高中数学抛物线基础知识(详尽版)
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抛物线基础知识
标准方程的求法：若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向，可简单设为22,ax y ay x ==，避免讨论。
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1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：
b kx y += 抛物线
，)0(>p
①
联立方程法：⎩⎨⎧=+=px
y b kx y 22
⇒0)(22
22=+-+b x p kb x k 设交点坐标为
)
,(11y x A ,
)
,(22y x B ，则有
>∆,以及
2
121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 （1）相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆+=2
1
或
2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1
（2）中点),(00y x M , 2
2
10
x x x +=
，
2
2
10y y y +=
（3）点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得
1212px y = 22
22px y =
将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-
，
2
121212y y p
x x y y +=
--
a.
在涉及斜率问题时，2
12y y p k AB
+=
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段
AB 的中点为),(00y x M ，0
2
12
121222y p
y p y y p x x y y ==+=--，
即0
y p k AB
=，
同理，对于抛物线)0(22
≠=p py x
，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有
p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）