选修2-1第三章3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示

作x轴、y轴的垂线，垂足分别为
A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝ PP′.
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空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y 轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)， P2(a，－b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a， b，－c)，P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【课标要求】 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问 1．
题． 理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 2．
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量 3．
的坐标． 【核心扫描】 空间向量基本定理．(重点) 1． 2． 用基底表示已知向量．(难点)
解析
因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面
的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定 理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空 间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 答案 ②③
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题型二
用基底表示向量
M， N 是△ABC， △OBC 的重心， 【例2】 空间四边形 OABC 中， 设OA＝a， OB＝b， OC＝c， 用向量 a， b， c 表示向量OM， ON， MN.
分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系O－xyz.
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(3)空间向量的坐标表示：如图，对于空间 任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它 → 的起点与原点 O 重合，得到向量OP＝p， 由空间向量基本定理可知，存在有序实数 xe1＋ye2＋ze3 ．我 组(x，y，z)，使得 p＝______________ 们称 xe1，ye2，ze3 为向量OP在 e1，e2，e3 x，y，z 称作向量 p 在单 上的分向量，把________ 位正交基底 e1 ， e2 ， e3 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) ． _____________
提示 由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都 可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因 此不唯一．
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空间向量的正交分解及其坐标表示 2．
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向 量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，
解
假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
1＝μ， ∴1＝λ， 此方程组无解． 0＝λ＋μ， ∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋ a}可以作为空间一个基底．
→
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试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上 的向量的坐标吗？
提示 xOy 平面上的点的坐标为(x，y，0)，xOz 平面上的点
的坐标为(x， 0， z)， yOz 平面上的点的坐标为(0， y， z)， x 轴上的点的坐标为(x，0， 0)， y 轴上的点的坐标为(0，y， 0)，z 轴上的点的坐标为(0，0，z)．另外还要注意向量OP的 坐标与点 P 的坐标相同．
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【变式1】 以下四个命题中正确的是________． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向 量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
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题型一
基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路探索] 可先用反证法判断a＋b，b＋c，c＋a是否共
面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基 底．
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→
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名师点睛
1． 基底的选择 为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一 是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的
模及其夹角已知或易求．
选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量 在该基底下的坐标．同一基底下的向量运算可以简化为坐
标进行．一般情况下，选的基底是单位正交基底．
在不同坐标系中向量坐标的相对性．(易错点) 3．
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自学导引
1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量
xa＋yb＋zc ，其中 p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________ 基底 ，a，b，c都叫做_______ 基向量 ． {a，b，c}叫做空间的一个_____ 试一试：空间的基底是唯一的吗？
空间向量的正交分解及其坐标表示的理解 2． (1)建立空间直角坐标系O－xyz.分别沿x轴、y轴、z轴的正方 向引单位向量i，j，k，则{i，j，k}叫做单位正交基底．单位 向量i，j，k都叫做坐标向量．
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(2)在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量 分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋ a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向 量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中 的坐标，可记作a＝(a1，a2，a3)． (3)空间任一点P的坐标的确定，如 图所示，过点P作面xOy的垂线， 垂足为P′，在面xOy中，过P′分别
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规律方法 判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理 解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空 间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常 用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，若满足 则共面，若不满足则不共面．
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