黑龙江省青冈一中2018届高三第一次模拟考试理数试卷Word版含答案

2017-2018高三学年第一次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}034|{2≥++=x x x A ，}12|{＜x x B =，则=B A ( )A ．)0,1[]3,(---∞B ．]1,3[--C ．]0,1(]3,(---∞D ．)0,(-∞ 2.若复数z 满足232+=-z z i ， 其中i 为虚数单位，则z =( )A. 12+iB. 12-iC. 12-+iD. 12--i 3．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为 A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4．命题:p 2,,22<+∈y x R y x ，命题:q 2||||,,<+∈y x R y x ,则的是q p ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件5．若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+206202x y x y x ，则目标函数22y x z +=的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．9686.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积等于( ) 3cmA ．243π+B ．342π+ C ．263π+ D ．362π+7．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。

美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。

程序框图如图所示，若输入ξ,,n a的值分别为8,2,0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ） A. 2.81 B. 2.82 C. 2.83 D. 2.848.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①α∥β⇒⊥l m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是（ ）A ．①②③ B.②③④ C.①③ D.②④9．一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是 ( )A．B．C．D．10．已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．4 D11．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A ．+2 B ．+1 C ．+1 D ．+112．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是 . 14.在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.15. 在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________． 16．已知函数f (x )=-0.5x 2+4x-3ln x 在[t ,t+1]上不单调,则t 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．18．(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，ABF ∠为直角，1//,1,2BF AB A BF E ==平面ABCD ⊥平面ABFE . （1）求证：EC DB ⊥；（2）若,AB AE =求二面角B EF C --的余弦值. 20．（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5---7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .附表及公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，左焦点为)0,1(-F ，过点)2,0(D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，是否存在定点E ，使⋅恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．21（本小题满分12分）已知函数()xexf x e =，()2ln g x ax x a =--（,a R e ∈为自然对数的底数）. （1）求()f x 的极值；（2）在区间(0,]e 上，对于任意的0x ，总存在两个不同的12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求a 的取值范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（为参数，为大于零的常数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为：.（Ⅰ）若曲线与有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切于点，求的最大值.数学（理科）试卷参考答案一、选择题：ABBAB;DDCBD;DC二、填空题: 13．甲 14. 112 15.14 16.(0,1)∪(2,3) 三、解答题。

17．【解析】 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 18. 解：（1）90,//=∠EAB BF AE ABFE 为直角梯形，底面AB BF AB AE ⊥⊥∴, AB ABFE ABCD ABFE ABCD =⊥平面平面平面平面 ,ABCD BF ABCD AE 平面平面⊥⊥∴. BC BF ⊥∴设轴建立如图坐标系所在的直线分别为以z y x BC BF BA t AE ,,,,,=， ())0,,1(),1,0,1(),1,0,0(,0,0,0t E D C B 则)1,,1(),1,0,1(t EC DB --=--=EC DB EC DB ⊥∴=∙0 …………………6分(2)的一个法向量是平面）知由（BEF BC )1,0,0(1=的法向量是平面设CEF z y x ),,(=)0,2,0(),0,1,1(,1F E AB AE ∴== )1,2,0(),1,1,1(-=-=∴00=-+⇒=∙z y x 由,020=-⇒=∙z y 由的一个法向量是平面故得令CEF y x z )2,1,1(,1,1,2====36==∴,即二面角36的余弦值为B EF C --……………12分 19．解：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x y >∴由几何概型()11112228P A ⨯⨯==⨯即乙比甲先解答完的概率18 （3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612C C ⋅=种；两人都被抽到有121C =种， ∴X 可能取值为0，1，2，()15028P X ==，()1231287P X ===，()1228P X ==X 的分布列为：∴()1512110122828282E X =⨯+⨯+⨯=20.（1）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==122c a c ，解得1,222==b a 所求的椭圆方程为1222=+y x ……4分（2）设过点D （0,2）且斜率为k 的直线l 的方程为y=kx+2,由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21222kx y y x 消去y 整理得：068)21（22=+++kx x k 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=﹣又y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=﹣，y1+y 2=（kx1+2）+（kx 2+2）=k （x 1+x 2）+4=设存在点E （0，m ），则，所以== ……………8分要使得 （t 为常数），只要=t ，从而（2m 2﹣2﹣2t ）k 2+m 2﹣4m +10﹣t=0即由（1）得 t=m 2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点，使 恒为定值．……………12分21解析：（1）因为e ()exxf x =，令()0f x '=，得1x =． 当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x ∈∞+时，()0f x '<，()f x 是减函数． 所以()f x 在1x =时取得极大值()11f =，无极小值． （2）由（1）知，当(0,1)x ∈时，()f x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()f x 单调递减.又因为1e(0)0,(1)1,(e)e e 0f f f -===⋅>，所以当(0,e]x ∈时，函数()f x 的值域为(]0,1. 当0a =时，()2ln g x x =-在(0,e]上单调，不合题意；当0a ≠时，2e a >． 此时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下：所以对任意给定的(]00,e x ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的1x ， 2x 22．【解析】：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.若与有公共点，则，所以.（Ⅱ）设，由得，当且仅当时取最大值，故的最大值为.。