一元二次方程解法——因式分解
一元二次方程解法：因式分解法
x1 2; x2 4. 2.4 x2x 1 32x 1 0,
解下列方程:
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
1、因式分解：
(1)4 x 25; (2)9 x 6 x 1
1 .x2-4=0; 解：(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
2.(x+1)2-25=0.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0
1.x 2x - 4 0, 2.4 x2 x 1 32 x 1. 解 :1.x 2 0,或x 4 0.
小颖是这样解的:
解 : x 3x 0.
2
小明是这样解的:
解 : 方程x 2 3 x两
3 9 x . 2
公 式 法
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
漏 边都同时约去x, 得. x 3. 根 x≠0
这个数是3.
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
(1) x 3 x 4 x 4 x 1
2
(2) x 3 x 18 x 6 x 3
2
1
6 3
4 4 (1) 3 4 (1)
6 3
常数项分解成两个因数的积， 这两个因数的和恰好是一次项系数。
一元二次方程的解法—因式分解法
因式分解法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫因式分解法。
【想一想】
你能用几种方法解方程x -4=0,(x+1) -25=0。
二、范例学习、讲授新知
例：解下列方程。
1. 5x =4x 2. x-2=x(x-2)
三、随堂练习、巩固新知
1、5x -15x=0 2. x +4x=0
问题，提高学习数学的热情和积极性.
教 学 重 点
掌握解一元二次方程
教 学 难 点
灵活运用因式分解法解一元二次方程
教 具 准 备
教 学 过 程
教 师 活 动
学 生 活 动
一、课堂小测、回顾交流
【课堂小测】
解下列一元二次方程。
1. 4x2－1＝0
2. (25-2x）2-400 题
一元二次方程的解法—因式分解法
课 型
新 授
教 学 目 标
知 识
与技能
会用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
过 程
与方法
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的
多样性。
情 感
与态度
培养学生独立思考、积极探索的思维品质，善于用数学知识解决身边的数学
五、布置作业、拓展延伸
P42 4
教学后记：
学生练习。
概念：课本议一议，让学生自己理解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0
一元二次方程的解法—因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法1.因式分解法：将一元二次方程先因式分解为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
这种解法叫做因式分解。
2.因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边化成两个一次因式的积；（3）令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
同步练习用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；(3)x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．。
17.2一元二次方程的解法----- 因式分解
（2）x2＝x.
解：将原方程化为标准 形式得 x2－x=0 方程左边因式分解得
∴ x=0或x+3=0－1=0
解方程得
x1=0，x2=－3
x1=0，x2=1
问：如果把上述两个方程像下面这样解，对吗? （1）x2+3x＝0；
解：（1）把方程两边同除以x，得 x+3＝0 移项，得：x＝－3 故方程的解为x＝－3.
问：还有其它方法可解吗？
若将方程的左边进行因式分解，得： (x+6)(x-6)＝0
分析：
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式 中至少有一个等于0；反过来，如果两个因 式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.
所以，x+6=0或x-6=0 解这两个一次方程，得： x1＝－6，x2＝6
想一想：这里 用到了什么数 学思想方法？
17.2
一元二次方程的解法（三） —因式分解法
问题1：解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法 配方法 公式法 问题2：还记得解一元二次方程的求根公式吗？
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
b b2 4ac x 2a
（b2－4ac≥0）
问题3：对于一些特殊的一元二次方程除可用 学过的方法求解外，还可采用其它的方法？ 如：x2-36＝0
（ 2 ） x 2＝ x .
把方程两边同除以x，得：x＝1， 故方程的解为:x＝1.
以上解法不正确，为什么？
因为不能确定x是否等于0，当x=0时， 两边就不能同时除以x.
练一练
1.解方程：x2－5x+6＝0. 解：把方程左边分解因式，得： (x－2)(x－3)＝0 ∴ x－ 2＝ 0或 x－ 3＝ 0 解方程得 x1＝2，x2＝3.
一元二次方程的解法—因式分解
∴x+6=0，或x-4=0． ∴x1=-6， x2=4．
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22 2 a2 6a 9 原式 x 32 3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
注意： 1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解， 而右边等于零; 2．关键是熟练掌握因式分解的知识; 3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么 至少有一个因式等于零．”
我思 我进步
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法： am+bm+cm=m（a+b+c）．
（2）公式法： 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0来自 x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗？
我思 我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式．
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解 因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次 方程的方法称为分解因式法．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：x(x 2) x 2 0， 解：移项，合并同类项，得：
x 2 x 1 0.
x 2 0，或x 1 0.
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2 3x.
解一元二次方程--因式分解法
10．已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．
3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．
总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
解一元二次方程---因式分解法
一、学习目标
1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
二、知识回顾
1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
Байду номын сангаас， ，
（3）十字相乘法：
三、新知讲解
1．因式分解法
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.
四、典例探究
1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。
在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。
一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。
通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。
最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
通过求根公式，可以直接计算出方程的解。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
其中，a、b、c为方程的系数。
将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。
四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。
通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。
最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。
五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。
通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。
一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。
将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。
六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。
因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。
一元二次方程的解法(分解因式)
————————因式分解法
【跟踪训练】
1.你能用因式分解法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
【解析】(x+2)(x2)=0, ∴x+2=0或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
(2)(x+1) 2-25=0.
【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
2x 14x -3 0,
2 x 1 0或4 x 3 0.
1 3 x1 , x2 . 2 4
【例题】
【例2】一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 【解析】设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0或2x7=0. 7 x1 0, x2 . 2
（） 1 4 x 1 (5 x 7) 0
（2） 3x x 1 2 2 x
（ 3） (2 x 3) 2 4(2 x 3)
（ 4） 2( x 3) 2 x 2 9
（ 5） 5( x 2 x ) 3( x 2 x)
（6） ( x 2) 2 x 3
(1)化方程为一般形式.
(2)将方程左边因式分解.
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次
方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降 次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
【跟踪训练】 用因式分解法解下列方程
1.x 2 (5 2) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0
一元二次方程的解法因式分解
一元二次方程的解法因式分解一元二次方程即一个未知变量的二次多项式，作为高中数学教学内容，因式分解是求解一元二次方程的重要方法：一、因式分解定义因式分解求解一元二次方程，是指将一元二次方程拆分成两个一次方程，从而求解出原来方程的根。
二、因式分解步骤（1）首先将一元二次方程化为一般形式，即x²+ax+b=0；（2）把因式分解成两部分，即x²+ax+b=(x+c)(x+d)=0;（3）根据上述等式，可知(x+c)=0,即x=-c;（4）把-c代入待求等式，即(x+d)=0,得x=-d;（5）将-c和-d的值代入到一般形式的一元二次方程中，检查结果，从而得出一元二次方程的解。
三、因式分解注意事项（1）一元二次方程的解可能有0,1,2三种情况，但是要把原一元二次方程本身也算作一种解；（2）因式分解中，a和b的符号不能随意变动，一般情况下，当a<0 时候，需要先把a+b=c,后续步骤按c处理；（3）如果a>0，要将x²+ax+b拆分成两部分：x²+mx+n=0，其中m=a/2,n=b-(a/2)；（4）求出一元二次方程的a,b值之后，分别带入到x=-c和x=-d中，得出的值分别是x1和x2，其中x1+x2=a,x1*x2=b。
四、因式分解实例以 x²-5x+6=0为例，使用因式分解解该方程：（1）将x²-5x+6=0化为一般形式，即x²+(-5)x+6=0;（2）拆分因式 x²+(-5)x+6=(x+2)(x+3)=0（3）由于(x+2)=0，则x=-2;（4）将-2代入待求一元二次方程，求解得x=-3;（5）将x=-2和x=-3代入到原方程中，检查正确性，得出结论：方程的解为x1=-2,x2=-3.。
掌握一元二次方程的解法因式分解法
掌握一元二次方程的解法因式分解法一元二次方程是数学中常见的一种二次方程形式，它的通用表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c均为已知常数，而x是未知数。
解一元二次方程的方法有多种，其中因式分解法是常用的一种简单而易懂的解法。
下面将详细介绍一元二次方程的解法——因式分解法。
一、因式分解法的基本思路因式分解法是通过将一元二次方程展开，将其转化为一个等式的乘积形式，通过乘法的零因子性质来确定方程的解。
具体而言，我们需要找到两个括号形式的因式，使得当这两个因式相乘时等于零。
这样一来，方程就可以转化为两个因式相乘等于零的等式，我们只需分别令这两个因式等于零，解得的解即为原方程的解。
二、一元二次方程的因式分解法示例以解一元二次方程 x² + 5x + 6 = 0 为例，我们来演示因式分解法的具体步骤。
步骤1：观察方程，确定系数a、b、c的值根据方程 x² + 5x + 6 = 0 的系数，我们可以确定a = 1, b = 5, c = 6。
步骤2：找到两个因式使其相乘等于零我们需要找到两个括号形式的因式，使得它们相乘等于零。
考虑因为1x²的形式，我们可以将方程拆分为(x + ?)(x + ?)的形式。
我们需要找到两个数，使得它们的和等于b，乘积等于c。
在本例中，我们寻找的两个数是2和3，因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。
步骤3：写出因式分解形式将找到的两个数填入括号，我们得到(x + 2)(x + 3) = 0。
步骤4：根据乘法的零因子性质解方程由于(x + 2)(x + 3) = 0，根据乘法的零因子性质，我们可以得到两个方程x + 2 = 0和x + 3 = 0。
分别解这两个方程可以得到x的值。
解方程x + 2 = 0，得到x = -2。
解方程x + 3 = 0，得到x = -3。
所以，方程x² + 5x + 6 = 0的解为x = -2和x = -3。
17.2(2)一元二次方程的解法—因式分解法
( x 1) 3 0
2 2
即
( x 1) 3( x 1) 3 0
解得 x 2 或 x 4 x1 2,x 2 4 所以，原方程的根是
(1)3 x ( x 2) 5( x 2)
(2) t(t 3) 28
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
右化零
二分-----方程的左边因式分解; 左分解 两方程 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----解2个方程; 各求解
巩固练习
(1) 2y 3y
2
2 2x( x 2) x
2
2
5
(3)x ( 3 2 )x 6 0
1 3 2 4 5x 2 x x 2x 4 4
2
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (默3) 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
一元二次方程的解法
---因式分解法
复习回顾
1. 什么叫做分解因式？
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式.
2.我们学过哪些分解因式的方法？
提公因式法；公式法；十字相乘法； 1)2 9
移项，得 (x 1)2 9 0
利用公式 a 2 b2 (a b)(a b)
(1) x ( x 2) 0
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
掌握一元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。
一、解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解决。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。
因此，方程的解为x = -2或者x = -3。
二、解法二：配方法如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。
然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。
三、解法三：求根公式如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求根公式。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
其中，a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。
进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。
因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。
四、解法四：图像法除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。
通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。
一元二次方程的解法——因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法
第二十四章一元二次方程与二次函数
一一元二次方程
24．2（1）一元二次方程的解法--因式分解法
教学目标：
1．明确具备什幺条件的一元二次方程可适用因式分解法；
2．熟练正确地运用因式分解法解一元二次方程；
3．掌握用因式分解法解一元二次方程的依据：AB = 0 可得A = 0 或B = 0；
4．能把已知两数作为方程的两根来求作一个一元二次方程。
教学重点：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。
教学过程：
一、引入新课：
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
小明是这样解的：
解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x
两边同时约去x，得x = 3
∴这个数是3
这个解法正确吗？答：不正确。
解设这个数是x.。
一元二次方程的解法(因式分解法)
教学目标：1. 会用因式分解法解一元二次方程。
2. 会通过一元二次方程根的判别式，判别一元二次方程根的情况，会通过一元二次方程根的情况确定字母的取值范围。
3. 选择适当的方法解一元二次方程。
重点、难点：重点：1. 选择适当的方法解一元二次方程2. 应用判别式解决问题难点：1. 选择适当的方法灵活地解一元二次方程2. 通过一元二次方程根的情况确定字母的取值范围教学过程：（一）知识要点：1. 一元二次方程解法四：因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
2. 一元二次方程根的判别式若一元二次方程有两个不等实根若一元二次方程有两个相等实根若一元二次方程无实根【典型例题】例1.（1）（2）（3）（4）解：（1）去括号，整理得：因式分解，得：或（2）整理得：因式分解得：或（3）整理得：因式分解得：第 1 页共4 页（4）整理得：因式分解得：或例2. 不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。
（1）（2）（x是未知数）解：（1）原方程化为：∴方程有实根，且有两个相等实根（2）当a为任何实数时，都有，所以总有，即方程是一元二次方程，有其中，对a的任何实数值都有是正数，因而一定是负数，也就是，对a的任何实数值，都有，于是可知，无论对a取任何实数值，原方程都没有实数根。
例3. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：当且仅当是一元二次方程时，才可能有两个实数根，所以有，又由于方程有两个不相等的实根，k又应满足条件，所以方程有两个实根的条件是：解这个不等式组，得：所以，k的取值范围是且例4. 求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程一定有两个不等实根。
分析：只需证证明：在中，当a和c 符号相反时，有又由于b为任何实数时，总有，于是有∴当a和c的符号相反时，方程一定有两个不等实根。
一元二次方程的解法——因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法学习目标：一、理解因式分解求解一元二次方程的方法在于降次，转化为一元一次方程求解；二、掌握用因式分解求解一元二次方程的四种类型1、平方差公式因式分解。
2、提取公因式因式分解；3、完全平方公式因式分解；4十字相乘法因式分解重点：会进行因式分解来解方程。
难点：完全平方公式因式分解、十字相乘法因式分解学习过程：一、复习引入：（一）、什么是因式分解：（二）因式分解的方法：1、提取公因式法：ma mb mc ++= 。
因式分解（1）、23x x -= ，（2）、(2)2xxx -+-= 。
2、公式法： 22x y -= ；222x xy y ++= ，222x xy y -+= ；因式分解：（1）、29x -= ，（2）、241x -= ；（3）、22(4)(52)x x ---= = ；（4）、269x x ++= ，（5）、2363x x -+= 。
3、十字相乘法：2()x p q x pq +++= 。
因式分解：232x x ++= ，256x x --= 。
二、新课内容。
在解一元二次方程23x x -=0时，左边可以因式分解，将方程变为(3)0x x -=于是得 =0或 =0，所以有 。
思考，上面的二次方程是如何变成我们以前学习的一次方程的？象上面利用因式分解实现降次求解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
因式分解求解一元二次方程的条件：1、方程一边是两个式子的乘积形式；2、方程另一边为0。
三、例题和练习例1、解下列方程：（1）(2)20x x x -+-= （2）、221352244x x x x --=-+练习1、解下列方程（1）、20x x += （2）、20x -=（3）、264y = （4）、241210x -=（5）、22(4)(52)x x -=- （6）、3(21)42x x x +=+例2、解下列方程：1、2363x x -=-2、228x x -=练习2、（1）、231212x x -=-（2）、(2)10x x ++=（3）、(3)(1)5x x +-=（4）、(3)18x x +=（5）、24210x x --=（6）、24912x x +=B 组练习，解下列方程1、22(1)3(1)x x -=-2、2(2)4x x x -=-3、2(1)4(1)40x x ---+=4、242436y y -=-5、若代数式233x x -的值与2(1)x -的值互为相反数，求x 的值？6、x 为何值时，代数式239x x +-的值与52x -的值相等？C 组：1、已知代数式242x x +-的值为3，求代数式2285x x +-的值.2、已知2215500(0)x xy y y -+=≠，求x y 的值。
一元二次方程的解法——因式分解法
(2)(2a 3) (a 2)(3a 4)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
(3) 2 y 3 y
2
解：2 y 3 y 0
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
x x 0,
2
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
( x 2) (3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
概括：用因式分解法解一元二次方程 的步骤 1o方程右边不为零的化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
例1、解下列方程 1、3x2+2x=0 2、x2=3x
3、x2－2=0 4、16x2-25=0
例2、解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3x 1) 5 0
一元二次方程的解法--因式分解.2 一元二次方程的解法-因式分解
《17.2.3一元二次方程的解法-因式分解法》教案一、教学目标：知识与技能目标：1、是学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别．2、掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+（p+q）x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力．过程与方法目标：1、通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想．2、经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法．3、培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力．情感与态度目标：1、通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想．2、培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度以及创新意识．二、教学重点、难点：重点：因式分解的概念与目的；用提公因式法和公式法分解因式难点：因式分解的方法，特别是公式法；分组分解法和形如x2+（p+q）x+pq的多项式的因式分解．三．教学过程：（一）复习引入：（学生活动）1.一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？通过三个同学的解法，发现问题。
2.回忆因式分解的几种方法：提取公因式法：am+bm+cm=m（a+b+c）公式法：a2-b2=（a+b）（a-b），a2+2ab+b2=（a+b）2十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）（二）探索新知：1.（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0（2）因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法．2.尝试探索：你能用分解因式法解下列方程吗？1．x2-4=0; 2．（x+1）2-25=0解：（x+2）（x-2）=0 解：[（x+1）+5][（x+1）-5]=0∴x+2=0，或x-2=0 ∴x+6=0，或x-4=0∴x1=-2，x2=2．∴x1=-6，x2=4．这种解法是不是解这两个方程的最好方法？你是否还有其它方法来解？比较什么方法最简单？3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解一元二次方程的方法(因式分解法)
学习目标：
1、 会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；
2、 能根据一元二次方程的特征，选择适当的方法求解，体会解决问题的灵活性和多样性。
教学过程：
一、情境引入：
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2、解下列一元二次方程：
（1）822=x （2）016)2(2=--x （3）142-=+t t （4）0922=-+x x
3、式子ab=0说明了什么？
4、把下列各式因式分解.
（1）x 2－x （2） x 2－4x （3）x -3－x （x-3） （4）（2x+1）2－x 2
二、探究学习：
1．尝试：
（1）、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？
（1）x 2－x =0 （2） x 2－4x=0
（3）x -3－x （x-3）=0 （4）（2x+1）2－x 2=0
二、探究
1、探究方程02
=-x x 的几种解法
2、例题：用因式分解法解下列方程：
（1）x x 42
-= （2）0)3(3=+-+x x x （3）0)12(22=--x x
练习：
（1）0)1)(2(=-+x x （2）x x =23
（3）)12(3)12(4-=-x x x （4）22)23()12(+=-x x
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）通过移项把一元二次方程右边化为0
（2）将方程左边分解为两个一次因式的积
（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
3、观察与思考:
小明解方程)2(4)2(2+=+x x 方程两边都除以)2(+x ，得42=+x ，于是解得2=x 。
小明的解法正确吗？为什么？
4、思考：
选择合适的方法解方程
（1）()5122=-x （2）022
=+x x （3）4)3(=-x x
（4）165)4(=-x x （5）2
)12(x x =-
注：在选用适当的方法解一元二次方程时，先观察方程的特征，看能否用因式分解法或用直
接开平方法求解，若不能再考虑用公式法或配方法求解。
（1）0652
=--x x （2）63)2(2+=+x x （3）10)3(=-x x
（4）4)2(222-=-x x （5）4)3)(12(=+-x x （6）08242=+-x x
随堂练习
1、方程2
2x x =的解是_________。
2、方程2(2)36x -=的根是_________。
3、方程(2)3(2)y y y -=-的根是_________。
4、方程21x +与21x -互为倒数，则实数x =_________。
5、以方程28120x x -+=的两根为两边长的等腰三角形周长为_________。
6x =_________。
7、解方程x （x+1）=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法
求解，得方程的两根为x 1= ,x 2= .
8、用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。
9、如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ，
该方程可化为（x-1）（x ）=0
10、方程x 2=x 的根为（ ）
A.x=0
B. x 1=0,x 2=1
C. x 1=0,x 2=-1
D. x 1=0,x 2=2
11、用因式分解法解下列方程：
（120= （2）22(32)40x x +-=
（3）5(21)(12)(3)x x x -=-+ （4）222(3)(3)0x x x -+-=
（1）211(31)24
x -= （2）2(21)2(21)3x x -+-=
（3）222(3)9x x +=- （4）222(3)(4)(5)1724x x x x -++--=+
9、已知)0)(2()2(≠-=-xy x y y y x x ，求22
x y xy +的值。