新北师大版八下 第五章分式与分式方程 3 分式的加减1
八年级数学下册第五章分式与分式方程3分式的加减法教案(新版)北师大版
3 分式的加减法第1课时一、教学目标1.知识与技能（1）同分母的分式的加减法的运算法则及其应用；（2）简单的异分母的分式相加减的运算．2.过程与方法（1）经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；（2）会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力．3.情感态度及价值观（1）从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识；（2）结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气．二、教学重点、难点重点：（1）同分母的分式加减法；（2）简单的异分母的分式加减法．难点：当分式的分子是多项式时的分式的减法．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：问题1：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路，2 km的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h，在平路上的骑车速度为2v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h，那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题2：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？［师］问题1，根据题意可得如图3-1的线段图.图3-1（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v32）h ． （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23h ．但要求出小丽走哪条路花费的时间少．就需要比较（v 1+v 32）与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出． ［生1］如果要比较（v 1+v 32）与v 23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母． ［生2］比较两个数的大小，我们可以用作差法．例如有两个数a ，b ．如果a －b ＞0，则a ＞b ；如果a －b =0，则a =b ；如果a －b ＜0，则a ＜b ． ［师］这位同学想的方法很好，显然（v 1+v 32）和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做．［生3］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v 23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？ ［师］我们不妨观察（v 1+v 32）－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？ ［生］分式的加减法．［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）. 我们再来看一下问题2．［师］问题2中这个人用电脑录入3000字的文稿需a33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄3000字文稿则需用a 3000小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（a 3000－a1000）小时．［生］a 3000，a 1000是分式，a 3000－a1000是分式的加减法． ［师］但和问题1中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题1中的是异分母的分式相加减，而问题2是同分母的加减法．［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法．（二）讲授新课1．同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题：想一想：（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？做一做：（1）a 1+a2=____________． （2）22-x x －24-x =____________． （3）12++x x －11+-x x +13+-x x =____________． ［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减.我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减．［师］谁能试着上台板演“做一做”中的三个小题．［生1］解：（1）a 1+a 2=a 21+=a3； ［生2］解：（2）22-x x －24-x =242--x x ； ［生3］解：12++x x －11+-x x +13+-x x =1312+-+--+x x x x =12+-x x ． ［师］我们一块来讲评一下这三位同学的运算过程．［生4］第（1）小题是正确的．第（2）小题没有把结果化简．应该为原式=242--x x =2)2)(2(--+x x x =x +2．［师］这位同学很仔细．我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简．［生5］第（3）小题，我认为有错误．同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）．［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即11+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体．［生3］老师，是我做错了．第（3）题应为：（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =1)3()1()2(+++--+x x x x =1312+-++-+x x x x =1+x x .［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步． 通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：c a ±c b =cb a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式）． 前面“问题2”现在可以完成了吧！大胆地试一试． ［生］a 3000－a 1000=a10003000-=a 2000，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用a 2000个小时．2．简单的异分母的分式相加减［生］问题1还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法．想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如a 3+a41应如何计算． ［生］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法.［生］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减． 小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题．小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同： 小明：a 3+a 41=a a a 443⋅⋅+a a a ⋅4=2412a a +24a a =2413a a =a413． 小亮：a 3+a 41=443⋅⨯a +a 41=a 412+a 41=a 413． 你对这两种做法有何评论？与同伴交流．［生1］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．但我觉得小亮的方法更简单．就像分数运算：61+41． 如果61+41=464⨯+646⨯=244+246=2410=125，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262⨯+343⨯=122+123=125． ［生2］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数．［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母．例如a 3+a 41，a 和4a 的最简公分母是4a ．下面我们再来看几个例子．［例］计算：（1）a 3+a a 515-；（2）12-x +x x --11.［生3］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成．［生4］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算．（1）中一个分母是a ，另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a 3化成a 553⨯=a515即可．解：（1）a 3+a a 515-=a 515+aa 515- =aa 5)15(15-+=a a 5=51； ［生5］我们组也已完成了第（2）题．两个分式相加，一个分式的分母是x －1，另一个分式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把x x --11化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得x x --11=)1()1()1()1(-⨯--⨯-x x =11--x x ．所以第（2）题的解法如下： （2）12-x +x x --11=12-x +11--x x =1)1(2--+x x =13--x x .［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起． ［生］问题1可以计算出结果啦．（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v35（h ）． （2）小丽走第一条路所用的时间为v23h ． 作差可知v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0．所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61h ． （三）即时练习1．计算：（1）xb 3－x b ；（2）a 1+a 21；（3）b a a -－a b a -. 2．计算：m n n m -+2+n m n -－m n n -2． （四）课堂小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大． ［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误．［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法．（五）教学反思第2课时一、教学目标1.知识与技能（1）异分母的分式加减法的法则；（2）分式的通分．2.过程与方法（1）经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力；（2）进一步通过实例发展学生的符号感．3.情感态度及价值观在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐；提高学生“用数学”意识．二、教学重点、难点重点：（1）掌握异分母的分式加减运算．（2）理解通分的意义．难点：（1）化异分母分式为同分母分式的过程．（2）符号法则、去括号法则的应用．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算．上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法．下面我们再来看几个异分母的加减法． 做一做：尝试完成下列各题：（1）24a －a 1=____________； （2）a 1+b1=____________； （3）ab b a +－bcc b +=____________； （4）a b 3+b a 2=____________． ［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等．这些知识，都是在与分数类比中得到的．我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法．［师］你的想法很好．在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分．［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分．“做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分．（二）讲授新课［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简．［生］解：（1）24a －a 1=24a －a a a ⨯⨯1=24a －2aa =24a a -； （2）a 1+b 1=b a b ⨯⨯1+b a a ⨯⨯1=ab b +ab a =abb a +； （3）ab b a +－bcc b +=c ab c b a ⋅+)(－bc a c b a ⋅+)( =abc bc ac +－abc ac ab +=abc ac ab bc ac )()(+-+ =abc ac ab bc ac --+=abc a c b )(-=ac a c -； （4）a b 3+b a 2=b a b b 232⋅⋅+b a a a 233⋅⋅=ab b 622+aba 632=ab a b 63222+ （让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）．［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法．你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘什么样的“适当整式”，才能化成同分母．［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母．［师］同学们概括得很好．下面我们来看一个例题：［例1］通分：（1）x y 2，23y x ，xy 41；（2）y x -5，2)(3x y -； （3）31+x ，31-x ；（4）412-a ，21-a分析：通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积．学生独立解答，教师巡视、指导.［师］我们再来看一个例题：［例2］计算：（1）31-x －31+x ；（2）412-a －21-a ； （3）用两种方法计算： （23-x x －2+x x ）·x x 42-． （可由学生板演，学生之间互查互纠）．［例3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量．在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价．（三）课堂练习计算：（1）11-a －212a -；（2）9122-m +m -32；（3）a +2－a -24． （四）课堂小结这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力．（五）教学反思。
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八年级数学下册第五章分式与分式方程3分式的加减法教案（新版）北师大版3 分式的加减法第1课时一、教学目标1.知识与技能（1）同分母的分式的加减法的运算法则及其应用；（2）简单的异分母的分式相加减的运算．2.过程与方法（1）经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；（2）会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力．3.情感态度及价值观（1）从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识；（2）结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气．二、教学重点、难点重点：（1）同分母的分式加减法；（2）简单的异分母的分式加减法．难点：当分式的分子是多项式时的分式的减法．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：问题1：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路，2 km的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h，在平路上的骑车速度为2v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h，那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题2：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？［师］问题1，根据题意可得如图3-1的线段图.图3-1（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v32）h ． （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23h ．但要求出小丽走哪条路花费的时间少．就需要比较（v 1+v 32）与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出． ［生1］如果要比较（v 1+v 32）与v 23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母． ［生2］比较两个数的大小，我们可以用作差法．例如有两个数a ，b ．如果a －b ＞0，则a ＞b ；如果a －b =0，则a =b ；如果a －b ＜0，则a ＜b ． ［师］这位同学想的方法很好，显然（v 1+v 32）和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做．［生3］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v 23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？ ［师］我们不妨观察（v 1+v 32）－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？ ［生］分式的加减法．［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）.我们再来看一下问题2．［师］问题2中这个人用电脑录入3000字的文稿需a33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄3000字文稿则需用a 3000小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（a 3000－a1000）小时．［生］a 3000，a 1000是分式，a 3000－a1000是分式的加减法． ［师］但和问题1中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题1中的是异分母的分式相加减，而问题2是同分母的加减法．［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法．（二）讲授新课1．同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题：想一想：（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？做一做：（1）a 1+a2=____________． （2）22-x x －24-x =____________． （3）12++x x －11+-x x +13+-x x =____________． ［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减.我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减．［师］谁能试着上台板演“做一做”中的三个小题．［生1］解：（1）a 1+a 2=a 21+=a3； ［生2］解：（2）22-x x －24-x =242--x x ； ［生3］解：12++x x －11+-x x +13+-x x =1312+-+--+x x x x =12+-x x ． ［师］我们一块来讲评一下这三位同学的运算过程．［生4］第（1）小题是正确的．第（2）小题没有把结果化简．应该为原式=242--x x =2)2)(2(--+x x x =x +2．［师］这位同学很仔细．我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简．［生5］第（3）小题，我认为有错误．同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）．［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即11+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体．［生3］老师，是我做错了．第（3）题应为：（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =1)3()1()2(+++--+x x x x =1312+-++-+x x x x =1+x x . ［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步． 通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：c a ±cb =c b a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式）． 前面“问题2”现在可以完成了吧！大胆地试一试． ［生］a 3000－a 1000=a10003000-=a 2000，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用a 2000个小时．2．简单的异分母的分式相加减［生］问题1还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法．想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如a 3+a41应如何计算． ［生］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法.［生］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减． 小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题．小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同： 小明：a 3+a 41=a a a 443⋅⋅+a a a ⋅4=2412a a +24a a =2413a a =a413． 小亮：a 3+a 41=443⋅⨯a +a 41=a 412+a 41=a 413． 你对这两种做法有何评论？与同伴交流．［生1］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．但我觉得小亮的方法更简单．就像分数运算：61+41． 如果61+41=464⨯+646⨯=244+246=2410=125，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262⨯+343⨯=122+123=125． ［生2］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数．［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母．例如a 3+a 41，a 和4a 的最简公分母是4a ．下面我们再来看几个例子．［例］计算：（1）a 3+a a 515-；（2）12-x +x x --11.［生3］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成．［生4］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算．（1）中一个分母是a ，另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a 3化成a 553⨯=a515即可．解：（1）a 3+a a 515-=a 515+aa 515- =aa 5)15(15-+=a a 5=51； ［生5］我们组也已完成了第（2）题．两个分式相加，一个分式的分母是x －1，另一个分式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把x x --11化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得x x --11=)1()1()1()1(-⨯--⨯-x x =11--x x ．所以第（2）题的解法如下： （2）12-x +x x --11=12-x +11--x x =1)1(2--+x x =13--x x .［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起． ［生］问题1可以计算出结果啦．（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v35（h ）． （2）小丽走第一条路所用的时间为v23h ． 作差可知v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0．所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61h ． （三）即时练习1．计算：（1）xb 3－x b ；（2）a 1+a 21；（3）b a a -－a b a -. 2．计算：m n n m -+2+n m n -－m n n -2． （四）课堂小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大． ［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误．［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法．（五）教学反思第2课时一、教学目标1.知识与技能（1）异分母的分式加减法的法则；（2）分式的通分．2.过程与方法（1）经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力；（2）进一步通过实例发展学生的符号感．3.情感态度及价值观在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐；提高学生“用数学”意识．二、教学重点、难点重点：（1）掌握异分母的分式加减运算．（2）理解通分的意义．难点：（1）化异分母分式为同分母分式的过程．（2）符号法则、去括号法则的应用．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算．上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法．下面我们再来看几个异分母的加减法． 做一做：尝试完成下列各题：（1）24a －a 1=____________； （2）a 1+b1=____________； （3）ab b a +－bcc b +=____________； （4）a b 3+b a 2=____________． ［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等．这些知识，都是在与分数类比中得到的．我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法．［师］你的想法很好．在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分．［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分．“做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分．（二）讲授新课［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简．［生］解：（1）24a －a 1=24a －a a a ⨯⨯1=24a －2aa =24a a -； （2）a 1+b 1=b a b ⨯⨯1+b a a ⨯⨯1=ab b +ab a =abb a +； （3）ab b a +－bc c b +=c ab c b a ⋅+)(－bc a c b a ⋅+)( =abc bc ac +－abc ac ab +=abc ac ab bc ac )()(+-+ =abc ac ab bc ac --+=abc a c b )(-=ac a c -； （4）a b 3+b a 2=b a b b 232⋅⋅+b a a a 233⋅⋅=ab b 622+aba 632=ab a b 63222+ （让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）．［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法．你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘什么样的“适当整式”，才能化成同分母．［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母．［师］同学们概括得很好．下面我们来看一个例题：［例1］通分：（1）x y 2，23y x ，xy 41；（2）y x -5，2)(3x y -； （3）31+x ，31-x ；（4）412-a ，21-a分析：通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积．学生独立解答，教师巡视、指导.［师］我们再来看一个例题：［例2］计算：（1）31-x －31+x ；（2）412-a －21-a ； （3）用两种方法计算： （23-x x －2+x x ）·x x 42-． （可由学生板演，学生之间互查互纠）．［例3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量．在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价．（三）课堂练习计算：（1）11-a －212a -；（2）9122-m +m -32；（3）a +2－a -24． （四）课堂小结这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力．（五）教学反思。
新北师大版八年级数学下册《五章分式与分式方程3.分式的加减法分式加减的综合练习》教案_6
的想法，选了分式求值中的典型问题作载体，对解题方法加以引导和强化。首先通过例题让学生初步 体验解题策略的巧妙之处，不仅是问题得以解决，而且是事半功倍，更能举一反三，解决一类的数学
问题。从课堂效果来看，本节课围绕核心问题，通过解题环节的层层递进，学生基本感悟了方法策略
的必要性，更明白了优化解题策略的重要性。对解决数学问题的“巧”
2 3y
的值为 1 ，则
1
7
4
4 y2 6 y
的值为（
1
）
A．1
B．－ 1
1
C ．－
7
1
D．
5
2 、 （ 2009? 大 兴 区 一 模 ） 已 知 x 2
x
1
x3 x
0，求代 数式
x4
1的值。
《拓展延伸》
【拓展 1】． 已知 1 1 1 ， 1 1 1 ， 1 1 1 ，求
abc 的值。
a b 6 b c 9 a c 15 ab ac bc
【拓展 2】． 已知： abc
0， a
b
c
1 0, 求 c(
1 )
1 b(
11 ) a(
1) 的值。
ab ca bc
【 拓 展 3 】 若 ab
1，求
1
1 a2
1 的值。 1 b2
五、感悟
1、本节课你在数学知识和方法上有哪些收获？ 2、你还有哪些困惑？ 六、布置作业：
1、《天府前沿》 P94 第一至三节习题课；
2、自编一道分式化简求值题。 七、教后反思
本节课是针对学生在前几节学习分式的运算出现的典型错误，
有感学生在解决数学问题时常常
具有盲目性，加之解题步骤繁锁，方法笨拙，解决过的题目过一段时间又不会解，对此进行分析，其
北师大版 八年级下册第五章分式与分式方程5.3分式的加减法(第2课时)教案设计
5.3 分式的加减法（第2课时异分母分式的加减）教学目标1.会找最简公分母，能进行分式的通分.2.理解并掌握异分母的分式加减法法则.教学重点异分母的分式加减法法则.教学难点异分母分式的通分.课时安排1课时教学过程导入新课小学我们学习过异分母分数的加减法，如13+12＝1×23×2+1323⨯⨯＝56，那么如何计算11x+-21x-呢？探究新知异分母的分式加减法法则异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.[合作探究，解决问题]思考：通分的原则是什么？异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母.追问：如何进行通分呢？（1）找出各分式中各分母的最简公分母；（2）利用分式的基本性质，将各分式的分子与分母同时乘以同一个适当的式子，使各分式的分母化成最简公分母，使各分式化成分母相同的分式.思考：确定最简公分母的方法与步骤是怎样的？（1）最简公分母的系数是各分母的系数的最小公倍数；（2）各分母中所含的相同字母或多项式取最高次幂；（3）对于只在一些分母中含有的字母或多项式，连同它的指数一起当作最简公分母的一个因式.[练一练]找出下列各题中的各个分式的最简公分母.（1）22y a x ，23x y ，14xy ； （2）13x + ，13x - ； （3）214a - ，12a - ； （4）5x y - ，23()x y - .解：（1）12a 2xy 2；（2）（x +3）（x -3）；（3）（a +2）（a -2）；（4）（x -y ）2.【例1】计算：（1）3a +155a a-； （2）13x --13x +； （3）224a a --12a -.【互动】学生自主解答，小组讨论，老师统一讲解，对存在问题进行点评.解：（1）3a +155a a -＝155a +155a a -＝15155a a +-＝5a a ＝15； （2）13x --13x +＝3(3)(3)x x x +-+-3(3)(3)x x x --+ ＝(3)(3)(3)(3)x x x x +--+-＝33(3)(3)x x x x +-++-＝269x -. （3）224a a --12a - ＝2(2)(2)a a a -+-2(2)(2)a a a +-+ ＝2(2)(2)(2)a a a a -+-+ ＝22(2)(2)a a a a ---+ ＝2(2)(2)a a a --+ ＝12a +. [老师总结]分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分.【例2】有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a 千米/时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期， 水流速度为 b 千米/时(b ＞a ).已知该船在两次航行中，静水速度都为v 千米/时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？分析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s ，所用时间＝顺流时间+逆流时间，注意顺流速度＝静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度-水流速度，把相关数值代入，比较即可.解：设两次航行的路程都为s . 第一次所用时间为s v a+ +s v a - ＝222vs v a -， 第二次所用时间为s v b + +s v b - ＝222sv v b -. ∵b ＞a ，∴b 2＞a 2，∴v 2-b 2＜v 2-a 2， ∴222sv v b-＞222vs v a -. ∴第一次的时间要短些.【总结】(学生总结，老师点评)(1)运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；(2)比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小.课堂练习1.计算1a ＋1+1a (a ＋1)的结果是( ) A.1a ＋1B.1a a +C.1aD.1a a + 2.计算24142x x ---的结果是( ) A.-12x + B.12x + C.-12x - D.264x x --- 3.计算： (1)32b a a b+ ； (2)21211a a +--；(3)22x y x y y x xy+-- . 4.已知实数a 、b 满足ab ＝1，求下列分式的值. (1)11a b a b +++ ； (2)221111a b +++.参考答案1.C2.D3.解：(1)22236b a ab + . (2)11a + . (3)2y x- . 4.解：(1)原式＝a ab a + +1b b+ ＝11b ++1b b+＝1. (2)原式＝2ab a ab+ +2ab b ab +＝b a b ++a a b +＝1. 课堂小结1、异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.2、最简公分母的确定方法：（1）系数：取分母中各系数的最小公倍数；（2）因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到；（3）因式的指数：相同因式取指数最高的.布置作业教材随堂练习/习题5.5的第1、2、3题板书设计异分母分式的加减法异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.。
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第五章 分式与分式方程 第2课时 异分母分式的加减(1)
x 1
1 x
1
x
x 1
1 x
1
x 1 x 1 x 1 x 1
2 x2 1
2 x2 1
（2）原式=
x
x 32 3 x
3
x
x 32 3 x
3
x 32 x 32
x2 9
12 x x2 9
注意：先确定公分母(各个分式的分母变成相同)，通分后，再计算.
2x2 10 x x2 25
3x 3x x 5
x 5 x 5 x 5
3x2 x2
15 x 25
总结归纳
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这 一过程称为分式的通分.
找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
ab (a b)2
= 1 1 a 2b a b
=
ab
a 2b
(a 2b)(a b) (a 2 b)(a b)
因式分解
先化简，再确定最简公 分母
通分
= a b a 2b (a 2b)(a b)
=
3b
(a 2b)(a b)
整式加减法则 最简分式
例5 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在 下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么： （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间．
知识要点
异分母分式的加减法则
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母 分式的加减法法则进行计算.
【北师大版】初二八年级数学下册《5.3.3 异分母分式的加减》课件
2v 因为 5 ＞ 3 ，所以小丽在路上花费时间少.
3v 2v 小丽比小刚在路上花费时间少
5 - 3 = 10- 9 = 1 (h).
3v 2v 6v 6v
（来自《教材》）
知2－练
1
已知两个式子： A =
4 x2 -
，B = 4
1+ x+ 2
1， 2- x
其中x≠±2，则A与B的关系是( C )
1＋ 1创3
2
1
＋ 4
1 3?
＋¼ 5
＋
1 n(n＋2)
(n≥3且n为
3n2＋5n
整数)，其结果为___4_(_n_＋__1_)(_n_＋__2_)_．
知识点 2 分式加减的应用
知2－讲
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走
的是平路，骑 车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的
a c ac ac
ac
（来自《教材》）
知1－讲
要点精析： (1)异分母分式相加减，先利用通分化成同分母的分
式相加减，再按同分母分式相加减的法则进行计 算． (2)异分母分式的加减运算步骤： ①通分：将异分母分式化成同分母分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子化简：分子去括号、合并同类项； ④约分：结果化为最简分式或整式．
=
(a -
a- 2
2)(a +
2)
= 1.
(a + 2)
（来自《教材》）
总结
知1－讲
(1)异分母分式相加减，先用通分的方法化异分母为同分母， 然后按同分母分式加减法的法则计算；当分子、分母是 多项式时，首先要进行因式分解；如果计算结果不是最 简的，一定要进行约分将其化为最简分式或整式．
春八年级数学下册 第5章 分式与分式方程 3 分式的加减法教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初
3 分式的加减法第1课时 同分母分式的加减教学目标 一、基本目标1．类比同分母分数的加减法法则归纳出同分母的分式加减法法则．2．理解同分母的分式加减法法则，能进行同分母的分式加减法运算及分母互为相反数的分式加减法运算．二、重难点目标 【教学重点】理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减运算． 【教学难点】分母互相反数的分式加减法运算． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P117～P118的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为：b a ±c a ＝b ±ca.2．计算：y x ＋2x＝y ＋2x；5y －a y＝5－a y.3．计算：(1)32－3x －1＋3x 2－3x ； (2)a 2a －b －b 2－2ab b －a . 解：(1)原式＝3－1－3x 2－3x ＝2－3x 2－3x＝1.(2)原式＝a 2a －b ＋b 2－2ab a －b ＝a －b2a －b＝a －b .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)3a －2b 3ab －3a ＋3b 3ab ；(2)1a －1＋－a 2a －1； (3)x －2x －1－2x －3x －1. 【互动探索】(引发学生思考)利用同分母分式的加减法则进行计算． 【解答】(1)原式＝3a －2b －3a －3b 3ab ＝－5b 3ab ＝－53a .(2)原式＝1－a 2a －1＝－a ＋1a －1a －1＝－a －1.(3)原式＝x －2－2x ＋3x －1＝－x ＋1x －1＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．【例2】计算： (1)2x 2－3y 2x －y ＋x 2－2y2y －x ；(2)2a ＋3b b －a ＋2b a －b －3b b －a.【互动探索】(引发学生思考)这两道题的分母相同吗？有什么关系？用什么方法可以将它们化成同分母分式？【解答】(1)原式＝2x 2－3y 2x －y －x 2－2y2x －y＝2x 2－3y 2－x 2－2y2x －y＝x 2－y 2x －y ＝x ＋y x －y x －y＝x ＋y .(2)原式＝2a ＋3b b －a －2b b －a －3b b －a＝2a ＋3b －2b －3bb －a＝2a －2b b －a ＝－2b －ab －a＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式的分母互为相反数时，可以把分母化为完全相同，再根据同分母分式相加减的法则进行运算．活动2 巩固练习(学生独学) 1．化简x 2x －1＋x1－x的结果是( D ) A ．x ＋1 B ．x －1 C ．－xD ．x2．计算：a ＋2b a ＋b －a －b a ＋b ＋a －2ba ＋b ＝1.3．计算：m －n2mn－m 2＋n 2mn＝－2.4．计算：(1)x ＋1x －1x ；(2)a b ＋1＋2a b ＋1－3ab ＋1.解：(1)原式＝x ＋1－1x ＝1.(2)原式＝a ＋2a －3ab ＋1＝0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 异分母分式的加减教学目标 一、基本目标1．会找最简公分母，能进行分式的通分． 2．理解并掌握异分母的分式加减法法则．3．培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识，进一步通过实例，培养学生的符号感和应用数学的意识．二、重难点目标 【教学重点】理解并掌握异分母的分式加减法法则． 【教学难点】找到最简公分母，能进行分式的通分． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 119～P121的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分时，关键是确定公分母，一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母．2．异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．用式子表示为：b a ±d c ＝bc ac ±ad ac ＝bc ±adac.3．通分：(1)3c 2ab 2与－a 8bc 2； (2)x 4a x ＋2与x6b x ＋2. 解：(1)12c 38ab 2c 2，－a 2b 8ab 2c 2.(2)3bx 12ab x ＋2，2ax12ab x ＋2. 4．计算：(1)3x ＋2y ；(2)1a ＋1－1a －1. 解：(1)原式＝3y xy ＋2x xy ＝3y ＋2x xy.(2)原式＝a －1a ＋1a －1－a ＋1a ＋1a －1＝－2a ＋1a －1.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)xx 2－4－2x 2＋4x ＋4；(2)a 2－4a ＋2＋a ＋2；(3)m m －n －nm ＋n ＋2mnm 2－n 2.【互动探索】(引发学生思考)如何计算异分母分式的加减？ 【解答】(1)原式＝x x ＋2x －2－2x ＋22＝x x ＋2x ＋22x －2－2x －2x ＋22x －2＝x x ＋2－2x －2x ＋22x －2＝x 2＋4x ＋22x －2.(2)原式＝a 2－4＋a ＋22a ＋2＝2a a ＋2a ＋2＝2a .(3)原式＝m m ＋n m ＋n m －n －n m －nm ＋n m －n＋2mnm ＋n m －n＝m 2＋2mn ＋n 2m ＋n m －n ＝m ＋nm －n.【互动总结】(学生总结，老师点评)分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算1a ＋1＋1aa ＋1的结果是( C ) A ．1a ＋1B ．a a ＋1C ．1aD ．a ＋1a2．计算44－x 2－1x －2的结果是( D ) A ．－1x ＋2B ．1x ＋2 C ．－1x －2D ．－x －6x 2－43．计算：(1)b 3a ＋a 2b ； (2)1a －1＋21－a2；(3)x y －y x －x 2＋y 2xy. 解：(1)2b 2＋3a 26ab . (2)1a ＋1. (3)－2y x.5．已知实数a 、b 满足ab ＝1，求下列分式的值． (1)a 1＋a ＋b 1＋b ； (2)1a 2＋1＋1b 2＋1. 解：(1)原式＝a ab ＋a ＋b 1＋b＝1b ＋1＋b 1＋b＝1. (2)原式＝ab a 2＋ab ＋ab b 2＋ab ＝b a ＋b ＋aa ＋b ＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】有一客轮往返于某某和某某之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a 千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b 千米/小时(b ＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v 千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？【互动探索】某某和某某之间的路程一定，可设其为s ，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．【解答】设两次航行的路程都为s. 第一次所用时间为s v ＋a ＋s v －a ＝2vsv 2－a 2，第二次所用时间为s v ＋b ＋s v －b ＝2vsv 2－b 2.∵b ＞a ，∴b 2＞a 2， ∴v 2－b 2＜v 2－a 2， ∴2vs v 2－b 2＞2vs v 2－a2. ∴第一次的时间要短些．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；(2)比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．分式的通分2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式的加减法的法则进行计算．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 分式的混合运算教学目标 一、基本目标1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算． 2．提高学生对代数式化简变形的能力．3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值． 二、重难点目标 【教学重点】分式的混合运算及较复杂的分式化简、求值． 【教学难点】运用分式建立数学模型，从而解决实际问题． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 122～P123的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．2．化简：1－1a －2·2a －43－a ＝a －1a －3. 3．计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫1－b a ＋b ÷a a 2－b 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q. 解：(1)a －b . (2)4p4p 2－9q2.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋4x 2－4－x x ＋2÷x －1x ＋2； (2)a －52a －6÷⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －3－a －3.【互动探索】(引发学生思考)分式的混合运算需要注意哪些问题？【解答】(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22x －2x ＋2－x x ＋2÷x －1x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＋2－x x ＋2÷x －1x ＋2＝－2x ＋2·x ＋2x －1 ＝－2x －1. (2)原式＝a －52a －6÷⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －3－a 2－9a －3＝a －52a －3÷5＋a 5－aa －3＝a －52a －3·a －35＋a 5－a＝－110＋2a.【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．【例2】已知实数a 满足a 2＋2a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a ＋1a ＋3的值．【互动探索】(引发学生思考)本题没有直接给出a 的值，应该如何化简求值呢？【解答】1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a ＋1a ＋3＝1a ＋1－a ＋3a ＋1a －1·a －12a ＋1a ＋3＝1a ＋1－a －1a ＋12＝2a ＋12＝2a 2＋2a ＋1.∵a 2＋2a －8＝0，∴a 2＋2a ＝8， ∴原式＝28＋1＝29.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a 的结果为( A )A ．aB ．－aC ．(a ＋3)2D ．12．化简⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a －2÷aa －2的结果是( A ) A.a ＋2a B.a a ＋2 C.a －2a D.aa －23．化简x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x 的结果是3x.4．化简⎝⎛⎭⎪⎫1－1m ＋1(m ＋1)的结果是m . 5．甲、乙两工程队分别承担一条2 km 公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x km ，另一半时间每天维修公路y 1 km 公路时每天维修x km ，维修后1 km 公路时，每天维修y km.(x ≠y )(1)求甲、乙两队完成任务需要的时间(用含x ，y 的代数式表示)； (2)甲、乙两队哪队先完成任务？解：(1)甲队完成任务需要的时间为2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＝4x ＋y (天)．乙队完成任务需要的时间为1x ＋1y ＝x ＋y xy (天)．所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为4x ＋y 天，x ＋y xy天．(2)4x ＋y －x ＋y xy ＝4xy －x ＋y 2xy x ＋y ＝－x －y2xy x ＋y.∵x ≠y ，x >0，y >0，∴(x －y )2>0，xy (x＋y )>0，∴－(x －y )2<0，∴4x ＋y －x ＋y xy <0，∴4x ＋y <x ＋y xy，∴甲队先完成任务．活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B x ＋1，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．【解答】Ax －2－Bx ＋1＝A ()x ＋1()x ＋1()x －2－B ()x －2()x ＋1()x －2＝()A －B x ＋()A ＋2B ()x ＋1()x －2. 因为3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－Bx ＋1＝()A －B x ＋()A ＋2B ()x ＋1()x －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝3，A ＋2B ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝103，B ＝13.故4A －B ＝4×103－13＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程，求出A 、B 的值，从而求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的． 练习设计请完成本课时对应练习！。
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 3分式的加减法第3课时 分式的混合运算课件(新版)北师大版
因为 a 1 5，
a
所以
a2
1 a2
2
25，
即
a2
1 a2
23，
所以，原式=
1 24
3.已知
1 x
1 y
3，
求5 x xy 5 y
x xy y
解 因为 1 1 y x 3，
x y xy
所以 yx3xy，
的值.
所以 5 x x x x y y 5 yy5 x x y y x x y y 1 5 x 4 y x yx y7 2
a2 9
7a 2 a2 9 .
例2 已知
x y
2
xy
y2
，求xyxyx2 y2
的
值.
解：
x
x
y
x
y
y
y2 x2 y2
xx y yx y y2
x2 y2
x2 x2 y2 .
因为 x 2 ， 即x=2y，
y
所以，原式
x2 x2 y2
2 y 2 = 2 y 2 y 2
4 y2 3 y2
学习课件
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 3分式的加减法第3课时 分式的混 合运算课件（新版）北师大版
第3课时 分式的混合运算
新课导入
在前面的课程中，我们学习了同分 母分式的加减法法则和异分母分式的加 减法法则. 同分母分式的加减法法则：b c b c .
aa a
异分母分式的加减法法则：
y2 1 ； xy2 x
（2）x x 2 1 x 1
x2 x 1
x1
x2 x 1x 1
x1
x1
x2 x 1x 1
x1
1; x1
八年级下册数学(北师版)同步课件：第五章 分式与分式方程 3 分式的加减法(1)
x 1 x 1 x 1
x 1
x 2 x 1 x 3 x 1
x. x 1
1.计算：
随堂练习：挑战自我
(1). 3b x
b x
;
原式
3b b x
2b ; x
(2). a a ;
ab ba
原式 a a 2a . ab ab ab
小结▪ 分式的加减法法来自.(同分母).结束寄语
功夫不负努力的人! 再见
▪ (2)他走哪条路花费时间少?少用多长时间?
(1). 1 2 h; u 3u
这是关于分式的加 减问题，你行吗？
(2).走第一条路花费时间少,少用 1 2 3 h. u 3u 2u
扬帆出海 想一想,猜一猜
1、同分母分数加减法的法则是什么？
12 ? 55
2、你认为
1 2 ? aa
3、猜一猜,同分母的分式应该如何加减?
同分母分式加减法法则与同 分母分数加减法的法则类似
▪ 同分母分数加减法的法则: ▪ 分母不变,分子相加减. ▪ 同分母分式加减法的法则: ▪ 分母不变,分子相加减.
做一做：
尝试完成下列各题：
x2 (1).
4
x2 ?
4
x
2x
2
x
2.
x2 x2 x2
x2
(2). x 2 x 1 x 3 ?x 2 x 1 x 3
3 分式的加减法(1)
你有能力帮助小明吗?
▪ 从甲地到乙地有两条路,每一个条路都是 3km,其 中第一条是平路,第二条有1km的上坡路,2km的下 坡路.小明在上坡路上的骑车速度为ukm/h,在平路 上的骑车速度为2ukm/h,在平路上的骑车速度为 3km/h,那么:
▪ (1)当走第二条路时,他从甲地到乙地需要多长时 间?
八年级数学下册第五章分式与分式方程3分式的加减法作业设计(新版)北师大版
八年级数学下册第五章分式与分式方程3分式的加减法作业设计（新版）北师大版3 分式的加减法1．若z x 2y 2＋M ＝9x 2y 2，则M 为( ) A.z －9x 2y 2 B.9－z x 2y 2 C ．9－z xy D.z ＋9x 2y 22．若a b ＝53，则a 2a 2－b 2＋4ab －2b 2b 2－a 2＋2ab －b2a 2－b 2的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．43．已知M ＝2ab －a 2a －12，N ＝b 21－a 2，若a≠1，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M≤ND ．M≥N4．化简a 2－b 2ab －ab －b2ab －a 2等于( )A.b aB.ab C ．－b a D ．－ab 5．化简(1a ＋1b )＋(1a 2－1b 2)·ab，其结果是( )A.a 2b2a －b B.a 2b2b －a C ．1a －b D.1b －a6．化简：x 2＋4x ＋4x 2－4－x x －2＝ .7．若x 2－6x ＋9与|y －2|互为相反数，则x 2xy －y 2＋y2y 2－xy 的值为 .8．阅读下面题目的计算过程：x －3x 2－1－2－2x 1－x 2＝x －3x 2－1－2x －2x 2－1①＝x －3－2x ＋2②＝－x －1.③(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？请写出该步骤的代号 ；(2)错误原因是 ；(3)本题的正确结论是 .9．计算：（1）x ＋yy －x ＋y x －y －2x －yy －x ；（2）x 2－5x －2－x x －2－1＋x 2－x.10．先化简，再求值：(a 2a －2－1a －2)÷a 2－2a ＋1a －2，其中a ＝3.11．已知(x －3)2与2|y －2|互为相反数，试求2xy －y 3x －2y ＋xy －22y －3x ＋x －33x －2y的值．12．已知A ＝x x 2－y 2，B ＝y y 2－x 2. (1)计算：A ＋B 和A －B ；(2)若已知A ＋B ＝2，A －B ＝－1，求x 、y 的值．参考答案1.B2.B3.C4.B5.B6. 2x －27. 528. (1) ② (2) 丢了分母 (3) －1x －19.【解】（1）原式＝1.（2）原式＝x ＋2.10.【解】原式＝a ＋1a －1，当a ＝3时，原式＝3＋13－1＝2. 11.【解】根据题意，得(x －3)2＋2|y －2|＝0，∴x ＝3，y ＝2.∴原式＝2xy －y －xy ＋2＋x －33x －2y ＝xy －y ＋x －13x －2y ＝3×2－2＋3－13×3－2×2＝65. 12.【解】(1)由题意A ＝x x 2－y 2，B ＝y y 2－x 2， A ＋B ＝x x 2－y 2＋y y 2－x 2＝x －y x ＋y x －y ＝1x ＋y . A －B ＝x x 2－y 2－y y 2－x 2＝x ＋y x ＋y x －y ＝1x －y . (2)∵A ＋B ＝2，∴1x ＋y＝2. 由倒数的意义得x ＋y ＝12. ∵A －B ＝－1，∴1x －y＝－1， ∴x －y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12x －y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－14y ＝34.。
北师大版八下数学第五章分式与分式方程第3节《分式的加减(3)》参考课件
1、计算
2、甲，乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在 甲，乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%而 从甲地到乙地的时间缩短了2h，试确定原来的平均车速。
3、八年级（1）班学生周末坐车到风景区游览，风景区 距学校100公里。一部分学生坐慢车先行，出发1小后， 另一部分学生坐快车前往，结果快车比慢车还早到1小时。 已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度。
初中数学课件
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第五章分式与分式方程
3分式的加减法（三）
例6
解：原式
解：原式
记得通分后分 子添括号哦！
1.计算：
例6已知 ，求
解;原式
因为
即
所以，原式
的值.
还有其它 接法吗？
先化简，再求值：
（1）已知
,求
（2）已知
，求
的值. 答案： 的值.答案：
根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲 道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比 原计划增加10m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲 道xm，那么 （1）原计划修建这条盲道需少天?实际修建这条盲道用了 多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?
解:(1)原计划修建需
天,
实际修建需
天;
(2)实比原计划缩短了
天.
某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可 分别进水at，bt．若单独开放A进水管，ph可将 该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那 么能提前多长时间将该蓄水池注满？
答案：h.
1、异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。 2、分式的化简求值及变形。 3、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将 更有助于解题。
北师大版八年级数学下册《五章 分式与分式方程 3. 分式的加减法 分式加减的综合练习》公开课课件_1
1、x y ab
2、x y x2 y2 y x xy
例5：(1) y 1 xy x xy x
(2) x2 x 1 x 1
a
1 a 1
(3) a 3 a2 9 a 3
m，那么：
（1）原计划修建这条盲道需少天?实际修建这 条盲道用了多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了 几天?
2、先化简，再求值：
（1）已知
a
1 10
,
a
求
a
2
1 1
a 1 1 a
的值.
（2）已知
4xy
x 3y，求 x2 y 2
x y x y
的值.
1、一项工程，甲单独做ah完成，乙单独做bh完 成，甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？
1、计算：
(1) 2 1 x 1
(2) n 1 n 1 m 1
例6 已知
x y
2
，求
x
x
y
x
y
y
x2y2 y2的.根据规划设计，某工程队准备修建一条 长 1 120 m 的盲道．由于采用新的施工方式， 实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m，
从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道 x
1、课本P124知识技能第1题（3），第2题（1） 2、《课堂精炼》相关练习题。
2、某蓄水池装有 A，B 两个进水管，每时可分 别进水 a t，b t．若单独开放 A 进水管，p h 可 将该水池注满．如果 A，B 两根水管同时开放， 那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
北师大版八年级数学下册《五章 分式与分式方程 3. 分式的加减法 分式加减的综合练习》公开课教案_13
课题：分式加减的综合练习一、教材内容分析（1）本节课是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级（下册）第五章第三节第3课时（2）分式的加减在教材中安排了两个课时。
第一课时安排了同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算及其应用。
第二课时则讲述异分母分式加减运算及分式的通分，其中也涉及到应用。
在教学中，因为学生计算能力较弱，所以，在讲课过程增加了一个课时，前两课时注重计算，第三课时注重应用。
既注重基本功训练，又对知识进行了能力训练。
二、学情分析学生在小学已经学习了同分母分数加减及异分母分数的加减运算，并且经历过用字母表示数量关系的过程。
由此类比分式的加减，可以得到分式的加减法法则。
在运算过程中与分解因式、约分和整式运算等有密切的联系，因此，可以加强知识间的纵向联系。
在相关知识的学习过程中，学生经历过从实际问题建模的思想，所以最后有知识的实际应用，增强学生用数学的意识和能力。
三、目标分析1.会进行分式的化简运算.2.分式化简后，能够根据要求选择合适的数带入求值.四、重难点分析重点：同分母分式及简单的异分母分式加减法的运算法则。
难点：运用运算法则正确求解分式计算问题。
五、学习方法分析以信息技术与数学学科整合的思想为指导，采用了：提出问题→自主探索→交流讨论→归纳总结的方式。
这种方式有利于培养学生良好的思维习惯和探索能力。
六、学习过程一、热身训练1.若分式 有意义，则x 应满足_________________2.使式子 有意义的x 的取值范围是_________________3.化简4. 化简5. 化简 设计意图：通过回顾上节课的知识，为本节课的学习奠定基础。
二、反思提高通过以上习题，请反思过后回答下面的问题：1、分式有意义的条件是什么？2、如何进行分式的加法运算？3、如何进行分式的乘除运算？24(1)(2)x x x -+-111x +-211x x x x+--2n n m m m÷-22x x ++4、分式化简的最终结果必须满足什么条件？5、分式化简的过程中，如果有一项是整式，例如 中的“x ”项该如何处理？设计意图：通过对知识的归纳总结，提高学生思考，归纳的能力，起到巩固知识的作用。
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第一章三角形的证明1. 等腰三角形2. 直角三角形3. 线段的垂直平分线4. 角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1. 不等关系2. 不等式的基本性质3. 不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1. 图形的平移2. 图形的旋转3. 中心对称4. 简单的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1. 因式分解2. 提公因式法3. 公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1. 认识分式2. 分式的乘除法3. 分式的加减法4. 分式方程回顾与思考复习题第六章平行四边形1. 平行四边形的性质2. 平行四边形的判定3. 三角形的中位线4. 多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践⊙生活中的“一次模型”综合与实践⊙平面图形的镶嵌总复习1、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seenthe Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn'thave known my way about.The weather was splendid on that day, which I thought was rare. I still remember some peopletold me that in Britain there was weather and no climate. During the same day, it might snow in the morning, rainat noon, shine in the afternoon and be windy before the night falls. So I think I was lucky。
北师大版八年级数学下册《五章 分式与分式方程 3. 分式的加减法 分式加减的综合练习》公开课课件_3
3．分式的加减法（三） 分式加减的综合练习
教学目标
1.提高学生对代数式化简变形的能力，进一 步巩固分式混合运算的方法，能利用给定条件 求分式的值.
2.能利用事物之间的类比性解决问题，培养 学生有条理地思考问题和表达运算过程的能力.
3.鼓励“算法多样化”，通过交流展示，敢 于发表自己的观点，尊重理解他人，并从交流 中获益.
四、课堂小结
五、当堂检测
先化简，再求值：
六、分层选做）
一、知识回顾
知识梳理一：同分母分式的加减法 同分母分式相加减，__分__母__不__变__，_分__子__相__加__减____. 知识梳理二：异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先__通__分___，化为_同__分__母__的__分__式___，然后按 _同__分__母__分__式__的__加__减__法__法__则______进行计算。
知识梳理三：分式的加、减、乘、除、混合运算 分式的混合运算与分数的混合运算一样，其运算顺序是先算 _乘__方__ ， 再 算 _乘__除__ ， 最 后 算 _加__减__ ， 有 括 号 时 先 算 _括__号__里__面__的_____.
二、夯实基础
3.计算：
三、能力提升
1.先化简，再求值：
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x2
m 2n 4m n (3) mn mn
x 2 x 1 x 3 (4) x 1 x 1 x 1
x 2 ( x 1) ( x 3) 解：原式 x 1
x x 1
记得给多项式的分 子添括号，所得结 果要化简哦！
m 2n ( 4m n) 解：原式 mn
m 5n 6n m (1) n 9m 9m n 9m n
x 2y x y x 4y (2) x y x y x 4y
x y 1 x y
分母互为相反式时，改 变一下运算符号即可变 为同分母哦！
a 2 1 2a a 1 a 1
a 2 -2a+1 = a-1
(a-1) 2
(1)
2a b 2 a b b 2a
答 (1)1 案：
3m 3n mn
3(m n) 3 mn
(1)
m 1 n m x x
答 案：
(1)
n 1 x
a2 2ab b 2 ( 2) ab ab
( 2) a b
(3)
x 2 y 7x y 2x y 2x y
(3) 3
例2 计算： x y (1) x y x y x y 解：原式 x y x y
第五章 分式与分式方程
3 分式的加减法（一）
1 2 1 3 3
1 2 1 7 7 7
1 3 1 8 8 2
7 5 1 12 12 6
类比猜想时记得约分哦
1 2 3 a a a
2 1 1 x x x
3 5 4 2b 2b b
1 7 4 3y 3y y
(2)
2 x 1 x 1 1 x
(2)
3 x x 1
(3)
m 2n n 2n nm mn nm
(3) 1
1、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加 减。分母不变，把分子相加减。 2、学会用转化的思想将分母互为相反式的 分式 加减运算转化成同分母分式的加减法。 3、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行 加减运算。 4、类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方 法去分析和解决问题。
运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
b c bc 用式子表示为： a a a
a b a b (1) ab ab
x2 4 (2) x2 x2
a b ( a b) 解：原式 ab
x2 4 解：原式 x2
2b 2 ab a
( x 2)( x 2) x2