第四章 随机变量及其分布
随机变量及其分布正态分布
在自然科学中，许多测量误差都被认为服从正态 分布。这种假设允许使用统计方法进行误差分析 和建模。
正态分布在社会科学中的应用
能力和智力测试
正态分布在能力和智力测试中经常被用作模型，因为许多测试得分都呈现出正 态分布的形态。这使得教育工作者和心理学家能够对学生的能力或受试者的智 力进行评估和比较。
02 示例
人的身高、体重等都是连续型随机变量的例子。
03 性质
连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了 变量在某个区间内取值的概率。
随机变量的数学期望与方差
数学期望（均值）
描述了随机变量取值的“平均”水平。对于离散型随机变量 ，数学期望是各个可能取值与对应概率的加权和；对于连续 型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量乘积的积分 。
02
随机变量的分类与性质
离散型随机变量
01 定义
离散型随机变量是指其取值集合是可数集的随机 变量。
02 示例
抛硬币的正面次数、掷骰子的点数等都是离散型 随机变量的例子。
03 性质
离散型随机变量的概率质量函数（PMF）描述了 每个可能取值的概率。
连续型随机变量
01 定义
连续型随机变量是指其取值集合是连续统（不可 数集）的随机变量。
它由均值和标准差两个参数完全决定，呈现出钟 02 形的曲线。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如测 03 量误差、人口身高、考试成绩等。
正态分布的概率密度函数
01 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x μ)² / (2σ²)))，其中μ为均值，σ为标准差。
总结与展望
正态分布在统计学中的重要性总结
基础地位
随机变量及其分布
随机变量及其分布随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它是描述随机现象结果的数学量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在统计学中，我们通常用随机变量来描述随机试验的结果。
随机变量的分布则是描述随机变量可能取值的概率规律。
本文将介绍随机变量及其分布的基本概念，以帮助读者更好地理解这一重要的统计学概念。
**随机变量的定义**随机变量是一个函数，将样本空间中的每个事件映射到实数上。
简而言之，随机变量就是能够描述随机现象结果的一个变量。
例如，投掷一枚硬币，正面朝上可以用随机变量X=1表示，反面朝上可以用随机变量X=0表示。
在这个例子中，随机变量X的取值只能是1或0，因此X是一个离散的随机变量。
**随机变量的分类**根据随机变量的取值范围不同，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量两类。
离散随机变量的取值是有限个或可列无穷个，例如上面提到的投硬币问题；而连续随机变量的取值是连续的，通常对应于实数轴上的某个区间，例如一个人的身高、体重等。
在统计学中，我们常常使用概率密度函数（probability density function）来描述连续随机变量的分布。
**随机变量的分布**随机变量的分布是描述随机变量取各种值的概率规律。
对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（probability mass function）来描述其分布。
概率质量函数给出了随机变量取每个可能值的概率。
例如，对于一个掷骰子的随机变量，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。
而对于连续随机变量，我们则使用概率密度函数来描述其分布。
概率密度函数在某一区间内的取值越大，该区间的概率越大。
常见的连续分布包括正态分布、均匀分布等。
**常见的随机变量分布**1. **离散分布**- 伯努利分布：伯努利分布是最简单的离散分布，只有两个可能的取值，例如抛硬币的结果。
- 二项分布：二项分布描述了n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布，例如n次抛硬币后正面朝上的次数。
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
第二版 工程数学-概率统计简明教程-第四章随机变量及其分布
P( X
1)
27 64
27 64
27 32
.
30
例7 已知一批螺丝钉的次品率为0.01，且每个螺丝 钉是相互独立的，现将这批螺丝钉没10个宝成一包 出售，并保证若每包发现多于一个次品则课退款。 问卖出的某包螺丝钉被退回的概率多大？
解 设X表示每包中的次品数，则X～B(10,0.01)
退回 ↔ 次品多于一个 ↔ X＞1
取球结果为:红或者白，是定性的描述。可这样量化： 用X表示抽得的结果， 则X只有两种结果， 每一种结果分别对应一个数，如 X=1表示取到红球, X=0表示取到白球
特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了
一个对应关系
随机变量的定义
随机变量
设随机试验的样本空间为Ω ，如果对于每一个 样本点w∈Ω ，均有唯一的实数X(w)与之对应， 称X(w)为样本空间Ω 上的随机变量。
则X服从0-1分布，其分布律为:
X
0
1
P
7
3
10
10
二项分布
在n重伯努利试验中,若以X表示事件A发生的次数, 则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.
随机变量X的分布律为
P X k Cnk pk (1 p)nk
k 0,1, 2..., n; 其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二 项分布(也称Bernoulli 分布）,记为
k 0
15 15 15 15 15
即 10 5c 1 15
c 1
例5 袋中有5个球，分别编号1,2,3,4,5.从中同时取出3个
球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律与分布函数. 解 由于X表示取出的3个球中的最小号码， 因此X的所有可
随机变量及其分布知识点
随机变量及其分布知识点
随机变量是概率论的重要概念，它是指一个随机试验中的某个数值特征。
随机变量可分为离散型和连续型两种类型。
离散型随机变量只能取有限的几个或无限个可数值，例如掷骰子所得点数就是一个离散型随机变量。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，它指定了每个可能取值的概率。
连续型随机变量可以取任意实数值，例如一个人的身高就是一个连续型随机变量。
连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述，它指定了每个可能取值的概率密度。
常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等，常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
这些分布函数具有特定的形式和性质，可以用于描述和分析各种随机现象的概率分布。
随机变量及其分布是概率论和数理统计的基础知识，它们在实际应用中具有广泛的应用，例如金融、统计学、物理学、工程学等领域。
对于学习和掌握这些知识点，需要熟悉概率论的基本概念、运算法则和常用的分布函数，同时还需要具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
- 1 -。
随机变量及其分布
随机变量及其分布【知识要点】一．离散型随机变量的相关概念（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η等表示；（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以 ，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+（a 、b 是常数），则η也是随机变量。
（3）离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、，X 取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i p x X P ==，则称表为 ，简称的分布列。
（4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：； 。
二．两点分布：若随机变量X 的分布列为则称 . 而称()1==X P p 为成功概率.三．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X件次品，则即若随机变量X 的分布列如上表，则称 .四．条件概率：对任意事件A 和事件B ， ， 叫做条件概率。
记作()A B P ，读作A 发生的条件下B 发生的概率.条件概率计算公式 性质：（1） （2）若B 与C 为互斥事件，则 五．相互独立事件：事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
注：（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.（2）互斥事件是指 的两个事件；相互独立事件是指 . （3）如果A 、B 是相互独立事件，则 、 、 也都相互独立.（4）两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率 六．独立重复试验及二项分布定义：在 进行的，各次之间 的一种试验 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 ，(0,1,2,,1)k q p ==-于是得到随机变量X 的概率分布如下：由于k k n kn C p q -恰好是二项式展开式：001110()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量X 服从 ，记作 .七．期望：则称=ξE 为X 的数学期望，简称期望。
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布 课件
所以2φμ，σ(x)dx＝19φμ，σ(x)dx
1
18
即 P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)．
(2)因为 P(X≤2)＋P(2＜X≤10)＋P(10＜X＜18)＋P(X≥18)＝1， P(X≤2)＝P(X≥18)＝a， P(2＜X≤10)＝P(10＜X＜18)， 所以，2a＋2P(10＜X＜18)＝1， 即 P(10＜X＜18)＝1－22a＝12－a.
因为随机变量 ξ～B10，14， 所以 E(ξ)＝np＝10×14＝52， D(ξ)＝np(1－p)＝10×14×34＝185.
正态分布的概率
对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础 的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的 性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相 应的概率．
P(η0＝1)＝16，P(η0＝2)＝13， P(η0＝3)＝12， 所以 η 的分布列为： P(η＝2)＝16×16＝316， P(η＝3)＝2×16×13＝19，
P(η＝4)＝2×16×12＋13×13＝158， P(η＝5)＝2×13×12＝13. P(η＝6)＝12×12＝14.
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设其发生的概率为 p，由(1)知，p＝14，
(3)设事件 D 为“取一次球，取到白球”，则 P(D)＝25，P(－D )＝35，这 3 次取出球互不影响，
则 ξ～B3，25， 所以 P(ξ＝k)＝C3k25k353－k(k＝0,1,2,3)．E(ξ)＝3×25＝65.
提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～ B3，25，则可根据独立重复事件的定义求解．
(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次 抽到理科题的概率
随机变量及其分布
随机变量及其分布在我们的日常生活和科学研究中，常常会遇到各种各样的不确定现象。
比如，明天的天气是晴是雨，一场考试的成绩是高是低，或者在生产线上产品的质量是否合格等等。
为了更好地理解和描述这些不确定的情况，数学中引入了一个重要的概念——随机变量。
那么，什么是随机变量呢？简单来说，随机变量就是一个将随机试验的结果与实数对应起来的函数。
它的取值是由随机试验的结果决定的，并且具有不确定性。
举个例子，假设我们进行一次掷骰子的试验。
如果我们关心掷出的点数，那么可以定义一个随机变量 X ，它的值就是掷出的点数。
在这个例子中，随机变量 X 可能的取值就是 1、2、3、4、5、6 。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，就像上面掷骰子的例子。
而连续型随机变量的取值则是在某个区间内连续变化的，比如测量一个人的身高，身高可以在一定的范围内取任意实数值。
了解了随机变量的类型，接下来我们看看它们的分布。
分布描述了随机变量取不同值的概率情况。
对于离散型随机变量，我们通常用概率分布列来描述它的分布。
概率分布列就是列出随机变量的所有可能取值以及对应的概率。
比如，对于上面掷骰子的随机变量 X ，它的概率分布列为：X ： 1 2 3 4 5 6P ： 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6这个概率分布列清楚地告诉我们，掷出每个点数的概率都是 1/6 。
连续型随机变量的分布则通常用概率密度函数来描述。
概率密度函数并不是直接给出随机变量取某个值的概率，而是给出概率在某个区间内的分布情况。
比如说，正态分布就是一种常见的连续型分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线。
在实际应用中，随机变量及其分布有着广泛的用途。
比如在保险行业，保险公司需要根据投保人的风险情况（可以用随机变量来表示）以及风险的分布来制定合理的保险费率；在质量控制中，通过对产品质量指标（随机变量）的分布进行分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整；在金融领域，股票价格的波动可以看作是一个随机变量，对其分布的研究有助于投资者做出合理的决策。
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是概率论中的基础概念之一，是描述随机事件的数学模型。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量，它们分别对应两种不同的概率分布函数。
随机变量及其分布是概率论和统计学中的重要概念，掌握它们的知识对理解概率和统计学的应用至关重要。
一、随机变量的定义在概率论中，将随机试验中的所有可能结果对应的实数量称为随机变量。
可以通过随机变量的取值和概率分布函数来描述随机试验的结果。
二、随机变量的分类1. 离散随机变量如果随机变量只能取离散的值，则称其为离散随机变量。
离散随机变量的概率分布函数(discrete probability function )可以用概率质量函数(probability mass function，PMF)表示。
离散随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) ≥ 0，即每个值的概率非负。
2) ΣP(X = x) = 1，即所有可能取值的概率和为1。
3) PMF可以用折线图表示。
例如：伯努利试验中，试验的结果只有两种可能性，即成功和失败。
设X为成功的次数，则X是离散随机变量。
成功的概率为p，失败的概率为1-p。
则X的概率分布函数为：P(X = k) = p^k(1-p)^(1-k), k = 0,12. 连续随机变量如果随机变量可以取任意实数值，则称其为连续随机变量。
由于随机变量可以取无限多的值，因此相对于离散随机变量，它的概率分布函数有一些特殊的性质。
连续随机变量的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)可以用函数表示。
由于随机变量连续，因此PDF不是一条折线，而是一条连续曲线。
连续随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) = 0，即连续随机变量的每个单独取值的概率为0。
2) ∫f(x)dx = 1，即PDF下的所有面积和为13) 可以用PDF曲线下的面积计算概率。
例如：假设X表示一个信号在某个时间段内的功率，则X是一个连续随机变量。
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第4章 多维随机变量(r.v.)及其分布
fY
(
y
)
=
π2
1− y2, 0,
− 1 ≤ y ≤ 1. 其它
28
2. 二维正态分布 p97
(X,Y)的概率密度为
f (x, y) =
1
e 2(
−1 1− ρ
2
)
(
x
− µ1 σ2
1
)2
−2
ρ
(
x
−
µ1 )( σ 1σ
y
2
−
µ2
)
+
(
y
− µ2 σ2
2
)2
2πσ σ 1 − ρ 2 12
f ( x, y)dy
−∞
称为(X,Y)关于X的边缘概率密度。
∫ fY ( y) =
+∞
f ( x, y)dx
−∞
称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度。
20
例p102 设 ( X ,Y )的概率密度是
f
(
x,
y)
=
cy(2 −
0,
x
),
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x ,
其它
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度; (3) P{X<1/2}.
…
pi j
…
p.j
… … … … ….. … …
∑
p1 . p2 .
…
pi . …
1
18
3
例 将一枚硬币掷 3 次, 以X表示前 2 次中出现 H的次数, 以Y表示 3 次中出现H的次数. 求X,Y 的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律.
19
三、连续型(X,Y)的边缘概率密度
第四章 随机变量及其分布.ppt
2
2Leabharlann P(X 2) 1 P(X 2) 1 P( X 2) P( X 2)
1 F(2) F(2 0) F(2 0)
2019-11-9
1 0.7 0.感5谢你的0阅.读8
24
例 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设击 中都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随 机变量X的分布函数。
第四章 随机变量及其分布
随机变量及分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
2019-11-9
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1
4.1 随机变量及分布函数
随机变量
概率论与数理统计是从数量的侧面来研 究随机现象的统计规律性的一门学科,为了全 面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的 统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对 应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念.
解: 若 x<0,则{X≤x}是不可能事件，于是 F(x)=P{X≤x}=0
若0≤x≤2，由题意，P{0≤X≤x}=kx2, k是某一 常数，为了确定k的值，取x=2，有
P{0≤X≤2}=22k，但已知P{0≤X≤2}=1，故得k=1/4 ，
即P{0≤X≤x}=x2/4，于是
F(x)=P{X≤x}=P{x<0}+P{0≤X≤x}=x2/4
0, x 1
F
(
x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P( X
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P
2016/2/21
皖西学院 应用数学学院
例1 掷两颗骰子,观察其点数,记X为点数之和,Y 为6点的个数,Z为最大点数,求X、Y、Z的分布列。
概 率 论 与 数 理 统 计
分析:样本空间？随机变量的取值范围？
( x , y ) : x , y 1,2,L ,6 ,即
(1,1), (1,2),L , (1,6) (2,1),(2,2),L ,(2,6) L L L L L L L L L (6,1),(6,2),L ,(6,6)
2 1 C2 P ( X 3) 3 C5
0.1.
注:计算概率时,必须明确相应的具体事件是什 么。
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X的分布列为
X
概 率 论 与 数 理 统 计
X的分布函数为
3 0.1
1
2
0, x 1;
0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3. 注意:由分布列求分布函数是概率累加的 过程.并且,总有： 当x xmin时，F ( x ) 0; 当x xmax时，F ( x ) 1.
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关于随机变量的补充说明
概 率 论 与 数 理 统 计
（1）引入随机变量之后,可以更方便地表示事件； （2）随机变量的确定不仅与样本空间有关,也与 试验的研究目的有关； （3）随机变量满足函数的单值对应关系； （4）随机变量不仅有取值的不同,取到这些值的 概率也不同。 问例1中的三个事件的概率怎样计算,分别是多 少？ 考虑与这些随机变量取值所对应的样本点。
14
该分布函数的图形如下:
F ( x)
概 率 论 与 数 理 统 计
1
4 6
1
1 6
1 2
0
3
x
注:分布函数是概率的累加。
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第二节
概 率 论 与 数 理 统 计
离散型随机变量
一、离散型随机变量的概率分布列
1、定义:设X为离散型随机变量,若X的所有可能
初等数学的基础概念。同样,概率论能从计算一些孤立 事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基础概念就 是随机变量。
2016/2/21 皖西学院 应用数学学院 1
第一节
随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
概 率 论 与 数 理 统 计
1、含义:用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之,不管随机试验的结果是否具有数量的性 质,都可以建立一个样本空间和实数空间的对应 关系,使之与数值发生联系,即用随机变量的取 值来表示事件。 2、定义:定义在样本空间Ω＝{ω}上的实值函数X ＝X(ω)称为随机变量(random variable,简记r.v.)
第四章
概 率 论 与 数 理 统 计
随机变量及其分布
关于随机变量(及向量)的研究,是概率论的中心内
容。这是因为对于一个随机试验,我们关心的往往是与
所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是
随机变量。也可以说随机事件是从静态的观点来研究随
机现象,而随机变量则是一种动态的观点,如数学分析中
的常量与变量的区分那样,变量概念是高等数学有别于
例2 从一批总量为N,次品率为p的产品中,不放 回地抽取n(n<Np)个,观察抽取产品中的次品数, 并引入适当的随机变量来表示。
概 率 论 与 数 理 统 计
分析:记X为抽取的产品中的次品数,则X是一个 随机变量,其可能取值为0,1,2,……,n,并且X的每 一取值[范围]都与某一具体事件相对应。 例如： X 0 取出的n个产品中没有次品；
X ,Y , Z的取值范围：
X 2,3,L ,12 Y 0,1,2 Z 1,2,L ,6
X 2 (1,1) , X 3 (1, 2),(2,1) ,L
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X 11 (5,6),(6,5), X 12 (6,6) .
F ( ) lim F ( x ) 0,
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( x ) F ( x0 ), (3) 右连续性：xlim x
即F ( x0 0) F ( x0 ).
注:以上三条是分布函数的基本性质,也是分布
0
函数的充要条件。
可能取值为xi (i 1, 2, L ), 即取值为有限个或可列个， 则称pi ˆ P( X xi ), i 1, 2, L , 为随机变量X的分布列 (分布律,概率分布列),记作X : {pi }, i 1, 2,L 也可以用表格的形式表示为
X
x1
p1
x2 L
p2 L
xi L
pi L
X P
概 率 论 与 数 理 统 计
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考:X还能取到其他数值吗？
求分布列的一般步骤
(1)确定样本空间； (2)确定随机变量的所有可能取值(完备的)； (3)确定随机变量的每个取值所对应的事件； (4)求出每个事件的概率； (5)列出表格或写出一般的概率表达式。 求分布列中的概率时,关键在于必须把随机变 量的取值对应到样本空间中的具体事件。
概 率 论 与 数 理 统 计
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记X表示“空格个数”,则有
概 率 论 与 数 理 统 计
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
P X 2 0.3，P X 1 0.6, P X 0 0.1
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2016/2/21 皖西学院 应用数学学院 4
概 率 论 与 数 理 统 计
共有10个的样本点,记X表示“空格个数”,则有
X ( ) 0
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概 率 论 与 数 理 统 计
X ( ) 1
X ( ) 2
则 X 1 , X 2 , X 0 分别表示事件A, B , C
注:(1)分布函数表示的是随机事件的概率； (2)分布函数与微积分中的函数没有区别； (3) 数集 X B 表示事件 : X ( ) B .
2016/2/21 皖西学院 应用数学学院 11
概 率 论 与 数 理 统 计
分布函数的性质 (1) 单调性：x1 x2 F ( x1 ) F ( x2 )； (2) 有界性： 0 F ( x ) 1；
P{a X b} F (b 0) F (a ).
2016/2/21 皖西学院 应用数学学院 13
概 率 论 与 数 理 统 计
例3 一袋中装有依次标着数字-1,2,2,2,3,3的6个 球,从袋中随机取出一个球,记X为取出的球上的 数字,求X的分布函数并作图。 解:X的所有可能取值为-1,2,3,且有
P 0.6 0.3
思考:如何由分布函数求分布列？
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x 1; 0, 0.3, 1 x 0; 例3 已知F ( x ) , 求X的分布列. 0.8, 0 x 1; 概 1, x 1 率
论 与 数 理 统 计
2016/2/21 皖西学院 应用数学学院 12
用分布函数表示事件的概率
概 率 论 与 数 理 统 计
ˆ P{ X x } F ( x) P{ X a} 1 F (a ); P{a X b} F (b) F (a ); ˆ P{ X a } lim F ( x ) F (a 0);
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品； X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
皖西学院 应用数学学院 9
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随机变量的分类： 离散型随机变量
概 率 论 与 数 理 统 计
随机变量
连续型随机变量
其他（混合型）
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常用大写英文字母或小写希腊字母来表示,相应 地,用小写英文字母表示其取值。 随机变量的特点:
概 率（1）其全部可能取值是互斥且完备的。 论（2）其部分可能取值描述随机事件。 与 数 理 统 X( ) 计
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R
皖西学院 应用数学学院 3
概 率 论 与 数 理 统 计
注:①随机变量是样本点的函数,其函数值是实数, 但自变量(样本点)不一定是实数。 ②与微积分中的变量不同,随机变量还存在取 值的概率问题(分布)。
随机变量的实例 例1 引入适当的随机变量描述下列事件:将3个 球随机地放入三个格子中,事件A={有1个空格 }, B={有2个空格},C={全有球} 解:样本空间如下所示
1 3 P ( X 1) , P ( X 2) , 6 6 2 P ( X 3) . 6 0， x 1时；
1 ， 1 x 2时； 6 F ( x) P( X x) 4 2 x 3时； ， 6 x 3时. 1 ， 皖西学院 应用数学学院 2016/2/21
x
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概 率 论 与 数 理 统 计
例2 一个袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取 3个,以X表示取出球的最小号码,求X的分布列与 分布函数。 解:X的所有可能取值为1,2,3,且 2 1 C4 0.6; P ( X 1) 3 C5 2 1 C 3 0.3; P ( X 2) 3 C5