等式的性质

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等式的性质

a b （c≠ 0）如果 a = b，那么 c c
3、解一元一次方程的实质就是利用等式的性质求出未知数的值x=a(常数)
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则 4x +
= 7x
要求： 1、观察等式变形前后两边各有什么变化 2、应怎么变化可使等式依然相等
(2) 若 3a + 4 = 8
关键：同侧对比注意符号
则 3a = 8 +
.
你又发现了什么？
你又发现了什么？
• 等式的性质2: 等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为 0的数，结果仍相等。
(4) 如果-2x=4, ，那么x =________ 。 -2
(5) 如果2x1 2 3题的括号内，填上使等式成立的依据.
（1）2 x 8
得x 4 （ 2） 3x 2 2 x 得 x 2
1 x2 （ 3） 3 （4） x 5 1 （ 5） y 6
于是所以 -9x=3 x=-3
1 x 3
练习2：下列各式的变形正确的是（ D ）
x A.由 0 ，得到 x = 2 2 x B.由 3 ，得到 x = 1 3
x=0 x=9
2 a= C.由－2 a = －3，得到 a = 3
D.由 x－1 = 4，得到 x = 5
3 2
你会吗？
判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质；错的说出为什么。
(1)如果x=y,那么
（× ）
(2)如果x=y,那么 x 5 a y 5 a （ √ ） x y (3)如果x=y,那么 5 a 5 a （ × ）
5 x 5 y (4)如果x=y,那么
（×）
(5)如果x=y,那么

《等式的性质》

同时加
3，得到
8=10，等式仍然成
立。
即：若 a=b，则 a+c=b+c（或 ac=b-c）。
等式的乘法性质
等式两边同时乘以（或除以）同一个非零数，等式仍然成立。
即：若 a=b 且 c≠0，则 ac=bc（或 a/c=b/c）。
示例：若 6=9，两边同时乘以 2，得到 12=18，等式仍然成立。
等式与不等式在解决实际问题中的应用
等式常用于求解未知数或验证数学定理；
不等式则更常用于解决实际问题中的大小、范围、最值等问题；
举例：利用不等式求解最优化问题（如线性规划），或者通过等式和不等式联合求解实际问题（如方程组和不等式组的综合应用）。
高级等式性质与应
04
用
移项与合并同类项
移项
通过移项操作，可以将等式中的某些项移到等式的另一侧，从而简化等式或解决问题。在移项时，需要保持等式的平衡，即等号两边的数学表达式在移项后仍然相等。
实际问题解决
等式的基本性质在几何中也有应用，例如证明几何定理时，可以通过构建等式并应用等式性质进行推导。
等式的基本性质可以用于解决实际问题中的方程问题，如距离、速度、时间之间的关系等。
等式的运算性质
02
等式的加法性质
等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
示例：若 5=7，两边
学习等式性质的意义与价值
培养逻辑思维能力
通过学习等式的性质，我们可以培养逻辑思维能力，学会从已知条件出发，通过逻辑推理得出未知数的解。
解决实际问题的基础
等式性质在实际问题中有广泛的应用，例如工程问题、经济问题等。掌握等式的性质，能够帮助我们更好地解决这些实际问题。

等式的基本性质

等ຫໍສະໝຸດ 的两边同时加上相等的数，等式不变。
设一个花盆的重量为a克，一个花瓶的重量为b克。
a+b=4b
a+b-b=4b-b a=3b
等式的基本性质一：
等式的两边同时加上或减去相等的数，等式不变。
设一瓶墨水的重量为a克，一个文具盒的重量为b克。
a=2b
a×2=2b×2 2a=4b
设一个排球的重量为a克，一个小皮球的重量为b克。
人教版五年级数学上册第四单元
芦溪二小童驰
设一个茶壶的重量为a克，一个茶杯的重量为b克。
a=2b
a+b=2b+b a+a=2b+a
1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋1个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋2个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量＋1把茶壶的重量
2a=6b
2a÷2=6b÷2
a=3b
等式的基本性质二：
等式的两边同时乘或除以相等的数（0 除外），等式不变。
X＋4=48
x＋4 ○ □ =48 ○ □
X－4=48
x－4 ○ □ =48 ○ □ x÷4=48 x÷4 ○ □ =48 ○ □
x × 4=48
x × 4 ○ □ =48 ○ □

等式的性质ppt课件

科学实验中的应用
化学反应平衡
在化学实验中，等式性质可用于描述化学反应的平衡状态，确保实验结果准确可靠。
生物学中的能量平衡
在生物学研究中，等式性质可用于描述生物体内的能量平衡，以了解生物体的生存和生长状况。
物理学中的力矩平衡
在物理学中，等式性质可用于描述力矩的平衡，以解决与物体运动相关的问题。
函数图像的对称性
函数图像的对称性
等式在研究函数图像的对称性方面具有重要作用。通过对等式的分析，我们可以确定函数的对称轴和对称中心。
奇偶函数的性质
对称性与周期性的关系
函数的对称性和周期性是密切相关的，通过对等式的研究，我们可以深入了解这种关系。
奇函数和偶函数具有不同的对称性质，这些性质可以通过等式进行描述和证明。
可除性证明
假设a=b且c≠0，那么根据等式的定义，我们可以得出 a/c=b/c。
02 等式的运算规则
等式的加减法规则
总结词
等式的加减法规则是基本的运算规则，它遵循相同的数学原理。
详细描述
等式的加减法规则是指在进行等式运算时，将等式两边的数值进行加减运算，如果等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如，对于等式 (2 + 3 = 5)，如果两边同时加上(2)，得到 (4 + 3 = 7)，等式仍然成立。
几何图形的等分与对称
几何图形的等分
等式在几何图形中等分方面具有应用，例如通过等式确定点、线或面的位置，将图形等分为若干
部分。
图形的对称性
图形的对称性可以通过等式进行描述和证明，例如平行四边形、
矩形和圆的对称性质。
等分与对称的应用
在几何图形中，等分和对称的应用非常广泛，例如在建筑设计、艺术和工程等领域中都有应用。

等式的基本性质

叫做方未知数的值 )叫做方 )。。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做解方程求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是。列方程为 X+5=10 比多的数是的数是10。列方程为( (4)8与x的和是。方程为 8+X=56 与的和是的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是比少的数是21.5。列方程为的数是。 ( )。。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的两面分别印上 16页教材。页教材。页教材
对折四次后，对折四次后，每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、经过装订、裁边后就成了我们看到的教科书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的程的解。程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（除外），等式大小不变除外），等式大小不变。等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同一个不等于0的数，左一个不等于的数，的数右两边仍然相等。右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6）（
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。像上面，x=150就是方程100+x=250的解。求方程的解的过程叫做解方程。

等式的性质

b1 5.能不能从 a 3) x b 1得到等式 ( x , a3 b1 为什么？反之，能不从x 能得到等式 a3 (a 3) x b 1,为什么？
6.将 2 x 3 x两边同除以，得2 3，对其中错误 x 的原因，三名同学归：纳甲：方程本身错误， 3 x 2x 乙：方程无解丙：方程两边不能同除以0 时请谈谈你的看法
9．解方程：x+7=26．
10．解方程：7x=6x4．
11. 解方程：5x=20．
1 12. 解方程 : x 5 4 3
利用等式性质解一元一次方程就是把方程 b ax b 0(a 0)变形，最终化为的形式. x a
方程的解的检验: 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能够使方程的两边相等.
次方程 . (1)求式子的值（m x）x 4m ) 3m 2 x 6; 2003 ( ( 2)求关于的方程 m 3) 2 y x 2的解. y (
16.已知关于的方程 b c的解为，求 x ax 1 a b c 1的值
17.已知3b 2a 1 3a 2b, 利用等式的性质，试比较与b的大小 a .
第三章一元一次方程
3.12 等式的性质
+

等式的性质1 如果a=b，那么ac=bc.
3 3
等式的性质2 如果a=b，那么ac=bc.
a b 如果a b(c 0),那么 . c c
等式还有两条性质：
(1)对称性：如果 b, 那么b a . a ( 2)传递性：如果 b, 且b c， a 则a c .

等式的性质

答：根据等式的性质2,两边同时除以2。
（4）如果 0.2x=5 那么x=_.
随堂练习：
1.填空并说出是根条性质及怎样变形（改变式子的形式）
（4）如果 0.2x=5, 那么x=_25_. 答：根据等式性质2，两
边都乘以5。
练习2：以下等式变形，正确的是（ B）
① 由x = y，得到 x＋5 ＝ y＋5
等式的性质1:
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
数学语言：如果 a = b，那么 a ± c = b ± c
等式的性质2：
等式两边乘同一个数（或式子），或除以同一个非0的数（或式子）结果仍相等。
数学语言：如果 a = b，那么 a c = b c
如果
a
=
b，那么
a c
bc（c≠ 0）
习惯上，我们写为x=8.
归纳总结
1、等式的两条性质； ① 如果 a = b，那么 a ± c = b ± c ② 如果 a = b，那么 a c = b c 如果 a = b，那么 a b（c≠ 0）
cc
2、解一元一次方程的实质就是利用等式的性质求出未知数的值
② 若－x = y，根据_等__式_的__性__质__2_，得到 x =_－__y_ 。
随堂练习： 1.填空并说出是根据等式的哪条性质及怎样变形（改变式子的形式）（1）如果3x+7=8，那么
3x=8－______.
随堂练习： 1.填空并说出是根据性质及怎样变形（改变式子的形式）（1）如果3x+7=8那么 3x=8－_7_;
② 由 2 a +1 = b+1，得到 2 a = b
③ 由 m = n，得到 a m = a n

七年级等式的性质知识点

七年级等式的性质知识点等式是数学中重要的概念之一，在学习等式的过程中，我们需要了解等式的性质及其应用。

本文将从七年级等式的性质和重要应用方面进行介绍。

一、等式的基本概念1.等式的定义“等式”是指左右两边相等的式子，可用“=”号连接。

等式中的每个元素都称为“等式的项”。

例如：2x+3=5x-4在这个等式中，2x+3和5x-4分别是等式的两个项。

2.等式的意义等式是表示两个数相等的语句。

在求解问题的过程中，可以使用等式，将问题说明成两个数相等的形式。

等式可以让我们快速地计算出未知量，方便解决复杂的问题。

例如：小明的三倍加4等于19，即3x+4=19，可以解得出小明的值为5。

二、等式的性质1.等式的对称性等式的两边可以互换位置，等式仍然成立。

例如：a+b=b+ax+y=y+x2.等式的传递性如果a=b，b=c，则a=c。

例如：如果x+2=5，5-2=x，则x=3。

3.等式的合并性将两个等式左右两边相加或相减，等式仍然成立。

例如：x+3=7x+2=5两式相加得到 2x+5=124.等式的分配性将等式左右两边各乘以同一个数或者除以同一个不等于0的数，等式仍然成立。

例如：x+2=5两边同时减2得到x=35.等式变形将等式中的某一项移到另一边去，改变项的符号，等式仍然成立。

例如：x+5y=12变形得到x=12-5y三、等式的应用1.解方程等式可用来解方程，通过变形等式，求得未知数的值。

例如：x+2=8，通过变形等式得出x=6。

2.检验答案在解决数学问题时，可以通过等式来检验答案是否正确。

例如：小朱有20个苹果，小华有30个苹果，他们两人比较苹果的数量时，可以使用等式20+30=50来检验答案是否正确。

3.化简式子等式可以用于化简式子，将式子变形为更简单的形式。

例如：3(x+2)=3x+6，可以化简为3x+6=3x+6，从而进一步化简。

总结：等式是数学中很重要的概念之一，学习等式的性质有助于我们解决数学问题。

掌握等式的基本概念、等式的常见性质以及等式的应用方法，可以帮助我们更好地理解各种数学公式、定理和算法。

数学等式的定义和性质

数学等式的定义和性质第一部分：等式的定义：含有等号的式子叫做等式(数学术语)。

形式：把相等的两个数(或字母表示的数)用“=”连接起来。

等式可分为矛盾等式和条件等式。

矛盾等式就是左右两边不相等的"等式"。

也就是不成立的等式,比如5+2=8,实际上5+2=7,所以5+2=8是一个矛盾等式.有些式子无法判断是不是矛盾等式,比如x-9=2,只有x=11时这个等式才成立(这样的等式叫做条件等式),x11时,这个等式就是矛盾等式。

第二部分：等式的性质：1.等式两边同加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

即若a=b，则am=bm。

2.等式两边同乘以(或除以)同一个数(除数不能为零)，所得结果仍是等式。

即若a=b，则am=bm，(m0)。

3.等式具有传递性。

若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an4.等式两边同时乘方(或开方)，两边依然相等若a=b 那么有a^c=b^c 或(c 次根号a)=(c次根号b)5.等式的对称性(若a=b，则b=a)。

等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质。

如移项，运用了等式的性质1;去分母，运用了等式的性质2。

运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义。

拓展：1：等式两边同时被一个数或式子减，结果仍相等。

如果a=b，那么c-a=c-b2：等式两边取相反数，结果仍相等。

如果a=b，那么-a=-b3：等式两边不等于0时，被同一个数或式子除，结果仍相等。

如果a=b0，那么c/a=c/b4：等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。

如果a=b0，那么1/a=1/b第三部分：例题：方程3x-4=1+2x，移项，得3x-2x=1+4，也可以理解为方程两边同时()A.加上(-2x+4)B.减去(-2x+4)C.加上(2x+4)D.减去(2x+4)已知：|a|=3，b2=4，ab0，求a-b的值.解答过程：根据等式的基本性质1，方程3x-4=1+2x的两边同时加上(-2x+4)，可得：3x-4+(-2x+4)=1+2x+(-2x+4)，即3x-2x=1+4.故选A.。

3.1.2等式的性质

b+2变成b+2+4=b+6
(2)3x=2x+5 由2x+5变成5
3x变成3x-2x
(3) 1 x=5 由 1 x变成x
2
2
5变成5×2=10
(4)5m=2n 由5m变成m
2n变成2n÷5= 2 n
5
栏目索引
3.1.2 等式的性质
栏目索引
答案 (1)b+6 (2)2x (3)10 (4) 2 n
栏目索引
7.用适当的数或式子填空,使变形后仍是等式,并说明是根据哪一个性质
得到的.
(1)若3x+5=2,则3x=2-
;
(2)若-4x= 1 ,则x=
.
3
解析 (1)5.根据等式的性质1,方程两边都减5.
(2)- 1 .根据等式的性质2,方程两边都除以-4.
12
3.1.2 等式的性质
栏目索引
1.已知由- 1 x=6可得x=-24,下列变形方法:①方程两边同乘- 1 ;②方程两
题型二利用等式的性质对已知等式进行变形
例2 利用等式的性质在横线上填上适当的数或式子,并说明变形的根
据以及是怎样变形的.
(1)如果2x-3=-5,则2x=
,x=
;
(2)如果5x+2=2x-4,则3x=
,x=
;
(3)如果 1 x=2x-3,则- 5 x=
,x=
.
3
3
分析首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依

=1,且6÷ 14

=-24; 14

÷(-4)≠1,所以②③正确,①④错误.
3.1.2 等式的性质

等式的性质2

性质1：等式两边加（或减）同一个数，结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘（或除）同一个数，结果仍相等。

（除数不能为0）
式子x表示 1乘x
例2 利用等式的其的中性系1数是质这。解个式下子列方程。
(1)4 x 6;式子-2x表示 -2乘x 其中-2是这个式子的系数。
(2) 2x 3; 式子12 其中
1x x
21
1 乘x
表示 2 是这个式子
1 的系数2。
(3) x 3 7.
2
根据题意列出方程，并用等式的性质解出方程。
3
（1）耀达商场买出全部彩电的 4 后还剩
下150台，问耀达商场原有多少台彩电？
（2）初一（13）和初一（14）两班共有学生116名，已知初一（13）比初一（14）多4名，问两个班各有多少名学生？
（3）初一某班同学准备组织去东湖划船，如果减少一条船，每条船正好坐9名同学，如果增加一条船，每条船正好坐6名同学，问这个班共有多少名同学？
.
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等式的性质-完整版课件

【跟踪训练】
1.解方程并验:6x+3=2-7x.
解：两边减3，得 -6x＝-7x-1 两边加7x，得 x=-1.
检验：把x=－1代入方程：
左边=－6×（－1）＋3=9；
右边=2－7×（－1）＝9. 左边=右边，
所以x＝-1是原方程的解.
2. 已知 3 a4m 与 15a 5+3m是同类项，求m的值.
下列方程变形是否正确？如果正确，说明变形的根据；如果不正确，说明理由. （1）由x=y，得x+3=y+3
依据：等式性质1：等式两边同时加上3.
（２）由a=b，得a－6=b＋6
左边减6，右边加6，运算符号不一致.
（３）由m=n,得m-2x2=n-2x2
依据：等式性质1：等式两边同时减去2x2.
（４）由2x=x-5，得2x+x=-5
量．请你判断：1个砝码A与
个砝码C的质量相等．
【解析】由题意的A=B+C，A+B=3C，解得A=2C，即1 个砝码A与2个砝码C的质量相等. 答案：2
a b4，.如果a=b, 且
cc
则c应满足的条件是_c_≠__0___.
5.解方程
（1）4x - 2 = 2 x=1
1
（2） x + 2 = 6 x=8
8
解：由题意得，4m=5+3m,解得m=5. 3.请同桌（加、减、乘、除各举一例，除号用分数表示）.
1.填空并在括号内注明利用了等式的哪条性质.
（1）如果5+x=4，那么x=____（（2）如果-2x=6，那么x=____ (
）
-1 ) 等式的性质1
等号
a
b
+

数学等式的定义和性质

数学等式的定义和性质第一部分：等式的定义：含有等号的式子叫做等式数学术语。

形式：把相等的两个数或字母表示的数用“=”连接起来。

等式可分为矛盾等式和条件等式。

矛盾等式就是左右两边不相等的"等式"。

也就是不成立的等式,比如5+2=8,实际上5+2=7,所以5+2=8是一个矛盾等式.有些式子无法判断是不是矛盾等式,比如x-9=2,只有x=11时这个等式才成立这样的等式叫做条件等式,x≠11时,这个等式就是矛盾等式。

第二部分：等式的性质：1.等式两边同加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

即若a=b，则a±m=b±m。

2.等式两边同乘以或除以同一个数除数不能为零，所得结果仍是等式。

3.等式具有传递性。

若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an4.等式两边同时乘方或开方，两边依然相等若a=b 那么有a^c=b^c 或c次根号a=c 次根号b5.等式的对称性若a=b，则b=a。

等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质。

如移项，运用了等式的性质1;去分母，运用了等式的性质2。

运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义。

拓展：1：等式两边同时被一个数或式子减，结果仍相等。

如果a=b，那么c-a=c-b2：等式两边取相反数，结果仍相等。

如果a=b，那么-a=-b3：等式两边不等于0时，被同一个数或式子除，结果仍相等。

如果a=b≠0，那么c/a=c/b4：等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。

如果a=b≠0，那么1/a=1/b第三部分：例题：方程3x-4=1+2x，移项，得3x-2x=1+4，也可以理解为方程两边同时A.加上-2x+4B.减去-2x+4C.加上2x+4D.减去2x+4已知：|a|=3，b2=4，ab<0，求a-b的值.解答过程：根据等式的基本性质1，方程3x-4=1+2x的两边同时加上-2x+4，可得：3x-4+-2x+4=1+2x+-2x+4，即3x-2x=1+4.故选A.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

等式的基本性质

图1
a
= bb
图1
a
bb
图1
a
bb
图1
a
bb
a
bb
平衡的天平两边同时增加同样的物品，天平仍然保持平衡。
图1
a
bb
图2
１个花盆和 3 个花瓶同样重。
天平保持平衡的道理1:
平衡的天平两边同时增加或减少同样的物品，天平仍然保持平衡。
等式的基本性质1: 等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
如果a＝b，那么 a＋c＝b＋c a－c＝b－c
图3
χ
yy
2个
2个
图4
１个排球和 3 个皮球同样重。
天平保持平衡的道理2:
平衡的天平两边物品同时扩大或缩小相同的倍数，天平保持平衡。
等式的基本性质3: 等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
如果a＝b，那么 a×c＝b×c a÷c＝b÷c (c≠0)
两边拿掉（ 1 ）个苹果，天平仍保持平衡。一把香蕉和（ 5 ）个苹果同样重。
6只樱桃和( 3)个草莓同样重， ( 2)只樱桃和1个草莓同样重。
填空:在○中填符号，□中填适当的数。
如果a=b, 那么a+0.6=b○+0□.6
a○- 13□=b-
1 3
a×2.5=b○×□2.5
a○÷□6 =b÷6
② 如果χ-48=26.8，那么χ-48+48=26.8○+□48
③ 如果χ+2.1=10.5，那么 3（χ+2.1）=10.5○X□3
填空:在○中填符号，□中填Байду номын сангаас当的数。
如果х+15= 48，那么