第一章 静电场3 电磁场 华科电气

100V
φ
E⋅ρ
π
3
= 100
v 300 ˆ E=− eφ
πρ
[例2] 无限长导体圆柱壳电位为零，内有一截面为正方 形的无限长导体（截面顶点A、C位于圆柱直径FD上）， 电位为U0，考虑到对称性，列写一半待求场域（ABCDEFA） 的边值问题。
U0 A F E
C B
D
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ ϕ ABC = U 0 ⎪ ⎪ ⎨ ϕ DEF = 0 ⎪ ⎪∂ϕ / ∂n AF = 0 ⎪ ⎪∂ϕ / ∂n CD = 0 ⎩
P r’ r q
—q
q
—q
在左方设置一点电荷-q， 则依然满足边界条件；拿掉导 体平板，两电荷在右方构置的 电场即是待求场（根据唯一性 定理）。
1 ⎛q q⎞
最终计算出待求场域（右半空间）的电位为 ϕ = 4πε ⎜ r − r' ⎟ ⎠ 0 ⎝
[问题]不接地无限大导体平板外一点电荷q 列写边值问题
E 2t = E1t
ϕ 2 = ϕ1
电位的物理意义是电场力做功， 两个无限靠近的两点做功为零， 则电位相等
3）静电场边值问题
⎧∇2ϕ = −ρ f / ε ⎪ ∂ϕ ∂ϕ ⎪ 2 − ε1 = −σ f ⎨ε 2 ∂n ⎪ ∂n ⎪ϕ 2 = ϕ1 ⎩
第一类边值问题（狄里赫里）： 已知 已知 第二类边值问题（纽曼）：
v v q ∫ E ⋅ dS =
S
ε0
v ρ ∇⋅E =
ε0
v v ∫ D ⋅ dS = q f
S
v ∇⋅ D = ρ f v ∇ ⋅ P = −ρ p
v v − ∫ P ⋅ dS = q p
S
1-3 泊松方程与唯一性定理 一、泊松方程
1）泊松方程的证明 ：
∇ ⋅ ε (− ∇ϕ ) = ρ f
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ ⎨ Q 导体 = 0 ⎪ ⎪ϕ ∞ = 0 ⎩
q
(ϕ
导体
= C
)
导体板左边的电荷必须保证导体是等位面，只能是均匀分布。
2. 接地导体球外有一点电荷q
列写边值问题
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ϕ 导体 = 0 ⎪ ⎪ϕ ∞ = 0 ⎩
P r1 q r2 q’ b d R θ
300
π
φ
ϕ = C1φ + C2
v ⎛ ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ˆρ + ˆφ + ˆ ⎟ E = −∇ϕ = −⎜ e ez ⎟ ⎜ ∂ρ e ρ ∂φ ∂z ⎠ ⎝ 1 ∂ϕ 300 ˆ ˆ =− eφ = − eφ ρ ∂φ πρ
解法2：用大学物理中的 方法解，电位分析和前一 样，因而电场强度和φ无 关。利用环路定理的积分 形式，可得：
q 2 R 2 + b 2 − q' 2 R 2 + d 2 − 2R q 2b + q' 2 d cosθ = 0
(
)
(
)
(
)
由于与角度无关，所以第三项为零，则第一和第二项之和也为零：
⎧ q 2 R 2 + b 2 − q' 2 R 2 + d 2 = 0 ⎨ 2 2 ⎩ q b + q' d = 0
(
)
(
)
⎧ R 2 = bd ⎪ ⎨q' = − R q ⎪ d ⎩
⎧ R 2 = bd ⎪ ⎨ q' = − R q ⎪ d ⎩
假设： d/R=1.5/1，源电荷：q=26 模拟的镜像电荷：q’= –R q/d= –17 感应电荷：qt= –17（在外表面） 模拟的镜像电荷代替感应电荷的作用（此处相等）。
二、唯一性定理 1. 一般形式 设区域V内给定自由电荷分布 ρ (r ) ，在V的边界S上给定ϕ
∂ϕ 或 ，则V内电场唯一确定。 ∂n S
S
S V
⎧∇ 2ϕ = − ρ f / ε ⎪ ∂ϕ ∂ϕ ⎪ ε 2 2 − ε1 = −σ f ⎨ ∂n ⎪ ∂n ⎪ϕ 2 = ϕ 1 ⎩
2. 有导体存在时
div (ε ( grad ϕ )) = − ρ f
∂ 2ϕ ∂x
2
∇ ϕ =−ρf ε
2
+
∂ 2ϕ ∂y
2
+
∂ 2ϕ ∂z 2
ρf =− ε
拉普拉斯方程：
∇ ϕ =0
2
如果 ρ f = 0
2）用电位函数表示的边界条件
ε1
ϕ1
ϕ2
ε2
v v D2 n − D1n = σ
f
ε2
∂ϕ 2 ∂ϕ 1 − ε1 = −σ f ∂n ∂n
• 关于如何用两个点电荷构筑 零等位面形状的问题 • 假设构筑的零等位面是球面。
ϕ=
q 4πε 0 r1 + q' 4πε 0 r2 =0
−
r q = 1 q' r2
r1 =
R 2 + d 2 − 2 Rd cos θ , r2 =
R 2 + b 2 − 2 Rb cos θ
q 2 R 2 + d 2 − 2 Rd cos θ = 2 2 q' R + b 2 − 2 Rb cos θ
∂ϕ ∂n
ϕS
或
S
σ
S
第三类边值问题（混合）：已知
∂ϕ ⎞ ⎛ ⎜ϕ + β ⎟ = f (s ) ∂n ⎠ S ⎝
[例1]无限大导体平板用绝缘细棒隔开，夹角π/3弧度， 求电场强度。 列写边值问题
ρ
100V
φ
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ϕ φ = 0 = 0 ⎪ ⎨ ϕ φ = π / 3 = 100 ⎪ ∂ϕ ⎪ = 0 ⎪ ∂ρ ρ =ρ0 ⎩
ρ0是有限值即可
解法1：从电位分析看，等位线是直线，在柱坐标系中与径向 分量ρ无关，也与z无关,只与φ有关。越靠近支点，场强越大。
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ⎜ρ + 2 =0 ⎜ ∂ρ ⎟ + 2 ⎟ 2 ρ ∂ρ ⎝ ∂z ⎠ ρ ∂φ
1 ∂ 2ϕ
ρ ∂φ
2
2
=0
代入边界条件，得到 ϕ =
设区域V’内给定自由电荷分布 ρ (r ) ，在V’的边界S上给定 ϕ
∂ϕ ϕ S 或 ∂ϕ 或 ，导体Si 上给定 i ∂n S ∂n
S
Si

或 Qi，则V’内电场唯一确定。
S
V’
Si
应用：处理较特殊的问题。
三、镜像法 1. 接地无限大导体平板外一点电荷q 列写边值问题
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ϕ 导体 = 0 ⎪ ⎪ϕ ∞ = 0 ⎩
3. 不接地导体球面外有一点电荷q
列写边值问题
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ ⎨ Q 导体 = 0 ⎪ ⎪ϕ ∞ = 0 ⎩
列写边值问题
(ϕ
导体
= C
)
⎧ ∇ 2ϕ = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ϕ 导体 = 0 ⎪ ⎪ϕ ∞ = 0 ⎩
q’和q构筑的是零等位 球面，要想构筑不变的边 界条件，需要使球面为某 一非零电位和不变的电量 （0）。因而可假设球面上 有均匀分布的-q’电荷或球 心有-q’电荷。