高中数学 2.1.6点到直线的距离课件 苏教版必修2
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2021年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离课件6苏教版必修2
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， 由点到直线的距离公式，得 d1＝ |112－＋2(－－31|)2＝2 2.
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3. 法二：∵y＝－1 平行于 x 轴(如图所示)， ∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式，得 d3＝|1＋120＋＋002|＝1. 法二：如图所示，可知 d3＝|1－0|＝1.
|4×4－3a－1| |15－3a| 解析 d＝ 42＋－32 ＝ 5 ≤3，|3a－15|≤15， ∴－15≤3a－15≤15，0≤a≤10.
解析答案
3.假设点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离 相等，那么点P的坐标应满足的方程是 什么？
解析 设点P的坐标为(x，y)， |5x－12y＋13| |3x－4y＋5|
解析答案
解 假设直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，
即kx－y－5k＝0.
在直线l1上取点A(0，1)， |1＋5k|
则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ 1＋k2＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0， l2的方程为12x－5y－60＝0.
分析：由平面几何知识可知：过点的直线只有过AB 的中点时或平行于AB时，两点到直线距离相等。
l例3：求过点M〔-2，1〕且与A〔-1，2〕，B〔3，0〕 两点距离相等的直线的方程？
解：(1)假设L//AB，那么直线L方程为x+2y=0 (2)假设L过AB的中点N〔1，1〕，那么直 线的方程为y=1.
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3. 法二：∵y＝－1 平行于 x 轴(如图所示)， ∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式，得 d3＝|1＋120＋＋002|＝1. 法二：如图所示，可知 d3＝|1－0|＝1.
|4×4－3a－1| |15－3a| 解析 d＝ 42＋－32 ＝ 5 ≤3，|3a－15|≤15， ∴－15≤3a－15≤15，0≤a≤10.
解析答案
3.假设点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离 相等，那么点P的坐标应满足的方程是 什么？
解析 设点P的坐标为(x，y)， |5x－12y＋13| |3x－4y＋5|
解析答案
解 假设直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，
即kx－y－5k＝0.
在直线l1上取点A(0，1)， |1＋5k|
则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ 1＋k2＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0， l2的方程为12x－5y－60＝0.
分析：由平面几何知识可知：过点的直线只有过AB 的中点时或平行于AB时，两点到直线距离相等。
l例3：求过点M〔-2，1〕且与A〔-1，2〕，B〔3，0〕 两点距离相等的直线的方程？
解：(1)假设L//AB，那么直线L方程为x+2y=0 (2)假设L过AB的中点N〔1，1〕，那么直 线的方程为y=1.
2023年《点到直线距离》说课稿
2023年《点到直线距离》说课稿2023年《点到直线距离》说课稿1尊敬的领导、老师：大家好，我今天说课的内容是，九年义务教育小学数学苏教版四年级上册第四单元第三节的内容。
接下来，我将从以下几个方面进行我的说课。
【说教材】：本课是小学数学空间与图形中的学习内容，它是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上安排的。
教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这是垂直线段的性质。
接着揭示了点到直线距离的概念：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
“想想做做”安排了4道题，第一题让学生测量点到直线的距离；第二题让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量这些线段的长度，发现这些线段同样长；第3、4两题是点到直线的距离和垂直线段的性质在日常生活中的具体运用。
【说教学目标】：1、知识与能力目标：让学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。
会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。
2、过程与方法目标：让学生在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。
3、情感与态度目标：让学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。
【教学重点】：引导学生发现垂直线段的性质，理解点到直线的距离的概念。
【教学难点】：认识点到直线的距离，并能解决一些实际的问题。
【说教法和学法】：新课标要求我们在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”。
本节课借助多媒体，让学生结合具体生活情境充分感知垂直线段最短，形成点到直线距离的概念。
通过让学生在画一画、量一量的操作活动中加深学生对点到直线距离概念及垂直线段性质的认识。
在操作活动中，不仅培养学生学会与人交流合作的能力，还调动了学生学习数学的积极参与程度。
高中数学必修二《 点到直线的距离》ppt课件
.
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q
2.1.6 点到直线的距离
数学建构
点到直线的距离 任意一点， 任意一直线， 点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线 是平面上任意一直线， 是平面上任意一点 直线l是平面上任意一直线 y (3)直线 与x轴、y轴都相交， 直线l与 轴 轴都相交 轴都相交， 直线 第一步：分别作 第一步：分别作PM⊥x轴， PN∥x轴； ⊥ 轴 ∥ 轴 Q 第二步：确定 、 的坐标 求出MN的长； 的坐标， 的长； 第二步：确定M、N的坐标，求出 的长 第三步：利用面积求点 到直线 的距离． 到直线l的距离 第三步：利用面积求点P到直线 的距离． —面积法 面积法 O l M x N P(x0，y0)
(1)若点 ，2)到直线 －4y－2＝0的距离等于 ，则a的值为 若点(a， 到直线 到直线3x－ － ＝ 的距离等于 的距离等于4， 的值为 的值为______． 若点 ． (2)若点 ， 0)到直线 －3y＋a＝0的距离为 ，则a的值为 若点(4， 到直线 到直线4x－ ＋ ＝ 的距离为 的距离为3， 的值为 的值为________． 若点 ． (3)点P是直线 －3y－6＝0任意一点，则点 到直线 －3y＋9＝0的距 点 是直线 是直线4x－ － ＝ 任意一点 则点P到直线 任意一点， 到直线4x－ ＋ ＝ 的距 离为________． ． 离为
数学建构
点到直线的距离 任意一点， 任意一直线， 点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线 是平面上任意一直线， 是平面上任意一点 直线l是平面上任意一直线 的距离d为 则点P(x0，y0)到直线 l: Ax+By+C＝0的距离 为: 到直线 ＝ 的距离
d=
| A 0 + B 0 +C | x y A2 + B2
(1)与两条平行直线 ＋y＋1＝0和2x＋y＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程 与两条平行直线2x＋ ＋ ＝ 和 ＋ ＋ ＝ 的距离相等的点的轨迹方程 与两条平行直线 为__________． ． (2)两点 ，0)，B(3，4)到直线 的距离均等于 ，则直线 的方程为 ． 两点A(1， ， 到直线l的距离均等于 的方程为___． 两点 ， 到直线 的距离均等于1，则直线l的方程为 (3)若直线 1过点 ， 0)，直线 2过点 若直线l 过点A(5， ，直线l 过点B(0， 1)，且l1 // l2，l1 和l2间 的距 若直线 ， ， 离为5， 的直线方程． 离为 ，求l1 ，l2的直线方程．
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直 线面垂直
第1章 立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2： 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有 无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直； 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不 垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足；
R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
苏教版高中数学教材必修2
第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.6点到直线的距离课件 苏教版必修2
变式训练2 变式训练
求与直线2x－ － ＝ 平行 平行， 求与直线 － y－ 1＝ 0平行 ， 且与直
距离为2的直线方程 线2x－y－1＝0距离为 的直线方程． － － ＝ 距离为 的直线方程．
解：法一：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y 法一：由已知， － ＋C＝0(C≠－1)， ＝ ≠ ， 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 － － ＝ |C－(－1)| |C＋1| － ) ＋ d＝ 2 ＝ ＝2， ， 2＝ 5 2 ＋(－1) ) ， ＝ － ， ∴|C＋1|＝2 5，C＝±2 5－1， ＋ ＝ ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y － ＋ － ＝ － －2 5－1＝0. － ＝
名师点评】 【 名师点评 】
本题作了两次分类， 第一次以l 本题作了两次分类 ， 第一次以
是否垂直于x轴为标准分类，第二次以A， 是否 是否垂直于 轴为标准分类，第二次以 ，B是否 轴为标准分类 在l同侧为标准分类． 同侧为标准分类． 同侧为标准分类 变式训练3 离为d， 离为 ，求： (1)d的变化范围； 的变化范围； 的变化范围 (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 当 取最大值时 两条直线的方程． 取最大值时， 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距 和 － ， ，
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 _______________
|C1－C2| A2＋B2 _____________
思考感悟 1.点到直线的距离公式对于 ＝ 0或B＝0或P在直 点到直线的距离公式对于A＝ 或 ＝ 或 在直 点到直线的距离公式对于 上的特殊情况是否还适用？ 线l上的特殊情况是否还适用？ 上的特殊情况是否还适用
(2)当两直线都与 轴 (或y轴)垂直时 ， 可利用数形 当两直线都与x轴 或 轴 垂直时 垂直时， 当两直线都与 结合来解决． 结合来解决． 轴垂直时， ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2， 两直线都与 轴垂直时 ＝ ＝ 则d＝|x2－x1|； ＝ ； 轴垂直时， ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2， 两直线都与 轴垂直时 ＝ ＝ 则d＝|y2－y1|. ＝
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d
23 70 8 2 ( 7 )
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d
23 70 8 2 ( 7 )
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
数学：2.1.2《直线的方程-一般式》课件(苏教版必修2)
例4: 已知直线l：mx＋y＋2＝0和以A(-2,1)、 B(3,2)为端点的线段相交，求实数m的取值范围.
m≥
3 ，或 m≤ 2
4 3
变式训练:
已知直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5=0(x≥-1) 有交点，求实数k的取值范围.
3 1 k ， - ， 4 4
新知归纳:
1、方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）叫做 直线方程的一般式，任何一条直线的方程不 管是用点斜式、斜截式、两点式还是截距式 表示的，都可以化成一般式。
2、直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都 表示一条直线。
3.关于直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全 为0）的几点说明：
y kx b
x y 1 a b
y y1 x x1 点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y 2 ) y1 y 2 x1 x2 不垂直于x、y轴的直线
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
提问：上述四种方程最终都是一个怎样的方程？
①两个独立的条件可求直线方程 B C B C 若A 0, 则方程化为x y 0, 只需确定 、 的值； A A A A A C A C 若B 0, 则方程化为 x y 0, 只需确定 、 的值. B B B B ②在直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）中 C 若A 0, 则y , 它表示一条与y轴垂直的直线； B C 若B 0, 则x - , 它表示一条与x轴垂直的直线. A ③直线方程的其他形式都可以化成一般形式；一般式也 可以化为其他形式.
苏教版高中数学必修2点到直线的距离公式
点到直线的距离公式三维目标：知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞情感和价值：1.认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题王新敞教学重点：点到直线的距离公式王新敞教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式教 具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程 一、情境设置，导入新课：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？两条直线方程如下：⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课：1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=王新敞〔1〕提出问题在平面直角坐标系中，如果某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?学生可自由讨论。
〔2〕数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.这里表达了“画归〞思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为AB〔A ≠0〕，根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d 王新敞王新敞方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得B CAx y A C By x --=--=0201,. 所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝ACBy Ax ++00｜PS ｜＝｜20y y -｜＝BCBy Ax ++00｜ＲS ｜＝ABB A PS PR 2222+=+×｜C By Ax ++00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜王新敞所以2200BA CBy Ax d +++=可证明，当A=0时仍适用王新敞这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。
高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
•
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
•
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
高中数学：.3《点到直线的距离》【 新人教A 版必修 2】PPT 完美课 件
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高中数学：.3《点到直线的距离》【 新人教A 版必修 2】PPT 完美课 件
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的ABC面积
y
A
h
C O
B
x
高中数学：.3《点到直线的距离》【 新人教A 版必修 2】PPT 完美课 件
两条平行直线间的距离： 高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
d=
C1 - C2 A2 + B2
高中数学：.3《点到直线的距离》【 新人教A 版必修 2】PPT 完美课 件
练习4 高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2
2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
点到直线的距离(必修2)(公开课)
2.公式的特征：分子是将点的坐标代入直线方 程的一般式的左边得到代数式的绝对值，分母 是 A2 B2
3.用此公式时直线方程要先化成一般式。
例1 求点 P0 (1, 2) 到下列直线的距离：
⑴ 2x y 10 0;
⑵ 3x 2;
⑶ 3y 1 x 7;
⑷ y 2 4 x 1.
33
例2 ⑴已知点 A2,3 到直线 y ax 1 的距
L x
N Q
M
O
P
y
问题３：求点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0
的距离
求点P（x0 ，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
A=0时
B=0时
y
P
Q
l
o
x
y
Q
P
o
x
L
求点P（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距
解题思路Ⅰ: ➢①求垂线方程
·Q l ' P·
点到直线距离公式
y
S
x0,
Ax0 B
C
Q l : Ax By C 0
d
y0
P0 (x0,y0)
R
By0 A
C
,
y0
O
x0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
点到直线距离公式
y S
Q l : Ax By C 0
d R
P0 (x0,y0)
O
x
d | Ax0 By0 C |
3）解析几何与平面几何相比,解决问题 的特点是什么？有哪些优越性？
作品欣赏 谢谢观看！
高中数学 2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
学习
栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
1．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为
30°，求直线l的方程．
分析：求出直线l的倾斜角及相应的斜率，再利用点斜式方
学习
程求解．
栏
目 链
预习
接
典例
解析：∵直线 y＝ 3(x－1)的斜率为 3， ∴其倾斜角为 60°，且过点(1，0)． 又直线 l 与直线 y＝ 3(x－1)的夹角为 30°，且过点(1，0)，由 右图可知，直线 l 的倾斜角为 30°或 90°. ∴直线 l 的方程为 y＝ 33(x－1)或 x＝1.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
的两点式方程得2y－－00＝－x－2－33.
学习
整理可得2x＋5y－6＝0，这就是所求直线AC的方程． 直线AB经过A(－2，2)，B(3，2)，由于其纵坐标相等， 可知其方程为y＝2.
栏
目 链
预习
接
典例
直线BC经过B(3，2)，C(3，0)，由于其横坐标相等，可
知其方程为x＝3.
规律总结：已知直线上两点坐标，应检验两点的 横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式 方程，本题也可用点斜式方程或斜截式方程求 解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第2章-2.4点到直线的距离
|| = 3
(3) (6,0), (0, −2);
|| = 2 10
(4) (2,1), (5, −1).
|| =2 10
高中数学
选择性必修第一册
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二、点到直线的距离公式
探究：在平面直角坐标系中，有一点（0，0），直线 ： + + ＝0(其中，不全为0)，
d
2
5
( 1)
3
3
= 2 5.
y
P(-1,2)
O
x
l:3x=2
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跟踪训练
9
1.求点(−2,3)到直线3 + 4 + 3 = 0的距离.
5
2.求点(1, −2)到直线4 + 3 = 0的距离.
3.点(−1,2)到直线3 = 2的距离是.
− 1，
高中数学
选择性必修第一册
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二 点到直线间的距离的求解与应用
例4 求点(−1,2)到下列直线的距离：
（1）2 + − 10 = 0； （2）3 = 2.
2 × −1 + 2 − 10
解： （1）根据点到直线的距离公式，得 =
22
2
3
+
12
（2）如图，直线3 = 2， 即 = 平行于轴，
2
两条平行直线间的公垂线段的长.
求两条平行直线间的距离
可转化为点到直线的距离
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选择性必修第一册
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在直线1 上任取一点（1 ，1 ），则有1 + 1 + 1＝0，此时，两条平行
苏教版 高中数学选择性必修第一册 点到直线的距离 课件2
CD
| 3 3 4 2 |
12 32
13 10
．
10
例3 已知∆ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(34)．
（1）求AB边上的高CD的长； （2）求∆ABC的面积S∆ABC．
解：（2）SABC
1
AB CD
2
1 3
2 13 10
3 (1)
2
10
13
．
2
解： （1） 直线AB的一个方向向量 AB = (3，－1)，
因此直线AB的一个法向量 n = (1，3)．
故可设直线AB的一般式方程为 x＋3y＋C=0．
将点A的坐标(－1，1)代入上述方程，得： －1＋3×1＋C=0 ，
解得： C=－2．因此直线AB方程为：x＋3y－2=0．
高CD的长即为点C(3，4)到直线AB的距离，则有
1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(
5
A. 5
2 5
B. 5
解析:由点到直线的距离公式 d=
答案:A
)
C. 5
|2×1-2+1|
2 2+(-1)2
D.2 5
=
5
.
5
2.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(
A.2 5
B.4 2
C.5
D.2 10
解析:依题意设A(a,0),B(0,b),
＝ .
5
4
19
19
19 41
由勾股定理，得 MN＝ PM 2＋PN 2＝
.
5 2＋ 4 2＝
20
19 19
| 3 3 4 2 |
12 32
13 10
．
10
例3 已知∆ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(34)．
（1）求AB边上的高CD的长； （2）求∆ABC的面积S∆ABC．
解：（2）SABC
1
AB CD
2
1 3
2 13 10
3 (1)
2
10
13
．
2
解： （1） 直线AB的一个方向向量 AB = (3，－1)，
因此直线AB的一个法向量 n = (1，3)．
故可设直线AB的一般式方程为 x＋3y＋C=0．
将点A的坐标(－1，1)代入上述方程，得： －1＋3×1＋C=0 ，
解得： C=－2．因此直线AB方程为：x＋3y－2=0．
高CD的长即为点C(3，4)到直线AB的距离，则有
1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(
5
A. 5
2 5
B. 5
解析:由点到直线的距离公式 d=
答案:A
)
C. 5
|2×1-2+1|
2 2+(-1)2
D.2 5
=
5
.
5
2.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(
A.2 5
B.4 2
C.5
D.2 10
解析:依题意设A(a,0),B(0,b),
＝ .
5
4
19
19
19 41
由勾股定理，得 MN＝ PM 2＋PN 2＝
.
5 2＋ 4 2＝
20
19 19
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2 5－1＝0.
方法二 设所求的直线上任意一点 P(x，y)，
则 P 到直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝
|2x－y－1| ， 22＋（－1）2
栏
目
∴|2x－y－1|＝2.∴2x－y－1＝±2 5.
链 接
5
∴所求的直线方程为 2x－y＋2 5－1＝0，或 2x－y－2 5－1＝
0.
栏
规律总结：平行直线间的距离问题可用公式直
目
链
接
分析：先利用点M确定直线(含参数)，再利用点到直
线的距离公式求解．
解析：方法一 当斜率存在时，设直线方程为
y－1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋1＝0.
由条件得|－k－2＋2k＋1|＝|3k＋2k＋1|，
栏
k2＋1
k2＋1
目
链
解得 k＝0 或 k＝－12.
接
故所求的直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
而利用公式求解；
(2)设出所求直线上任意一点P(x，y)，利用条件和距离公
式即可求解．
解析：方法一 由已知可设要求的直线方程为 2x－y＋C＝0，则
两条平行直线间的距离为 d＝
|C（－1）| ， 22＋（－1）2
栏 目
∴|C＋1|＝2.∴|C＋1|＝2 5.
链 接
5
∴C＝－1±2 5，所求直线方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－
接
应先表示出要证明为定值的式子，最后求出定值．
►变式训练
2．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1
与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
栏 目 链 接
解析：设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋
1，即kx－y＋1＝0, 由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5),
目
链
接求解，也可转化为点到直线的距离问题．
接
综合应用问题
如图，已知P是等腰△ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于
点M，PN⊥AC于点N，用解析法证明PM＋PN为定值．
栏
分析：建立平面直角坐标系，利用点到直线的距离公式求 目
链
出PM和PN的长度．
接
证明：过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为原点，建立如图所
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.6 点到直线的距离
课标点击
栏 目 链
接
1．掌握点到直线的距离公式，了解公式的推导 过程． 2．掌握两条平行直线的距离公式．
栏
典例剖析
目 链 接
点到直线的距离问题
求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离
栏
相等的直线方程．
►变式训练 1．(1)已知点A(a，2)到直线3x－4y－2＝0的距离等于4， 求a的值； (2)在x轴上求到直线3x＋4y－5＝0的距离等于5的点的坐 标．
解析：(1)由 d＝ |33a2－＋4（×－2－4）2|2＝4，
解得 a＝10 或 a＝－130.
(2)设所求点为(x，0)，依题意有 5＝|3x＋342×＋04－2 5|.
栏 目 链
接
∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，－ab＜0.又∵－a＜x1＜a，
故 PM＋PN＝bx1＋ab－a2（＋bbx21－ab）＝
2ab 为定值． a2＋b2
规律总结：解析法(坐标法)即通过建立平面直角坐标系，
把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解 栏
目
决，这种方法是联系平面解析几何的纽带．求定值问题， 链
栏 目 链
∴25＝|3x－5|，即 3x－5＝25 或 3x－5＝－25.
接
∴x＝10，或 x＝－230.
∴所求点的坐标为(10，0)或 －230，0.
两条平行线间的距离问题
求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2
的直线方程．
栏
目
链
分析：(1)根据直线平行的性质特点设出所求直线方程，进 接
当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．
方法二 由平面几何知识，l∥AB 或 l 过 AB 中点，
若 l∥AB，则 kAB＝－21，设直线方程为 y＝－12x＋b，
栏
目
代入 M(－2，1)，得 b＝0.
链
则直线 l 的方程为 x＋2y＝0.
接
若 l 过 AB 的中点 N(1，1)，则直线 l 的方程为 y＝1.
示的平面直角坐标系．
栏
设B(－a，0)，C(a，0)(a＞0)，A(0，b)，P(x1，0)，a，b为定值目，
链
x1为参数，－a＜x1＜a，
接
∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，
AC的方程是bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式得 PM＝|bxa12＋＋abb2|，
PN＝|bxa12－＋abb2|.
即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0，1)，
若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x
＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件
栏
的直线方程有以下两组：
目
链
ll12：：1122xx－－55yy＋－56＝0＝0，0，或ll12： ：xx＝ ＝05，.
接
∴所求直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
规律总结：(1)待定系数法是本题用到的主要方法，但不管设
直线方程的何种形式，最后待定系数法设方程时，要考虑到直线的适用范围，关键是
目 链
考虑斜率是否存在．
接
(3)综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，
用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用．