运用微元法求力
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十四讲
应用微元法求力
一、复习运用微元法求功
二、运用微元法求力
第十四讲
一、复习运用微元法求功
应用微元法求力
1、弹簧长1m，把它伸长1cm所用力为5g，求把它从 80cm压缩到60cm所做的功？
2、把长为10m，宽为6m，高为5m的贮水池内盛满 的水全部吸出处，需做多少功？
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
a/2
y+dy h y o b/2 x
x b ab y 2 2h
所以压力微元为
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例3 一扇水闸的闸门形状是一等腰梯形，上底长是a，下 底长是b(a ≥b)，高为h 。当水面涨到闸门顶部时，求闸门所 受的侧压力P。
dP pds p 2 xdy
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例2 设有一均匀带正电荷的长为l的细杆，电荷 线密度ρ (单位长度上的电荷量)为常数，有一单 位正电荷位于杆的中垂线上且距杆为r，试求带 y 电细杆对该点电荷的斥力。 F F y 1dx krdx dF k 2 2 cos Fx r x (r 2 x2 )3 其中k为常数。 (2) 无限求和。从-0.5l无限求和
l
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例2 设有一均匀带正电荷的长为l的细杆，电荷线密度 ρ (单位长度上的电荷量)为常数，有一单位正电荷位于杆的中 垂线上且距杆为r，试求带电细杆对该点电荷的斥力。 y F F 解 如图所示建立坐标系。 y Fx (1) 细分。细分区间[-0.5l，0.5l]， 0.5l 在任一子区间[x,x+dx]上，其电 -0.5l dx 量为ρ dx，对单位正电荷的斥 x x+dx x o 力可分解为沿x轴方向 的分力和沿y轴方向的分力，由对称性，总斥力沿x轴方向 的分力为零，所以只须考虑沿y轴方向的分力微元为
(h y) 2 ( b ab y)dy 2 2h
h
y
a/2
y+dy y o b/2 x
(h y)(b ab y)dy h
第十四讲
二、运用微元法求力 2、液体对平面薄板的压力
运用微元法求力
例3 一扇水闸的闸门形状是一等腰梯形，上底长是a，下 底长是b(a ≥b)，高为h 。当水面涨到闸门顶部时，求闸门所 受的侧压力P。 (2) 无限求和。从0无限求和到h，便得整 个闸门所受的压力为 y
a/2
y+dy
P (h y)(b ab y)dy 0 h h [bhy 1 (a 2b) y 2 ab y 3 ]0 2 3h 1 (a 2b)h 2 6
h
h
y o b/2 x
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例4 一个横放的半径为R的圆柱形水桶，里面盛有半 桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的比重为γ）. 解: 桶的一端面是圆板，现在要计 算当油面过圆心时，垂直放置的一个 半圆板的一侧所受的压力。 选取坐标系（如右下图）。 圆方程为x2+y2=R2. 取x为积分变量， 在x的变化区间[0,R]内取微小区间 [x,x+dx]，视这细条上压强不变，所受 的压力的近似值，即压力微元为 O
运用微元法求力
例1 设有一质量均匀分布、长为l而且总质量为M 的细直杆，在沿着杆所在的直线上，距杆的一端a处放 一质量为m的质点P，试求杆对质点的引力。 解 如图所示建立坐标系。 dx o x x+dx l
a
x
(1) 细分。细分[0,l]，在任一子区间[x,x+dx]上，估计 其质量为
M dx l
第十四讲
0
R
O
x x+dx
R 0
( R 2 x ) d( R 2 x 2 )
3 2 2 R
1 2 2
y
y
2 2 2 ( R x ) R 3 . 3 0 3
x
x x+dx
y
y
x
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例1 一个横放的半径为R的圆柱形水桶，里面盛有半 桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的比重为γ）.
dP x dS 2 x R 2 x 2 dx,
于是，端面所受的压力为
P 2 x R 2 x 2 dx
0.5l
-0.5l
dx o
x
0.5l x+dx x
到0.5l ，便得整个细杆对单位正电荷的斥力为。
F
0.5l
krdx 2kl (r 2 x2 )3 r 4r 2 l 2
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例3 一扇水闸的闸门形状是一等腰梯形，上底长是a，下 底长是b(a ≥b)，高为h 。当水面涨到闸门顶部时，求闸门所 受的侧压力P。 解 如图所示建立坐标系。 (1) 细分。细分区间[0，h] ，在任一个 子区间[x,x+dx]上，通过相似比得 y
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例1 设有一质量均匀分布、长为l而且总质量为M的 细直杆，在沿着杆所在的直线上，距杆的一端a处放一 质量为m的质点P，试求杆对质点的引力。 dx o a l x
xHale Waihona Puke Baidu
x+dx
所以引力的微元为
dF G
m M dx (l a x)2 l
其中G为万有引力常数。
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例1 设有一质量均匀分布、长为l而且总质量为M的细 直杆，在沿着杆所在的直线上，距杆的一端a处放一质量 为m的质点P，试求杆对质点的引力。 dx o a
x
x+dx
l
x
(2) 无限求和。从0无限求和到l便得整个细杆对质点 P的引力为
F G mM l dx mM G 2 0 (l ax) a(l a)
应用微元法求力
一、复习运用微元法求功
二、运用微元法求力
第十四讲
一、复习运用微元法求功
应用微元法求力
1、弹簧长1m，把它伸长1cm所用力为5g，求把它从 80cm压缩到60cm所做的功？
2、把长为10m，宽为6m，高为5m的贮水池内盛满 的水全部吸出处，需做多少功？
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
a/2
y+dy h y o b/2 x
x b ab y 2 2h
所以压力微元为
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例3 一扇水闸的闸门形状是一等腰梯形，上底长是a，下 底长是b(a ≥b)，高为h 。当水面涨到闸门顶部时，求闸门所 受的侧压力P。
dP pds p 2 xdy
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例2 设有一均匀带正电荷的长为l的细杆，电荷 线密度ρ (单位长度上的电荷量)为常数，有一单 位正电荷位于杆的中垂线上且距杆为r，试求带 y 电细杆对该点电荷的斥力。 F F y 1dx krdx dF k 2 2 cos Fx r x (r 2 x2 )3 其中k为常数。 (2) 无限求和。从-0.5l无限求和
l
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例2 设有一均匀带正电荷的长为l的细杆，电荷线密度 ρ (单位长度上的电荷量)为常数，有一单位正电荷位于杆的中 垂线上且距杆为r，试求带电细杆对该点电荷的斥力。 y F F 解 如图所示建立坐标系。 y Fx (1) 细分。细分区间[-0.5l，0.5l]， 0.5l 在任一子区间[x,x+dx]上，其电 -0.5l dx 量为ρ dx，对单位正电荷的斥 x x+dx x o 力可分解为沿x轴方向 的分力和沿y轴方向的分力，由对称性，总斥力沿x轴方向 的分力为零，所以只须考虑沿y轴方向的分力微元为
(h y) 2 ( b ab y)dy 2 2h
h
y
a/2
y+dy y o b/2 x
(h y)(b ab y)dy h
第十四讲
二、运用微元法求力 2、液体对平面薄板的压力
运用微元法求力
例3 一扇水闸的闸门形状是一等腰梯形，上底长是a，下 底长是b(a ≥b)，高为h 。当水面涨到闸门顶部时，求闸门所 受的侧压力P。 (2) 无限求和。从0无限求和到h，便得整 个闸门所受的压力为 y
a/2
y+dy
P (h y)(b ab y)dy 0 h h [bhy 1 (a 2b) y 2 ab y 3 ]0 2 3h 1 (a 2b)h 2 6
h
h
y o b/2 x
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例4 一个横放的半径为R的圆柱形水桶，里面盛有半 桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的比重为γ）. 解: 桶的一端面是圆板，现在要计 算当油面过圆心时，垂直放置的一个 半圆板的一侧所受的压力。 选取坐标系（如右下图）。 圆方程为x2+y2=R2. 取x为积分变量， 在x的变化区间[0,R]内取微小区间 [x,x+dx]，视这细条上压强不变，所受 的压力的近似值，即压力微元为 O
运用微元法求力
例1 设有一质量均匀分布、长为l而且总质量为M 的细直杆，在沿着杆所在的直线上，距杆的一端a处放 一质量为m的质点P，试求杆对质点的引力。 解 如图所示建立坐标系。 dx o x x+dx l
a
x
(1) 细分。细分[0,l]，在任一子区间[x,x+dx]上，估计 其质量为
M dx l
第十四讲
0
R
O
x x+dx
R 0
( R 2 x ) d( R 2 x 2 )
3 2 2 R
1 2 2
y
y
2 2 2 ( R x ) R 3 . 3 0 3
x
x x+dx
y
y
x
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例1 一个横放的半径为R的圆柱形水桶，里面盛有半 桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的比重为γ）.
dP x dS 2 x R 2 x 2 dx,
于是，端面所受的压力为
P 2 x R 2 x 2 dx
0.5l
-0.5l
dx o
x
0.5l x+dx x
到0.5l ，便得整个细杆对单位正电荷的斥力为。
F
0.5l
krdx 2kl (r 2 x2 )3 r 4r 2 l 2
第十四讲
二、运用微元法求力
运用微元法求力
2、液体对平面薄板的压力 例3 一扇水闸的闸门形状是一等腰梯形，上底长是a，下 底长是b(a ≥b)，高为h 。当水面涨到闸门顶部时，求闸门所 受的侧压力P。 解 如图所示建立坐标系。 (1) 细分。细分区间[0，h] ，在任一个 子区间[x,x+dx]上，通过相似比得 y
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例1 设有一质量均匀分布、长为l而且总质量为M的 细直杆，在沿着杆所在的直线上，距杆的一端a处放一 质量为m的质点P，试求杆对质点的引力。 dx o a l x
xHale Waihona Puke Baidu
x+dx
所以引力的微元为
dF G
m M dx (l a x)2 l
其中G为万有引力常数。
第十四讲
二、运用微元法求力 1、引力的计算
运用微元法求力
例1 设有一质量均匀分布、长为l而且总质量为M的细 直杆，在沿着杆所在的直线上，距杆的一端a处放一质量 为m的质点P，试求杆对质点的引力。 dx o a
x
x+dx
l
x
(2) 无限求和。从0无限求和到l便得整个细杆对质点 P的引力为
F G mM l dx mM G 2 0 (l ax) a(l a)