届数学二次函数与幂函数
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。
本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。
一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。
幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。
它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。
通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。
二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。
二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。
幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
幂函数没有水平渐近线。
指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。
综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。
三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
二次函数与幂函数课件-2025届高三数学一轮复习
(2)二次函数的图象与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) __[_4a_c4_−a_b2_，__＋_∞__)_
(－∞，＋∞) _(_－__∞_，__4_ac4_−a_b_2]__
单调性 在_[_－__2ba_，__＋__∞_)__上单调递增； 在_(_－__∞_，__－__2b_a]_上单调递增； 在_(_－__∞_，__－__2b_a]__上单调递减 在_[_－__2ba_，__＋__∞_)_上单调递减
2．(教材改编)已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一
样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝－2(x＋1)2＋3
答案：D
解析：设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k(a≠0)，根据顶点为(－1，3)， 可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3.故选D.
解析：因为函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或 m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m>0，所以m＝1.
题后师说
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一 个条件即可确定其解析式．
在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
图象 过定点
(1，1)
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝_a_x_2＋__b_x＋__c_(_a≠__0_)_． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__(m__，_n_)__． 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的___零_点____．
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
考点06 高中数学-二次函数与幂函数-考点总结及习题
考点06二次函数与幂函数【命题趋势】此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用二次函数与幂函数的解析式1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x－1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.【巧学妙记】1.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2.已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.【答案】x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13-D ．−3【答案】A【解析】由题意可设()(f x x αα=为常数），因为满足()()432f f =，所以432αα=，所以2log 3α=，所以()2log 3f x x =，所以2log 311223f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选A ．幂函数的图像与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x-=【巧学妙记】4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6.若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，－1)【解析】不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或23<a<32.二次函数图像与性质的应用函数解析式2()(0)f x ax bx c a=++>2()(0)f x ax bx c a=++<图象(抛物线)定义域R值域24[,)4ac ba-+∞24(,]4ac ba--∞对称性函数图象关于直线2bxa=-对称顶点坐标24(,)24b ac ba a--奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数；在[,)2ba-+∞上是增函数.在(,]2ba-∞-上是增函数；在[,)2ba-+∞上是减函数.最值当2bxa=-时，2min4()4ac bf xa-=当2bxa=-时，2max4()4ac bf xa-=【巧学妙记】7.一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.8.函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(－∞，－1)【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.1.已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)2.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（）A.()3,+∞ B.3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),3-∞ D.3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭3.已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(－∞,2)D.(－∞,2]4.函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.6a =- B.6a ≥- C.6a >- D.6a ≤-5.已知幂函数a y k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（）A.32B.3C.12D.26.若幂函数f (x )的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（）A.()0,2 B.()(),02,-∞+∞ C.()2,0- D.()(),20,-∞-+∞ 7.若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（）A.1a b >>B.1a b >>C.0b c>> D.0d c>>8.已知幂函数()y f x =的图象过点13(,)33，则3log (81)f 的值为（）A.12B.12-C.2D.2-9.（多选题）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（）A.640x y --=B.470x y -+=C.470x y -+=D.3210x y -+=二、填空题10.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.11.已知直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是___________.12.已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____13.幂函数()24222m y m m x --=--在(0,+∞)上为增函数，则实数m =_______.14.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.一、单选题1．（2013·浙江高考真题（文））已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝02．（2007·湖南高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．（2008·江西高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-4．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．2y x-=B ．1y x-=C ．2y x=D ．13y x=二、填空题5．（2017·北京高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.6．（2012·山东高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.三、解答题7．（2014·辽宁高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.一、单选题1．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x -=C ．2(1)y x =-D ．ln y x=2．（2021·新疆高三其他模拟（文））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<3．（2021·全国高三月考（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．785．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（）A ．（–∞，–1）B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x x =；⑤1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·江西高三二模（文））设ln 2a =，0.1b =，0.1c =，则下列关系中正确的是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()132f >B ．函数()(110x f x aa -=+>且)1a ≠的图象恒过定点()1,2C ．函数()21f x x =-在()0,∞+上单调递减D ．若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2三、填空题10．（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()24a af x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知2()31f x ax x =-+，若对任意的[1,1]a ∈-，总有()0f x ≥，则x 的范围是______．12．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））给出以下几个不等式：①0.30.70.40.1<；②45log 3log 4<；③131sin sin 223<；④16181816<．其中不等式中成立序号为______．四、解答题13．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.参考答案跟踪训练1.【答案】：C 【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞ .故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D 【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴12ax =≤，解得2a ≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B 【分析】根据函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可．【详解】∵函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，x=2a -∴32a-≤，即6a ≥-故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题．5.【答案】：A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得1k =，将点(4,2)的坐标代入解析式，计算可得α的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，函数y k x α=⋅为幂函数，则1k =，若其图象过点(4,2)，则有24α=，解可得12α=，则32k α+=；故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．6.【答案】：A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2122α⎛= ⎝⎭，解得2α=，()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==，令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C 【分析】设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，求得()12f x x =，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，可得31(33α=，解得12α=，即()12f x x =，所以12333log (81)log 81log 92f ===.故选：C .9.【答案】AD 【分析】先根据点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，可求出a ，再设出切点()00,P x y ，求出在点P处的切线方程，然后根据点A 在切线上，即可解出．【详解】因为点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =．设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()26f x x '=，即206k x =，所以在点P 处的切线方程为：()3200026y x x x x -=-，即230064y x x x =-．而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-，即()()()()222000002111210x x x x x ---=-+=，解得01x =或012x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=．故选：AD ．【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题10.【答案】：[)4,+∞【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11.【答案】：514a <<【分析】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，即满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，则21a x x =-++，满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使y a =和21y x x =-++有四个交点，需满足514a <<故答案为：514a <<.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12.【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得211m m +-=，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m 的值.【详解】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．13.【答案】：－1【分析】利用幂函数定义和单调性可得2221m m --=且420m -->，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221m m --=，解得：3m =或1m =-因为在()24222m y m m x--=--()0+∞，上为增函数，所以420m -->，即12m <-，所以1m =-故答案为：1-【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0真题再现1．A 【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2．C 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．3．C 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立；当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.4．A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数，C.2y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y+的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6．14【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意7．（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（），求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证．（1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤.当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．模拟检测1．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A 选项：指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数112<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上单调递减；对于B 选项：幂函数1y x -=，10-<，所以幂函数1y x -=在(0,)+∞上单调递减；对于C 选项：二次函数2(1)y x =-，对称轴为1x =，所以二次函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1)+∞，上单调递增；对于D 选项：对数函数ln y x =，底数1e >，所以对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2．A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11(()22m n <，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.3．B【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.4．D【分析】利用函数单调性求得a ，b 关系，结合几何概型即可求解．【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增所以242≤⇒≤b b a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D5．B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由2230x x --+>，得31x -<<，当31x -<<-时，函数223y x x =--+单调递增，所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递增；当11x -<<时，函数223y x x =--+单调递减，所以所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递减，故选：B.6．D【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.7．D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】ln 2ln 1a e =<=Q，0.10.101b c =>=>=，b c a ∴>>．故选：D8．D【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围.【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<，∴11(,3)13n m +∈+.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．BD【分析】由()f x 所过点可求得幂函数()f x 解析式，由此得到()132f <，知A 错误；由()12f =恒成立可知()f x 过定点()1,2，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.【详解】对于A ，令()f x x α=，则122α=，解得：1α=-，()1f x x -∴=，()11332f ∴=<，A 错误；对于B ，令10x -=，即1x =时，()1112f =+=，()f x ∴恒过定点()1,2，B 正确；对于C ，()f x 为开口方向向上，对称轴为0x =的二次函数，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ，令()4f x =，解得：0x =或2x =；又()()min 13f x f ==，∴实数m 的取值范围为[]1,2，D 正确.故选：BD.10．2【分析】由()24aa f x x -=在()0+∞，上是减函数，可得04a <<，进而可得结果.【详解】因为()24a a f x x -=在()0+∞，上是减函数，所以240a a -<，解得04a <<，又函数为偶函数，且a Z ∈，当1a =时，()-3f x x =为奇函数当2a =时，()4f x x -=为偶函数当3a =时，()3f x x -=为奇函数；所以2a =故答案为：211．31331322x +-+-≤≤【分析】把函数f (x )视为关于参数a 的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g (a )=x 2·a -3x +1，则g (a )是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x 轴下方，只需端点不在x 轴下方即可，22310[1,1],()0[1,1],()0310x x a f x a g a x x ⎧-+≥∴∀∈-≥⇔∀∈-≥⇔⎨--+≥⎩，解2310x x -+≥得：352x ≤或352x ≥，解2310x x --+≥得：31331322x --+≤≤，所以有3322x +-+-≤≤.答案为：3322x +-+-≤≤【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12．②③④【分析】利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断②的正误；利用函数()sin x f x x=的单调性可判断③的正误；利用对数函数()ln x g x x=可判断④的正误.【详解】对于①，()()0.10.10.330.170.10.40.40.0640.10.0000001==>=，①错误；对于②，()()22245ln 3ln 5ln 4ln 3ln 5ln 4ln 3ln 42log 3log 4ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=<(()22ln 40ln 4ln 5-=<，所以，45log 3log 4<，②正确；对于③，令()sin x f x x =，其中()0,1x ∈，则()2cos sin x x x f x x -'=，令()cos sin h x x x x =-，其中()0,1x ∈，则()sin 0h x x x '=-<，所以，函数()h x 在()0,1上单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，因为110132<<<，则1123f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112sin 3sin 23<，故131sin sin 223<，③正确；对于④，设()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，当x e >时，()0g x '<，即函数()g x 在(),e +∞上单调递减，所以，()()1618g g >，即ln16ln181618>，所以，1816ln16ln18>，因此，16181816<，④正确.故答案为：②③④.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．25()f x x =或85()f x x =.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于t 满足的式子，即可求得t 的值.【详解】因为幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，所以322117320732t t t t t t ⎧-+=⎪+->⎨⎪+-⎩是偶数，解得1t =或1t =-，当1t =时，25()f x x =，当1t =-时，85()f x x =.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.。
高中数学-幂函数与二次函数
高中数学幂函数与二次函数【知识点、命题法及典型例题】考点一 二次函数1 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线顶点坐标．(3)两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标． 2 二次函数的图象与性质函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)续表函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)最值当x＝－b2a时，y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y max＝4ac－b24a二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.命题法二次函数的图象及性质的应用典例(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③(2)已知对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3【解题法】二次函数问题的求解策略(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题．(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚．考点二幂函数1幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数．2五种幂函数图象的比较3幂函数的性质比较注意点α的大小对幂函数图象的影响幂函数在第一象限的图象中，以直线x＝1为分界，当0<x<1时，α越大，图象越低(即图象越靠近x轴，可记为“指大图低”)；当x>1时，α越大，图象越高(即图象离x轴越远，不包含y＝x0).命题法幂函数的图象及性质的应用典例(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()(2)若a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c【解题法】 幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．【补救练习】1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或22．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )3．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)【巩固练习】4．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋15．已知二次函数图象的对称轴为x＝－2，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．【拔高练习】6．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．7．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．。
高中数学总复习：幂函数与二次函数
1
（－∞，－ ］
8
.
解析：因为幂函数 y ＝ x －3在区间[－2，0）上单调递减，所以当 x
1
＝－2时，函数取得最大值－ ，又当 x →0时， y →－∞，所以函数
8
1
－3
y ＝ x 在区间[－2，0）上的值域为（－∞，－ ］.
8
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 幂函数 y ＝ x α在第一象限的两个重要结论
第四节
幂函数与二次函数
1. 通过具体实例，理解幂函数的概念.
2.
1
结合 y ＝ x ， y ＝ ， y ＝ x 2， y ＝
， y ＝ x 3的图象，理解它们的
变化规律.
3. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
4
知识 体系构建
考点 分类突破
微专题3 一元二次方程根的分布
（简记：“指大图低”），在（1，＋∞）上，幂函数的指数
越大，函数图象越远离 x 轴（简记：“指大图高”）；
（2）从函数曲线的形状上看：当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1
时，曲线下凸.当α＜0时，幂函数的图象都经过点（1，1），
在第一象限内，曲线下凸.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借
（1）恒过点（1，1）；
（2）当 x ∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当 x ∈（1，＋∞）
时，α越大，函数值越大.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 二次函数在闭区间上的最值
设二次函数 f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ＞0），闭区间为[ m ， n ]：
第4节幂函数与二次函数
第4节幂函数与二次函数幂函数和二次函数是数学中的两个重要概念，它们在不同的场景中起着不同的作用。
本文将介绍这两个函数的定义、性质以及它们的关系。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指由x的正整数幂次构成的函数，其一般形式可以表示为f(x)=ax^n，其中a为非零实数，n为正整数。
幂数n决定了函数图像的性质，下面我们来看几个不同幂次的幂函数。
1. 当n=1时，幂函数就是一次函数，即f(x)=ax。
它的图像是一条斜率为a的直线。
2. 当n=2时，幂函数就是二次函数，即f(x)=ax^2、它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
3. 当n=3时，幂函数就是三次函数，即f(x)=ax^3、它的图像是一个类似于字母"S"形状的曲线。
幂函数的性质如下：1.当n为奇数时，函数图像关于y轴对称；当n为偶数时，函数图像关于原点对称。
2.当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
3.当n>1时，函数在原点附近增长或下降得非常快；当n=1时，函数图像为一条直线，增长或下降速度相对较慢。
二、二次函数的定义与性质二次函数是指由x的二次幂和一次幂构成的函数，其一般形式可以表示为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不为0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二次函数的性质如下：1.当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中b^2-4ac<0时，抛物线没有实根；b^2-4ac=0时，抛物线与x轴相切；b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。
3.如果a>0，则抛物线的最小值为c-b^2/4a；如果a<0，则抛物线的最大值为c-b^2/4a。
三、幂函数与二次函数的关系从上面的定义与性质可以看出，二次函数是幂函数的一个特例，即二次函数是幂函数在幂次n=2时的情况。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)(8)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析：由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1， 所以必有⎩⎨⎧a ＞0，－a ＝－1.解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)， ∴拋物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a 2)21(-x ＋8.∵f (2)＝－1，∴a 2)212(-＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－42)21(-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 解析：设y ＝a (x －2)2－1，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，∴y ＝12(x －2)2－1. 答案：y ＝12(x －2)2－12．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数， ∴ab ＋2a ＝0(a ≠0)，∴b ＝－2，当x ＝0时，2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋3－a 2，关于x ＝－a 对称， ∵x ∈[－4,6]．①当－a ≤－4，即a ≥4时，f (x )在[－4,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－4)＝16－8a ＋3＝19－8a②当－4＜－a ≤6，即－6≤a ＜4时，只有当x ＝－a 时，f (x )min ＝3－a 2， ③当－a ＞6时，即a ＜－6时，f (x )在[－4,6]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (6)＝36＋12a ＋3＝39＋12a . 综上，当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f (x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围． 解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎨⎧f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立，即2a ＞－)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－)3(xx +，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号．∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝.答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．3 解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·xm 2＋m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m 2＋m －3＞0，∴m ＝2. 答案：B(3)已知f (x )＝21x ，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f )1(a ＜f )1(bB ．f )1(a ＜f )1(b＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(aD ．f )1(a ＜f (a )＜f )1(b＜f (b )解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜b ＜1b ＜1a ，又f (x )＝21x 为增函数， ∴f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(a.答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a ＞b ＞c ＞d .故选B. 2．若3131)23()1(---<+a a ，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.答案：(－∞，－1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决． [典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在]1,0[a上递减，在]1,1[a上递增． ∴f (x )min ＝f )1(a＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a >0和a <0.第三层：对称轴x ＝1a 与区间[0,1]的位置关系，左、内、右． (2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知342=a ，323=b ，3125=c 则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b解析：选A.，323442==a ，3231525==c 而函数32x y =在(0，＋∞)上单调递增，所以323232543<<，即b ＜a ＜c ，故选A.2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解析：选C.由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c ，故选C.3．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C.A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝x e )1(是非奇非偶函数，B 不正确；C中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C.4．(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x ＜1，e x －1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．答案：(－∞，8]5．(2015·高考天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由已知条件得b ＝8a ，令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，则f (a )＝log 2a ·log 216a ＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2＋4， 当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值． 答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C.设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图象得：a ＜0，b ＜0，c ＞0.选C.2．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析：选A.设f (x )＝x a, 又f (4)＝3f (2)，∴4a ＝3×2a ，解得a ＝log 23，∴)21(f ＝3log 2)21(3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b 2a ＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．－2＜a ＜2C ．a ＞2或a ＜－2D ．1＜a ＜3解析：选C.∵f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，∴Δ＝a 2－4＞0，则a ＞2或a ＜－2.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14. 答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎨⎧a ＞0，ac －4＝0. 答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为),8[+∞m ，所以m 8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝2)22(--k x ＋1－(k －2)24. 由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c .若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( )A ．f (p ＋1)＞0B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)＞0，f (p )＜0，∴－1＜p ＜0，p ＋1＞0，∴f (p ＋1)＞0.3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b 2a＝－1，∴2a －b ＝0. 当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0.∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b .4．已知幂函数f (x )＝21-x ，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝21-x ＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎨⎧ a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5) 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。
二次函数与幂函数的关系与性质
二次函数与幂函数的关系与性质二次函数和幂函数是高中数学中重要的概念，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数与幂函数之间的关系与性质。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一条U形曲线，被称为抛物线。
1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数值等于零的x值，即f(x) = 0的解。
二次函数的求解可以使用配方法、因式分解或求根公式来进行。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的对称轴线，它与抛物线的顶点重合。
二次函数的对称轴的方程为x = -b/2a，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数的增减性当a > 0时，二次函数是开口向上的，即函数的图像在对称轴的两侧递增；当a < 0时，二次函数是开口向下的，即函数的图像在对称轴的两侧递减。
4. 函数的最值当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
二、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a为非零实数，b为实数。
幂函数的特点是具有不同的增长速度和变化趋势。
1. 底数和指数幂函数中的x称为底数，b称为指数。
不同的底数和指数会导致幂函数的图像形状和性质的差异。
2. 增减性与奇偶性当b > 0时，幂函数是递增的；当b < 0时，幂函数是递减的。
当b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当b为奇数时，幂函数的图像不对称。
3. 渐近线和极限当b > 1时，幂函数的图像会趋近于x轴正半轴；当b < 1时，幂函数的图像会趋近于x轴负半轴。
幂函数在x = 0处的极限取决于指数b的正负性。
三、二次函数与幂函数的关系二次函数其实可以看作是幂函数的一种特殊情况，即当指数b为2时。
因此，二次函数可以被视为幂函数的一种扩展形式，二次函数的性质也可以通过幂函数的性质进行类比和推导。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0，a、b和c为常数，x为自变量。
2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项的系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
•二次函数的对称轴是一个直线，其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
•二次函数的顶点是对称轴上的点，坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。
•当a>0时，二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$；当a<0时，二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到不同形状的图像。
•平移：设二次函数为f(x)=x2，当向右平移ℎ个单位，得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2；当向上平移k个单位，得到f(x)+k=x2+k。
•伸缩：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标伸缩为原来的m倍，纵坐标伸缩为原来的n倍，得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。
•翻转：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标翻转，得到f(−x)= (−x)2=x2；当纵坐标翻转，得到−f(x)=−x2。
二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数，其中a eq0，a和b为常数，x为自变量。
2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。
当b>0且a>0时，幂函数图像在第一象限上递增；当b>0且a<0时，幂函数图像在第一象限上递减；当b<0时，幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。
11 第二章 第四节 二次函数与幂函数
又函数f
(x)有最大值8，即4a
－2a&－1 4a
－a2＝8，解得a＝－4.
故f (x)＝－4x2＋4x＋7.
第四节 二次函数与幂函数
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
求二次函数解析式的方法
第四节 二次函数与幂函数
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)
自查自测 知识点一 幂函数 1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
1 (1)函数y＝2x2是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
第四节 二次函数与幂函数
必备知识 落实“四基”
第二章 函数 第四节 二次函数与幂函数
·考试要求· 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x12，y＝x3的图象，理 解它们的变化规律，了解幂函数. 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之 间的关系解决简单问题．
第四节 二次函数与幂函数
必备知识
落实“四基”
最值
4ac－b2
4ac－b2
当x＝－2ba时，ymin＝_____4_a______ 当x＝－2ba时，ymax＝____4_a___
第四节 二次函数与幂函数
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
【常用结论】 n
对于形如f (x)＝xm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f (x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f (x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f (x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第 一象限及原点处)．
高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案
教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。
第4讲 幂函数与二次函数
第4讲 幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数(1)定义：形如□01y ＝x α的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)常见的5种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域□02⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ □03⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈□05⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈□04⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称1．幂函数图象特征(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴(简记为“指大图低”)； (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0且Δ<0”． 4．二次函数的对称轴二次函数y ＝f (x )对定义域内的所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数在闭区间[m ，n ]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b 2a ∈[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a .(2)若－b2a ∉[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}． 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (x )为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．定义域内的增函数D ．定义域内的减函数答案 D解析 设幂函数f (x )＝x α，∵其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，∴2α＝22＝2－12 ，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D ．2．若函数y ＝x 2－2tx ＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t 的取值范围是( ) A ．t ≤1 B ．t ≥1 C ．t ≤－1 D ．t ≥－1答案 A解析 ∵函数y ＝x 2－2tx ＋3的图象关于直线x ＝t 对称，且开口向上，∴t ≤1. 3．(2019·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2答案 A解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4，∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0,1]上单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值，∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1，故选A ．4．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________. 答案 [－1,3]解析 ∵g (x )＝(x －1)2－1，∴g (x )min ＝g (1)＝－1，g (x )max ＝g (3)＝3.∴所求值域为[－1,3]．5．已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.答案 －1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________.答案 (－∞，－3]解析 只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．因为函数f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝1－4＝－3，所以m ≤－3.核心考向突破考向一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2019·九江模拟)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案 B解析 由题意知⎩⎨⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B ．(2)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD．a>b>d>c答案 B解析由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a>b>c>d，故选B．幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分的区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．[即时训练]1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3 B．1C．2 D．1或2答案 B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B．2．(2019·昆明模拟)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为() A．a＜c＜b B．c＜a＜bC．a＜b＜c D．c＜b＜a答案 B解析由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.考向二求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解 解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值f (x )max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[即时训练] 3.已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．解解法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c＝0，a＋b＋c＝1，－b2a＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，b＝2，c＝0，∴f(x)＝－x2＋2x.解法二：(两根式)∵f(x)图象的对称轴方程为x＝1，∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0的两根分别为0,2.∴可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．又f(1)＝1，可得a＝－1，∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，∴可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.又由f(0)＝0，可得a＝－1，∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.精准设计考向，多角度探究突破考向三二次函数的图象与性质角度1 二次函数的单调性例3 (1)函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0 B ．a <0 C ．0<a ≤13 D ．a ≥1答案 D解析 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴方程为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1,3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D ．(2)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ，若对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，则f (－2)，f (4)，f (5)的大小关系为( )A ．f (5)>f (－2)>f (4)B ．f (4)>f (5)>f (－2)C ．f (4)>f (－2)>f (5)D ．f (－2)>f (4)>f (5)答案 B解析 因为对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，所以函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称，所以f (－2)＝f (10)，又函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象开口向下，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f (4)>f (5)>f (10)，即f (4)>f (5)>f (－2)．(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．[即时训练] 4.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－4,6]， 且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－4,0]． 角度2 二次函数的最值问题例4 (1)(2019·南昌模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝________.答案 1解析 因为函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，所以⎩⎨⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[t ，t ＋2]． ①求f (x )的最值；②当f (x )的最大值为5时，求t 的值．解 f (x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，其图象的对称轴为直线x ＝1.①ⅰ.若t >1，则当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3；当x ＝t ＋2时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.ⅱ.若t ≤1<t ＋1，即0<t ≤1，则当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝－4；当x ＝t ＋2时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.ⅲ.若t ＋1≤1<t ＋2，即－1<t ≤0，则当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝－4；当x ＝t 时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3.ⅳ.若t ＋2≤1，即t ≤－1，则当x ＝t 时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3；当x ＝t ＋2时，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②由①，可知当t ≤0时，f (x )max ＝t 2－2t －3；当t >0时，f (x )max ＝t 2＋2t －3， 设f (x )的最大值为g (t )，则g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，因为g (t )＝5，所以⎩⎨⎧t ≤0，t 2－2t －3＝5⇒⎩⎨⎧t ≤0，t ＝－2或t ＝4⇒t ＝－2；⎩⎨⎧ t >0，t 2＋2t －3＝5⇒⎩⎨⎧t >0，t ＝2或t ＝－4⇒t ＝2. 故当f (x )的最大值为5时，t ＝2或t ＝－2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．[即时训练] 5.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去． (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38.(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.角度3 与二次函数有关的恒成立问题例5 (1)(2019·合肥模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57答案 D解析 由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57， ∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D ．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，若∀x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4解析 因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，其图象的对称轴为x ＝－(a －2)，∀x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得⎩⎨⎧－(a －2)<－3，f (－3)>0或⎩⎨⎧－3≤－(a －2)≤1，Δ<0或⎩⎨⎧－(a －2)>1，f (1)>0，解得a ∈∅或1≤a <4或－12<a <1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[即时训练] 6.已知两函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 2＋4x ＋4，其中k 为实数．(1)对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (2)存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)，求k 的取值范围．解 (1)设h (x )＝f (x )－g (x )＝6x 2＋12x －4－k ，问题转化为x ∈[－3,3]时，h (x )≤0恒成立，故h (x )max ≤0.由二次函数的性质可知h (x )max ＝h (3)＝86－k ，有86－k ≤0，得k ≥86.(2)由题意，存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，即h (x )＝f (x )－g (x )＝6x 2＋12x －4－k ≤0在x ∈[－3,3]时有解，故h (x )min ≤0.由二次函数的性质可知h (x )min ＝h (－1)＝－10－k ，有－10－k ≤0，得k ≥－10.(3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，所以f (x )max ≤g (x )min ，x ∈[－3,3]．由二次函数的性质可得f (x )max ＝f (3)＝120－k ，g (x )min ＝g (－1)＝2.故有120－k ≤2，得k ≥118.课时作业1．(2019·福州模拟)若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13答案 C解析 设f (x )＝x α，则4α2α＝3，即2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝12α＝13.2．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y ＝x 下方的增函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －1答案 A解析 结合常用幂函数的图象可知y ＝x 12的图象满足条件．3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)答案 C解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C ． 4．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限答案 D 解析 y ＝x－1的图象经过第一、三象限，y ＝x 12的图象经过第一象限，y ＝x的图象经过第一、三象限，y ＝x 3的图象经过第一、三象限．故选D ．5．(2020·定州模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 ∵函数f (x )＝(a －1)x b 是幂函数，∴a －1＝1，解得a ＝2，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在该函数的图象上，∴2b＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a ＝1 ①.又f (－1)＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2，故选A ．7．(2019·唐山模拟)已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) 答案 C解析 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.8．(2019·成都模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0) 答案 B解析当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B．9．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是()A．[1,7] B．[1,6]C．[－1,1] D．[0,6]答案 A解析∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.由f(x)的图象知，－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.10．(2019·西安模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③答案 B解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为直线x＝－1，即－b＝－1,2a－b＝0，②错误．2a结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．11．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1,2]D ．(0,2]答案 A解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，即a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对x∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，设y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18(t ∈[1,3])，∴y max ＝－1，∴a ≥－1.故选A ．12．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B ．解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B ．13．(2019·南昌模拟)若x >1时，x a －1<1，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，1)解析 因为x >1，x a －1<1，所以a －1<0，得a <1.14．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________.答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，∴3<a <5.15．(2019·武汉模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1解析 解法一：由于方程x 2＋ax －2＝0有解，设它的两个解分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝－2<0，故方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有唯一解． 设f (x )＝x 2＋ax －2，则f (1)·f (5)≤0， 即(a －1)(5a ＋23)≤0，解得－235≤a ≤1.解法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x －x 在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________.答案 －1和0 (0,4] 解析 当0≤x ≤c 时，由x 12＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x＝－1，所以函数f (x )的零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．。
第4讲-幂函数、二次函数及基本不等式
幂函数与二次函数学习目标1、了解幂函数的概念及其性质，尤其是几个特殊幂函数的图像、单调性等基本性质2、进一步了解一元二次函数的相关性质3、掌握几个基本不等式及其应用1．幂函数的定义一般地，形如y x α=(R α∈)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象分别如右图．上面五个函数是学习和研究幂函数性质（图像、单调性、 对称性、奇偶性等）的代表，需熟练掌握。
3．幂函数的性质（1）所有幂函数y x α=的图像均过定点(1,1)（2）如0α>，所有幂函数的图像均过原点，且在[0,)+∞上单调递增 （3）如0α<，所有幂函数在(0,)+∞上都单调递减。
4．一元二次函数及其性质定义：形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数，叫一元二次函数。
其图像如下xyO xyO2b x a=-2b x a=-一元二次函数的性质（续） 对称轴顶点开口方向及最值2b x a=-24(,)24b ac ba a --0a >时开口向上 2min 44ac by a-=0a <时开口向下2max 44ac b y a-=如0a >，则2b x a >-（对称轴右边）时单调递增，2bx a <-（对称轴左边）时单调递减。
如0a <，则2b x a <-（对称轴左边）时单调递增，2bx a>-（对称轴右边）时单调递减。
【注意】求解二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]m n 上的最值，要分析对称轴2bx a=-是否经过此区间，然后用函数的单调性解决。
5．一元二次不等式的解集 不妨设0a >，则20ax bx c ++>的解集如下（1）如0∆<，其解集为(,)-∞+∞；（2）如0∆≥，其解集为12(,)(,)x x -∞⋃+∞，其中12,x x 为20ax bx c ++=之二根，且12x x ≤20ax bx c ++<的解集如下（1）如0∆<，则其解集为∅；（2）如0∆≥，则其解集为12(,)x x ，其中12,x x 为20ax bx c ++=之二根，且12x x ≤开口向下的情况可参照上面的解法求解，也可转化为开口向上的情况求解。
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A组专项基础训练(时间：60分钟)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·浙江)设函数f(x)＝{－x，x≤0，x2，x>0，若f(α)＝4，则实数α等于
() A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案 B
解析当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.
2．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于() A．3 B．2或3 C．2 D．1或2
答案 C
解析函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，
由已知条件{f?1?＝1，f?b?＝b，b>1，即{b2－3b＋2＝0，b>1.解得b＝2. 3．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()
答案 D
解析由A，C，D知，f(0)＝c<0.
∵abc>0，∴ab<0，∴对称轴x＝－b
2a>0，
知A，C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－b
2a<0，B错误．
4．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是() A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
答案 D
解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0， x ∈[0,1]，
所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴Δ是直线x ＝1.
所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为____________．
答案 y ＝12
(x －2)2－1 6． 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为
____________．
答案 (－∞，－2]
解析 f (x )的图象的对称轴为x ＝1－a 且开口向上，
∴1－a ≥3，即a ≤－2.
7． 当α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限． 答案 二、四
解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12
时，y ＝x α的图象 经过第一象限．
三、解答题(共25分)
8． (12分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )
＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．
解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a <0)，
则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，
f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，
Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0,16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0，
20a 2－16a －4＝0,5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0，
解得a ＝－15
或a ＝1(舍去)． 因此f (x )的解析式为f (x )＝－15
(x －1)(x －3)． 9． (13分)(2012·玉林调研)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，
值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．
解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.
当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，
∴{ f ?－1?＝1＋3a ＝－2，f ?1?＝1－a ＝2?a ＝－1(舍去)；
当－1≤a ≤0时，{ f ?a ?＝a －a 2＝－2，f ?1?＝1－a ＝2?a ＝－1；
当0<a ≤1时，{ f ?a ?＝a －a 2＝－2，f ?－1?＝1＋3a ＝2?a 不存在；
当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，
∴{ f ?－1?＝1＋3a ＝2，
f ?1?＝1－a ＝－2?a 不存在． 综上可得a ＝－1.
B 组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·合肥调研)已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭
⎫2，22，则f (4)的值等于 ( )
A ．16
C ．2
答案 D
解析 将点⎝⎛⎭
⎫2，22代入得：2α＝22，所以α＝－12， 故f (4)＝12
. 2． (2012·温州十校联考)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，
f (x )与
g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．(0,2)
B ．(0,8)
C ．(2,8)
D ．(－∞，0)
答案 B
解析 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m 2m
≥0，即0<m ≤4，
结论显然成立；
②若对称轴4－m 2m
<0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8，
综上，0<m <8，选B.
3． 已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是
( )
A ．a ≤2或a ≥3
B ．2≤a ≤3
C ．a ≤－3或a ≥－2
D ．－3≤a ≤－2
答案 A
解析 由函数图象知，(2,3)在对称轴x ＝a 的左侧或右侧，∴a ≥3或a ≤2.
二、填空题(每小题4分，共12分)
4． 已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭
⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7， 则此二次函数的解析式是______________．
答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40
解析 设二次函数的解析式为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49 (a ≠0)，方程a (x ＋32
)2＋49＝0的两个 根分别为x 1，x 2，
则|x 1－x 2|＝2－49a
＝7， ∴a ＝－4，故f (x )＝－4x 2－12x ＋40.
5． 若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________．
答案 0<a ≤14
解析 令y ＝x 2－11x ＋30＋a ，结合图象有
∴0<a ≤14
. 6． 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为
____________．
答案 ⎣⎡⎦
⎤1，3127 解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，
∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称，即a －1＝－2a ，
∴a ＝13，∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， 即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，
∴f (x )＝13
x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－23，23，其值域为⎣⎡⎦⎤1，3127. 三、解答题(13分)
7． 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．
解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，
当a ≥1时，y max ＝a ；
当0<a <1时，y max ＝a 2－a ＋1；
当a ≤0时，y max ＝1－a .
根据已知条件：{ a ≥1，a ＝2或{ 0<a <1，
a 2－a ＋1＝2或{ a ≤01－a ＝2， 解得a ＝2或a ＝－1.。