水平投影。辅助平面法
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第5章 两立体相交

10.第五章 第二节立体的相贯简介

画法几何立体表面的交线

第五章 相贯线

两立体表面相交

第5章 立体与立体相交--相贯线

第五章 相贯线

第五章 直线与立体表面的交点、两立体表面的交线

立体及其交线

画法几何及工程制图第五章习题详解

两立体相交

两曲面立体相交

第5章两立体相交

10.第五章第二节立体的相贯简介

第五章相贯线

第5章立体与立体相交--相贯线

第五章相贯线

第五章直线与立体表面的交点、两立体表面的交线