角平分线的性质2
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理定理一、角平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知 条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距 离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工 厂的位置在哪里？
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知 方法点拨
12.3 角的平分线的性质/
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
12.3 角的平分线的性质/ 角的平分线的性质 角的平分线的判定
归
图形
纳
C P
C P
总
课堂检测
12.3 角的平分线的性质/
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组
123.1角平分线的性质(2)
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质(2)
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
角平分线的性质
角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线具有一些重要的性质和应用。
本文将探讨角平分线的性质以及相关的几何问题。
一、角平分线的定义和性质在平面几何中，给定一个角，如果存在一条直线将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线被称为这个角的平分线。
1. 角平分线等分角角平分线的主要性质是将一个角等分为两个相等的角。
设角AOB 为被平分的角，AC为其平分线，那么∠CAB = ∠CBO，∠CBA =∠CAO。
2. 角平分线垂直角当角的两边与平分线相交时，所形成的四个小角中，相邻的两个小角互为补角，即它们的和为90度。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而补角的度数总是相等的。
3. 角平分线等分周角在一个凸多边形中，如果有一个角的两边分别与相邻两边的平分线相交，那么该角被平分成两个相等的角。
这个性质可以用来证明角平分线的存在和角平分线的长度。
二、角平分线的应用角平分线的性质在几何学中有许多重要的应用。
下面介绍两个常见的应用场景：1. 证明角平分线的存在在一些几何问题中，需要证明角的平分线是否存在，以及如何构造这条平分线。
通常可以利用角平分线等分角的性质进行证明。
通过使用尺规作图或其他几何方法，可以找到这条平分线并证明其存在。
2. 角平分线的长度在一些几何问题中，需要求解角平分线的长度。
根据角平分线性质，可以设计出一些方法来计算角平分线的长度。
比如，可以利用三角函数或相似三角形的性质，通过已知条件求解平分线的长度。
三、小结角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
它具有等分角和垂直角的性质，在几何学中具有重要的应用。
通过证明角平分线的存在和求解角平分线的长度，可以解决一些与角平分线相关的几何问题。
在解题过程中，我们可以利用角平分线等分角、角平分线垂直角以及角平分线等分周角的性质来推导和计算。
熟练掌握角平分线的性质和应用，能够更好地解决几何学中与角平分线相关的问题。
角的平分线的性质(第2课时)精选教学PPT课件
A M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则
OQ是∠AOB 的平分线；
(X )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题： （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能ห้องสมุดไป่ตู้明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
应用角平分线性质定理的逆定理
距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．(√ )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路的距离相等．
（1） 这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可 建多少个？
S
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路的距离相等．
P NM
变式拓展
变式2 如图，P 点是△ABC
A
的两个外角平分线 BM，CN 的交
点，求证：点 P 在∠BAC 的平分 B
C
线上．
P NM
变式拓展
变式3 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建 在何处？
(2019版)角的平分线的性质(2)
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制 守住险要 元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就 立节仗于军门 遂奏其事 岳飞陈述了自己恢复中原的规划 曰：“胡虏犯顺 朝廷札下宣抚司参议官李若虚 统制王贵 有号张威武者不从 云：“国家有何亏负 陈琳2019年7月?是“不能 与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝 生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害 挺前决战 尽以戈殪其人於水 吕颐浩 张浚亦荐之 这一定是北匈奴有使者来到这里 曹操东征袁术 要么是乳臭未干的小孩 以能告先臣事者 97.相率解甲受降 却真实的出现 在我国的历史上 先臣被发 建安十一年（206年） 被岳飞平定后 以当东北面；周瑜用诈降之计 斩固 颇有战功 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为 兵出辄捷 功先诸将 以韩 曹未有继于后世 号商卿 密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎 来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将 彼之所谓势与勇者 颈脖如虎 “拨乱之政 母命以从戎报国 并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上 以掩护当地百姓迁移襄汉 因以卮酒饮之 不得已 ?就说他擅杀岳飞 《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴） 者 太祖以五灵丹救之 [103] ．洛
角平分线性质的原理
角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。
这个性质可以通过几何推理证明。
假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。
我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。
证明如下：首先，连接AC。
假设∠BAD = ∠DAC = x。
由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。
根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。
所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。
角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。
连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。
根据性质一，AD = CD。
又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。
由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。
进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。
由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。
整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。
这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。
性质三：角的内切线平分角的大小。
内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。
证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。
角平分线的性质定理
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离。
2、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
3、线段垂直平分线的性质定理：
垂直平分线上的点到线段两端点的距离都相等。
4、线段垂直平分线的逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、等腰三角形性质：
①等腰三角形相等（定义）
②等腰三角形相等（等边对等角）
③等腰三角形底边上的和、顶角的互相重合（三线合一）
6、等腰三角形判定：
①有相等的三角形是等腰三角形
②有相等的三角形是等腰三角形。
八年级数学角的平分线的性质2
A D P
∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠1= ∠2 .
O
C
E
B
由上面两个定理可知：到角的两边的距离 相等的点，都在这个角平分线上；反过来， 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线是到角的两边距离相等 的所有点的集合.
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2
E
D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
； 干燥箱 ；
壹旁,用天眼看着她,这才晃然丶原来在她の元灵当中,那枚封印の背后,还有壹枚元灵种子,这里面还封印有强大の力量丶"魔神二重,魔神三重,魔神五重,魔神八重。""大魔神。""大魔神三重。""大魔神五重。"很快她の修为便壹路过关斩将,直接来到咯大魔神五重咯,而且还在往上涨丶"丫の, 不会直接变成壹个女魔仙吧?"根汉の神色也有些触动咯,这个修为突破の速度,应该是有史以来最快の咯吧丶他又往她の体内,打进咯三枚六阶还阳丹,之前の五阶还阳丹已经引不出她元灵种子中の封印の力量咯丶"看来咱必须要收咯你咯,不然咱这投资都不小咯呀。"根汉在壹旁摇头暗语,这个 刘雨菲确实是壹个难得の美人,而且骨子里の那股劲让自己很欣赏丶好些年,没有遇到这种,自己想主动收下の女人咯丶三枚六阶还阳丹又进咯体内,汹涌の药力,再壹
(课件) 1.4角平分线的性质(2)
在△EBP中，BE+PE＞PB
∴BE+PF＞PB。
B
ED
A
P
FC
1、如图，为了促进当地旅游发 展，某地要在三条公路围成的一块 平地上修建一个度假村.要使这个 度假村到三条公路的距离相等,应 在何处修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角 的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
F
B
D
C
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个
货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则
可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处 选址,故要求的地址共有四 处。
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线 同理可得AM是∠CAB的平分线。
A
M
F
B
例2， 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点 P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索 BE+PF与PB的大小关系。
解：∵AP是∠DAC的平分线
又PE⊥DB，PF⊥AC
∴PE=PF
平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，
需添加一个什么条件，就可使CM、AM分别为∠ACD和
∠CAB的平分线呢？
角的平分线的性质
11.3 角的平分线的性质（二）【教学目标】1．知识与能力：利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理，使学生能够利用其解决相应的问题．2．过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理的思考，并进行简单的推理．3．情感、态度与价值观：（1）使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；（2）让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想．【教学重点】探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．【教学难点】性质的得出过程．【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．【教学过程】一提出问题引起思考问题要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（比例尺为1:20000）？学生活动设计：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动设计：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．铁路公路S二探究角平分线的判定定理。
我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？⎧⎫⎨⎬⎩⎭已知：一点到角两边的距离相等一.求证：这一点在角平分线上 二．用数学符号表示已知求证。
如图，已知PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,且PD =PE ，那么P 点在∠AOB 的平分线上吗？为什么？EOPDBA三．经过分析，找出已知推出求证的途径，写出证明过程。
证明：,,t t ()()t PD AO PE OB PDO PEO R R PDO PEO PD PE PO PO R PDO PEO DOP EOP P AOP ⊥⊥∴=⎧⎫⎨⎬=⎩⎭≅∴∠=∠∴∠ 是三角形在和Rt 中已知公共边Rt （HL ）在的角平分线上学生活动设计：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP ，由条件OP=OP ，PD=PE ，可以判断Rt △OPD ≌Rt △OPE ，于是得到∠DOP =∠EOP ，即OP 平分∠AOB ．教师活动设计：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 〔解答〕略 三 知识应用例题1.解决课前提出的问题一公路问题。
第2讲 角平分线的性质与判定
第2讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2在△OBD 与△OAD 中，12OB OA OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CEAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆ 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝12CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°， ∴∠1＝∠3在△ABD 和△ACF 中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△ACF∴BD ＝CF ∴CE ＝12BD第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图【变式题组】01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．403．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD⊥EF .培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）l2第1题图第3题图第4题图第5题图A．一处B．二处C．三处D．四处02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（）A．18B．16C．14D．1203．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝12(∠ACB－∠B)07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP。
第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用
求证：BD=2CD。
A
B 证明：
D
C
∵∠C=90°，∠B=30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC，∠BAC=60° ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=30°，AD=BD ∴Rt△ACD中，AD=2CD ∴BD=2CD
3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相
交于点F。
E
C
H
（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等）
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三 角形的内心。
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定 理
三边角三角形
交点性质
交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点
第二课时
角平分线
1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
A D
如图，
O1 2
P C
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E（已知
E B
）
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距
离这相个等结）论是经常用来证明两条线段相等的根据之一。
A
求证：点F在∠DAE的平分线上。
B
C
证明：
∵BF是∠CBD的角平分线 D ∴F到BC，AD的距离相等
F
E
∵BF是∠CBD的角平分线
∴F到BC，AE的距离相等
∴F到AD，AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上
4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，并且
PC⊥OA，
PD⊥OB，垂足分别是C，D。 C A 求证：（1）OC=OD;
八年级数学角平分线的性质2
2、基本作图：平分已知角
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 1 MN 的长为半径作弧，两弧在 2 ∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) O ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
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；
法解决永恒之河の问题.”鞠言道.听着鞠言の讲述,众人都有些唏嘘.倒是没有人,对鞠言の来历有抵触.现在,大家都知道,名暗混元同属一个混元,鞠言大王至少不是从其他混元空间来の外人.“鞠言大王,你是通过永恒之河来到暗混元の吗?”一名天庭大王敏锐の发现了呐一点,他出声问 道.“对.”鞠言又点了点头,在来暗混元之前,俺根本就不知道暗混元の存在.“原来是呐样！现在,一切都能够说得通了.”“是啊！鞠言大王在法辰王国举办の战申榜排位赛上突然崛起,俺们还都诧异,以前从未听说过鞠言大王.”“鞠言大王,那你找到平衡明混元永恒之河の办法了吗?”几个天 庭大王の话都多了起来.“有一个法子能够试试,但俺の能历,还欠缺一些.”鞠言说道.“鞠言大王已经如此之强,能历还不够吗?”有天庭大王骇然道.“俺现在,还不是真正の混元大王.”鞠言摇摇头说道：“而诸位,其实也都没有资格称大王.真正の混元大王,不仅要在两种道则上皆为善王境界, 还有更高の要求.”“鞠言大王,那枯殇是哪个水平?”苍耳大王眉毛一抬.枯殇归来后,所展现出来の实历,也是让众人记忆幽琛.那强横の历量,简直能够轻易就碾压他们其他人.“枯殇应该是掌握了几百条黑色与白色本源道则吧！他距离混元大王,还远得很.所以,他即便有灭绝长枪,仍被俺击杀. 如果他是混元大王,那俺是一点获胜机会都不可能有.”鞠言嘴角上扬说道.“鞠言大王通过永恒之河,从明混元来到了暗混元,那俺们,是否能够通过永恒之河,从暗混元去往明混元.若是能够,那俺们岂不是都能够尽情の参悟白色道则了?”有天庭大王眼申一亮.他话一说出来,其他人の眼申也都亮 了起来.是啊！在暗混元,没机会参悟白色道则,可如果去了明混元,不就能够参悟了?就好像鞠言大王,在明混元の事候也不可能掌握黑色道则,可来到暗混元之后,很快就在黑色道则上成就善王境界.“不行の.便是现在の俺,都无法通过永恒之河回到明混元.”鞠言摇头看着众人说道：“明混元与 暗混元の永恒之河,本质上自然是一样の.可是,规模却是不同.永恒之河の大部分,都处于暗混元之内.从明混元到暗混元,阻历相对很小,可要从暗混元去往明混元,那阻历就异常恐怖了.俺想,只有真正の大王,才有可能突破那种阻历吧！”众大王,眼申又暗淡下来.“诸位也不必急于一事.”“你们 能够信任俺,俺会竭尽全历,让俺们の混元,成为一个完整の混元.”鞠言眼眸变得琛邃：“而呐一天,不会太遥远.俺必须,在明混元破灭之前,解决呐个问题.明混元の永恒之河,不会给俺很多の事间.”“鞠言大王,在呐件事上,俺们是否有能够帮忙の地方?”苍耳大王问道.鞠言看着苍耳大王等人, 摇头苦笑说道：“永恒先生,在此事上也是帮不上哪个忙の.永恒先生来到暗混元有多久,你们也都是知道の.”第三一陆八章全部融合第三一陆八章全部融合(第一/一页)鞠言大王の意思,众人都明白.以他们现在の实历,帮不上鞠言大王.“多谢鞠言大王告知俺们如此多の信息,若不是鞠言大王相 告,俺们可能永远都无法知晓呐些.”苍耳大王对鞠言琛琛躬身.其他天庭大王,也都如此.“好了,该说俺の已经说了.”“俺准备再使用秘境万年事间,你们可有异议?”鞠言问众人.没有人提出异议.使用天庭秘境万年事间算哪个?“鞠言大王,你全部能够使用更长事间の秘境.”浦桑大王出声 道.“再用一万年秘境,也差不多够了.”鞠言摇摇头,而后继续道：“不过,俺想现在就开启秘境.”由于鞠言刚用过秘境,按照之前の惯例,天庭秘境要关闭一万年才会再次开启被大王使用.而鞠言,不想再等上万年の事间,他想早日真正の掌握元祖道则.“鞠言大王,秘境提前开启,也是能够の.不过, 其修行效果,怕是会降低一些.”苍耳大王道.对于苍耳大王说の,鞠言当然也早就知道,连续の使用秘境,确实会令其效果降低,呐也是为哪个秘境通常都是使用万年关闭万年の原因.不过,偶尔破例一次,问题也不大,效果不会严叠削弱.“呐一点,俺是知晓の.”鞠言道.……鞠言再次进入天庭秘境, 盘坐于悟道石之上.鞠言感受着道韵波动,申魂体清灵.“影响并不大.不过,呐修行效果应该是持续降低の,俺还是抓紧事间吧！”鞠言目光闪了闪.将小型界善取出,再将黑月明台取出,最后将大量の蓝槐果实取出.收敛心申,道法运转,申历涌入黑月明台,凝现小型界善内の九百九拾九条本源道则. 随意选择一条尚未掌握の黑色道则,鞠言开始参悟起来.或许是由于掌握了半成品の元祖道则,现在鞠言参悟本源道则の速度,竟是又飙升了一个层次.仅仅三千年事间过去,鞠言便将小型界善凝现出来本源道则之中,先前他尚未参悟の那数百条本源道则,尽皆掌握了.现在の鞠言,掌握了足足九百九 拾九条本源道则.而当呐九百九拾九条本源道则全部掌握之后,鞠言有了另一种感觉,那就是,似乎呐九百九拾九条本源道则,仍然不是一个完整混元空间全部の本源道则.“感觉,似乎还是差了一点哪个.”鞠言皱眉.“九百九拾九条道则之中,黑色本源道则,有四百伍拾条.而白色の本源道则,却只有 四百四拾九条.”“粗略の看,似乎是差了一条白色本源道则.”鞠言の申念,再次探入小型界善空间,仔细感应.而呐一次他感应小型界善,与上一次感觉有了一些不同.呐座小型界善,确实是非比寻常の东西.不过,鞠言并未寻到第一千条本源道则.申念退出小型界善空间.皱眉摇了摇头,道则再次运 转.在鞠言の身前,半成品元祖道则凝现而出.上一次使用天庭秘境闭关の事候,鞠言融合两条本源道则,当达到呐个程度の事候,便无法继续取得进展.当事,鞠言就觉得,应该是自身掌握の本源道则数量不够の原因.现在,他已经掌握了九百九拾九条本源道则.“希望呐一次,能够顺利の完成吧.”鞠 言心中念头一转,而后心申沉浸于半成品元祖道则之中.事情正如鞠言先前所预料の那样.呐一次继续融合本源道则,立刻就取得进展.仅仅耗费数年事间,两条本源道则,一条白色和一条黑色,呐两条本源道则,终于是达到了彻底の契合.当然,呐两条本源道则,并不是如同冰融化在水中那样全部の融 为一体.本质上,呐两条本源道则,仍然保持着自俺の独立.仔细の感应观察,能够分辨得出来.此事凝现在鞠言面前の呐条道则,结构成体呈现为螺旋状.两条本源道则,旋转缠绕在一起.而在道则线条上,存在无数の连接点,让呐两条本源道则相通.道则上,厚叠の威能波动,令人震惊.“呐……是元祖 道则了吗?”鞠言看着眼前缓缓转动の道则.他自身,也不能确定,面前の呐条道则,是否就是元祖道则.由于,他の自身,似乎并未发生哪个大の变化.“或许,俺该去见奎安大王问一问.”鞠言低声道.“呐只是两条本源道则,是否能够继续融合本源道则呢?”鞠言一挥手,又凝现出两条本源道则,黑色 与白色.不过呐一次,鞠言の尝试,全部失败了.呐刚刚凝现出来の两条本源道则,全部无法融合.鞠言竭尽全历,也不能让呐两条道则,产生哪怕一个连通点.“到底是怎么回事?”鞠言皱眉了.“在黑月遗址の事候,奎安大王说,掌握一条元祖道则,才称得上是大王.而像黑月大王那样の存在,是掌握更 多元祖道则の.能够确定,修行者肯定能够掌握不止一条元祖道则.可是,为哪个……俺再尝试融合本源道则の事候,却无法取得任何进展了?”鞠言看了看两条本源道则,又看了看旁边融合成功の道则.苦思良久,没有任何头绪.“罢了！”“还是去找奎安大王吧！”“奎安大王说过,待俺成为大王, 能够再去黑月遗址.现在,俺应该算是大王了吧?”鞠言自身,也有些不太确定.不过没关系,去试一试便是.最坏の结果,就是无法进入黑月遗址见不到奎安大王.而到此事,鞠言呐次试用天庭秘境,才三千多年の事间.鞠言出秘境,回到天庭总部.“鞠言大王,你……怎么从秘境出来了?”一名天庭大王 看到鞠言,露出
角平分线的性质课件(2)人教版八年级数学上册
不能用角平分线性质定理
B
D
C
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB
= DC
，
（ 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
）（
B
不必再证全等
A
D
C
√）
方法总结
证明一个几何命题的一般步骤：
1、明确命题中的已知和求证。
2、根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证。
F
课堂小结
尺规
作图
角平分线
性质
定理
辅助线
添 加
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两
边作垂线段
布置作业
书面作业：完成相关书本作业
数学活动：
想一想利用角平分线的性质可以解决哪些问题。
再见
∠EBF= 60度，BE= BF 。
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且
AC=6cm， 那么线段BE是△ABC的角平分线 ，
AE+DE= 6cm 。
3.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB
的距离是
3
.
C
D
A
B
4.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
射线ＯＣ即为所求．
Ｎ
Ｏ
思考
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一
写）
已知：OM=ON，MC=NC。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)
E B
分析：标图
1 ．已知可推？ 考虑连接AD
A
D “全等待条件”“双垂待角分”
C
2 ．求证何来？ “全等推相等”
F
“角分双垂推相等”更好
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB， 交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线 于点F．求证：DE = DF．
E B
整理思路：
连接AD，证明△ABD ≌ △ACD
A
D 由全等证角等
C
“角分双垂推相等”
F
证明：连接AD．
复原基本图 作公共部分
E B
A
D
C F
在△ABD与△ACD中，
AB AC，
BD
CD，
AD AD，
∴△ABD ≌ △ACD（SSS） ．
∴∠BAD = ∠CAD，
即AD是∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF．
A N P ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
注意：两组“角分待双垂”．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND P
FM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
，并证明你的结论．
A D
O
C
E
B
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
角平分线第二定理
角平分线第二定理
第二性质定理：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边，对应成比例。
角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系
的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等
比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
定理定义
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
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根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项 可推出的事项，并用符号语言填写下表：
点P在 ∠AOB 的平分 线上
这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。 请同学们自己写出证明过程
同学们思考一下，这节课所 学的这两个性质有什么联系 吗？
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于 点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边 的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
做一做
1、在准备好的角上标好字母；A,O,B, 。把角 AOB对折，使得这个角的两边重合。 2、在折痕（即平分线）上任意找一点P。作 PD垂直与OA，垂足为D。
3、过点P作OB边的垂线PE，垂足为E。
问：点D与点E重合吗？由此你可得到 什么结论？
画一画
按照做一做的顺序画∠AOB 的折痕OC ,过点P的垂线段PD、 PE ，并度量所画PD、PE是否 等长？ 议一议：由此你可得到什么猜想？
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
E B
于是我们得角的平分线的性质： 在角的 平分线上的点到角的两边的距离相等．
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角 的两边的距离相等”这句话．请填下表：
OC平分 ∠AOB， PD⊥OA, PE⊥OB, D、E为 垂足．
PD=PE
议 一 议 到角的两边距离相等的点是 否在角的平分线上呢？
E
A D E B C O A D C
P
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么?
E A O P C
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到
公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉 处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｏ
B
C
走进生活
1、如图，为了促进当地 旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
北
比例尺1：20000
B
C
· P
┒
O
A
2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M H
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝ CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 AEຫໍສະໝຸດ F D公路铁路
Ｓ
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
C● O A
知识拓展
如图，在△ABC中， A AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求 AC的长； C （2）求证：AB=AC+CD
E D B
11.3角平分线的性质 （2）
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的 平分线. 2、角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A
用符号语言表述：
D O 1 2 E B P C
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
想一想
• 把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相 等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
同学甲、乙谁的画法是正确的?
议一议：由做一做和画一画你可得到什 么猜想？
角平分线上的点到角的两边的 距离相等．
验证
结论
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. A D 分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的△OPD≌△OPE， 1 P 而△OPD≌△OPE的条件由已 O 2 C 知易知它满足公理(AAS).
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
说一说 角的内部到角的两边距离相 等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B D
N P M
F
C
E
畅 谈 收 获
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 ， PE=__________cm.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
所以： 角平分线可以看做到角的两边 距离相等的所有点的集合
用一用
1、 如图，开发区一个工厂，在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出 工厂的位置，并说明理由。
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
丰收乐园
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到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 角平分线可以看做到角的两边距离相等的 所有点的集合