高考数学一轮复习 专题4.7 正余弦定理应用(练)

专题4.7 正余弦定理应用

1. 如图，某人为了测量某建筑物两侧A.B 间的距离(在A ，B 处相互看不到对方)，选定了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量，你认为测量时应测量的数据是________．

【答案】a ，b ，γ

【解析】测出a ，b ，γ就可以利用余弦定理求出AB 的距离．

2.在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为 . 【答案】19

【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.

∴BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.

3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 . 【答案】50 m

4.如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙壁AC 上，0

60=∠ABC ，若AB 滑动至DE 位置， 且

)23(-=AD 米，问木棒AB 中点O 所经过的路程为 米．

【答案】

12

π 【解析】设AB 的中点为P ，DE 的中点为P '，连接CP 、CP '，如图，

．

5.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且

90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为 _________.

【答案】

3

【解析】设物体运动的速度为v ，依题意=,RQ=2,PQ v v 在ROQ ∆中，由正弦定理得，

2sin 30sin v OQ

R

=∠，故4sin R OQ v =∠，又0

R OQP 30∠=∠-，故0

4sin(OQP 30)OQ v =∠-，在Rt OPQ ∆中，

sin O OQ

PQ v

∠=

04sin(O 30)QP =∠-,展开得，sin O O 2cos O PQ QP QP ∠∠-∠，又

sin O cos O QP PQ ∠=∠，cos O sin O QP PQ ∠=∠，则有3sin O O PQ PQ ∠∠，即

sin O tan O cos O 3

PQ PQ PQ ∠∠=

=

∠. 6.一艘船上午9：30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东300

处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：

00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东750

，且与它相距海里，则此船的航速是_________.

【答案】32海里/小时.[

【解析】经计算0

30A ∠=，0

45S ∠=，sin 16sin S

AB BS A

=

=海里，速度为32海里/小时.[ 7.甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 . 【答案】150

7

分钟

8.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是 . 【答案】70海里

【解析】设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E 、F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°，EF ＝CE 2

＋CF 2

－2CE ·CF cos120°＝502

＋302

－2×50×30cos120°＝70. 9.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为 . 【答案】2cos10°

10如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km) .

【答案】6.6

【解析】∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 000

32 m.

∴航线离山顶h ＝50 000

32

×sin 75°≈11.4 km.

∴山高为18－11.4＝6.6 km.

11.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=,则tan θ的最大值 .

12.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

【答案】

【解析】如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝

3

3

×30＝103(m)，

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝900＋300－2×30×103×

3

2

＝300＝103(m)．

13.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．