第3章全等三角形

第3章全等三角形3.6勾股定理〖教学目标〗（－）知识目标经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

（二）能力目标1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．3.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力.（三）情感目标1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2.对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.〖教学重点〗了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题.〖教学难点〗勾股定理的发现.〖教学过程〗一、课前布置1.自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.2.查找有关“勾股定理”的资料二、学情诊断1.了解学生原有认知机构，解答学生提出的问题.2.“勾股定理”资料早在公元前11世纪的西周初期，数学家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三角形具有这样的一个性质：如果直角三角形的两个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。

利用商高的方法，很容易得到更一般的结论：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这就是勾股定理或商高定理，西方称之为毕达哥拉斯定理。

勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。

例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。

据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。

勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系。

人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达几十种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。

中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。

这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面。

三、师生互动（一）一起交流“勾股定理”的相关资料，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题.由下面的图形（1）观察并填写下表：请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1 图2你是怎样得到上面结果的？与同伴交流． （2）三个正方形A ，B ，C 的面积之间的关系？（让学生先独立思考，然后填写上面的表格．最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C 的求法） ［师生共析］［生］在图1中，正方形A 含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B 含1个小方格，所以B 的面积也是1个单位面积；正方形C 含2个小方格，所以C 的面积是2个单位面积．［生］正方形C 可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形， 所以C 的面积为4×（21×1×1）=2个单位面积． ［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C 的面积为2个单位面积．［生］正方形C 还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C 的面积为21×22=2个单位面积．［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C 的面积，谁来说一说图2，图3？［生］图2中，A 含有9个小方格或者说正方形A 的边长是3个单位长度，都可以求得A 的面积是9个单位面积；同理可求得B 含有9个小方格，所以B 的面积为9个单位面积；对于正方形C 来说，我们观察可发现它含有18个小方格，所以C 的面积为18个单位面积． ［生］我们还可以，在正方形C 中，我们可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼摆成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C 共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积；我们也可以把C 分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可算得C 的面积为4×（21×32）=18个单位面积． ［生］如果把组成C 的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C 在边长为6个单位长度的正方形中，并且C 的面积恰好是这个正方形面积的一半即21×62=18个单位面积．［生］图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得A ，B ，C 各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积．［师］把三个图中A ，B ，C 的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？ ［生］C 的面积=A 的面积+B 的面积． （表格略）［师］很好！但是A ，B ，C 的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？［生］从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上． ［生］这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的．［师］那么，（3）的结论即C 的面积=A 的面积+B 的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流．［生］C 是斜边上的正方形，所以C 的面积是斜边的平方；A ，B 是两直角边上的正方形，所以A ，B 的面积分别是这两条直角边的平方．根据A ，B ，C 的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和． ［师生共析］根据图4，图5可填表如下：我们先来观察图4，不难看出A ，B 分别含有16个小方格，9个小方格，所以A 、B 的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C 的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形C 分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C 的面积为4×（21×3×4）+1=24+1=25个单位面积．第二种方法：直接数正方形C 中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C 中共有12+12+1=25个小方格即C 的面积为25个单位面积．第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C 的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C 的面积就为（49－1）÷2+1=25个单位面积． 图5与图4同理．我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C 的面积=A 的面积+B 的面积．［师］图4和图5中的三个正方形A ，B ，C 也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？［生］图4中的正方形A ，B ，C 的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．由图5我们也可得出同样的结论．［师生共析］通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．用符号语言表示为：在△ABC中，∠C=90，则222a b c +=.古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载．我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．关于勾股定理的记载还有很多,勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智．练习：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=_________________；（2）若a=6，c=10，则b=_________________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=_________________，b=_________________；（4）若b=5，∠B=30°，则c=_________________．解：（1）c=5；（2）b=8；（3）a=16，b=30．（4）c=10．（二）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）例1. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较a+的值为（）．长直角边为b，那么()2bA. 13B. 19C. 25D. 169分析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①.由小正方形的面积是1，得 (b-a )2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab =1 所以 2ab =12.所以 (a+b )2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 解：选C.例2 如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理．(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）分析：本题第（1）问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔德首先提出的.此题是对同学们的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再验证结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有意义，考生在拼拼、画画、验证结论的过程中，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了同学们通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第（3）问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考生的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导同学们学会学习. 解：（1）图形要规范、正确. 如图，它是是直角梯形.（2）因为 S 梯形 =()2)(21)(21b a b a b a +=++， S 梯形 =222121221c ab c ab +=+⨯ 所以2221)(21c ab b a +=+. 整理，得 222c b a =+.（3）拼出能证明勾股定理的图形即可.下面举出三种拼图方法：例3. 折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8 cm ，BC ＝10 cm ．求EC 的长． 分析：如图，△AEF 是由△ADE 折叠得到．由此可知△AFE ≌△ADE ，所以AD ＝AF ，DE ＝EF ． 解：由题意得△AFE ≌△ADE ，所以AF ＝AD ＝BC ＝10在Rt △ABF 中由勾股定理得AB 2＋BF 2＝AF 2 所以BF 2＝AF 2－AB 2 BF 2＝100－64 BF 2＝36 所以BF ＝6 所以CF ＝CB －BF ＝10－6＝4（cm) 若设CE ＝x ，则DE ＝8－x ． 因为EF ＝DE ，所以EF ＝8－x ．在Rt △CEF 中，由勾股定理得CF 2＋CE 2＝EF 2 所以42＋x 2＝(8－x )2得x ＝3． 答：EC 的长为3． (三)小结1.勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边. 这里一要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形即（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系. （3）用于证明平方关系的问题. 2．用面积法证明勾股定理勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并从不同角度计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．2222222,,b a c a c b b c a +=-=-=（1）如图1-1，将四个全等的直角三角形拼成正方形.在图（Ⅰ）中，,所以222a b c +=.在图(Ⅱ)中，,所以222c a b =+.(2)如图1-2，将两个直角三角形拼成直角梯形.所以222a b c +=四、补充练习作业：习题abc b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形abb ac S EFGH 214)(22⨯+-==正方形221212 2))((c ab b a b a S ABCD +⨯=++=梯形〖分层练习〗基础知识1. (1) 在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．(2) 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于________．2. (1) 如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个(2) 如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）.A. S1+S2>S3B. S1+S2<S3C. S1+S2=S3D. S12+S22=S323. 如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8．（1）求底边BC的长；（2）S△ABC．4．铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D两村庄（视为两个点）DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？（提示：此题关键是DE＝CE，而DE是Rt△ADE斜边．CE是Rt△EBC斜边．）综合运用5. 如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P,使点P落在∠AOB的角平分线上.6. 如图，A 、B 是直线l 外同侧的两点，且点A 和点B 到l 的距离分别是3cm 和5cm,且240AB =cm ，若点P 在l 上移动，求PA+PB 的最小值．7. 如图是一只长方形的火柴盒ABCD ，把它推倒后到AB C D '''的位置，试用这一图形的变化探索勾股定理的正确性．A O B。