离散数学第一章(第2讲)

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离散数学讲义(第1章)

• 明天是否开大会？不是命题，疑问句不是命题
• 天气多好啊！
不是命题，感叹句不是命题
• 我正在说谎。
是悖论
• 我学英语，或者我学日语。复合命题
• 如果天气好，那么我去散步。复合命题
再次注意：命题是具有唯一真值的陈述句。
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1-1 命题及其表示法（续）
习惯上，命题用大写字母A，B，…，P，Q，… 或用带下标的大写字母Ai或数字[12]等表示。称为命题标识符。
规定：P∧Q的真值为T当且仅当P，Q同时为T。
合取是一个二元运算。
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1-2 联结词（续）
P ∧ Q的真值关系：
P Q P∧Q
TT
T
TF
F
FT
F
FF
F
1-2 联结词（续）
（3）析取
设P，Q为两个命题，则复合命题“P或者Q” 称为命题P，Q的析取。记作：P∨Q
如：P：北京是中国的首都。 Q：北京是一个故都。
国的四化建设而奋斗。
解找出原子命题：
A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国的四化建设而奋斗。命题的形式化描述： (A ∧ B ∧ C) ↔ P。
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1-3 命题公式与翻译（续）
1-3 命题公式与翻译（续）
例题2 上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。
|例如：
|合式公式：
¬(P∧Q)
¬(P→Q)
(P→(P∨¬Q))
¬(((P→Q)∧(Q→R)) ↔(S↔T))
非合式公式： (P→Q)→(∧Q)
∧应是二元运算符
(P→Q
括号不匹配

离散数学第一章(第2讲)

P Q P ∨Q
FF F FT T TF T TT T
（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ
F F T T
¬（（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ）
T T F F
P Q R ＱΛＲＰ∨（ＱΛＲ)
FFF F
F
FFT F
F
FTF F
F
FTT T
TTTF F
T
TTT T
T
例２．写出命题公式Ｐ∨（ＱΛＲ）的真值表
由上二例可见，２个命题变元有４组真值指派；３个命题变元有23＝８组真值指派，ｎ个命题变元则有 2n个真值指派。
翻译：P ：今天是周六 R: 我们到圆明园玩 T:我们到动物园玩
Q:我们到颐和园玩 S:颐和园游人太多
前提： P (Q∨R), S Q, P ， S
结论： R∨T
(11) 设P:明天下雨，Q:明天刮风，R:我去学校，则下列命题公式各表示什么意思。
1） (PQ) R 如果明天不是风雨交加，则我去学校。
2） (PQ) R 如果明天不下雨也不刮风，我才去学校。
3） P ∨ Q R 若明天下雨或刮风，则我不去学校。
§３命题公式的翻译
步骤如下： (1)找出各简单命题，分别符号化。 (2)选择适当的联结词，把简单命题逐个联结起来。
例. 将下列命题符号化. (1)李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。解：首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。该命题符号化为：P（Q▽R）
《定义》：命题公式A在其所有可能的赋值下取得的值列成的表称为A的真值表。
构造真值表的步骤如下： 1)找出给定命题公式中所有的命题变元，列出所有可能的赋值。 2)按照命题公式的运算次序列出命题公式的各层次。 3)对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到最后计算出整个命题公式的值。

离散数学简明教程

离散数学简明教程
第一章：数论基础
数论是离散数学中的基础部分，主要研究的是整数及其性质。

这一部分内容将介绍整除、质数、合数、素数定理等基本概念，以及一些重要的数论问题，如中国剩余定理、费马大定理等。

第二章：集合论
集合论是离散数学的基础理论之一，主要研究的是集合及其性质。

这一部分内容将介绍集合的基本概念、集合的运算、幂集、二元关系等基本概念，以及一些重要的集合论定理，如鸽笼原理、康托尔定理等。

第三章：图论
图论是离散数学中最为重要的分支之一，主要研究的是图形的性质和结构。

这一部分内容将介绍图的基本概念、图的矩阵表示、欧拉路径和欧拉回路、哈密尔顿路径和哈密尔顿回路等基本概念，以及一些重要的图论定理，如克鲁斯卡尔定理、普利姆定理等。

第四章：逻辑学
逻辑学是离散数学的另一个基础理论，主要研究的是推理和证明。

这一部分内容将介绍命题逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑等基本概念，以及一些重要的逻辑学定理，如哥德尔完备性定理、塔斯基不可定义定理等。

第五章：算法分析
算法分析是离散数学的一个重要应用领域，主要研究的是算法的时间和空间复杂度。

这一部分内容将介绍算法分析的基本概念、大O 符号、递归算法等基本概念，以及一些重要的算法分析定理，如阿克曼函数不可计算性定理等。

离散数学.第1章

P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1）（2）只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是假 ) ( 不是 ) (是真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4）起来吧，我的朋友。 2．将下列命题符号化
（1）我看见的既不是小张也不是老李。解令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2）如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会看电视或听音乐。解令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等值式。
• 注意：（1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式，它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1

大一离散数学第1,2章集合-ppt

Ａ∩(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∩Ｃ；
4. 恒等律:Ａ∪Φ=Ａ；Ａ∩Ｕ=Ａ； 5. 零律:Ａ∪Ｕ=Ｕ；Ａ∩Φ=Φ； 6. 分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
7. 吸收律:A∩(A∪B)=A; A∪(A∩B)=A； 8. 否定律:
AA
9. DeMorgan律： A B A B
又再∵计|算A||=A4,|,||BB||=和5，|A∪B|，然∴后|代A|入＋公|B|式－(|2A.4∩.1B)|两=4端＋，5－验2=证7=等|式A∪B|
即定理即2可.4.。1成立；
(2)略。
三个集合的情形
• 定理2.4.3 设A，B和C是任意三个有限集合，有
A∪B∪C =( A + B + C )-( A∩B + A∩C + B∩C )+ A∩B∩C
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... E+ ２４６８ 10 ... 2(n+1) ... 所以，E+也是可数集合。
3）
在P与N之间建立1-1对应的关系 f：N→P如下： N ０１２３４ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... P ２３５７ 11 ... 所以，P也是可数集合。
4）
• 推论2.4.4 设U为全集， A，B和C是任意有限集合，则
A∩B∩C = U -( A + B + C ) +( A∩B + A∩C + B∩C )- A∩B∩C
容斥原理的推广
• 定理2.4.5 设A1, A2, …, An是任意n个有限集合，则
n
A1∪A2 ∪ ∪An = Ai - Ai∩Aj + Ai∩Aj∩Ak

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡⎤5.1，⎡⎤1-，⎡⎤5.1-，⎣⎦5.1，⎣⎦1-，⎣⎦5.1-.解 ⎡⎤25.1=，⎡⎤11-=-，⎡⎤15.1-=-，⎣⎦15.1=，⎣⎦11-=-，⎣⎦25.1-=-.2.下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1).3)(,Z Z :x x f f =→(2).1||)(,N Z :+=→x x f f(3).1)(,R R :3+=→x x f f(4).1),(,N N N :2121++=→⨯x x x x f f(5)).1,()(,N N N :+=⨯→x x x f f解 (1)对于任意对∈21,x x Z ，若)()(21x f x f =，则2133x x =，于是21x x =，所以f 是单射. 由于对任意∈x Z ，∈≠2)(x f Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于∈-2,2Z 且3)2()2(=-=f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈x Z 均有01||)(≠+=x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对∈21,x x R ，若)()(21x f x f =，则113231+=+x x ，于是21x x =，所以f 是单射. 对于任意∈y R ，取31)1(-=y x ，这时y y y x x f =+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=1)1(1)1(1)(3313，所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于∈)1,2(),2,1(N ⨯N 且)1,2()2,1(≠，而4)1,2()2,1(==f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈),(21x x N ⨯N 均有01),(2121≠++=x x x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于∈21,x x N ，若)()(21x f x f =，则)1,()1,(2211+=+x x x x ，于是21x x =，因此f 是单射. 又由于∈)0,0(N ⨯N ，而任意∈x N 均有)0,0()1,()(≠+=x x x f ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3.对于有限集合A 和B ，假定B A f →:且||||B A =，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒)因为f 是单射，所以|)(|||A f A =. 由于||||B A =，所以|||)(|B A f =. 又因为B 有限且B A f ⊆)(，故B A f =)(，即f 是满射.(⇐)若f 是满射，则B A f =)(. 由于||||B A =，于是|)(|||A f A =. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如N N :→f ，x x f 2)(=，f 是单射，但f 不是满射.4.设,:B A f →试证明:(1).f I f B =(2).f f I A =特别地，若A A f →:，则f f I I f A A == .证 (1)对于任意A x ∈，由于B x f ∈)(，所以)())(())((x f x f I x I f B B == ，因此.f I f B =(2)对于任意A x ∈，由于x x I A =)(，所以)())(())((x f x I f x f I A A == ，于是有.f f I A =由(1)和(2)知，若A A f →:，则f f I I f A A == .5.试举出一个例子说明f f f = 成立，其中A A f →:且A I f ≠. 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令},,{c b a A =，a c f b f a f ===)()()(，即对于任意A x ∈，a x f =)(，显然A A f →:且A I f ≠. 而对于任意A x ∈，有a a f x f f x f f ===)())(())(( ，因此f f f = .若f f f = 且f 的逆映射1-f 存在，由第3题知A I f f f f ==，所以)()(11A I f f f f f --=，于是利用定理7有A I f f f f f )()(11--=，进而A A A I I f I =，因此A I f =. 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6.设C B g B A f →→:,:. 若f 和g 是满射，则g f 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以B A f =)(. 又因为g 是满射，所以C B g =)(. 于是C B g A f g A g f ===)())(())(( ，因此g f 是A 到C 的满射.另证对于任意C z ∈，因为g 是满射，于是存在B y ∈使得z y g =)(. 又因为f 是满射，存在A x ∈使得y x f =)(. 因此，z y g x f g x g f ===)())(())(( ，所以g f 是A 到C 的满射.7.设C B g B A f →→:,:. 试证明: 若g f 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意A x x ∈21,，假定)()(21x f x f =，则显然))(())((21x f g x f g =，即))(())((21x g f x g f =. 因为g f 是单射，所以21x x =，于是f 是单射.例如},{b a A =，}3,2,1{=B ，},,,{δγβα=C ，令2)(,1)(==b f a f ，ββα===)3(,)2(,)1(g g g ，则显然有,)1())(())((α===g a f g a g f ,)2())(())((β===g b f g b g f 于是g f 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8.设,:B A f →若存在A B g →:，使得A I g f = 且B I f g = ，试证明: f 是双射且.1g f =-证因为A I g f = ，而A I 是单射，所以f 是单射. 又因为B I f g = ，而B I 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以1-f存在. 因为A I g f = ，于是A I f g f f 11)(--=.而A I f g f f 11)(--=且1-=f g I B ，所以有.1g f =-9.设C B g B A f →→:,:.若f 和g 是双射，则g f 是双射且111)(---=f g g f .证根据定理4(1)(2)知，g f 是双射. 下证111)(---=f g g f . 因为A B I f f f I f f g g f fg g f ====------111111)()()( ， C B I g g g I g g f f g g f f g ====------ 111111)()()(，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，111)(---=f g g f .10.设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意G g f ∈,，有G g f ∈ .(2)对于任意G h g f ∈,,，有).()(h g f h g f =(3)G I A ∈且对于任意G f ∈，有f I f f I A A == .(4)对于任意G f ∈，有G f ∈-1且A I f f f f ==-- 11.证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11.若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有623=⨯个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于2||,3||==B A ，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设n B m A ==||,||.(1) A 到B 的满射若n m <，不存在满射；若n m ≥，先将m 个元素划分成n 个块(参见1.5节)，共有),(n m S 种方式；再将B 中元素进行全排列，共有!n 种方式，于是A 到B 的满射共有!),(n n m S ⋅个.(2) A 到B 的单射若n m >，不存在单射；若n m ≤，由于B 中任意选取m 个元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有!m C m n ⋅个.(3)A 到B 的双射若n m ≠，不存在双射；若n m =，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有!m 个.12.设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令D B C A h ⨯→⨯:，对任意,),(C A c a ⨯∈)).(),((),(c g a f c a h = 证明:h 是双射.证对于任意C A c a ⨯∈),(11，C A c a ⨯∈),(22，假定),(),(2211c a h c a h =，即))(),(())(),((2211c g a f c g a f =，于是)()(21a f a f =且)()(21c g c g =，根据已知条件有21a a =且21c c =，进而),(),(2211c a c a =，因此h 是单射.任意D B d b ⨯∈),(，则D d B b ∈∈,，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在C c A a ∈∈,使得d c g b a f ==)(,)(，因此),())(),((),(d b c g a f c a h ==，所以h 是满射.故h 是双射.13.设A C h C B g B A f →→→:,:,:，若A I h g f = ，B I f h g = ，C I g f h = ，则h g f ,,均可逆，并求出111,,---h g f .证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于A I h g f = ，所以f 是单射且h 是满射. 由于B I f h g = ，所以g 是单射且f 是满射. 由于C I g f h = ，所以h 是单射且g 是满射. 于是h g f ,,是双射，因此h g f ,,均可逆.由于A I h g f = ，所以h g f =-1且g f h =-1，进而f h g =-1.14.已知Ackermann 函数N N N :→⨯A 的定义为(1);0,1),0(≥+=n n n A(2);0),1,1()0,(>-=m m A m A(3).0,0)),1,(,1(),(>>--=n m n m A m A n m A分别计算)3,2(A 和)2,3(A .解由已知条件有2)1,0(=A ，2)1,0()0,1(==A A ，于是312)2,0())0,1(,0()1,1(=+===A A A A ，413)3,0())1,1(,0()2,1(=+===A A A A ，由此可进一步得出2),1(+=n n A ，3)1,1()0,2(==A A ，523)3,1())0,2(,1()1,2(=+===A A A A ，725)5,1())1,2(,1()2,2(=+===A A A A ， 927)7,1())2,2(,1()3,2(=+===A A A A . 因此有32),2(+=n n A ，5312)1,2()0,3(=+⋅==A A ，13352)5,2())0,3(,2()1,3(=+⋅===A A A A ， 293132)13,2())2,2(,2()2,3(=+⋅===A A A A . 所以有29)2,3(,9)3,2(==A A .。

离散第2讲广义并交、笛卡尔、归纳定义

如何在集合的基础上定义出次序的概念？可以是单个客体，
集合，甚至序偶
定义1.9：设a, b为任意对象，称集合{{a}, {a, b}} 为二元有序组，或序偶，简记作<a,b>。其中a称为序偶<a,b>的第一分量，b称为序偶的<a,b>第二分量。定理1.17：对任意序偶<a,b>, <c, d>， <a,b>=<c, d>当且仅当a=c且b=d。
例如
= {0，1} +={0，1，00，01，10，11，000，001，010，01 1，……}
第2讲集合的运算与归纳定义
归纳定义*
*= +∪{}
*可归纳定义如下：
1、基础条款：* 2、归纳条款：如果x*且，则 x* 3、终极条款：只有有限次应用条款1、2所得之元素才是*之元素
∪{A, B} = AB
∩{A, B} = AB
∪{A, B, C} = ABC ∩{A, B, C} = ABC ∪{} = ∩{} =
∪{, {}} = {}
∩{, {}} = ∪{, A} =A
∩{, A} =
第2讲集合的运算与归纳定义
序偶(ordered pairs)
1.1
1.2 1.3
集合的概念与表示
集合运算
集合的归纳定义
第2讲集合的运算与归纳定义
集合的表示方法
列举法描述法试定义算术表达式的集合S
S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S

离散第2讲-广义并交、笛卡尔、归纳定义PPT

本质上，n元有序组依然是序偶定理1.18：对任意对象a1, a2, …, an，b1, b2, …, bn， < a1, a2, …, an > = < b1, b2, …, bn >当且仅当a1=b1，
a2=b2，…，an=bn
-9-
❖集合的笛卡尔积定义1Fra bibliotek11：对任意集合A1, A2，A1A2叫做A1, A2的笛卡尔积，定义如下：
如果xE+，那么x-2E+ 终极条款：只有有限次应用条款1、2所得元素才是E+ 的元素
-16-
❖与形式语言有关的一些概念
字母表：指有限非空的符号的集合，一般用表示二进制基数的集合 ={0，1} 26个英文字母定义的集合 ={a, b, c, …, x, y, z}
字：指有限数目的符号所组成的串，若每一符号均取自字母表之上，则称为字母表之上的一个字，用表示空字 01，100，101， a, aa, bike, iwefhweoi, ….
集合的归纳定义方法集合定义的自然数
-4-
❖集合族的概念
定义1.7：称每个元素都是集合的集合为集合族（collection）。若集合族C可表示为C = { Sd | dD }，则称D为集合族C的标志集（index set）。
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} C = {Nd | dI+}
S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S

离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论集合论基础图论基础逻辑基础组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。

离散数学第1章2019.2.17(终极版)

P：今天下雨， ¬P：今天不下雨。 Q：每一种生物均是动物。——F
¬Ｑ：有一些生物不是动物。——T 注：这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” ——F. 即对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量化词也要加以否定。
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2、合取词( ∧ )
定义：给定两个命题P、Q，则 P∧Q 称为 P 与 Q
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７、命题联结词小结：
(1)五个联结词的含义与日常生活中的联结词的含义大致
相同。 (2)“或”可分为可兼或（∨）和异或（▽）即不可兼或 (3) 除“”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 (4) “→”分为形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”
时，不论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。
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二、命题联结词在命题逻辑中有以下几种基本的联结词： ¬ 1、否定词( ¬ ) 定义：给定命题 P，则在Ｐ的前面加否定词 ¬，变为命题 ¬P，称其为 P 的否定或非 P，记为： ¬P。 ¬P P 其定义可用如下真值表表示: 0 1
1
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例如
（4）老王或小李中有一个去上海出差。（5）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。
2019/5/11 zuoxiang 34
解：（1）首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。该命题符号化为：P （Q▽R）（2）张三和李四是朋友。是一个简单句该命题符号化为：P
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zuoxiang
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（3）首先用字母表示简单命题。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。

离散数学大一第1章知识点总结

离散数学大一第1章知识点总结离散数学是一门学科，它主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。

它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续的数学结构和连续的数学对象。

离散数学在计算机科学、信息科学、数学、电子工程等领域有着广泛的应用。

离散数学的第1章主要介绍了一些基本概念和基础知识。

这些知识对学习离散数学后续的内容起到了铺垫作用。

首先，我们来讨论集合的概念。

在离散数学中，集合是一个基本的概念。

它是指具有确定的、互不相同的对象所组成的整体。

集合中的对象称为元素。

集合可以用列表、描述、特征等方式表示。

在集合中，元素的顺序是不重要的，而且每个元素只能在集合中出现一次。

集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。

接下来，我们介绍了逻辑的基本概念。

在离散数学中，逻辑主要研究命题和命题之间的关系。

命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。

逻辑运算符包括否定、合取、析取、条件、双条件等。

通过使用逻辑运算符，我们可以构建复合命题。

离散数学中还介绍了数学归纳法。

数学归纳法是一种证明方法，它用于证明与自然数有关的命题。

数学归纳法的基本思想是：首先证明基础情况成立，然后假设一个数k的情况成立，再证明k+1的情况也成立。

通过这种方式，我们可以证明自然数的某个性质对所有数值都成立。

离散数学的第1章还介绍了关系和函数。

关系是一个集合，其中包含了有序对。

关系可以是自反的、对称的、传递的等。

函数是一种特殊的关系，它的每一个输入都有且只有一个输出。

函数可以表示为图表、公式或算法的形式。

函数的定义域和值域是函数的重要概念。

另外，离散数学的第1章还介绍了图论的基础知识。

图是由节点和边组成的结构。

节点表示对象，边表示节点之间的关系。

图可以是有向的、无向的、加权的、连通的等。

图的表示方法包括邻接矩阵和邻接表等。

总的来说，离散数学的第1章主要介绍了集合、逻辑、数学归纳法、关系、函数和图论的基本概念和基础知识。

这些知识对后续章节的学习至关重要，构建了离散数学的基础框架。

离散数学命题与联结词

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例1.6求下列复合命题的真值1 0(1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6.
(2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当太阳从东方升起. (4) 2+2＝4 当且仅当美国位于非洲. (5) 函数 f(x)在x0可导的充要条件是它在x0连续.
1
0 0
21
以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; ① ② ③ 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.
25
7
例1.1
下列句子中哪些是命题？真命题假命题真值不确定疑问句感叹句祈使句悖论 (3)—(7)都不是命题
8
(1) (3)
(4) (5) (6) (7)
2 是无理数. (2) 2 + 5 ＝8.
x + 5 ＞ 3.
你有铅笔吗？这只兔子跑得真快呀！请不要讲话！我正在说谎话.
命题的分类
10
联结词与复合命题
1.否定式与否定联结词“”
定义设p为命题，复合命题 “非p”（或 “p 的否定”）称为p的否定式，记作p，符号称
作否定联结词，并规定p 为真当且仅当p为
假.
例如：p：10是素数，则p：10不是素数.
11
2. 合取式与合取联结词“∧” 定义设 p, q 为二命题 , 复合命题 “ p 并且 q ”( 或 “ p 与 q ”) 称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q ，∧ 称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与

离散第2讲-广义并交、笛卡尔、归纳定义

-8-
❖n元有序组
定义1.10： n元有序组<a1, a2, …, an>可以从二元有序组（序偶）出发，递归地定义如下
<a1, a2> = {{a1}, {a1, a2}} <a1, a2 , a3 > = <<a1, a2>, a3 > … <a1, a2, …, an> = <<a1, a2, …, an–1>, an> 其中ai称为n元有序组的第i分量
-22-
❖归纳定义自然数
归纳定义条款 0∈N 如果x∈N，则x + 1∈N 除有限次应用上述条款得到的元素外，N中无其它元素
能否作为自然数的定义？ 0是什么？+又是什么？
-23-
❖用集合定义自然数
为在集合论中定义自然数，首先要选择一个集合作为为首的那个自然数，然后要确定一种集合运算作为求直接后继的运算
例1.10 A={1, 2}, B={a, b, c}, C={}, R为实数集 A×B，B×A A×B×C， A×(B×C) A×， ×A R2， R3
-11-
❖笛卡儿积的性质
定理1.20 设A、B、C为任意集合，表示∪，∩ 或－运算，那么：
A (B C) = (A B) (A C) (B C) A = (B A) (C A)
用作为起始自然数，用如下定义的运算作为求直接后继运算
定义6：设A是任意集合，称集合 A’为A的直接后继集合，如果 A’ = A∪｛A｝ ’ = ∪{} = {} {}’ = {}∪{{}} = {, {}} {, {}}’ = {, {}}∪{{, {}}} = {, {}, {, {}}}
-24-

离散数学1.2PPT课件

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5
命题公式的复杂度
定义（公式的层次）
（1）若A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
（2）若A是n（n≥0）层公式，则┐A为n+1层公式。
（3）若A、B分别是n层和m层公式，则A∧B、A∨B、A→B及
AB是max（n，m）+1层公式。
例：讨论公式
（1）┐p∨q （2）p∨q∧r
（3）(┐p∧q)→r
注意：所有赋值按二进制从低到高的顺序排列。
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（2）按从低到高的顺序写出公式(┐p∧q)→┐r的各个层次。
┐p
┐r
┐p ∧q (┐p ∧q) →┐r
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（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的真值。
由真值表可见，(┐p∧q)→┐r的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值。
（2）按从低到高的顺序从1层公式依次写出公式的各个层次。
（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的真值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例：求(┐p∧q) → ┐r的真值表，并求所有的成真赋值和成假赋值。
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（1）找出公式(┐p∧q)→┐r中所有的命题变项p，q，r，并列出8个赋值。
（2）对命题公式中的命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式就有了唯一确定的真值，从而命题公式就变成了命题。
例如：对于命题变项p、q、r，公式A=(p∨q)→r的真值不确定。
如果指定p为“2是素数”，q为“3是偶数”，r为“4能被2整除”，则A就变成了一个真命题。
如果指定p为“2是素数”，q为“3是偶数”，r为“3能被2整除”，则A就变成了一个假命题。

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