江苏省淮安市2015-2016学年高一下学期数学期末试题 扫描版缺答案
江苏省徐州市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为．2．在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4=．3．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n=．5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．7．某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是．8．若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于．9．已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是．10．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是．11．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为．12．已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是．13．已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值X围是．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值X围为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．18．已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，某某数k的取值X围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，某某数k的取值X围．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．（1）按下列要求建立函数关系；（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值X围．2015-2016学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为\frac{1}{2} ．【考点】直线的斜率．【分析】直接利用直线的斜率公式可得．【解答】解：∵过M（﹣1，2），N（3，4）两点，∴直线的斜率为： =，故答案为：．2．在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4= 16 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：S4===16．故答案为：16．3．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n= 60 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，利用样本容量与频率、频数的关系，即可求出样本容量n．【解答】解：根据分层抽样原理，得；样本中A种型号产品有12件，对应的频率为：=，所以样本容量为：n==60．故答案为：60．5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为\frac{1}{12} ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其点数之和大于10的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12∵两次抛掷骰子总共有36种情况，而和大于10的只有：（5，6），（6，5），（6，6）三种情况，∴点数之和大于10的概率为： =．故答案为：．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为56 ．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，I=0，满足条件I＜6，执行循环，I=2，S=4满足条件I＜6，执行循环，I=4，S=20满足条件I＜6，执行循环，I=6，S=56不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为56．7．某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是\frac{8}{5} ．【考点】茎叶图．【分析】由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某班的小品打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式及方差公式，即可得到所剩数据的平均数和方差．【解答】解：由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，84，86，87，93去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数==85方差S2= [（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=，故选：．8．若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于126 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知，数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后直接利用等比数列的前n项和公式得答案．【解答】解：由a n+1﹣2a n=0（n∈N*），得，又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则．9．已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是13 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（5，3），代入目标函数z=2x+y得z=2×5+3=13．即目标函数z=2x+y的最大值为13．故答案为：13．10．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是\frac{4}{9π}．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：如图所示：∵S正=1，S圆=π（）2=，∴P==．则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是故答案为：．11．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为等腰三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可．【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．12．已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可．【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=∴a=﹣1 a=2，当a=2时，两直线重合．∴a=﹣1故答案为：﹣113．已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值X围是（﹣∞，﹣\sqrt{3}]∪[\sqrt{3}，+∞）．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式得+10a1d+15=0，从而d=﹣﹣a1，由此利用均值定理能求出实数d的取值X围．【解答】解：∵等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，∴+15=0，∴+10a1d+15=0，∴d=﹣﹣a1，当a1＞0时，d=﹣﹣a1≤﹣2=﹣，当a1＜0时，d=﹣﹣a1≥2=，∴实数d的取值X围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值X围为[1，\frac{8}{3}]．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．【解答】解：设xy=m，则x=，∵，∴++3y+=10，整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，∵x，y是正实数，∴△≥0，即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，解得1≤m≤，或m≤0（舍去）∴xy的取值X围是[1，]故答案为：[1，]二、解答题（共6小题，满分90分）15．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．【考点】直线的倾斜角；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）求出tanA，根据二倍角公式，求出tan2A的值即可；（2）根据同角的三角函数的关系分别求出sinA和cosA，代入两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：（1）由4x﹣3y+12=0，得：k=，则tanA=，∴tan2A==﹣；（2）由，以及0＜A＜π，得：sinA=，cosA=，cos（﹣A）=cos cosA+sin sinA=×+×=．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=4，S5=30，可得，联立解出即可得出．（2）==，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）证明： ==，∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∴T1≤T n，∴≤T n＜．18．已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，某某数k的取值X围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，某某数k的取值X围．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）由k的值，得到f（x）解析式，由此得到大于0的解集．（2）由f（x）＞0恒成立，得到判别式小于0恒成立．（3）由两个不同的零点，得到判别式△＞0，由两点均大于，得到对称轴大于，和f（）＞0．【解答】解：（1）若k=时，f（x）=x2﹣x．由f（x）＞0，得x2﹣x＞0，即x（x﹣）＞0∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞}（2）∵f（x）＞0对任意x∈R恒成立，则△=（﹣k）2﹣4（2k﹣3）＜0，即k2﹣8k+12＜0，解得k的取值X围是2＜k＜6．（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，则有，解得，∴实数k的取值X围是（6，）．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．（1）按下列要求建立函数关系；（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）求出AN，AM，即可建立函数关系；（i）设AN=x米，先求出AM的长，即可表示出矩形AMPN的面积；（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM与AN的长度，即可表示出S关于θ的函数表达式；（2）选择（ii）中的函数关系式，化简，由基本不等式即可求出最值．【解答】解：（1）（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴=，∴，∴BM=，由于，则AM=∴S=AN•AM=，（x＞2）（ii）在Rt△MBC中，tanθ=，∴MB=，∴AM=3+，在Rt△CDN中，tanθ=，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，∴S=AM•AN=（3+）•（2+3tanθ），其中0＜θ＜；（2）选择（ii）中关系式∵S=AM•AN=（3+）•（2+3tanθ），（0＜θ＜）；∴S=12+9tanθ+≥12+2=24，当且仅当9tanθ=，即tanθ=时，取等号，此时AN=4答：当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值X围．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）由a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*，可得a2+a1=1，a3+a2=5，相减可得a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，可得2d=4，解得d．（2）由a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，可得a n+2﹣a n=4，a2=4．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．对n分类讨论利用等差数列的求和公式即可得出．（3）由（2）可知：a n=．当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=﹣4n2+16n﹣10，求出其最大值即可得出．当n为偶数时，同理可得．【解答】解：（1）∵a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*，∴a2+a1=1，a3+a2=5，∴a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，则2d=4，解得d=2．∴2a1+2=1，解得a1=﹣．（2）∵a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，∴a n+2﹣a n=4，a2=4．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．∴a2k﹣1=﹣3+4（k﹣1）=4k﹣7；a2k=4+4（k﹣1）=4k．∴a n=，∴当n为偶数时，S n=（a1+a2）+…+（a n﹣1+a n）=﹣3+9+…+（4n﹣3）==．当n为奇数时，S n=S n+1﹣a n+1=﹣2（n+1）=．∴S n=．（3）由（2）可知：a n=．当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6，当n=1或3时，[f（n）]max=2，∴﹣a1≥2，解得a1≥2或a1≤﹣1．当n为偶数时，a n=2n﹣3﹣a1，a n+1=2n+a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得： +3a1≥﹣4n2+16n﹣12，令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4，当n=2时，[f（n）]max=4，∴+3a1≥4，解得a1≥1或a1≤﹣4．综上所述可得：a1的取值X围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．。
2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★★★★)若集合M={1，2}，P={1，3}，则M∩P等于 {1} ．2．(★★★★)函数y=3sin（2x+ ）的最小正周期为π．3．(★★★)已知t，s是实数，向量不共线，且，则t+s=1 ．4．(★★★★)已知，则= ．5．(★★★★)若，且，则x= 2 ．6．(★★★★)已知x 2+ax+b＜0的解集为（1，3），则a+b= -1 ．7．(★★★)若函数y=a x（a＞0且a≠1）在0，1上的最大值与最小值之和为3，则a=2 ．8．(★★★★)已知，则cosα= - ．9．(★★★★)已知函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为．10．(★★★)函数的值域为 4，+∞）．11．(★★★)若，，则= 2 ．12．(★★★)已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为{a|a≤0} ．13．(★★★)已知函数f（x）=x 2-cosx，x∈-2，2，若f（2m-1）＞f（m），则m的取值范围为 - ，）∪（1，．14．(★★)已知函数在上单调递增，则ω的取值范围为．二、解答题（每题5分，满分0分，将答案填在答题纸上）15．(★★★★)已知点P在角α的终边上，且坐标为（-1，2）．（1）求sinα和cosα的值；（2）求的值．16．(★★★)函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＞）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象先向右平移个单位，再将所得图象的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．17．(★★★)已知R上奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，x∈0，1时，．（1）求的值；（2）当x∈-1，3时，求f（x）的解析式；（3）若，求x的值．18．(★★★)△ABC中，E是边AC的中点，=4 ．（1）若=x +y ，求x，y的值；（2）已知AB=2，AC=4，∠BAC=60o，求•的值．19．(★★)如图，矩形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上（点E、F、G与矩形的顶点不重合且矩形的边AD足够长）．（1）若AE=1，BE=2，试问：△EFG能否为等边三角形？若能，求出等边△EFG的边长；若不能，说明理由；（2）若△EFG为等边三角形，且边长为2，求AE•BE的取值范围．20．(★★)已知函数f（x）=x|x-a|（1）a=3时，求f（x）=x的根；（2）若f（x）＜1在x∈，上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求f（x）在x∈0，2上的最大值g（a），并求g（a）的最小值．。
江苏省淮安市高一数学下学期期末考试试题
第5题图江苏省淮安市2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1.已知集合{0,1},{},{0,1,2}A B a A B ===U ，则实数=a ▲ .2．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ .3.已知角α的终边经过点(4,3)P -，则4.数据1,2,3,3,6的方差为 ▲ .5. 的k 的值是 ▲ .6.一个骰子（六个面分别标有玩具）连续掷2次，向上点数和为37.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，410S =，则6S = ▲ .8. 已知实数y x ,满足条件00230x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪-⎩≥≥≤≤，的最大值为 ▲ .9.在ABC ∆中，若c b a ,,分别是角,,A B C 所对的边，2220a b c ab +-+=，则角C = ▲ .10. 已知函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调增区间为[]0,m ，则实数m 的值为 ▲ .11.在ABC ∆中, 已知=2CD BD u u u r u u u r ，若=AD AB uAC λ+u u u r u u u r u u u r，,u R λ∈，则u λ= ▲ .12.已知函数(),()f x g x 分别是定义域为R 奇函数和偶函数，且()()231x f x g x x -=-+，则(2)(2)f g += ▲ .13.在ABC ∆中，若c b a ,,分别是角,,A B C 所对的边，已知A bc B ac C ab cos cos cos +=,则)tan 1tan 1(sin BA C +⋅的最小值为 ▲ . 14.已知,a b 是函数2()(0,0f x x mx n m n =-+>>）的两个不同的零点，且,,4a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则m n += ▲ . 二、解答题：本大题共5小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公比1q >，若22a =，37S =。
2015-2016年江苏省淮安市淮阴区高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）cos96°cos24°﹣sin96°cos66°=．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则a n=．5．（5分）在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则角A=．6．（5分）设x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为．7．（5分）已知数列{a n}中，a n=，设数列{a n}的前n项和为S n，则S9=．（用数字作答）．8．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是．9．（5分）设cos（α﹣）=，α∈（，），则cosα的值为．10．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n﹣3，则数列{a n}的通项公式为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，b=1，=．△ABC的外接圆半径为1，则S△ABC12．（5分）已知α∈（0，），β∈（0，），若tan（α+β）=2tanβ，则当α取得最大值时，tan2α=．13．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为．14．（5分）已知数列{a n}的通项为a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•a3…a n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β﹣）=，sin（α+β）=．（1）求sin2β的值；（2）求cos（α+）的值．16．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明{a n}是等差数列．17．（14分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？18．（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．（1）若CM=，求AM的长；（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN 的最小面积时MN的长．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．20．（16分）设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N+，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{cos（n+1）π}的前n项和T n．2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）cos96°cos24°﹣sin96°cos66°=﹣．【解答】解：原式=cos96°cos24°﹣sin96°cos（90°﹣24°）=cos96°cos24°﹣sin96°sin24°=cos（96°+24°）=cos120°=﹣故答案为2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为101．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=2，∴a51=1+50×2=101．故答案为101．3．（5分）函数y=的定义域为[﹣3，4] ．【解答】解：要使函数有意义，则12+x﹣x2≥0，即x2﹣x﹣12≤0，即﹣3≤x≤4，故函数的定义域为[﹣3，4]，故答案为：[﹣3，4]．4．（5分）等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则a n=2n﹣2．【解答】解：由a3=2，a6=16，则，解得，则a n=•2n﹣1=2n﹣2，故答案为：2n﹣25．（5分）在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则角A=600．【解答】解：∵由余弦定理可得：cosA===．∵0＜A＜108°，∴解得：A=60°．故答案为：60°．6．（5分）设x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为1．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，由对数的运算性质可得，log2xy=2，∴xy=4，∴=1，当且仅当x=y=2时取等号，最小值为1，故答案为：1．7．（5分）已知数列{a n}中，a n=，设数列{a n}的前n项和为S n，则S9=377．（用数字作答）．【解答】解：S9=（20+22+24+26+28）+（3+7+11+15）=+36=341+36=377，故答案为：3778．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2] ．【解答】解：画可行域如图，画直线0=y﹣x，平移直线0=y﹣x过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0=y﹣x过点B（2，0）时z有最小值﹣2；则z′=y﹣x的取值范围是[﹣2，1]，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．9．（5分）设cos（α﹣）=，α∈（，），则cosα的值为．【解答】解：∵cos（α﹣）=，α∈（，），∴sin（α﹣）==，∴cosα=[（α﹣）+]=cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin=×﹣×=．故答案为：．10．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n﹣3，则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣2）﹣（2n﹣1﹣2）=2n﹣1当n=1时，a1=﹣1，不满足上式；∴故答案为：11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，b=1，=．△ABC的外接圆半径为1，则S△ABC【解答】解：由正弦定理可得：a=2RsinA=2×=，sinB===，由a=，可得B为锐角，从而解得：B=．故解得：C=π﹣A﹣B==．则S=absinC==．△ABC故答案为：．12．（5分）已知α∈（0，），β∈（0，），若tan（α+β）=2tanβ，则当α取得最大值时，tan2α=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（0，），∴tanα＞0，tanβ＞0，∵tan（α+β）=2tanβ，可得：=2tanβ，∴整理可得：tanα==≤=，当且仅当=2tanβ，即tanβ=时，tanαmax=，此时，可得：tan2α===．故答案为：．13．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为．【解答】解：由{a n}是正项等比数列，a7=a6+2a5，可得：q2=q+2，解得：q=2或a=﹣1（舍去）∵=4a 1∴可得：a n•a m=16a12=．∴m+n=6．则，那么：（+）（）=+=当且仅当3m=n时，即m=1.5，n=4.5取等号．故得+的最小值为：．14．（5分）已知数列{a n}的通项为a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•a3…a n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为2026．【解答】解：∵a n=log n+1（n+2）∴a1•a2…a n=log23•log34…log n+1（n+2）=••…==log2（n+2）若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k在（1，2012]内的所有整数分别为：22﹣2，23﹣2，…，210﹣2∴所求的数的和为22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣18=2026．故答案为：2026．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β﹣）=，sin（α+β）=．（1）求sin2β的值；（2）求cos（α+）的值．【解答】解：（1）法一：∵cos（β﹣）=cos cosβ+sin sinβ=cosβ+sinβ=．∴cosβ+sinβ=．∴1+sin2β=，∴sin2β=﹣．法二：sin2β=cos（﹣2β）=2cos2（β﹣）﹣1=﹣．（2）∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β﹣＜，＜α+β＜．∴sin（β﹣）＞0，cos（α+β）＜0．∵cos（β﹣）=，sin（α+β）=，∴sin（β﹣）=，cos（α+β）=﹣．∴cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]=cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）=﹣×+×=．16．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明{a n}是等差数列．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=n2+2n，∴a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，则当n=1时，满足a n=2n+1，综上都有a n=2n+1．（Ⅱ）∵a n﹣a n﹣=2（n+1）+1﹣2n﹣1=2，为常数，∴{a n}是首项为3，公差为2的等差数列．17．（14分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），（4分）当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）18．（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．（1）若CM=，求AM的长；（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN 的最小面积时MN的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．∵CM=，∴CM2=AC2+AM2﹣2AC•AMcosA；即13=16+AM2﹣4•AM，解得AM=1或AM=3．（2）设∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理得：∴．在△ACM中，由正弦定理得：∴．∴==，∵0°≤α≤60°∴60°≤2α+60°≤180°，∴0≤sin（2α+60°）≤1∴当α=15°时，△MCN的面积最小为：24﹣12，此时MN最小值为：==8．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，1，4是方程ax2+（b﹣2）x+c=0的两根，且a＞0，由韦达定理得，1+4=，1×4=，即有b=2﹣5a，c=4a，因为方程f（x）=x有两个相等的实数根，所以（b﹣1）2﹣4ac=0，消去b，c得a=1或（舍去），b=﹣3，c=4，所以f（x）=x2﹣3x+4；（Ⅱ）由题意，不等式x2﹣（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，设g（x）=x2﹣（m+3）x+4其图象的对称轴方程为x=，当＞1即m＞﹣1时，有g（）=＞0，得﹣1＜m＜1，当≤1即m≤﹣1时，有g（1）=2﹣m≥0，得m≤﹣1，综上，m＜1；（Ⅲ）方程x2﹣（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）2﹣16，当△＜0即﹣7＜m＜1时，不等式的解集为R；当△=0时：m=﹣7时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；m=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；当△＞0即m＜﹣7或m＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}．20．（16分）设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N+，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{cos（n+1）π}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n=（m+1）﹣ma n，=（m+1）﹣ma n+1，∴S n+1两式相减得：a n=ma n﹣ma m+1，+1=•a n，整理得：a n+1又∵a1=m+1﹣ma1，即a1=1，∴数列{a n}是以1为首项、为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知b1=2a1=2，∵b n=，∴=+1，∴数列{}是以为首项、1为公差的等差数列，∴=+n﹣1=，∴数列{b n}的通项公式b n=；（3）解：由（2）可知==（2n﹣1）2n，∵cos（n+1）π=，∴cos（n+1）π=（﹣1）n﹣1（2n﹣1）2n，∴T2n=1•2﹣3•22+5•23﹣7•24+…+（4n﹣3）•22n﹣1﹣（4n﹣1）•22n=1•2+3•22+5•23+7•24+…+（4n﹣3）•22n﹣1+（4n﹣1）•22n﹣2[3•22+7•24+…+（4n ﹣1）•22n]，记P2n=1•2+3•22+5•23+7•24+…+（4n﹣3）•22n﹣1+（4n﹣1）•22n，则2P2n=1•22+3•23+5•24+7•25+…+（4n﹣3）•22n+（4n﹣1）•22n+1，∴﹣P2n=2+2（22+23+24+…+22n）﹣（4n﹣1）•22n+1=2+2•﹣（4n﹣1）•22n+1=﹣6﹣（4n﹣3）•22n+1，∴P2n=6+（4n﹣3）•22n+1，记Q2n=3•22+7•24+…+（4n﹣1）•22n，则4Q2n=3•24+7•26+…+（4n﹣1）•22n+2，∴﹣3Q2n=3•22+4（24+26+…+22n）﹣（4n﹣1）•22n+2，=12+4•﹣（4n﹣1）•22n+2=﹣﹣（4n﹣）•22n+2，∴Q2n=+•22n+2，∴T2n=P2n﹣2Q2n=6+（4n﹣3）•22n+1﹣﹣•22n+2=﹣﹣•22n+1，=T2n﹣（﹣1）2n﹣1（4n﹣1）22n∴T2n﹣1=﹣﹣•22n+1+（4n﹣1）22n=﹣+•22n，综上所述，T n=．。
2016年江苏省淮安市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2015-2016学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={a}，A∪B={0，1，2}，则实数a=．2．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．3．（5分）已知角α的终边过点P（4，﹣3），则sinα的值是．4．（5分）数据1，2，3，3，6的方差为．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是．6．（5分）一个骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6的玩具）连续掷2次，向上点数和为3的概率．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S4=10，则S6=．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则3x+y的最大值为．9．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，a2+b2﹣c2+ab=0，则角C=．10．（5分）已知函数y=3sin（2x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，m]，则实数m的值为．11．（5分）在△ABC中，已知，若，λ，u∈R，则λu=．12．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义域为R奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=2x﹣3x+1，则f（2）+g（2）=．13．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知abcosC=accosB+bccosA，则sinC•（+）的最小值为．14．（5分）已知a，b是函数f（x）=x2﹣mx+n（m＞0，n＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则m+n=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且公比q＞1，若a2=2，S3=7．（1）求通项公式a n及S n；（2）求a12+a22+…+a n2的值．16．（14分）某高级中学共有学生4000名，各年级男、女生人数如表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高一年级女生的概率是0.15．（1）求高一女生人数x和高二学生总数；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，问应在高二年级抽取多少名？（3）已知y≥705，z≥705，求高二年级中男生比女生多的概率．17．（14分）已知sin（﹣α）+sinα=，cosβ=且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．18．（16分）某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？19．（16分）已知函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b 的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．20．（16分）数列{a n}满足：a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1=，且a1=1，a2=2，a3=3．（1）求A，B值；（2）证明：{a n}是等差数列；（3）已知b n=2an，若满足a i＜m，b j＜m，且存在a i，b j使得a i+b j=m成立的所有a i，b j之和记为S（m），则当n≥2，n∈N*时，求S（22）+S（23）+S（24）+…+S （2n）．2015-2016学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={a}，A∪B={0，1，2}，则实数a=2．【解答】解：∵A={0，1}，B={a}，A∪B={0，1，2}，∴a=2，故答案为：22．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数中，振幅A=1，初相φ=，且ω=2∴函数的最小正周期为T==π故答案为：π3．（5分）已知角α的终边过点P（4，﹣3），则sinα的值是﹣．【解答】解：由题意可得，x=4，y=﹣3，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故答案为：﹣．4．（5分）数据1，2，3，3，6的方差为．【解答】解：数据1，2，3，3，6的平均数==3，∴数据1，2，3，3，6的方差：S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]=．故答案为：．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是7．【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构，第一次循环：S=100﹣20=99，k=1；第二次循环：S=99﹣2=97，k=2；第三次循环：S=97﹣22=93，k=3；第四次循环：S=93﹣23=85，k=4；第五次循环：S=85﹣24=69，k=5；第六次循环：S=69﹣25=37，k=6；第七次循环：S=37﹣26=﹣27，k=7．∵S=﹣27＜0，∴输出k=7．故答案为：7．6．（5分）一个骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6的玩具）连续掷2次，向上点数和为3的概率．【解答】解：一个骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6的玩具）连续掷2次，基本事件总数n=6×6=36，向上点数和为3包含的基本事件有（1，2），（2，1），共有m=2个，∴向上点数和为3的概率p=．故答案为：．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S4=10，则S6=21．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S4=10，∴，解得d=1，∴=21．故答案为：21．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则3x+y的最大值为4．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，设z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z最大．由得．即A（1，1），此时z的最大值为z=3×1+1=4，故答案为：4；9．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，a2+b2﹣c2+ab=0，则角C=．【解答】解：△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，a2+b2﹣c2+ab=0，则cosC==﹣，∴C=，故答案为：．10．（5分）已知函数y=3sin（2x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，m]，则实数m的值为．【解答】解：当x∈[0，]时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，由函数y=3sin（2x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，m]，所以2m+=，解得m=．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，已知，若，λ，u∈R，则λu=﹣2．【解答】解：由题意可知D在CB的延长线上，=+，∵=+，，∴=，∴=+2=+2（﹣），=2﹣，∴μ=2，λ=﹣1，λu=﹣2，故答案为：﹣2．12．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义域为R奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=2x﹣3x+1，则f（2）+g（2）=．【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是定义域为R奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=2x﹣3x+1，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=2﹣2﹣3×（﹣2）+1=+6+1=，即﹣f（2）﹣g（2）=，则f（2）+g（2）=﹣，故答案为：；13．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知abcosC=accosB+bccosA，则sinC•（+）的最小值为．【解答】解：在△ABC中，∵已知abcosC=accosB+bccosA，∴由余弦定理可得=+，即3c2=a2+b2≥2ab，即c2≥ab，当且仅当a=b时，取等号．则sinC•（+）=+===≥，即sinC•（+）的最小值为，故答案为：．14．（5分）已知a，b是函数f（x）=x2﹣mx+n（m＞0，n＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则m+n=26．【解答】解：∵a，b是函数f（x）=x2﹣mx+n（m＞0，n＞0）的两个不同的零点，∴a+b=m，ab=n，且△=m2﹣4n＞0；不妨设a＜b，由于a，b，﹣4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴﹣4，a，b或b，a，﹣4成等差数列，a，﹣4，b或b，﹣4，a成等比数列，∴b﹣4=2a，ab=（﹣4）2，解得a=2，b=8．∴m=10，n=16，满足△≥0；则m+n=26．故答案为：26．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且公比q＞1，若a2=2，S3=7．（1）求通项公式a n及S n；（2）求a12+a22+…+a n2的值．【解答】解：（1）∵a2=2．S3=7，由，解得，又∵q＞1，∴q=2，故a1=1，所以．（2）∵，∴，∴．16．（14分）某高级中学共有学生4000名，各年级男、女生人数如表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高一年级女生的概率是0.15．（1）求高一女生人数x和高二学生总数；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，问应在高二年级抽取多少名？（3）已知y≥705，z≥705，求高二年级中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）因为，所以x=600．…（4分）高二年级人数为y+z=4000﹣（600+680+642+658）=1420人．…（6分）（2）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，应在高二年级抽取的人数为：名．…（10分）（3）由（2）知y+z=1420，且y≥705，z≥705，y，z∈N，则女生、男生数的可能组合为：共有11种，其中男生比女生多的共有5种，…（12分）则男生比女生多的概率．…（14分）17．（14分）已知sin（﹣α）+sinα=，cosβ=且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：，…（4分）因为：α∈（0，π），所以：，所以：，所以：．…（8分）（2）因为：，所以：，所以：，所以：．…（14分）18．（16分）某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？【解答】解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知，所以，…（4分）在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos （60°+θ），…（8分）AD2===…（14分）当2θ﹣30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b 的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，又f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，所以﹣4，2方程x2+（3﹣a）x+2+2a+b=0的两根，由，解得a=1，b=﹣12；…（3分）（2）因为函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0；①，即得a≤﹣6；…（5分）②，即；有，解得a∈∅；…（7分）③，即，解得a≥20；…（9分）综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤﹣6或a≥20．…（10分）【注：由x2+（3﹣a）x+2+2a≤0得（x﹣2）a≥x2+3x+2，然后分离出a，进行求解，则参照给分】（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）=x2+（3﹣a）x+2a ﹣10，则h（x）=（x﹣2）[x﹣（a﹣5）]，知h（2）=0，故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或﹣1，0，1；…（11分）①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a﹣5≤6，得10＜a≤11；…（13分）②解集中的3个整数是﹣1，0，1；则﹣2≤a﹣5＜﹣1，得3≤a＜4；…（15分）综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．…（16分）20．（16分）数列{a n}满足：a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1=，且a1=1，a2=2，a3=3．（1）求A，B值；（2）证明：{a n}是等差数列；（3）已知b n=2an，若满足a i＜m，b j＜m，且存在a i，b j使得a i+b j=m成立的所有a i，b j之和记为S（m），则当n≥2，n∈N*时，求S（22）+S（23）+S（24）+…+S （2n）．【解答】（1）解：∵，∴A=1，B=3．（2）证明：∵，∴，两式相减得a n a n+1=n（n+1）（n≥2），则a n+1a n+2=（n+1）（n+2），两式相除得，∴n为偶数时，，n为奇数时，，∴a n=n（n≥4），又a1=1，a2=2，a3=3，∴a n=n，∴数列{a n}成等差数列．（3）解：∵a n=n，∴，当时，∵为偶数，则，∴使得成立的所有a i，b j之和S（2n）=（n﹣1）•2n，令T=S（22）+S（23）+S（24）+…+S（2n），则T=22+2×23+3×24+4×25+…+（n﹣1）×2n，（1）2T=23+2×24+3×25+…+（n﹣2）×2n+（n﹣1）×2n+1，（2）（1）﹣（2）：﹣T=22+23+24+…+2n﹣（n﹣1）×2n+1==﹣4﹣（n﹣2）•2n+1，∴T=S（22）+S（23）+S（24）+…+S（2n）=（n﹣2）•2n+1+4．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
江苏省淮安市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题
DE (CA BC ) ，则实数 =
▲
．
B
▲
．
14．已知函数 y lg( 1) 的定义域为 A ，若对任意 x A 都有不等式
9x m 2 x 2mx 2 恒成立，则正实数m的取值范围是 2 2x
▲
．
二.解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 请把答案写在答题卡相应位置上. 15.(本小题满分14分) 2
C 需要有辅助光照．半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，
该光源照射范围是 ECF
6
6
,点 E , F 在直径 AB 上，
且 ABC
．
A
E
F
B
第19题图
（1）若 CE 13 ，求 AE 的长； 4
已知数列 an 的前 n 项和 S n 2n 2 4 . （1）求数列 an 的通项公式； （2）设等差数列 bn 满足 b7 a3 ， b15 a4 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16.在平面直角坐标系上，第二象限角 的终边与单位圆交于点 A , y0 ． 3 5
S ≥ 33
▲ ．
．
Байду номын сангаас
▲
1 的解 x 4
▲
．
5．下图是一个算法的流程图，当 n 是
n n 1
开始
S 1
n 1
S S 2n
是 输出
S
第5题图
结束 ▲ ．
6．已知函数 f x m 2 x 2 x cos x x R 是奇函数，则实数 m
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
淮安市2016-2017学年度第二学期期末高一数学试卷
淮安市2016-2017学年度高一期末调研测试数学参考答案一、填空题： 1.12 2. 2 3.144. 95.136. -37.14-8. 79. 5110. 1或2 11.7 12．10013.3+ 14． 二、解答题：15.（1）因为()3sin 25ααπ∈π=，，，所以4cos 5α=-. …………………2分所以 ()sin sin cos cos sin αααπππ+=+ ………………………………………………4分413()525=-+⋅=. ………………………………………………………………7分(2) 因为24sin 22sin cos 25ααα==-，…………………………………………………9分227cos2cos sin ααα=-=，………………………………………………………………11分所以()cos 2cos cos2sin sin 2444αααπππ-=+.……………………………………………13分()724-=.. …………………………………………………………14分16. （1）因为{}n a 是等差数列，254,30a S ==,所以 114545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ …………………………………………………………………4分 解得 12,2a d ==. …………………………………………………………………7分（2）由（1）知1(1)(1)2222n n n n n S a n d n --=+=+⋅即 2n S n n =+. ……………………………………………………………9分所以211111n n b S n n n n ===-++ .……………………………………………………10分 于是数列{}n b 的前n 项和 12311111......(1)()()2231n n T b b b b n n =++++=-+-++-+1111nn n =-=++. ………………………………………………………………………14分 17. （1）由 (0.0040.0220.0280.0220.a +++++⨯=,得 0.006a =.…………………………………………………………………………4分（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在)50,40[上为事件A. ……………5分 因为样本中评分在),40[50的师生人数为：10.00410502m =⨯⨯=，记为1,2号 样本中评分在),0[605的师生人数为：20.00610503m =⨯⨯=，记为3,4,5号………7分 所以从5人中任意取2人共有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种等可能情况；2人中恰有1人评分在)50,40[上有（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5）共6种等可能情况. 得 63()105P A == .……………………………………………………………………9分 答：2人中恰好有1人评分在)50,40[上的概率为35. ……………………………10分 (3) 服务质量评分的平均分为450.00410550.00610650.02210750.02810x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯850.02210950.0181076.2+⨯⨯+⨯⨯= ……………………………………………………13分因为 752.76>, 所以食堂不需要内部整顿. …………………………………14分18. (1) 因为不等式2(2)20ax a x +--≤的解集为[1,2]-，所以方程2(2)20ax a x +--=有两根且分别为1,2-,……………………………………2分 所以()()22420a a ∆=--⨯-≥且212a--⨯=，解得1a =.………………………………6分 (2)由2(2)20ax a x +--≤，得(1)(2)0x ax +-≤ ………………………7分 当20a -<<时，解集为2|1x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≥或； ………………………………………10分当2a =-时，解集为R ； ………………………………………………………………13分 当2a <-时，解集为2|1x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≥或 . ……………………………………………16分注：其它方法，酌情给分.19. （1）在BCF ∆中,BF CF FBC x CF ⊥︒=∠=,30,,所以x BC 2=.在ABC ∆中，︒=∠-==60,1,ABC y AC y AB ，由余弦定理，得ABC BC BA BC BA AC ∠⋅-+=cos 2222，…………………2分即 ︒⋅⋅-+=-60cos 22)2()1(222x y x y y ，所以 22142--=x x y . ………………………………………………5分由BC AC AB <-， 得21,12>>x x . 又因为022142>--=x x y ，所以1>x . 所以函数22142--=x x y 的定义域是),1(+∞. ………………………………………6分(2)M x y 40)12(30+-⋅= .……………………………………………………8分因为22142--=x x y （1>x ）， 所以x x x M 40)122142(302+---⋅⋅= 即 )1-41312(102 x x x M +--⋅=. …………………………………………10分 令,1-=x t 则0t >. 于是9()10(1625),0M t t t t=++> ， ………………12分由基本不等式得()25)490M t =≥， 当且仅当43=t ，即47=x 时取等号. …………………………………………15分答：当34x =km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M 为490万元. ………………………………………………………………………………16分 20． (1)当1n =时， 311-==S a ，……………………………………………………1分当2n ≥时，1--=n n n S S a )1(4)1(422-+---=n n n n ，即52-=n a n ，………………………………………………………………………3分1n =也适合，所以()25n a n n N +=-∈. …………………………………………4分(2)法一：假设存在实数μ，使数列{3}n n b μ+是等比数列，且公比为q . ………5分因为对任意正整数2n ≥,nn n b b)31(1=+-，,413321-=+=a a b可令n=2,3,得 231335,36108b b ==-.…………………………………………6分因为}{μ+n n b 3是等比数列，所以213335()()()444μμμ+=--， 解得 14μ=- ……… ………………………7分 从而111111131344113344n n n n n n n n b b b b --------=--1113343134n n n n b b ----+==--（2n ≥） ………9分 所以存在实数14μ=-，公比为3q =-. ……………………………………10分 法二：因为对任意整数2n ≥,nn n b b )31(1=+-，所以133311 +⋅-=--n n n n b b ， 设 )3(3311μμ+⋅-=+--n n n n b b ，则14=-μ，…………………………………8分所以存在41-=μ，且公比341341311-=--=--n n n n b b q . …………………………10分 (3)因为1,132=-=a a ，所以,413321-=+=a ab 14131-=-b ，所以1)3(1413--⋅-=-n n nb ，即1)31(12131)1(-⋅+⋅-=n n n b ， ………………12分 于是12n b b b +++= 0)31(12131)1(⋅+⋅-21111(1)()3123+-⋅+⋅+1)31(12131)1(-⋅+⋅-+n n311)311(12161)1(--+--=n n)311(8161)1(n n -+--=)311(8161)1(n n -+--=………13分 当n 是奇数时: 12n b b b +++= n n 3181245)311(8131⋅--=-+-=，关于n 递增， 得 1215424n b b b -+++<- ≤. ………………………………………………………14分当n 是偶数时: 12n b b b +++= )311(81n -=,关于n 递增, 得 121198n b b b +++< ≤ . …………………………………………………15分综上， 121148n b b b -+++< ≤. ……………………………………………16分。
江苏省淮安市淮阴中学高一数学文下学期期末试卷含解析
江苏省淮安市淮阴中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f （x））=x的解集为( )A．{1} B．{2} C．{3} D．?参考答案：C【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案．【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选C．【点评】本题考查函数定义域、值域的求法．2. 已知等比数列{a n}的公比q＜0，其前n 项的和为S n，则a9S8与a8S9的大小关系是（）A．a9S8＞a8S9 B．a9S8＜a8S9 C．a9S8≥a8S9 D．a9S8≤a8S9参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将两个式子作差，利用等比数列的前n项和公式及通项公式将差变形，能判断出差的符号，从而得到两个数的大小．【解答】解：a9S8﹣a8S9=﹣==﹣a12q7∵q＜0∴﹣a12q7＞0∴S8a9＞S9a8故选A．3. （3分）已知直线a?α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（）A．②B．③C．①②D．①③参考答案：D考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定．专题：分析法．分析：对于①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确．对于②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误．对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案．解答：解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a?α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a?α使直线a∥平面β．故错误．③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．故选D．点评：此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目．4. 已知函数，则与的大小关系是:A. B. C. D.不能确定参考答案：A略5. 明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y 与x之间函数关系的大致图象是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案.【详解】由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减少.故选：A 【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题.6. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】3F：函数单调性的性质；3W：二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B7. 函数y=log（x﹣2）（5﹣x）的定义域是（）A．（3，4）B．（2，5）C．（2，3）∪（3，5）D．（﹣∞，2）∪（5，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由对数的运算性质列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得2＜x＜5且x≠3．∴函数y=log（x﹣2）（5﹣x）的定义域是：（2，3）∪（3，5）．故选：C．8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．参考答案：A9. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． 4 B． 8 C． 16 D ． 20参考答案：C10. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.48B.C.D.80参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________参考答案：3分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为：3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.12. 在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为、，若2a sin B＝b，则角A等于________．参考答案：略13. 若，全集，则___________。
2015-2016年江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{a}，A∪B＝{0，1，2}，则实数a＝．2．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）的最小正周期为．3．（5分）已知角α的终边过点P（4，﹣3），则sinα的值是．4．（5分）数据1，2，3，3，6的方差为．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是．6．（5分）一个骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6的玩具）连续掷2次，向上点数和为3的概率．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S4＝10，则S6＝．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则3x+y的最大值为．9．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，a2+b2﹣c2+ab＝0，则角C＝．10．（5分）已知函数y＝3sin（2x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，m]，则实数m的值为．11．（5分）在△ABC中，已知，若，λ，u∈R，则λu＝．12．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义域为R奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）＝2x﹣3x+1，则f（2）+g（2）＝．13．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知ab cos C＝ac cos B+bc cos A，则sin C•（+）的最小值为．14．（5分）已知a，b是函数f（x）＝x2﹣mx+n（m＞0，n＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则m+n＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且公比q＞1，若a2＝2，S3＝7．（1）求通项公式a n及S n；（2）求a12+a22+…+a n2的值．16．（14分）某高级中学共有学生4000名，各年级男、女生人数如表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高一年级女生的概率是0.15．（1）求高一女生人数x和高二学生总数；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，问应在高二年级抽取多少名？（3）已知y≥705，z≥705，求高二年级中男生比女生多的概率．17．（14分）已知sin（﹣α）+sinα＝，cosβ＝且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．18．（16分）某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC＝60°，如图所示，记∠CBD＝θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD 最长？19．（16分）已知函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．20．（16分）数列{a n}满足：a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3．（1）求A，B值；（2）证明：{a n}是等差数列；（3）已知b n＝，若满足a i＜m，b j＜m，且存在a i，b j使得a i+b j＝m成立的所有a i，b j 之和记为S（m），则当n≥2，n∈N*时，求S（22）+S（23）+S（24）+…+S（2n）．2015-2016学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{a}，A∪B＝{0，1，2}，则实数a＝2．【考点】1D：并集及其运算．【解答】解：∵A＝{0，1}，B＝{a}，A∪B＝{0，1，2}，∴a＝2，故答案为：22．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性．【解答】解：∵函数中，振幅A＝1，初相φ＝，且ω＝2∴函数的最小正周期为T＝＝π故答案为：π3．（5分）已知角α的终边过点P（4，﹣3），则sinα的值是﹣．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：由题意可得，x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，∴sinα＝＝﹣，故答案为：﹣．4．（5分）数据1，2，3，3，6的方差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：数据1，2，3，3，6的平均数＝＝3，∴数据1，2，3，3，6的方差：S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝．故答案为：．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是7．【考点】E7：循环结构．【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构，第一次循环：S＝100﹣20＝99，k＝1；第二次循环：S＝99﹣2＝97，k＝2；第三次循环：S＝97﹣22＝93，k＝3；第四次循环：S＝93﹣23＝85，k＝4；第五次循环：S＝85﹣24＝69，k＝5；第六次循环：S＝69﹣25＝37，k＝6；第七次循环：S＝37﹣26＝﹣27，k＝7．∵S＝﹣27＜0，∴输出k＝7．故答案为：7．6．（5分）一个骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6的玩具）连续掷2次，向上点数和为3的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：一个骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6的玩具）连续掷2次，基本事件总数n＝6×6＝36，向上点数和为3包含的基本事件有（1，2），（2，1），共有m＝2个，∴向上点数和为3的概率p＝．故答案为：．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S4＝10，则S6＝21．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S4＝10，∴，解得d＝1，∴＝21．故答案为：21．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则3x+y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，设z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得．即A（1，1），此时z的最大值为z＝3×1+1＝4，故答案为：4；9．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，a2+b2﹣c2+ab＝0，则角C＝．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，a2+b2﹣c2+ab＝0，则cos C ＝＝﹣，∴C＝，故答案为：．10．（5分）已知函数y＝3sin（2x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，m]，则实数m的值为．【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：当x∈[0，]时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，由函数y＝3sin（2x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，m]，所以2m+＝，解得m＝．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，已知，若，λ，u∈R，则λu＝﹣2．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：由题意可知D在CB的延长线上，＝+，∵＝+，，∴＝，∴＝+2＝+2（﹣），＝2﹣，∴μ＝2，λ＝﹣1，λu＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义域为R奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）＝2x﹣3x+1，则f（2）+g（2）＝．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是定义域为R奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）＝2x﹣3x+1，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）＝2﹣2﹣3×（﹣2）+1＝+6+1＝，即﹣f（2）﹣g（2）＝，则f（2）+g（2）＝﹣，故答案为：；13．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知ab cos C＝ac cos B+bc cos A，则sin C•（+）的最小值为．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：在△ABC中，∵已知ab cos C＝ac cos B+bc cos A，∴由余弦定理可得＝+，即3c2＝a2+b2≥2ab，即c2≥ab，当且仅当a＝b时，取等号．则sin C•（+）＝+＝＝＝≥，即sin C•（+）的最小值为，故答案为：．14．（5分）已知a，b是函数f（x）＝x2﹣mx+n（m＞0，n＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则m+n＝26．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：∵a，b是函数f（x）＝x2﹣mx+n（m＞0，n＞0）的两个不同的零点，∴a+b＝m，ab＝n，且△＝m2﹣4n＞0；不妨设a＜b，由于a，b，﹣4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴﹣4，a，b或b，a，﹣4成等差数列，a，﹣4，b或b，﹣4，a成等比数列，∴b﹣4＝2a，ab＝（﹣4）2，解得a＝2，b＝8．∴m＝10，n＝16，满足△≥0；则m+n＝26．故答案为：26．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且公比q＞1，若a2＝2，S3＝7．（1）求通项公式a n及S n；（2）求a12+a22+…+a n2的值．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【解答】解：（1）∵a2＝2．S3＝7，由，解得，又∵q＞1，∴q＝2，故a1＝1，所以．（2）∵，∴，∴．16．（14分）某高级中学共有学生4000名，各年级男、女生人数如表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高一年级女生的概率是0.15．（1）求高一女生人数x和高二学生总数；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，问应在高二年级抽取多少名？（3）已知y≥705，z≥705，求高二年级中男生比女生多的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（1）因为，所以x＝600．…（4分）高二年级人数为y+z＝4000﹣（600+680+642+658）＝1420人．…（6分）（2）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，应在高二年级抽取的人数为：名．…（10分）（3）由（2）知y+z＝1420，且y≥705，z≥705，y，z∈N，则女生、男生数的可能组合为：共有11种，其中男生比女生多的共有5种，…（12分）则男生比女生多的概率．…（14分）17．（14分）已知sin（﹣α）+sinα＝，cosβ＝且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：，…（4分）因为：α∈（0，π），所以：，所以：，所以：．…（8分）（2）因为：，所以：，所以：，所以：．…（14分）18．（16分）某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC＝60°，如图所示，记∠CBD＝θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD 最长？【考点】HU：解三角形．【解答】解：在△BCD中，BC＝1，∠BDC＝60°，∠CBD＝θ，由正弦定理知，所以，…（4分）在△ABD中，AB＝1，∠ABD＝60°+θ，由余弦定理知AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos（60°+θ），…（8分）AD2＝＝＝…（14分）当2θ﹣30°＝90°，θ＝60°时，跑道AD最长．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，又f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，所以﹣4，2方程x2+（3﹣a）x+2+2a+b＝0的两根，由，解得a＝1，b＝﹣12；…（3分）（2）因为函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0；①，即得a≤﹣6；…（5分）②，即；有，解得a∈∅；…（7分）③，即，解得a≥20；…（9分）综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤﹣6或a≥20．…（10分）【注：由x2+（3﹣a）x+2+2a≤0得（x﹣2）a≥x2+3x+2，然后分离出a，进行求解，则参照给分】（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）＝x2+（3﹣a）x+2a﹣10，则h（x）＝（x﹣2）[x﹣（a﹣5）]，知h（2）＝0，故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或﹣1，0，1；…（11分）①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a﹣5≤6，得10＜a≤11；…（13分）②解集中的3个整数是﹣1，0，1；则﹣2≤a﹣5＜﹣1，得3≤a＜4；…（15分）综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．…（16分）20．（16分）数列{a n}满足：a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3．（1）求A，B值；（2）证明：{a n}是等差数列；（3）已知b n＝，若满足a i＜m，b j＜m，且存在a i，b j使得a i+b j＝m成立的所有a i，b j 之和记为S（m），则当n≥2，n∈N*时，求S（22）+S（23）+S（24）+…+S（2n）．【考点】83：等差数列的性质．【解答】（1）解：∵，∴A＝1，B＝3．（2）证明：∵，∴，两式相减得a n a n+1＝n（n+1）（n≥2），则a n+1a n+2＝（n+1）（n+2），两式相除得，∴n为偶数时，，n为奇数时，，∴a n＝n（n≥4），又a1＝1，a2＝2，a3＝3，∴a n＝n，∴数列{a n}成等差数列．（3）解：∵a n＝n，∴，当时，∵为偶数，则，∴使得成立的所有a i，b j之和S（2n）＝（n﹣1）•2n，令T＝S（22）+S（23）+S（24）+…+S（2n），则T＝22+2×23+3×24+4×25+…+（n﹣1）×2n，（1）2T＝23+2×24+3×25+…+（n﹣2）×2n+（n﹣1）×2n+1，（2）（1）﹣（2）：﹣T＝22+23+24+…+2n﹣（n﹣1）×2n+1＝＝﹣4﹣（n﹣2）•2n+1，∴T＝S（22）+S（23）+S（24）+…+S（2n）＝（n﹣2）•2n+1+4．。
优质：江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(考试版)
绝密★启用前江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试考卷考试范围：三角函数、解三角形、数列、不等式、算法、概率与统计；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点考查基础：如第1-10题等，第11-14题有综合，注重各章内知识交汇性的考查，，解答题重视数学思想方法的考查，如第1,8题考查了等价转化的思想、方程的思想，函数思想，第17，19题考查实际应用能力，第20题考查了定义法证明以及分类讨论思想，难度较大．本卷适合学段复习使用． 一、填空题1．错误！未找到引用源。
的值为_____________2．一组数据错误！未找到引用源。
的方差是____________3．若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最大值是___________ 4．如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 .5．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是________.6．已知实数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
则目标函数错误！未找到引用源。
的最小值为 ．7．在错误！未找到引用源。
中，内角A,B,C 的对边分别为错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
_________.8．若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值是___________.9．已知错误！未找到引用源。
是等差数列，错误！未找到引用源。
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项和，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值是_____________. 10．已知错误！未找到引用源。
中，1,30AB BC A ===，则AC = ．11．已知错误！未找到引用源。
中，内角A,B,C 的对边分别为错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
成等比数列，则错误！未找到引用源。
江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(精编含解析)
江苏省淮安市2016—2017学年度第一学期高一数学试题填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 15cos 15sin 2的值为_____________ 【答案】12【解析】由二倍角公式可得：12sin15cos15sin 302==2.一组数据1,3,2,5,4的方差是____________ 【答案】2 【解析】所给数据的平均数：1234535x ++++== ，方差为：()()()()()22222132333435325-+-+-+-+-= .3.若()0,1x ∈，则()1x x -的最大值是___________ 【答案】14【解析】二次函数开口向下，对称轴12x =在所给区间内，则函数的最大值为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭ .点睛：二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，不要忽略了函数的定义域．4.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ．【答案】9 【解析】:试题分析：由题意可得，a 是在不断变大的，b 是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算5.两根相距m 6的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是__________． 【答案】13【解析】在距绳子两段两米处分别取A ，B 两点，当绳子在线段AB 上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m 的概率为6221=63P --=，故填13．6.已知实数,x y 满足50,{220,0,x y x y y +-≤-+≥≥则目标函数z x y =-的最小值为 ．【答案】3- 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由z x y =-，得y x z =-表示斜率为1，纵截距为z-的一组平行直线，平移直线y x z =-，当直线经过点A 时，此时直线y x z =-截距最大，z 最小，由50{220x y x y +-=-+=，得1{4x y ==，此时最小值min 143z =-=-.考点：简单的线性规划.7.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若4:3:2::=c b a ，则cos C =_________. 【答案】14- 【解析】不妨设()2,3,40a m b m c m m ===> ，由余弦定理可得：()()()2222222341cos 22234m m m a b c C ab m m +-+-===-⨯⨯ .8.若()1tan 2,tan 3ααβ=-+=，则tan β的值是___________. 【答案】7 【解析】 由题意可得：()()()tan tan tan tan 71tan tan αβββαββαββ+-⎡⎤=+-==⎣⎦++ .9.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若75230a a --=，则17S 值是_____________.【答案】51 【解析】由题意可得：()()7511123264383a a a d a d a d --=+-+-=-- ，故：191830,83a d a a d --=∴=-= ， 结合等差数列的性质：117917921717175122a a aS a +=⨯=⨯== .10.已知ABC ∆中，AB =1BC =，30A =︒，则AC = ． 【答案】1或2 【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos30BC AC AB AC AB =+-⋅︒，即2132AC =+-，解得1=AC 或2=AC ．考点：余弦定理．11.已知数列{}n a 中，112,2,n n a a a +==n S 是其前n 项和，若254n S =，则___________.【答案】7 【解析】由12n n a a += 可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 其前n 项和：()21225412nn S ⨯-==- ，解得：7=n .12.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0≠d ，n S 是其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则10S =____________.【答案】100 【解析】若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1a 5=(a 2)2，即a 1(a 1+4d )=(a 1+d )2，则1+4d =(1+d )2， 即2d =d 2，解得d =2或d =0(舍去)， 则10109101210901002S ⨯=⨯+⨯=+= ， 故答案为：100.13.在锐角ABC ∆中，sin sin sin A B C =，则tan 2tan B C +的最小值是_________. 【答案】223+ 【解析】由题意可得：sin cos sin cos sin sin B C C B B C += ， 则：tan tan tan tan B C B C += ，解得：tan tan tan 1CB C =- ，据此可得：()tan 1tan 2tan 2tan 2tan 133tan 1tan 1C B C C C C C +=+=-++≥+--，当且仅当()12tan 1tan 1C C -=- 时等号成立.综上可得tan 2tan B C +的最小值是3+点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14.已知ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，则22a b ab+的取值范围为__________.【答案】 【解析】不妨设()2,1b ax c axx ==≥ (01x << 时结论相同)，由三角形的性质有：a b c +> ，即()21a x ax +> ，解得：112x +≤<，据此：221a b x ab x +=+ ，利用对勾函数的性质结合函数的定义域可得：22a b ab+⎡∈⎣ .点睛：求函数的值域的方法：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.已知3sin ,,.52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭（1）求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1 （2）50- 【解析】 试题分析：(1)利用题意首先求得4cos 5a =- ，然后由两角和差正余弦即可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2)结合(1)的结论首先求得247sin 2,cos 22525αα=-=，然后结合两角和差正余弦可得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 . 试题解析： （1）因为， 所以.所以.(2) 因，所以.. .16.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为25,4,30.n S a S == （1）求{}n a 的首项1a 和公差d 的值； （2）设数列{}n b 满足1n nb S =，求数列{}n b 的前项和n T . 【答案】（1）12,2a d == （2）1n n + 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于首项、公差的方程组，求解方程组可得12,2a d ==； (2)首先求得{}n a 的前n 项和，然后裂项求和可得数列{}n b 的前项和n T 为1n n + . 试题解析： （1）因为是等差数列，,所以解得.（2）由（1）知即 .所以 .于是数列的前n 项和.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．17.某学校为了解学校食堂服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[)[)[]40,50,50,60,,90,100.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从评分在[)40,60的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[)40,50上的概率； （3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.【答案】（1）0.006（2）35（3）76.2,不需要内部整顿. 【解析】 试题分析：(1)由频率分布直方图小长方形面积之和为1可得关于实数a 的方程，解方程可得0.006a = ； (2)利用题意列出所有可能的结果，由古典概型公式可得此人中恰好有1人评分在[)40,50上的概率为35(3)求解平均值76.275x => 可知食堂不需要内部整顿. 试题解析：（1）由,得.（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[)40,50上为事件A.因为样本中评分在[)40,50的师生人数为：，记为1,2号 样本中评分在[)50,60的师生人数为：，记为3,4,5号所以从5人中任意取2人共有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种等可能情况；2人中恰有1人评分在[)40,50上有（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5）共6种等可能情况.得.答：2人中恰好有1人评分在[)40,50上的概率为. (3) 服务质量评分的平均分为因为 76.275>, 所以食堂不需要内部整顿.点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.已知函数()()222,.f x ax a x a R =+--∈.（1）若关于X 的不等式()0f x ≤的解集为[]1,2-，求实数a 的值； （2）当0a <时，解关于x 的不等式()0f x ≤. 【答案】（1）1（2）见解析 【解析】 试题分析：(1)利用题意结合根与系数的关系可得1a = ；(2) 将不等式分解因式，对实数a 的范围分类讨论即可求得不等式的解集. 试题解析： (1) 因为不等式的解集为， 所以方程有两根且分别为,所以且，解得.(2)由，得当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 .19.如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？【答案】（1）2412(1)x y x -=-（x ＞ 1）；（2）74x =时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低． 【解析】 试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式24122x y x -=-（，其定义域是(1,)+∞. (2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.试题解析：（1）在BCF ∆中,,30,CF x FBC CF BF =∠=︒⊥,所以2BC x =.在ABC ∆中，,1,60AB y AC y ABC ==-∠=︒，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅∠，即222(1)(2)22cos 60y y x y x （-=+-⋅⋅︒，所以 24122x y x -=-（. 由AB AC BC -<， 得121,2x x >>. 又因为241022x y x -=>-（，所以1>x . 所以函数24122x y x -=-（的定义域是(1,)+∞. (2)30(21)40y x =⋅-+ . 因24122x y x -=-（（1>x ）， 所以24130(21)4022x M x x -=⋅⋅-+-（ 即 212310(4-1)1x M x x -=⋅+-（）. 令1,t x =-（则. 于是 ， 由基本不等式得， 当且仅当34t =（，即74x （=时取等号. 答：当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足24n S n n =-，数列{}n b 中，2133a b a =+对任意正整数112,.3n n n n b b +⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{}3n n b μ⋅+是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：121148n b b b ≤+++<. 【答案】（1）25n a n =- （2）1,34q μ=-=- （3）见解析 【解析】试题分析：(1)由通项公式与前n 项和的关系可得数列{}n a 的通项公式为25n a n =-；(2)假设存在满足题意的实数μ ，利用等比数列的定义得到关于μ 的方程，解方程可得1,34q μ=-=-； (3)求得数列的前n 项和，分类讨论n 的奇偶性即可证得题中不等式的结论.试题解析：(1)当时， 113a S ==-， 当时，1n n n a S S -=- ()()224141n n n n =---+-， 即25n a n =-，也适合，所以.(2)法一：假设存在实数μ，使数列是等比数列，且公比为. 因为对任意正整数,113n n n b b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭（），2131,34a b a ==-+ 可令n=2,3,得. 因为{}3n n b μ+是等比数列，所以， 解得从而（）所以存在实数，公比为. 法二：因为对任意整数,113n n n b b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）， 所以113331n n n n b b --=-⋅+（， 设 ()11333n n n n b b （μμ--+=-⋅+，则41μ-=，所以存在14μ=-，且公比111343134n n n n b q b ---==--.(3)因为231,1a a =-=，所以2131,34a b a ==-+ 11314b -=-， 所以()113134n n n b --=-⋅-，即()111113123n n n b -⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 于是()011113123⎛⎫-⋅+⋅ ⎪⎝⎭()111113123n n -⎛⎫+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭()111111231613n n ⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+- ()11111683n n --⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()11111683nn --⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当是奇数时: 11151113832483n n ⎛⎫=-+-=--⋅ ⎪⎝⎭，关于递增，得.当是偶数时: 11183n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,关于递增,得.综上，.。
江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷含解析
江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=．11．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和．若s n=254，则n=．12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1公差d≠0，S n为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a2=4，S5=30．（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2﹣4n，数列{b n}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是2．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时z min=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是51．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7﹣a5﹣3=0，∴2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，化为：a1+8d=3，即a9=3．则S17==17a9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=1或2．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或2，则AC=1或2．故答案为：1或211．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和．若s n=254，则n=7．【解答】解：由数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．又s n=254，∴254=，化为2n=128，解得n=7．故答案为：7．12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1公差d≠0，S n为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=100．【解答】解：若a1，a2，a5成等比数列，则a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，则1+4d=（1+d）2，即2d=d2，解得d=2或d=0（舍去），则S10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是3+2．【解答】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，∴sin（B+C）=sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），∴sinC=（sinC﹣cosC），两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），∴tanB=；又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sin cosα+cos sinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a2=4，S5=30．（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）因为{a n}是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以b n==于是数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，…（2分）即（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，所以．…（5分）由AB﹣AC＜BC，得．又因为＞0，所以x＞1．所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）（2）M=30•（2y﹣1）+40x．…（8分）因为．（x＞1），所以M=30即M=10．…（10分）令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+），t＞0，…（12分）由基本不等式得M（t）≥10（2）=490，当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2﹣4n，数列{b n}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），即a n=2n﹣5，…（3分）n=1也适合，所以a n=2n﹣5．…（4分）（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3n•b n+μ}是等比数列，且公比为q．…（5分）因为对任意正整数，，可令n=2，3，得b2=，b3=﹣．…（6分）因为{3n b n+μ}是等比数列，所以=，解得μ=﹣…（7分）从而===﹣3 （n≥2）…（9分）所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）法二：因为对任意正整数．所以，设3n b n+μ=﹣3（3n﹣1b n﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）所以存在，且公比．…（10分）（3）因为a2=﹣1，a3=1，所以，，所以，即，…（12分）于是b1+b2+…+b n=+++…===…（13分）当是奇数时：b1+b2+…+b n=，关于递增，得≤b1+b2+…+b n＜．…（14分）当是偶数时：b1+b2+…+b n=，关于递增，得≤b1+b2+…+b n．…（15分）综上，≤b1+b2+…+b n．…（16分）。