2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)

2017年市高三数学竞赛（2017.03.26）解答

（供参考）

一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2

－x )] 的定义域是__________，值域是__________ .

【答案】]121(∪)021-[，，，]2

πlg ∞(，-

【提示】求定义域：]10(∈2(2

，－x)x ，求值域：]2

π

0(∈2arcsin(2

，－x)x .

2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12

＋a n 2

＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，

n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ .

【答案】a n = (3n －4)2

或者 (3n －2)2

【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。

归纳得：a n = (3n －4)2

或者 (3n －2)2

（数学归纳法证明 / 代入检验略）。

（方法二）严格推导（注意舍去增根）

原方程变形可得：a n +12

－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2

－18a n ＋81 = 0 ；

由求根公式可得：21+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ；

开方可得：

|3±|=1+n n a a ；

计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *

时，3±=1+n n a a ，

进而

3=1+＋n n a a ，

（小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。

3、用一正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ .

【答案】2

2

6＋

【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。

4、一个口袋中有10卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ .

【答案】1260

253

【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。

1260253

=42=4

10

39P P p ＋ .

5、设1

2

11=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°

1(tan f f f ＋＋＋ = __________ .

【答案】2

267

【提示】（方法一）运用数列“逆序求和法” 计算

)]θ°90[tan()θ(tan －＋f f

1

θcot 2

1θcot 11θtan 21θtan 1=2

2＋＋＋＋＋＋＋ 3=21=θ

tan 1θtan 2θtan 1θtan 1θtan 21θtan 1=222＋＋＋＋＋＋＋＋ . 记)°89(tan )°2(tan )°1(tan =f f f S ＋＋＋ ， 则)°1(tan )°88(tan )°89(tan =f f f S

＋＋＋ .

两式相加可得：89×3=2S ，可得原式的值为2

267 .

（方法二）严格推导（三角函数＋数列分组求和法）

计算θcos θsin θ

cos 2θcos θsin θcos =1θtan 21θtan 1=)θ(tan 2222＋＋＋＋＋＋f θcos 2θ

cos θsin θcos =θcos θsin θcos 2θcos θsin θcos =2

2

22＋＋＋＋＋ .

综上，原式

)°89cos 2°89cos °89sin °89cos ()°1cos 2°1cos °1sin °1cos (=22

＋＋＋＋＋＋ )°1sin 2°

1sin °1cos °1sin ()°1cos 2°1cos °1sin °1cos (=22＋＋＋＋＋＋

2

267=

121132=)°45sin 2°45sin °45cos °45sin (44×)21(=2

＋＋＋＋＋＋ .

6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。 【答案】165 【提示】穷举法。对于

a 2的值分类讨论：a 2 = 4，5，……，12，分别有：1

×9，2×8，……，9×1种可能，符合题意的子集A 共有：

S = 1×9＋2×8＋3×7＋……＋9×1

9=9

1

=91

=|]6

)

12)(1()1(5[=)10(=)10(=

∑∑n n 2n n n n n n n n n n ＋＋－

＋－－

165=285450=6

19

×10×910×9×5=－－ .

7、在平面直角坐标系

xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ：

2

15=)1()(222a

y a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，

则实数a 的取值围是__________ . 【答案】)∞+64(∪)2∞-(，＋，

【提示】（方法一）数形结合＋分类讨论 1）若a = 0，符合题意；

2）若a < 0，圆心C(a ，-1)在第三象限。此时只需点A 在圆C 外即可符合题意；（恒符合题意）

3）若0 < a < 2，圆心C(a ，-1)在第四象限，而且在线段AB 的正下方。此时只需圆C 的半径r < 4即可符合题意；解得0 < a <2 ；

4）若a ≥ 2，圆心C(a ，-1)在第四象限。此时只需点

B 在圆

C 外即可符合