利用完全平方差公式进行因式分解

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利用完全平方差公式进行因式分解

因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

因式分解运用公式法(完全平方公式)

说明：系数是分数时应提取，使各项系数化为整数.
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式时，在运算过程中应用括号来表示这个多项式的整体性,并且由于式子变得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52

湘教版数学七年级下册3.3《利用平方差公式进行因式分解》说课稿

湘教版数学七年级下册3.3《利用平方差公式进行因式分解》说课稿一. 教材分析湘教版数学七年级下册3.3《利用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。

平方差公式的引入，不仅能够帮助学生更好地理解代数式的运算，而且对于后续学习多项式的因式分解有着重要的意义。

教材从实际问题出发，引导学生发现并总结平方差公式，然后通过例题和练习题，让学生学会如何运用平方差公式进行因式分解。

教材的安排由浅入深，由易到难，符合学生的认知规律。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式，对于代数式的运算有一定的理解。

但是，学生对于平方差公式的理解和运用，还需要通过实例和练习来进行深化。

学生的学习兴趣是学习的关键，为了激发学生的学习兴趣，我在教学中会尽量结合生活实际，让学生感受到数学与生活的联系，从而提高学生的学习积极性。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的含义，并能够运用平方差公式进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳，学生能够自主发现并总结平方差公式，培养学生的观察能力和归纳能力。

3.情感态度与价值观目标：学生在解决实际问题的过程中，体验到数学的价值，增强学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的理解和运用。

2.教学难点：如何引导学生发现并总结平方差公式，以及如何运用平方差公式进行复杂的因式分解。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用启发式教学法、分组合作学习法、案例分析法等多种教学方法，引导学生自主学习、合作学习、探究学习。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，来辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何对代数式进行因式分解，激发学生的学习兴趣。

2.探究：让学生分组讨论，观察、分析、归纳平方差公式的特点，引导学生自主发现并总结平方差公式。

人教版八年级数学上册(教案).3.2.1运用平方差公式进行因式分解

2.强化学生数学运算能力：使学生熟练运用平方差公式进行因式分解，培养他们在数学运算中的准确性和速度。
3.增强学生数学建模意识：通过实例演示和练习，让学生学会将实际问题转化为数学模型，提高数学建模素养。
4.激发学生数学抽象思维：引导学生从具体的数学问题中提炼出平方差公式，培养他们的数学抽象思维能力。
5.培养学生合作交流能力：在课堂讨论和练习环节，鼓励学生相互交流、探讨，提高合作解决问题的能力。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对平方差公式的理解和应用存在一些问题。首先，他们在识别哪些多项式可以使用平方差公式进行因式分解时遇到了困难。这可能是因为我们之前的课程中，对完全平方公式和平方差公式的区别强调得不够。在今后的教学中，我需要更加明确地指出这两个公式的不同之处，并给出具体的例子进行对比。
我还注意到，在小组分享成果时，有些学生表达得不够清晰。这可能是因为他们在整理思路和表达逻辑上还存在一些问题。未来，我打算在课堂上加入一些专门的逻辑思维和表达训练，帮助学生们更好地组织和表达自己的观点。
此外，今天的总结回顾环节，我感觉到学生们对平方差公式的掌握程度参差不齐。为了确保每个学生都能跟上课程的进度，我需要设计一些针对性的复习材料和练习题，让那些掌握得不够牢固的学生能够在课后进行巩固。
另外，学生在确定a和b的值时也感到困惑。我意识到，这里需要更直观的演示和解释。或许可以通过图形的变换来帮助他们理解，如何将一个多项式拆分成两个平方项。这样，他们就能更直观地看到如何选择a和b。
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们对平方差公式的应用开始有了更深入的理解。他们能够将理论知识应用到解决实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，有些学生在讨论中不够积极，可能是因为他们对这个话题还不够自信。我需要在接下来的课程中，更多地鼓励这些学生，帮助他们建立自信心。

北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》教学设计

北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。

平方差公式的引入，既是对前面所学知识的巩固，又是进一步学习因式分解的重要工具。

本节课的内容主要包括平方差公式的推导、理解和应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握平方差公式的结构特征，学会运用平方差公式进行因式分解，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法和完全平方公式，对因式分解有一定的了解。

但学生在运用平方差公式进行因式分解时，可能会对公式的结构特征和运用方法产生困惑。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生理解平方差公式的本质，并通过大量的练习，让学生熟练运用平方差公式进行因式分解。

三. 教学目标1.理解平方差公式的结构特征和推导过程。

2.学会运用平方差公式进行因式分解。

3.提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：平方差公式的推导和运用。

2.重点：引导学生理解平方差公式的结构特征，学会运用平方差公式进行因式分解。

3.难点：对平方差公式的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解平方差公式的推导过程，解释公式的作用。

2.引导法：引导学生通过观察、思考，发现平方差公式的结构特征。

3.练习法：布置适量的练习题，让学生在实践中掌握平方差公式的运用。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。

2.准备一些练习题，用于课堂练习和巩固知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引入平方差公式的概念。

例如：已知一个正方形的面积是36，求这个正方形的边长。

让学生尝试解决这个问题，从而引出平方差公式。

2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的推导过程，解释公式的作用。

通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生直观地理解平方差公式的来源。

利用平方差公式进行因式分解

2)每项可写成平方的形式
3)两项的符号相反
关键：找准公式中的a和b
注意:
1.有公因式要先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
7.两个连续偶数的平方差能被4整除吗？
请与你的同伴交流。
Good bye !
(4)
2 2 9(x+y) -(x-y)
5.把下列各式分解因式:
(1) 3ax2-3ay4
(22y
动脑筋
6、已知:a+b=3,a-b=2,
求a2 - b2 的值
解: a2 - b2 =(a+b)(a-b) =3×2
=6
谈谈你有何收获
条件:1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）
2
将下列各式分解因式的正确答案用线连接起来
9a2 –25b2
(6a+7)(6a-7)
16x2 –4y2
36a2 –49
(8x+9)(8x-9)
(3a+5b)(3a-5b)
64x2 –81
(4x+2y)(4x-2y)
3.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式
的是（ D ）
A. x² +y²
C. x² +(-y)2
分解因式—运用公式法(一)
康杰初中
董明军
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
两个数的平方差，等于这两个数的
整式乘法
和与这两个
数的差的积
a²- b² = (a+b)(a-b) 分解因式
1 熟练运用平方差公式分解因式
1.能用平方差公式 2.运用平方差公
分解因式的多项式

因式分解的16种方法

因式分解的16种方法
因式分解是将一个多项式或整数表达式分解为不可再分的乘积的过程。

在因式分解的方法中，常见的有以下16种方法：
1.公因式法：根据多项式的各项之间的最大公因式进行因式分解。

2.差平方公式：利用两个完全平方数的差可以分解成两个因数的平方差。

3.完全平方公式：利用两个因数的平方和可以分解成两个完全平方数
的和。

4.配方法：将多项式按照公式进行配方分解，然后进行因式分解。

5.一元两次方程法：对于一元二次方程，可以通过二次方程的解，将
方程进行因式分解。

6.和差化积：将多项式中的和差进行化积，然后进行因式分解。

7.分组法：将多项式中的项进行分组，然后进行因式分解。

8.提公因式法：将多项式的各项提取公因式，然后进行因式分解。

9.代入法：将因式分解的结果代入方程，通过求方程的解，验证因式
分解的正确性。

10.根式法：将多项式转化为根式表达式，然后进行因式分解。

11.差因式公式：利用一个完全平方数与一个差的因式的乘积可以表
示为两个因数的差的平方。

12.和因式公式：利用一个完全平方数与一个和的因式的乘积可以表
示为两个因数的和的平方。

13.二次齐次因式分解：对于二次齐次方程，可以通过齐次方程的解，将方程进行因式分解。

14.辗转相除法：对于整数表达式，可以利用辗转相除法，将整数进
行因式分解。

15.因数分解法：将整数进行因数分解，找出所有的因数，然后进行
因式分解。

16.文氏因式分解法：将多项式的各项按照文氏图进行排列，然后进
行因式分解。

4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的记忆和应用这两个重点。对于难点部分，比如识别平方差结构，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。

如何解(公式法的因式分解完全平方公式)

如何解(公式法的因式分解完全平方公式)因式分解是数学学习中的一个重要内容，而公式法中的完全平方公式更是其中的关键。

别担心，咱们一起来把这个难题给攻克掉！先来说说完全平方公式到底是啥。

它有两个形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。

那怎么用这两个公式来进行因式分解呢？咱们通过一些例子来瞅瞅。

比如说，有个式子 x² + 6x + 9 ，咱们来分解它。

先看，6x 正好是 2乘以 3 乘以 x ，而 9 是 3 的平方，这不就符合 (a + b)² = a² + 2ab + b²这个形式嘛，其中 a 就是 x ，b 就是 3 ，所以可以分解为 (x + 3)²。

再比如 4x² - 12xy + 9y²，这里 4x²可以看成 (2x)²，9y²可以看成(3y)²，而 -12xy 正好是 -2 乘以 2x 乘以 3y ，所以它可以分解为 (2x -3y)²。

我记得我以前教过一个学生，叫小李。

这孩子特别聪明，就是一碰到因式分解就犯迷糊。

有一次上课，我就专门讲完全平方公式的因式分解，出了一道题 16x² + 24x + 9 让大家做。

小李一开始眉头皱得紧紧的，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊！”我走到他身边，轻声问他：“来，咱们先看看，16x²是不是可以写成 (4x)²呀？9 是不是 3 的平方？那24x 是不是 2 乘以 4x 乘以 3 呢？”小李眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦，这就是一个完全平方！”然后很快就写出了正确答案(4x + 3)²。

从那以后，小李对因式分解的题目就越来越得心应手啦。

咱们再深入一点，有些式子可能不是一下子就能看出来是完全平方的形式，这时候就需要咱们稍微变一变。

八年级数学下册《利用平方差公式进行因式分解》教案、教学设计

b.教师巡回指导，针对学生的疑问进行解答，引导学生深入理解平方差公式。
c.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和反馈。
（四）课堂练习，500字
1.教学内容：设计不同难度的练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识。
2.教学步骤：
a.教师出示练习题，学生独立完成。
b.教师针对学生的答案进行讲解，分析解题思路和注意事项。
5.教学拓展：
-结合数学史，介绍平方差公式的发现过程，激发学生的学习兴趣。
-引导学生探索平方差公式在其他领域的应用，如物理、几何等，培养学生的跨学科思维能力。
-组织课后研究性学习活动，让学生在更广泛的范围内运用平方差公式，提高学生的实践能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：教师出示两个连续整数的平方差计算题目，如（a+1）^2 - a^2，让学生尝试计算并思考是否有简化的方法。
5.培养学生具备良好的团队合作精神，学会尊重他人、倾听他人意见。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数运算和因式分解方法。在此基础上，他们对平方差公式的学习有以下特点：
1.学生对平方差概念的理解较为模糊，需要通过具体实例和形象生动的教学手段来帮助学生理解。
2.学生在运用平方差公式进行因式分解时，可能存在一定的困难，如对公式的记忆、运用不熟练等，需要教师耐心引导和反复练习。
3.教学过程：
（1）导入新课：通过一个简单的实际例子，如计算两个连续整数的平方差，引出平方差公式。
（2）新课讲解：详细讲解平方差公式的推导过程，强调公式中各部分的含义，以便学生理解。
（3）例题解析：选择具有代表性的例题，引导学生运用平方差公式进行因式分解，并对解题过程进行详细讲解。

用完全平方差公式因式分解

x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式：完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2

用完全平方公式因式分解

解：因为（4X）2±2×4X·3Y+（3Y）2 =（4X±3Y）2
所以-kXY =±2×4X·3Y 即： -k=±2×4×3=±24
所以：K= ±24 Page 41
对应练习：
式子4X2+MX+9是一个完全平方式，试求M的值
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八年级数学
第十五章因式分解
拓展运用---试一试
三、利用因式分解计算
(2)18 x 81 x2
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例3 把下列各式因式分解。
a4 2a2b b2
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习题：(1) p4 4 p2q 4q2
(2)x4 2x2 y 2 y 4
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小结：
完全平方式具有：
1、是一个三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项” 的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
注意： 1、有公因式要先提出公因式，再考虑平方差公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
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5、将下列各式分解因式
(1)x2 12 x 36
(2) 2xy x2 y2
2
(3) 3x
6xy
3y2
(4)16n2 8n(m n) (m n)2
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◆创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0, 求(a+2b)2005的值.

知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)

知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)1．分解因式：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x）=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；分解因式：a2+4ab+4b2=（a+2b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

专题：常规题型。

分析：把（x﹣y）看作一个整体并提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x），=m2（x﹣y）﹣4n2（x﹣y），=（x﹣y）（m2﹣4n2），=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；a2+4ab+4b2=（a+2b）2．故答案为：（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n），（a+2b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．2．分解因式：a5﹣a=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

专题：因式分解。

分析：先提取公因式a，再根据平方差公式进行三次分解．解答：解：a5﹣a=a（a4﹣1）=a（a2+1）（a2﹣1）=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行多次分解，注意分解要彻底．3．（2011•湖州）因式分解：a3﹣9a．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：首先提公因式a，然后即可利用平方差公式进行分解．解答：解：原式=a（a2﹣9）（3分）=a（a+3）（a﹣3）．（3分）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．4．（2010•清远）分解因式：2x3y﹣2xy3．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x3y﹣2xy3，=2xy（x2﹣y2），=2xy（x+y）（x﹣y）．点评：此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（2010•河源）分解因式：a3﹣ab2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。