抛物线习题课

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高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

高中数学 2-4-3《抛物线》习题课同步练习新人教B版选修2-1

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|.2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y 2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p2＝0(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy－p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2，x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A.二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5. 12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎨⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎨⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋2－1，解得p ＝2. 三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎨⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k )2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.7.2抛物线的几何性质课后练习含解析新人教

第二章平面解析几何2.7抛物线与其方程2.7.2抛物线的几何性质课后篇巩固提升必备知识根底练1.抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,如此直线AF的斜率为()A.2B.±2C.2√2D.±2√2,点F(2,0),因为|AF|=x A+2=6,可得x A=4,又因为点A在抛物线上,所以y A2=32,如此y A==±2√2.±4√2,所以点A(4,±4√2),如此k AF=±4√222.直线y=kx-k与抛物线y2=2px(p>0),如此()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点直线y=kx-k=k (x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点.3.假如抛物线y 2=2x 上有两点A ,B ,且AB 垂直于x 轴,假如|AB|=2√2,如此点A 到抛物线的准线的距离为()A.12B.32C.2D.52y 2=2x ,其准线方程为x=-12,∵AB 垂直于x 轴,|AB|=2√2,A 到y 轴的距离为√2,假设A 在y 轴上侧,即y=√2,代入抛物线y 2=2x ,求得x=1,点A 到抛物线的准线的距离d=1+12=32.4.P 为抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点,A ,B ,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|,|BB 1|,|PP 1|,如此有()A.|PP 1|=|AA 1|+|BB 1|B.|PP 1|=12|AB|C.|PP 1|>12|AB|D.|PP 1|<12|AB|,根据题意,PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线,故|PP 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.5.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为()A.2√3B.4C.6D.4√3,△FPM 为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM ⊥抛物线的准线.设P (m 24,m),如此M (-1,m ),等边三角形边长为1+m 24,又由F (1,0),|PM|=|FM|,得1+m 24=√(1+1)2+m 2,得m=±2√3,∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,应当选D .6.点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上,如此z=x 2+12y 2+3的最小值是.(x ,y )在抛物线y 2=4x 上,所以x ≥0,因为z=x 2+12y 2+3=x 2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z 最小,其值为3.7.抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点A ,B 在抛物线上,假如△FAB 为等边三角形,如此其边长为.±2√3|FA|=|FB|与抛物线的对称性知A ,B 关于x 轴对称,不妨设直线AF 的倾斜角为π6,F (12,0),如此直线AF 的方程为y=√33(x -12), 联立{y 2=2x,y =√33(x -12),解得x=7±4√32, 如此|AF|=x+p2=7±4√32+12=4±2√3. 所以该三角形边长为4±2√3.8.假如抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且|AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.x 2=2py (p>0),设A(x0,y0),由题意知M(0,-p2),∵|AF|=3,∴y0+p2=3,∵|AM|=√17,∴x02+(y0+p2)2=17,∴x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p(3-p2),解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.9.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.(1)求p的值;(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,如此x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√2·√(x1-x2)2=√2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2×√32=8.关键能力提升练10.抛物线C :y 2=4x 的焦点F 和准线l ,过点F 的直线交l 于点A ,与抛物线的一个交点为B ,且FA⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如此|AB|=() A.23B.43C.83D.163C :y 2=4x 的焦点F (1,0)和准线l :x=-1,设A (-1,a ),B (m ,n ),∵FA⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴m+12=23,∴m+1=43,AB=83.11.抛物线y 2=2x 的焦点为F ,如此经过点F 与点M (2,2)且与抛物线的准线l 相切的圆有()A.1个B.2个C.0个D.无数个M (2,2)在抛物线y 2=2x 上,又焦点F (12,0),由抛物线的定义知,过点F ,M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F ,M 且与l 相切的圆有2个.12.抛物线y 2=2px 上三点A (2,2),B ,C ,直线AB ,AC 是圆(x-2)2+y 2=1的两条切线,如此直线BC 的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0A (2,2)在抛物线y 2=2px 上,故22=2p ×2,即p=1,所以抛物线方程为y 2=2x ,设过点A (2,2)与圆(x-2)2+y 2=1相切的直线的方程为y-2=k (x-2),即kx-y+2-2k=0,如此圆心(2,0)到切线的距离d=√k 2+1=1,解得k=±√3,如图,直线AB :y-2=√3(x-2),直线AC :y-2=-√3(x-2).联立{y -2=√3(x -2),y 2=2x,得3x 2+(4√3-14)x+16-8√3=0,故x A x B =16-8√33,由x A =2得x B =8-4√33,故y B =2√3-63,联立{y -2=-√3(x -2),y 2=2x,得3x 2-(4√3+14)x+16+8√3=0,故x A x C =16+8√33,由x A =2得x C =8+4√33,故y C =-2√3-63,故y B +y C =2√3-63+-2√3-63=-4,又由B ,C 在抛物线上可知,直线BC 的斜率为k BC =y B -yC x B-x C=y B -y C 12y B 2-12y C2=2yB +y C=2-4=-12,故直线BC 的方程为y-2√3-63=-12(x -8-4√33),即3x+6y+4=0.13.M ,N 是过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点,O 是坐标原点,且满足MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,S △OMN =√3|MN|,如此p 的值为.MN 的斜率k>0,过M ,N 作抛物线准线的垂线,垂足分别为G ,H ,过N 作NK ⊥MG 于K ,由MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|MF|=3|FN|, ∴|MG|=3|NH|,∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|,∴|NK|=√|MN|2-|MK|2=√32|MN|, 由S △OMN =S △OMF +S △ONF =12|OF|·|NK|=√38p|MN|,又S △OMN =√3|MN|,∴√38p|MN|=√3|MN|,得p=8.14.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y 2=2px (p>0),如图,一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ,反射后又射向抛物线上的点Q ,再反射后又沿平行x 轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,如此抛物线的方程为.2=3x,PQ必过抛物线的焦点F(p2,0).当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=k(x-p2),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立{y=k(x-p2 ),y2=2px,得k2(x2-px+p24)=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+2pk2,x1x2=p24.所以|PQ|=x1+x2+p=2p(1+1k2)>2p.综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.15.(2021全国乙,理21)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)假如点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.点F(0,p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.(2)由(1)知,抛物线的方程为x 2=4y ,即y=14x 2,如此y'=12x.设切点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),如此易得直线l PA :y=x 12x-x 124,直线l PB :y=x 22x-x 224,从而得到Px 1+x 22,x 1x 24,设直线l AB :y=kx+b ,联立抛物线方程,消去y 并整理可得x 2-4kx-4b=0,∴Δ=16k 2+16b>0,即k 2+b>0,且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b ,∴P (2k ,-b ).∵|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√16k 2+16b ,点P 到直线AB 的距离d=2√k 2+1,∴S △PAB =12|AB|d=4(k 2+b )32,①又点P (2k ,-b )在圆M :x 2+(y+4)2=1上,故k 2=1-(b -4)24,代入①得,S △PAB =4(-b 2+12b -154)32,而y P =-b ∈[-5,-3],∴当b=5时,(S △PAB )max =20√5.16.如图,抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,直线AF ,BF 分别与抛物线交于点M ,N.(1)求y 1y 2的值;(2)连接MN ,记直线MN 的斜率为k 1,直线AB 的斜率为k 2,证明:k1k 2为定值.,设AB 的方程为x=my+2,代入y 2=4x ,得y 2-4my-8=0,从而y 1y 2=-8.M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),k 1k 2=y 3-y 4x 3-x 4×x 1-x 2y 1-y 2=y 3-y 4y 324-y 424×y 124-y 224y 1-y 2=y 1+y 2y 3+y 4,设直线AM 的方程为x=ny+1,代入y 2=4x ,消去x 得y 2-4ny-4=0,所以y 1y 3=-4,同理y 2y 4=-4,k 1k 2=y 1+y 2y 3+y 4=y 1+y 2-4y 1+-4y 2=y 1y 2-4,由(1)知y 1y 2=-8,所以k1k 2=2为定值.学科素养拔高练17.抛物线y 2=16x 的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线于M ,N 两点,如此|NF|9−4|MF|的最小值为()A.23B.-23C.-13D.13y 2=16x的焦点为F ,如此F (4,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4,由{y 2=16x,x =4,可得M (4,8),N (4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴|NF|9−4|MF|=718.当直线l 的斜率存在时,设过点F 的直线l 的方程为y=k (x-4),不妨设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由{y 2=16x,y =k(x -4),消y 可得k 2x-(16+8k 2)x+16k 2=0,∴x 1+x 2=8+16k 2,x 1x 2=16,∴|MF|=x 1+p 2=x 1+4,|NF|=x 2+p2=x 2+4, ∴1|MF|+1|NF|=x 1+x 2+84(x1+x 2)+x 1x 2+16=16+16k 232+64k2+16+16=14.∴|NF|9−4|MF|=|NF|9+4|NF|-1≥2√|NF|9·4|NF|-1=13,当且仅当|NF|=6时取等号.故|NF|9−4|MF|的最小值为13.18.(多项选择)抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线与抛物线交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,点P 在l 上的射影为P 1,如此如下结论中正确的答案是()A.假如x 1+x 2=6,如此|PQ|=8B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设M (0,1),如此|PM|+|PP 1|≥√2D.过点M (0,1)与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条,设y=k (x-1),由{y =k(x -1),y 2=4x,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1.对于A,假如x 1+x 2=6,如此k 2=1,故k=1或-1,|PQ|=√1+1√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2×4√2=8,故A 成立;对于B,取PQ 点中点N ,N 在l 上的投影为N',Q 在l 上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP 1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=12(|PP 1|+|QQ'|)=12|PQ|,故B 成立;对于C,M (0,1),|PM|+|PP 1|=|MP|+|PF|≥|MF|=√2,故C 成立;对于D,过M (0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M (0,1)且与x 轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D 不成立.。

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用(课后练习)

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用考情分析年份题号题型分值结合背景解题关键点设问形式202225解答题8抛物线型——隧道截面(1)理解题意，得顶点坐标；(2)点A、B纵坐标为6(一对对称点)(也可理解为抛物线与直线y=6的交点)(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线上两点坐标（对称点）典例精讲例已知篮筐距地面3.05m，小亮站在距篮筐水平距离4m处跳起投篮，篮球的运行路线是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐．篮球和篮筐均看作一个点，建立如图所示的平面直角坐标系，y轴经过抛物线的顶点．例题图(1)求小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式；(2)已知小亮的身高是1.8m，在这次跳投中，篮球在他头顶上方0.25m处出手，求球出手时小亮跳离地面的高度是多少米？(3)若小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被距篮筐水平距离为5m处的小明跳起来接住，小明接球的高度为2.3m．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2m时到达最高点．若小明不接球，让篮球自由落地，则落地点到篮筐的水平距离是多少m?抛物线型实际应用题解题关键点是理解题意，从题干中梳理信息，把实际情境下的数字信息转化为数学问题，借助函数图象解决.练习(2022宁夏真题卷)2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米．以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4，12)，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3∶4(即34 CEDE)．练习题图求：(1)点A的坐标；(2)该抛物线的函数表达式；(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．(精确到0.1米) (≈1.73)练习1夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜(如图①)．它的横截面可以看成一个抛物线的形状．壮壮测得菜罩的跨度为80厘米，高度为32厘米，壮壮就以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系(如图②)．练习1题图(1)求抛物线的解析式；(2)壮壮的妈妈想购买一批直径为24厘米，高度为2.5厘米的盘子，要使菜罩紧贴桌面，菜罩内一排能放下三个这样的盘子吗？请说明理由．练习2某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥，已知道路AB的宽为40米，桥面最高处C点距离路面的距离OC为8米．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.练习2题图(1)求这座彩虹桥的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；(2)按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个桥墩进行支撑，若要保障道路AB的正常通行，两个桥墩之间的距离至少需要30米，求桥墩的最大高度(不考虑桥墩的宽度);(3)若在该彩虹桥下方有一个限高4米的横杆，现要在横杆上方设置一个宽18米，高2米的广告牌，问：在不超出桥面的情况下，这个广告牌能否按计划设置(不考虑横栏的宽度)?答案典例精讲例解：(1)∵抛物线的顶点在y轴上，∴该抛物线的对称轴是y轴，∴设抛物线解析式为y＝ax2＋3.5(a≠0)，∵小亮距y轴的水平距离为2.5m，距篮筐水平距离为4m，∴篮筐距y轴的水平距离为4－2.5＝1.5m，∴篮筐的坐标为(1.5，3.05)，把(1.5，3.05)代入抛物线解析式，得3.05＝a×1.52＋3.5，解得a＝－0.2，∴篮球运行路线所在抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5(－2.5≤x≤1.5)；(2)设球出手时，小亮跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，解得h＝0.2，∴篮球出手时，小亮跳离地面的高度为0.2m；(3)∵篮球弹出后运行的水平距离为2m时到达最大高度，篮筐到y轴的距离为1.5m，∴篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴是直线x＝1.5－2＝－0.5，∴设该抛物线的解析式为y＝a′(x＋0.5)2＋k，∵小明到篮筐的水平距离为5m，∴小明距y轴的水平距离为3.5m，∴抛物线经过点(－3.5，2.3)，(1.5，3.05)，代入抛物线解析式可得，222.3=(3.50.5)=0.153.653.05(1.50.5)a k aka k''⎧-++-⎧⎪⎨⎨='=++⎪⎩⎩，解得，∴抛物线的解析式为y＝－0.15(x＋0.5)2＋3.65，令－0.15(x＋0.5)2＋3.65＝0，解得x10.5，x20.5(舍去)，∴篮球落地点距y 轴(0.5)m ，0.5＋1.5＝2)m ，∴若小明不接球，则篮球落地点到篮筐的水平距离为(3＋2)m.课堂练兵练习解：(1)点A 的坐标为(0，4)；(2)∵抛物线最高点B 的坐标为(4，12)，∴点B 是抛物线顶点，抛物线可设为y ＝a (x －4)2＋12(a ≠0)，把点(0，4)代入得a (0－4)2＋12＝4，解得a ＝－12，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x －4)2＋12，即y ＝－12x 2＋4x ＋4；(3)在Rt △CDE 中，∵34CE DE =；∴设CE ＝3x ，则DE ＝4x ，由勾股定理得CD ＝5x ＝2.5，解得x ＝0.5，∴CE ＝1.5，DE ＝2，∴点D 的纵坐标为－1.5，将y D ＝－1.5代入抛物线y ＝－12(x －4)2＋12，得－12(x D －4)2＋12＝－1.5，解得x D ＝4＋或4－(舍去)，∴OC ＝x D －ED ＝4＋2＝2＋≈7.2(米)．∴起跳点A 与着陆坡顶端C 之间的水平距离OC 的长约为7.2米．课后小练练习1解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，由题意知，其顶点坐标为(40，32)，则抛物线为y ＝a (x －40)2＋32，把点(80，0)代入，得0＝a (80－40)2＋32，解得a ＝－150.∴抛物线的解析式为y ＝－150(x －40)2＋32；(2)能放下．理由如下：当x ＝803242-⨯＝4时，y ＝－150×(4－40)2＋32＝6.08>2.5.∴菜罩内一排能放下三个这样的盘子．练习2解：(1)∵AB ＝40，∴OB ＝20.设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，又∵抛物线经过点C(0，8)和点B(20，0)，∴＝8，400＋＝0，解得＝－0.02，＝8，∴抛物线的解析式为y＝－0.02x2＋8(－20≤x≤20)；(2)∵两个桥墩之间的距离至少为30米，且对称安置，∴桥墩距离中心OC的距离至少为15米．令x＝15，得y＝－0.02×152＋8＝3.5，∴桥墩的最大高度3.5米；(3)由题意可得，广告牌的最高处距离路面的距离为4＋2＝6米．令y＝6，则－0.02x2＋8＝6，解得x1＝－10，x2＝10，∴距离路面的距离为6米时桥面的宽度为20米．∵18＜20，∴这个广告牌能按计划设置．。

椭圆双曲线抛物线习题课.许兴华

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| AB | (1 k )[( x1 x2) 4x1 x2]
2 2 2

1 2 ( k 1)(3 k 1 m )
2 2 2
(3 k 1)
2
2

3( k 1)(9 k 1)
2 2
(3 k 1)
2
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3
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4
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9k 6k 1
3
2
12 9k 1 k
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k1k2
16 2 y1 y2 2( y1 y2) 4 0 ( y1 2)( y2 2)
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289 17 . 消去 x2 得，－，∵a>0，∴a＝ . 2＝ 1－a 60 13
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抛物线练习题

抛物线习题精选精讲（１)抛物线——二次曲线的和谐线ﻩ椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点,Ｆ为焦点,则以P Ｆ为直径的圆与y 轴（ ).A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H,交y 轴于Q,那么PF PH =，且2pQH OF ==．作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线,()111222MN OF PQ PH PF =+==．故以ＰF 为直径的圆与y 轴相切,选B ．【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的.（2)焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线()022p px y =的焦点Ｆ作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,求证:pBF AF 211=+ （1）12AB x x p =++ （2）【证明】（1)如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ， 122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2)当AB ⊥x 轴时,有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为:2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程:l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得:()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为ｘ1,x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p p p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直,恒有pBF AF 211=+成立.（3)切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M(x 0，y 0）的切线方程是：y ０ｙ=p(x+x 0)【证明】对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =，代入（）即得：ｙ0y=p （x+ｘ0）(4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 ( ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然．本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选Ｂ. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；３．设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ,那么：212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是Ａ1Ｂ1，证明:以Ａ1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A 1B 1=A Ｂ=2p ，而Ａ１Ｂ１与AB 的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对A Ｂ的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么:22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于Ｃ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B １为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法特法妙法（１）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等)．【例5】(07.四川文科卷.１0题）已知抛物线y=-ｘ2+3上存在关于直线ｘ+y=0对称的相异两点Ａ、B ，则|AB ｜等于（）A.3B.4C.32 D ．42 【分析】直线ＡB 必与直线x+ｙ＝０垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、Ｂ关于直线ｘ+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由()223013y x mx x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程(1）之两根为x 1，ｘ2,则121x x +=-．设AB 的中点为M （x ０,y 0）,则120122x x x +==-.代入x+ｙ=0:ｙ０＝12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．从而1m y x =-=．直线ＡB 的方程为:1y x =+.方程（1)成为:220x x +-=.解得:2,1x =-，从而1,2y =-,故得:A(-2,－１）,B （１,２).AB ∴=,选C.(2)几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例６】(0７．全国1卷．1１题)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F的直线与抛XYAB FA 1B 11M C XOY ABMl x y +=ÿ物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥,垂足为K ，则AKF △的面积（ )A.4Ｂ． C． D ．8 【解析】如图直线AF时∠A ＦX ＝６０°. △ＡFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M,则2,FM p ==且∠ＫFM=60°，∴24,4AKFKF S ∆===选C. 【评注】(1)平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式24S a ∆=计算. (2）本题如果用解析法,需先列方程组求点Ａ的坐标,，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.７题)双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ,焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（）A.1-ﻩ B ．1ﻩ C ．12-Ｄ．12【分析】这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半焦距ｃ,离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说:12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率ｅ有什么关系?注意到： ()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. XY O F(1,0)AK60°Y2=2px L:x=-1M这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A ．.(４）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的．因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（0７．重庆文科．21题）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F,且与抛物线交于A 、B 两点。

抛物线课件及练习题含详解

2
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2

高中数学选择性必修第一册抛物线(习题课)

(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于 M， N 两点，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
【解析】 (1)由抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)，得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1. (2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)．由yx＝ 2＝k－x－4y1，，得 x2＋4kx－4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22.
探究 1 由抛物线的定义，可以导出：若 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p＞0) 上的任一点，则该点到抛物线的焦点 F 的距离|PF|＝x0＋p2(焦半径长公式)．这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．
思考题 1 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y
设点 D(0，n)，则D→A＝－xy11，－1－n，D→B＝－xy22，－1－n， D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x41x21x－2 x422＋(n＋1)2＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋ 1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
4．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1，0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B.若A→M＝M→B，则 p＝___2_____．

高中数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课时分层练习题含答案解析

3.3.1 抛物线及其标准方程基础练习一、单选题1．抛物线218y x =-的准线方程是（）A ．132x =B ．2y =C ．132y =D ．2y =-得最小值的P 的坐标为：（）A ．()0,0B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()2,23．设动圆圆心为P ，该动圆过定点，且与直线x a =-相切（0a >），圆心P 轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与x 轴垂直，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB =（） A ．2aB ．aC ．2aD ．4a【答案】DA ．2B ．3C ．5D ．75．已知抛物线2y px =上的点0到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是（） A ．22y x = B ．24y x = C ．22y x =- D ．24y x =-6．抛物线2:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．4曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（）A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m【答案】B【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解O 到AB 的距离. 【详解】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150php h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．二、多选题8．（多选题）对抛物线24x y =，下列描述不正确的是( ) A ．开口向上，焦点为()0,1B ．开口向上，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．开口向右，焦点为()10，D ．开口向右，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】BCD【解析】根据抛物线方程，直接确定开口方向和焦点，即可得出结果. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =，所以24p =，2p =，开口向上，因此抛物线的焦点为()0,1，准线为1y =-.故A 正确，BCD 都错.9．（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（） A ．4p =B ．抛物线的方程为216y x =C ．直线l 的方程为24y x =-D ．=10AB10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：20y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PF ⊥交PF 于M ，过Q 作QN EP ⊥交线段EP 的延长线于N ，则（）A ．PE PF =B ．PF QF =C ．PN MF =D ．PN KF =【答案】ABD11．抛物线2x y =的焦点坐标是______. 【答案】1(0,)4##(0,0.25)______．【答案】5【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设点M 的横坐标为0x ，则有016x +=，所以05x =．13．已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______. 【答案】45##0.8OFPS=OFPS=，故O 到14．若抛物线的焦点是1,0F ，准线方程为1x =-，则抛物线的标准方程是______．【答案】24y x =15．已知抛物线22(0)y px p =>上有一点0与焦点之间的距离为3，则___________.16．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数m 的值为______．．已知抛物线上一点（位于第一象限）到焦点的距离等于，则直线MF 的斜率为_______________．18．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，04AF x =，则0x =______．19．若M 是抛物线4y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则MF =______．纵坐标为5，则AF BF +=______．22．若M 是抛物线22y x =上一动点，点103,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，设d 是点M 到准线的距离，要使d MP +最小，求点M 的坐标．圆的圆心P 的轨迹方程．【答案】y 2＝－8x .【分析】由题设易知P 到圆心A 的距离和到定直线x ＝2的距离相等，根据抛物线定义写出轨迹方程即可.【详解】由题意知：点P 到圆心A (－2, 0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为x ＝2，故点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .24．在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 分别为直线x ＋y ＝2与x 、y 轴的交点，C 为AB 的中点．若抛物线()220y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离．26．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．y+=；(1)准线方程是410(2)抛物线的焦点是双曲线22-=的左顶点；x y169144AF=.(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，5轴上方交抛物线于M、N 不同的两点，点P 是MN 的中点．求：(1)a 的取值范围； (2)AM AN +的值．一、单选题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，若A 、B 为抛物线上两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．当8AF BF +=，6OM =时，抛物线的方程为（）． A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =2．已知圆C 经过点(1,0P ，且与直线1x =-相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（） A ．3 B ．2C D 【答案】D【分析】利用已知可推出圆心A ．B ．8C ．D ．164．已知曲线C ：21m mx ny m +=-，则（）A ．当m =n =2时，C 为圆B ．当m =n =1时，C 为抛物线 C ．C 不可能为椭圆D ．C 可能为双曲线5．一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度20AB =米，拱高4OP =米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱22A B 的长度______米．【答案】3.84.##9625因为桥的跨度20AB =米，拱高OP =代入标准方程得：()()21024p -=--，解得：知MF ⊥NF ，|MF |＝5，则直线MN 与y 轴交点P 的坐标为_____．的坐标，由和抛物线的性质可得，可得数量积0FM FN⋅=，进而求出三点共线，可得向量共线，可得P的坐标．，准线方程为1x=-，，所以0FM FN⋅=，，解得：m=三点共线可得：//NP NM，而(1,NP n=，5(5, NM=所以5502⎛-⎝，解得：7．若过抛物线2y x=的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角4θ≥，点A 在x轴上方，则FA的取值范围是______．8．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，且焦点F 到其准线的距离为32，A 、B 、C 为抛物线上相异三点． (1)求p 的值；(2)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++的值．【分析】（1）由题，结合抛物线性质即可求；）由0FA FB FC ++=，在x 轴方向上有2A B p FA FB FC x x ⎛⎫⎛ ⎪ +⎝⎭++=++⎝（1）由抛物线焦点F 到其准线的距离为．因为0FA FB FC ++=，在x 轴方向上有所以FA FB FC x ⎛++=⎝9．已知抛物线2:2C y px =的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程．(2)已知O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且4OA OB ⋅=-，D 为直线l 上一点，且OD l ⊥，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】(1)24y x =；直线l 不与y 轴垂直，根据韦达定理和4OA OB ⋅=-求出＝2，212∵4OA OB ⋅=-，∴又∵2114y x =，48b -=-，得．已知抛物线的焦点到其准线的距离为．(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求||AB ．由（1）可得抛物线的方程为28y x =，所以焦点(2,0)F ，则直线AB 的方程为2,y x =-设()()1122,,,A x y B x y ，联立228y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得21240x x -+=，所以1212x x +=，由抛物线的性质可得12||12416AB x x p =++=+=． 11．已知动圆过定点()4,0，且在y 轴上截得的弦长为8． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线4y x =+和y 轴的距离之和的最小值．12．已知一个半径为32的圆的圆心在抛物线()2:20C y px p=>上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.(1)求抛物线C的方程；(2)当13PQ MN=时，求直线AB的方程.13．已知点0,1F ，直线:2l y =-，圆2:31C x y +-=．(1)若动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小1，试求点M 的轨迹E 的方程；(2)过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，要使四边形P ACB 的面积S 最小，求P 点坐标及S 的最小值． PACS ，PACS=PACS ，12PACS=，2:2(0)C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-4-3抛物线习题课

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|. 2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离B ．F 到y 轴的距离C ．F 点的横坐标D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p 20(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy －p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，② ①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2， x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫14，－1.故选A. 二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5.12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝⎛⎭⎫p 2＋2－1，解得p ＝2.三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k)2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为 d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

(北师大版)选修1-1课件：第2章-抛物线-习题课件

y o x
F
图形
.
o
x
F
.
o x
F
o
x
焦点
准线
p F ( ,0) 2 p x 2
F (
p ,0) 2 p x 2
p F (0, ) 2 p y 2
p F (0, ) 2 p y 2
【训练一】
1.抛物线 y
m 1 1 m ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) (A) (B) (C) (D) 4 4m 4m 4
N M M
.
P
.
2.过点(0,2)与抛物线 y 2 8 x 只有一个公共点的直线 C ）有（（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条
.
F (1,0)
.
P
x3
2 3.过抛物线 y ax ( a 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 1 1 两点，若PF与FQ的长分别是 p,q则等于 ( C ) p q
l1
D M y A B
AC 2 2, Rt ACN中， NC 1
MN 4, 则N为(2,0)
N x 由图得，即抛物线方程： y
l2
O
C
8x A为（1， 2 2）
B为（4， 4 2）
p 2得p 4 2 2
曲线段C的方程为：
y 2 8x(1 x 4, y 0)
设抛物线方程： y 2 2 px( p 0)
l2
O
C
N
x
p p 所以3 得p 3； 2 2 即p 4
2
得, p 2或4 AMN为锐角三角形， xA xN
p A(3 ,2 2 ) 2

人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件第三章抛物线抛物线的简单几何性质(1)

当且仅当

∴△ 与△

,即

=
=
时,等号成立.

面积之和的最小值是
.

+

≥
×

=

,

9.已知抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且
|| = 4||,△ 的面积为4 3,则抛物线方程为() B

，即直线的斜率为±

或

= −
，故C正确；
(−, )，(−, )，∴ ⋅ = + = − = ，从而∠ = ∘ ，故
A正确；
( + , )，
∴ ⋅ = ( + ) + − ⋅ ( + ) + = + =
在第一象限,则(, ),联立൝
得

= ,
△
所以
△
=
||| |
||| |
= .
5.设抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为，点(0,2).若线段的中点在抛物线上，则
3 2
2
=____，到该抛物线准线的距离为____.
解得 = ,∴ = .

(

) = ,
2
14.直线过抛物线: 2 = 2( > 0)的焦点(1,0),且与交于,两点,则 =___,
1
1
1
+
=___.
||
||

[解析]由题意知

= ,从而 = ,

人教A版高中同步学考数学选修1精品课件第二章习题课——抛物线的综合问题

= (-4) + 2,
2 = ,
消去 y,整理得,
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为 A(4,2),B(xB,yB)是上述方程的解,
由方程组
16 2 -16+4
所以 4·xB=
2
4 2 -4+1
,得 xB=
2
,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
消去
y
可得
x
1 2
2 = 4,
12
于是 y1y2=
4
22
( 1 2 )2
4
16
· =
=1,即 y1y2 为定值.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用抛物线的定义解决计算问题
例1已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)
到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
(
16
答案:2 2
课前篇自主预习
【做一做5】已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交
于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.
证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),
由题易知直线AB的斜率存在,设其为k,则直线AB的方程为y-1=kx.
由
-1 = ,
2-4kx-4=0,由根与系数的关系可得 x x =-4,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)设 A(x3,y3),B(x4,y4),由抛物线的定义,

【初中数学】人教版九年级上册第3课时抛物线类型的实际问题(练习题)

人教版九年级上册第3课时抛物线类型的实际问题(380)1.如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=−14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是．2.廊桥是我国的文化遗产．图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数解析式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．3.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=−29x2+89x+109，则羽毛球飞出的水平距离为米．4.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01m，√15=3.873）5.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图所示)，求该抛物线的解析式．解：根据题目条件，A，B，C三点的坐标分别是．设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)，将点B，C的坐标代入y=ax2+c，得．解得a=，c=．所以该抛物线的解析式为．6.有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在平面直角坐标系中(如图)．若在离跨度中心5m处的点M垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为多少米？解：据题意知，抛物线的顶点坐标为，所以设该抛物线的解析式为．把点A的坐标或点B的坐标代入解析式，得a=，所以抛物线的解析式为，把铁柱所在位置的横坐标，即OM=代入解析式，得到对应的纵坐标的值为，即这根铁柱的长为m．参考答案1.【答案】:9m【解析】:根据题意，当x =6时，原式=−14×62=−9，即水面离桥拱顶部的距离是9m2.【答案】:8√53.【答案】:54(1)【答案】设二次函数的解析式为y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，顶点坐标为(6,5). ∴y =a(x −6)2+5.∵A(0,2)在抛物线上，∴2=62⋅a +5∴a =−112∴y =−112(x −6)2+5，即y =−112x 2+x +2.【解析】:设顶点式，用待定系数法求解析式.(2)【答案】当y =0时，−112x 2+x +2=0，解得x =6±2√15（舍6−2√15）.∴x =6+2√15≈13.75m .∴该男同学把铅球推出去约13.75m .【解析】:该男同学把铅球推出去的距离，即为当y =0时，x 在正半轴上的值.5.【答案】:(−10，0)，(10，0)，(0，6) ；{0=100a +c ，6=c；−350；6；y =−350x 2+66.【答案】:(20,16)；y =a(x −20)2+16；−0.04；y =−0.04(x −20)2+16；15；15；15。

(第二辑)高中数学抛物线的简单几何性质习题课优质课件(选修2-1)

同理可得 N 的横坐标 x2＝4k2，可得 x1x2＝16.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝16k2－k126k＋4，即 xB＝4k2－k42k＋1，以－k 代换 xB 中的 k，得 xC＝4k2＋k42k＋1，
∴kBC＝yxBB－－yxCC＝kxB－4＋2x－B－[－xCkxC－4＋2]
＝kxBx＋B－xCx－C 8＝k8k2－k＋2 82k－8＝－14. k2
∴kOA＝yx11＝2yp1 . ∴直线 OA 的方程为 y＝2yp1 x.
由yx＝＝2－yp1 xp2
，得 D－p2，－py12.
∴B、D 两点纵坐标相等，BD∥x 轴．当 AB⊥x 轴时，x1＝x2＝p2，此时 Bp2，－p，D－p2，－p.
显然有 BD∥x 轴．
小结本例的研究过程体现了用坐标法研究直线与圆锥曲
则该点的轨迹是
( D)
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．抛物线
解析已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于
它到直线 x＝－3 的距离”，由抛物线的定义可判断，
动点的轨迹为抛物线．
2．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK|＝ 2|AF|，则△AFK 的面积为
探究点二抛物线的几何性质
例 2 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，通过
点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D，求证：
直线 DB 平行于抛物线的对称轴．
证明方法一如图，以抛物线的对称轴为
x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．
设抛物线的方程为 y2＝2px，
①

人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件第三章抛物线抛物线及其标准方程

,交其准线于点,若|| = 2||,且|| = 3,则此抛物线的方程
为() C
A. 2 = 9B. 2 = 6C. 2 = 3D. 2 = 3
[解析]如图,分别过A,B作 ⊥ 于 , ⊥ 于 ,由抛物线的
定义知,|| = | |,|| = | |.
过点(, −),所以(−)
= × ,解得 =

,所以抛物线的方程为

= .若抛物线
的焦点在轴上,设抛物线的方程为 = ( > ),又因为抛物线经过点(, −),所
以 = × (−),解得 = −,所以抛物线的方程为 = −.故选.

= ,即切线方程为 ( − ) = − ，即 − + = ，故B错误；
对于C，过点，A分别作准线的垂线，垂足为，B，如图,
由抛物线定义可知，|| = ||，
则|| + || = || + || ≥ || = ，所以|| + ||
∴
( − ) + =
+ ,
即 = + ,故轨迹方程为 = + .
3
点（异于原点）,过点作圆的切线,为切点,则|| + ||的最小值是___.
[解析]设(, ),可得 = ,圆：( − ) + = 的圆心(, ),半径为1,连接
,如图所示,
|| =
|| − =
( − ) + − =
即|| + ||的最小值为3.
C级学科素养创新练
12.如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为3，点在上，且 =
1
，点在
3
平面上，且动点到直线1 1 的距离与到点的距离相等，在平面直角坐标系

高二数学人教A版习题练习2-3-2第1课时抛物线的简单几何性质Word版含答案

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十六抛物线的简单几何性质基础全面练 (20分钟 35分)1．(2021·天水高二检测)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A(x 0，y 0)是C 上一点，|AF|＝54 x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】选A.由抛物线C ：y 2＝x 可得p ＝12 ，p 2 ＝14 ，准线方程为x ＝－14 ，因为A(x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54 x 0，x 0>0.所以54 x 0＝x 0＋p 2 ＝x 0＋14 ，解得x 0＝1.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2 ＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2 ，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】选C.方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．4．已知F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到x 轴的距离为________．【解析】因为|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义可得|AD|＋|BE|＝6，又线段AB 的中点到抛物线准线y ＝－12 的距离为12 (|AD|＋|BE|)＝3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为52 .答案：525．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则|FN|＝________．【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F(2，0)，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±2 2 ，|FN|＝2|FM|＝ 2⎝⎛⎭⎫1－22＋()222 ＝6. 答案：66．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【解析】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 . 因为直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 且倾斜角为135°，所以直线方程为y ＝－x ＋12 p.设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24 ＝0.所以x 1＋x 2＝3p.②由①②得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x.当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x.综上，所求抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x.综合突破练 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，||AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．32C ．12D ．52【解析】选B.设A ⎝⎛⎭⎫x 1，y 1 ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2 ，C 的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22 ，因为AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，所以||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝4，所以x 1＋x 2＝3，故x 0＝x 1＋x 22 ＝32 .2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB|＝2 2 ，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 ，则焦点到直线AB 的距离为1－12 ＝12 . 3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2【解析】选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2 ，|FP 2|＝x 2＋p 2 ，|FP 3|＝x 3＋p 2 ，所以|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】选C.设A ，B ，C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以S 1＝12 |y 1|，S 2＝12 |y 2|，S 3＝12 |y 3|，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝14 (y 21 ＋y 22 ＋y 23 )＝x 1＋x 2＋x 3，因为点F 是△ABC 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝3.5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A ．43B ．75C ．85D ．3【解析】选A.设抛物线y ＝－x 2上一点M 为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23 时，取得最小值为43 . 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________．【解析】x 2＋y 2－6x －7＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －3 2＋y 2＝16，圆心为⎝⎛⎭⎫3，0 ，半径为4，抛物线准线为x ＝－p 2 ，由圆与直线相切可知p 2 ＝1，所以p ＝2.答案：27．如图：已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则|PA|＋|PB|的最小值为________.【解析】抛物线的准线方程是x ＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F 到直线x －y ＋4＝0的距离，所以点F 到直线的距离d ＝|1－0＋4|2＝522 ，即|PA|＋|PB|的最小值是52 2 －1.答案：52 2 －18．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，则抛物线的方程为________．【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3 ，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1， 3 )或(－1， 3 )，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px(p>0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x.答案：y 2＝3x 或y 2＝－3x三、解答题(每小题10分，共20分)9．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为3 5 ，求b 的值．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12 ，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24 ，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1－2b . 所以|AB|＝1＋22 |x 1－x 2|＝ 5 ·1－2b ＝3 5 ，所以1－2b ＝9，即b ＝－4.10．点M(m ，4)(m>0)为抛物线x 2＝2py(p>0)上一点，F 为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m 与p 的值．(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积．【解析】(1)由抛物线定义知，|FM|＝p 2 ＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方程为x 2＝4y ，又由M(m ，4)在抛物线上，所以m ＝4.故p ＝2，m ＝4.(2)设过M 点的切线方程为y －4＝k(x －4)，代入抛物线方程消去y 得，x 2－4kx ＋16k －16＝0，其判别式Δ＝16k 2－64(k －1)＝0，所以k ＝2，切线方程为y ＝2x －4，切线与y 轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S △FMN ＝12 |FN|·m ＝12 ×5×4＝10.创新迁移练1．(2021·兰州高二检测)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185 m【解析】选D.以桥顶为坐标原点O ，桥形的对称轴为y 轴，过O 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py ()p>0 经过点⎝⎛⎭⎫6，－5 ，则36＝10p ，解得p ＝185 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185 .2．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．【解析】(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝ 5 . 所以|MN|＝2|CO|2－d 2 ＝25－4 ＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20 4，y 0 ，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 20 4 2 ＋(y －y 0)2＝y 40 16＋y 20 ，即x 2－y 20 2 x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 20 2 ＝0，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20 2＝2y 20 －4.y 1y 2＝y 20 2＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 20 2 ＋1＝4，解得y 0＝±6 ，此时Δ>0.11 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6 或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6 ，从而|CO|2＝334 ，|CO|＝332 ，即圆C 的半径为332 . 关闭Word 文档返回原板块。

高中数学抛物线例题教案

高中数学抛物线例题教案
主题：抛物线
教学目标：
1. 了解抛物线的定义和性质；
2. 掌握抛物线的标准方程及相关概念；
3. 能够解决与抛物线相关的数学问题。

教学重点和难点：
重点：抛物线的定义、性质和标准方程；
难点：应用抛物线解决实际问题。

教学准备：
1. 教学课件；
2. 教科书及练习册；
3. 习题及解析。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示一个抛物线的图片或视频来引入抛物线的概念，让学生了解抛物线的形状和特点。

二、讲解（15分钟）
1. 定义抛物线及其性质；
2. 讲解抛物线的标准方程及相关概念。

三、练习（20分钟）
让学生根据所学知识解决以下问题：
1. 求抛物线方程：过点（1，2），焦点为（0，2）的抛物线；
2. 若抛物线的焦点为（-3，1），过点（1，-2）求抛物线的方程；
3. 求抛物线y=ax^2的焦点为（1，2）的值。

四、总结（10分钟）
总结抛物线的性质和常见问题解决方法。

五、课堂练习（10分钟）
让学生自主进行课堂练习并及时批改，纠正错误。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的抛物线练习题，并要求学生在下节课前完成。

七、课堂小结（5分钟）
回顾本节课所学内容，巩固学习效果。

教后反思：
本节课重点在于抛物线的定义和解决问题的方法，因此需要引导学生掌握抛物线的基本概念和计算技巧，通过练习题来加强学生的理解能力和应用能力。

同时，要注重引导学生主动学习和思考，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

抛物线复习文档

《抛物线》复习习题课
一、知识总结：
1、抛物线的定义：
平面内到定点F 的距离等于它到定直线的距离相等，若定点不在定直线上，轨迹是抛物线。

2、抛物线的标准方程：
抛物线的标准方程中，一次项决定开口方向和焦点的位置；解决抛物线问题注意定义的应用；抛物线22y px =的焦半径公式为12
p AF x =+，过焦点的弦长12AB x x p =++；2
2
1212,4p y y p x x =-= 3、通过焦点与对称轴垂直的弦叫通经，抛物线的通经长为2p 。

4、求最值一般方法：数形结合（选择、填空），建立函数或不等式。

建立不等式常用椭圆、双曲线、抛物线的范围。

5、直线与抛物线相交问题：
最基本的出发点是组成方程组—一元二次方程—△（结合图形判断是否必要）——韦达定理，但首先应设而不求，探索出如何应用韦达定理，
二、习题：。

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解：设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y kx b
y
M A F
B
y k x b x 2 kx b 0 y x2
o
x
由弦长 | AB | 1 k 2 k 2 4b 2
k2 y1 y2 x1 x2 y0 k( )b b 2 2 2
1 1 2 (6) AF BF p
(7)A,B在准线上的射影分别是A1,B1,则 A1FB1
(8)直线A1B过原点。

2
例1：
• 若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为 15，求此抛物线的方程
2.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.
解法二： A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
2 MN AD BC , MN
1 AD BC 2( y0 ) 4
p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
1 AF BF 2( y0 ) 4
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
即y0 min
3 4
4、已知抛物线y x 2上存在两个不同的点M , N关于 3. 9 直线y k x 对称，求k的范围. 2
解： A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
y1 x12 由 y 2 x2 2
y1 y2 相减得： x1 x2 x1 x2
A
y

P
1 2 x0 k 9 又ຫໍສະໝຸດ 0 kx0 2B.
O
y0 4
F
x
要使直线AB与抛物线有两交点， 2 x0 2
1 1 1 4 4 k (, ) ( ,) k 4 4
抛物线习题课（二）
抛物线焦点弦问题：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2) , 则 2 p (1)x1x2= (2)y1y2=-p2 (3)|AB|=x1+x2+p 4 2p (4)若直线AB的倾斜角为θ,则 |AB|= sin 2 (5)以AB为直径的圆与准线相切.
1 k2 b 2 1 k 4
k2 1 1 k 2 1 1 y0 1 1 3 (当k 1时，取等号) 4 1 k 2 4 1 k 2 4 4 4
y0 min 3 4
此时l AB
1 : y x 4
2.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.