数学沪科七年级上册3.3二元一次方程组及其解法
沪科版七年级数学上册复习资料-二元一次方程组及其解法例题与解析
3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
七年级数学上册第3章一次方程与方程组3.3二元一次方程组及其解法1
336xx52yy
8 47
①
②
解: ①×2得
6x+4y=16 ③
③ －②得
－9y = －63 解得 y=7
将y=7代入①得 3x+2×7=8
解得 x=－2
因此(yīnc1ǐ2)/原10/方202程1 组的一个解是 xy
2 7
453xx22yy
6 64
① ②
解: ①+②得 8x = 70
解得 x 3 5 4
方程中x（或y）的系 数相等（或互为相反
数）
③－④，得 7y 35
解得
y5
把 y 5 代入①，得
3x458
解 得 x4
因此(yīncǐ)原方程组的一个解是
12/10/2021
x 4
y
5
第七页，共十六页。
加 减 消 元 法：
消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数 相等，那么把这两个方程相减（或相加）；否则，先把其中一个方 程乘以适当数，将所得(suǒ dé)方程与另一个方程相减（或相加），或者先 把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减（或相加）． 这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法简称加减法
把 x 3 5 代入① 4
3 35 2y 6 4
81 解得 y
8
x
35 4
因此(yīncǐ)原方程组的一个解是
y
81 8
第十二页，共十六页。
534xx45yy 1317
① ②
解: ①×4得
12x+16y=44
③
652xx25yy
24 31
①
②
解: ①×5得
10x－25y=120
2014年沪科版数学七上能力培优3.3二元一次方程组及其解法
3.3 二元一次方程组及其解法（附答案）专题一二元一次方程组的同解与错解问题探究题1．方程组4716x yax by-=⎧⎨+=⎩与方程组354x yax by-=⎧⎨-=⎩具有相同的解，求ba,的值．2. 在解方程组13,4.ax bycx y-=⎧⎨-=⎩时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为3,2.xy=⎧⎨=⎩乙同学因看漏了c，从而求得解为5,1.xy=⎧⎨=⎩试求a b c、、的值.专题二 与二元一次方程组的解法有关的规律问题探究3. 下图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ．（1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中； （3）若方程组116x y x my +=⎧⎨-=⎩的解是109x y =⎧⎨=-⎩，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？方程组集合对应方程组 解的集合状元笔记【知识要点】1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.【温馨提示】1. 运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.2. 定义中“一次方程”是说二元一次方程组中，两个方程可以都是一元一次方程，也可以都是二元一次方程，还可以一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程，但两个方程联立在一起，只能含两个未知数.注意：一次方程是对“整式方程”而言的.【方法技巧】1. 当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.2. 当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.3. 如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，应先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.参考答案1. 解：由①和③联立的方程组是⎩⎨⎧=-=-17453y x y x 解得⎩⎨⎧==12y x ．再把⎩⎨⎧==12y x 代入由方程②和④组成的方程组64ax by ax by +=⎧⎨-=⎩，得⎩⎨⎧=+=-6242b a b a ，解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧==125b a . 所以5,12a b ==. 2. 解：由题意，甲同学的错解实际上满足方程组13,4.ax by cx y +=⎧⎨-=⎩把3,2.x y =⎧⎨=⎩代入4cx y -=，得2c =；把3,2.x y =⎧⎨=⎩代入13ax by -=，得3213a b +=.乙因看漏了c ，但没看错方程13ax by -=，因而求得的解5,1.x y =⎧⎨=⎩满足这个方程，即513a b -=.于是，可得关于a b 、的方程组3213,513.a b a b +=⎧⎨-=⎩解得3,2.a b =⎧⎨=⎩所以32 2.a b c ===，， 3. 解：（1）解方程组11.x y x y +=⎧⎨-=⎩，得10.x y =⎧⎨=⎩， （2）通过观察分析，得方程组中第1个方程不变，只是第2个方程中的y 系数依次变为-1，-2，-3，…,n ，第2个方程的常数规律是12,22,32,…,n 2，它们解的规律是x=1，2，3，…,n ，相应的y=0，-1，-2，…,-（n-1）．由此方程组n 是21.x y x ny n +=⎧⎨-=⎩，它的解为1.x n y n =⎧⎨=-⎩，（3）因为109x y =⎧⎨=-⎩是方程组116x y x my +=⎧⎨-=⎩的解，由题意，得10916m +=，解得23m =． 该方程组为1216.3x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 它不符合（2）中的规律．。
沪科版七年级数学上册《二元一次方程组及其解法(一)》课件
1.什么叫做一元一次方程？
2.下列方程是否是一元一次方程：
（1）X+6y=13
5 （2）xy-2x=5y
4
（3）2 x-2x=4 3
（4）x2+3=5
3
(5) =4
x
（6）y=0
1.某班同学在植 树节时植樟树和白 杨树共45棵，已知 樟树苗每棵2元， 白杨树苗每棵1元, 购买这些树苗用了 60元，问樟树、白 杨树各买了多少棵？
三、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数 的值，叫做二元一次方程的解。
四、一般地，二元一次方程组的两个方程的 公共解，叫做二元一次方程组的解。
五、二元一次方程有无穷多个解；二元一次 方程组有且只有一组解。
结束语
无目的读书是散步而不是学习。 ———— 胡适
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（3)从一个方程中出某一个未知数的表达式，再把 它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做 代入消元法，简称代入法。
练习： 1. 教科书99页1、2题。
七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 3.3 二元一次方程组及其解法(第2课时)课件
A．－1
B．3
C．－3
D．－32
第五页，共十五页。
3x－5
4．在二元一次方程 3x－2y＝5 中，用含 x 的式子表示 y，得 y＝ 2 ；
5＋2y
用含 y 的式子表示 x，得 x＝ 3
.
5．1在4方程组m2m－＋n＝ n＝6① 8② 中，由①，得 n＝ m－6 ____3_____.
，代入②，求得 m＝
.请求出 A、B、C 的值．
x＝2
2A＋B＝7
x＝8
解：把y＝1 代入方程组，得C＝1
，又∵y＝－3 是方程 Ax＋By
＝7 的解，∴8A－3B＝7，∴A＝2，B＝3，C＝1.
第十二页，共十五页。
2x＋5y＝3 ① 18．阅读材料：善于思考的小军在解方程组4x＋11y＝5② 时，采用了一种 “整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即 2(2x＋5y)＋y＝5③ 把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝－1
x－2y＝4 (3)2x＋y－3＝0
；
x＋2y＝1 (4)3x－2y＝11 .
解：(1)xy＝＝11
x＝3 (2)y＝2
x＝2 (3)y＝－1
x＝3 (4)y＝－1
第十一页，共十五页。
Ax＋By＝7 17．小马虎和姐姐一同解方程组Cx－3y＝－1 ，姐姐正确地解出＝－8 3
13．二元一次方程组x3＋x－22y＝y＝111 的解是 y＝－1 .
14．若|a－b＋2|＋(b－3)2＝0，那么 ab＝ 3 .
15．如果12a3xby 与－a2ybx＋1 是同类项，则 x＝ 2 ，y＝ 3 .
第十页，共十五页。
16．用代入法解下列方程组：
2x＋y＝3
沪科版七年级数学上册二元一次方程组及其解法课件(共18张)
解：
①×2，得：
4x＋6y=38
③
②×3，得：
9x－6y＝27 ④
加减法消元时,先 要把相同未知数的系数 化 把x＝5代入①，得：
y＝3 ∴原方程组的解是 x=5
y=3
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤：
(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等；
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
(2)
a 2b 3 a 3b 4
① ②
解：②-①， 得 b=1
把b＝ 1 代入①得 a+2×1=3
解得
a＝ 1
a 1 所以这个方程组的解是 b 1
例1、用加减法解二元一次方程组
利用相反数相加消去一个未知数
① 左边 +左边 ② = ①右边 + ② 右边
5x+6y +（5x-6y）=81 + 9
10x=90 把x=9代入① y=6
X=9，
｛5x ＋6y =81 ① 5x －6y =9 ②
再视察上面方程组中方程(1)与方程(2)，又可以发 现什么？
利用相同数相减消去一个未知数
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程的解 .
1、 用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知
七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 3.3 二元一次方程组及其解法(第3课时)课件
第十三页，共十五页。
20．对于实数 x、y 定义一种新的运算“*”：x*y＝ax＋by，其中 a、b 为常数， 等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知 3*5=15,4*7=28,求 a+b 的值.
3a＋5b＝15
a＝－35
解：由题意得
4a＋7b＝28
，解得b＝24
，∴a＋b＝－35＋24＝－11.
x＋y＝1 (1)2x－y＝5
；
(2)2x3－y－x＋4 y＝－112 ； 3x＋y－22x－y＝3
x·4%＝x－y×10% (3)x＋300·4%＝x－y＋300×6.4% .
x＝2
x＝2
x＝500
解：(1)y＝－1 ； (2)y＝1 ； (3)y＝300 .
第十二页，共十五页。
2x＋3y＝k 18．已知方程组3x＋2y＝k＋2 的解满足 x＋y＝6，求 k 的值．
x＝－5 14．(乐山中考)二元一次方程组x＋2 y＝2x3－y＝x＋2 的解是 y＝－1 .
x∶y＝2∶3
x＝ 4
15．若3x＋2y＝24 ，则y＝ 6 .
2x－y＝m
x＝2
16．关于 x、y 的方程组x＋my＝n 的解是y＝1 ，则|m－n|的值为 2 .
第十一页，共十五页。
17．用适当的方法解下列方程组：
第四页，共十五页。
2x＋3y＝1 3．用加减法解方程组3x－2y＝8 时，下列变形正确的是( B )
4x＋6y＝1 ①9x－6y＝8
6x＋9y＝1 ②6x－4y＝8
③6－x＋6x9＋y＝4y3＝－16
④49xx＋－66yy＝＝224
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
4．若二元一次方程 2x＋4y＝6、5x－2y＝3 和 2x－my＝－1 有公共解，则 m
《3.3二元一次方程组及其解法》作业设计方案-初中数学沪科版12七年级上册
《二元一次方程组及其解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的主要目标是使学生掌握二元一次方程组的基本概念、解法及实际应用。
通过练习巩固学生在第一课时所学知识，并激发学生对数学学习的兴趣。
二、作业内容1. 基础知识练习（1）二元一次方程组的概念及组成要素。
（2）二元一次方程组的解法步骤。
（3）方程组中未知数的代换与消元法。
2. 习题训练（1）根据给定的条件列出二元一次方程组，并求解。
（2）通过实际问题，建立并解决二元一次方程组。
（3）对比练习，加深对消元法与代入法的理解与运用。
3. 拓展提升（1）探讨二元一次方程组在实际生活中的应用，如：商品价格问题、行程问题等。
（2）通过复杂例题，培养学生解决较为复杂的二元一次方程组的能力。
三、作业要求1. 学生需认真阅读课本及相关资料，确保理解二元一次方程组的基本概念和解题方法。
2. 在完成作业时，要求学生书写规范，过程清晰，表达准确，以养成良好的学习习惯。
3. 在解决问题时，学生应独立思考，尝试多种方法解决问题，并比较不同方法的优劣。
4. 完成作业后，学生需自我检查，确保答案的准确性。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导。
2. 评价内容包括：学生对二元一次方程组基本概念的掌握情况、解题方法的运用能力、解题过程的规范性以及答案的准确性等。
3. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，教师将给予指导和帮助，帮助他们改正错误，提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，针对学生的错误进行纠正，对优秀答案进行表扬。
2. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和技巧，共同提高。
3. 教师将根据学生的作业情况，调整教学计划，加强薄弱环节的教学，确保学生能够全面掌握二元一次方程组及其解法。
4. 对于未能按时完成作业或作业质量较差的学生，教师将与其进行个别沟通，了解原因并给予适当的帮助和指导。
沪科版七上数学二元一次方程组的解法——加减消元法教学课件
请完成对应习题
2, 1.
方法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1.
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，所以x＝2.
x 2,
所以原方程组的解为
y
1.
2.同一未知数的系数的绝对值成倍数关系．
8x+9 y 73, ①
(2) 17x 3 y 74. ②
知1－讲
导引：两个方程中y的系数的绝对值成倍数关系， 方程②乘以3就可与方程①相加消去y.
导引：方程①和②中x，y的系数的绝对值都不相等，也 不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小公倍 数6，可以先消去x，也可以先消去y.
解：方法一：①×3，得6x＋9y＝9.③
知1－讲
②×2，得6x＋4y＝22.④
③－④，得5y＝－13，即y＝－
把y＝－ 13
5
代入①，得2x＋3×
13 5
13 .
5 ＝3，解得x＝
第3章 一次方程与方程组
3.3 二元一次方程组及其解法 二元一次方程组的解法—加减消元法
1 课堂讲授 加减消元法：
直接加减消元 先变形，再加减消元
2 课时流程 用适当的方法解二元一次方程组
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 加减消元法
类型一 直接加减消元
知1－导
把两个方程的两边分别相加或相减消去 一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称 加减法.
下列做法正确的是(
D
)
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
知1－练
6
用加减法解方程组
最新沪科版七年级数学上册《二元一次方程及其解法》全课时教学设计
3.3 二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程组教学目标【知识与技能】理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.【过程与方法】经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.【情感、态度与价值观】学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣.教学重难点【重点】理解二元一次方程组的解的意义.【难点】求二元一次方程的正整数解.教学过程一、创设情境,引入新课古老的“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”教师描述:这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.教师展示幻灯片:方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.)方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.)方法3:算术解法.兔数(94÷2)-35=12鸡数35-12=23方法4:一元一次方程的解法.解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程:2x+4(35-x)=94解得:x=23则鸡有23只,兔有12只.请同学们自己思考.教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么?二、尝试活动,探索新知1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.教师提问:上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗?方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得:x+y=35 ①2x+4y=94 ②针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题:(1)你能给这两个方程起个名字吗?(2)为什么叫二元一次方程呢?(3)什么样的方程叫二元一次方程呢?教师结合学生的回答,板书定义1:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.教师追问:在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?学生思考,教师板书定义2:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.探究活动:满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?请填入表中.x…y…教师启发:(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值?(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?(3)它与一元一次方程的解有什么区别?教师板书定义3:使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,记为教师提问:那么什么是二元一次方程组的解呢?学生讨论达成共识:二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解.教师板书定义4:二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.注意:二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”.请同学们议一议:将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.三、例题讲解【例】下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是( )A. B.C. D.解法分析:将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D.变式练习:上题中的选项是二元一次方程组的解的是( )解法分析:在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.教师总结:本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.四、巩固练习1.根据下列语句,列出二元一次方程:(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11;(2)甲数和乙数的2倍的差为17.2.方程x+2y=7在自然数范围内的解( )A.有无数组B.有两组C.有三组D.有四组3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么( )A.m≠0B.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数【答案】 1.(1)0.5x+3y=11 (2)x-2y=17 2.D 3.A五、课堂小结本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)第2课时用代入消元法解二元一次方程组教学目标【知识与技能】1.用代入法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.3.会用二元一次方程组解决实际问题.4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力.【过程与方法】通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.【情感、态度与价值观】1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.教学重难点【重点】用代入消元法解二元一次方程组.【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.教学过程一、创设情境,引入新课教师出示下列问题:问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?二、尝试活动,探索新知教师引导:什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解)学生列式计算后回答:满足方程①的解有:……满足方程②的解有:……这两个方程的公共解是教师追问:这个问题能用一元一次方程来解决吗?学生思考并列出式子:设胜x场,负(22-x)场,解方程:2x+(22-x)=40 ③学生观察并思考:上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么?2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?结合学生的回答,教师做出讲解:由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以把方程②中的y用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.解得x=18.问题解完了吗?怎样求y?将x=18代入方程y=22-x,得y=4.能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?代入哪个方程更简便?这样,二元一次方程组的解就是教师归纳并板书:这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法.三、例题讲解【例1】用代入法解方程组:本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.【答案】把①代入②,得3(y+3)-8y=14.所以y=-1.把y=-1代入①,得x=2.所以解后反思,教师引导学生思考下列问题:(1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么?(2)为什么能代入?(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?(5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)【例2】(例1的变式)解方程组:分析:(1)从方程的结构来看:例2与例1有什么不同?例1是用x=y+3直接代入②的,而例2的两个方程都不具备这样的条件,都不能直接代入另一个方程.(2)如何变形?把一个方程变形为用含x的式子表示y(或含y的式子表示x).(3)选用哪个方程变形较简便呢?通过观察,发现方程①中y的系数为-1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.【答案】由①得y=x-3,③把③代入②,得(问:能否代入①中?)3x-8(x-3)=14,所以-x=-10,解得x=10.(问:本题解完了吗?把x=10代入哪个方程求y较简单?)把x=10代入③,得y=×10-3,所以y=2.所以四、巩固练习1.二元一次方程组的解是( )A. B.C. D.2.解方程组【答案】 1.A 2.原方程组的解为五、课堂小结你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.第3课时用加减消元法解二元一次方程组教学目标【知识与技能】1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.【过程与方法】1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.【情感、态度与价值观】1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.教学重难点【重点】如何用加减法解二元一次方程组.【难点】如何运用加减法进行消元.教学过程一、创设情境,引入新课教师提出问题:王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.教师总结最简便的方法:抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.二、例题讲解【例1】解方程组:分析在这个方程组中,直接将两个方程相加或相减,都不能消去未知数x或y,怎么办?我们可以对其中一个(或两个)方程进行变形,使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数,再来求解.解法一(消去x),将①×2,得8x+2y=28.③②-③,得y=2.把y=2代入①,得4x+2=14.x=3.所以解法二(消去y) 请同学们自己完成.【例2】解方程组:分析比较方程组中的两个方程,y的系数的绝对值比较小,将①×3,②×2,就可使y的系数绝对值相等,再用加减法即可消去y.【答案】①×3,得12x+6y=-15.③②×2,得10x-6y=-18.④③+④,得22x=-33,x=-.把x=-代入①,得-6+2y=-5,y=.所以师生共析:1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加减消元的考虑.三、巩固练习1.用加减法解下列方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.(1)消元方法: .(2)消元方法: .2.用加减消元法解下列方程组:(1) (2)【答案】 1.(1)①×2-②消去y(2)①×2+②×3消去n2.(1) (2)四、课堂小结本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?。
初中数学沪科版七年级上册第3章 一次方程与方程组3.3 二元一次方程组及其解法-章节测试习题
章节测试题1.【答题】下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据二元一次方程组的定义，即共含有两个未知数，未知数的次数是1次的整式方程，对A、B、C、D四个选项进行一一验证，从而求解．【解答】A、满足二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组；B、满足二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组；C、满足二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组；D、因为方程组，含有三个未知量，x，y，z，所以不是二元一次方程组.选D.2.【答题】已知是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是（）A.1B.3C.-3D.-1【答案】A【分析】把方程的解代入方程求解即可。
【解答】将代入方程2x－ay＝3中，得2×1－a×（－1）＝3，解得a＝1．3.【答题】已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可能是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，可以将代入到各个方程组即可．【解答】将代入到各个方程组，可知只有满足条件，选D。
4.【答题】某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得＋5，每答错一题得－2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（）A.x－y＝20B.x＋y＝20C.5x－2y＝60D.5x＋2y＝60【答案】C【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．【解答】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，依题意得：5x-2y+（20-x-y）×0=60．选C.5.【答题】如果是二元一次方程ax＋by＝－2的一个解，那么2a－b－6的值为______．【答案】-8【分析】把代入二元一次方程ax＋by＝－2求解即可。
【解答】由于x=2，y=-1是方程ax+by=-2的解，代入方程ax+by=-2，可得2a-b=-2，所以2a-b-6=-8，故答案是-8，故答案为：-8.6.【答题】若x m－2－8y n＋3＝15是关于x，y的二元一次方程，则m＋n＝______．【答案】1【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m、n的方程，求出m、n的值，再相加即可求解．【解答】∵方程x m-2-8y n+3=15是关于x、y的二元一次方程，∴m-2=1，n+3=1，解得m=3，n=-2，m+n=3-2=1．故答案为：1．7.【答题】某班学生去看演出，已知甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元．设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为______．【答案】【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组．【解答】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得：，故答案为．8.【答题】若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=______．【答案】4【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把代入方程得：9﹣2a=1，解得：a=4，故答案为：4．9.【答题】已知是关于x，y的方程组的解，则(a＋b)2019=______．【答案】0【分析】把代入方程组，得到关于a、b的方程组，解得a、b 的值，再代入(a＋b)2019中求值即可.【解答】把代入方程组，得，解得，故(a＋b)2019=（3-3）2019=010.【题文】某中学组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？(只列出方程组，不求解)【答案】【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．①教师人数+学生人数=110人，②教师的总票钱+学生的总票钱2400元．根据题意列出方程组，解得答案．【解答】设在这次游览活动中，教师有x人，学生有y人，由题意，得11.【答题】已知x，y满足方程程组，则x﹣y的值为（）A.0B.1C.2D.8【答案】B【分析】把两个方程的左右两边分别相加，然后两边都除以2，即可求出x﹣y的值.【解答】，①-②得，2x-2y=2,∴x-y=1.选B.12.【答题】方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】运用加减消元法求解即可.【解答】解：①+②，得3x=6∴x=2把x=2代入②，得y=1∴方程组的解是选B.13.【答题】方程组,则x﹣y的值为（）A.2B.﹣1C.﹣2D.无法确定【答案】C【分析】观察两个方程可知，只要用①-②，即可得到x﹣y的值.【解答】解：，①-②得，()-()=3-5，∴x﹣y=-2.选C.14.【答题】若与都是方程y＝kx＋b的解，则k与b的值分别为（）A.k＝，b＝－4B.k＝－，b＝4C.k＝，b＝4D.k＝－，b＝－4【答案】A【分析】根据二元一次方程的解解答即可。
沪科版七年级数学上册教学课件《二元一次方程组及其解法》
上海科学技术出版社 七年级 | 上册
巩固练习 1. 解方程组： ������−3������=26
① 2������+3������=−5 ② .
解：由①加②得，3������=21
解得，������=7， 把������=7代入①得，2×7−3������=26，
解得，������=− 5 3 .
上海科学技术出版社 七年级 | 上册
探究新知
x … 22 23 24 25 … y … 13 12 11 10 …
x … 22 23 24 25 … y … 12.5 12 11.5 11 …
从两个表中可以看出x=23，y=12既是方程x+y=35的解，又是2x+4y=94的解， 所以二元一次方程组 ������+y=35 2������+4������=94 的解是 ������=23 ������=12 .
二元一次方程组．
上海科学技术出版社 七年级 | 上册
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 3. 代入消元法解二元一次方程组的步骤： ①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式； ②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解； ③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.
所以，原方程组的解是 ������=7 ������=− 5 3 .
上海科学技术出版社 七年级 | 上册
巩固练习 2. 解方程组： 4������+2������=−5 ① 5������−3������=−9 ② .
解：①×3得，4������+2������=−5， ②×2得，5������−3������=−9， ①＋④得，22������=−33，
沪科版数学教材目录(新)
沪科版数学七年级上册（新）第1章有理数1.1正数和负数1.2数轴、相反数和绝对值1.3有理数的大小1.4有理数的加减1.5有理数的乘除1.6有理数的乘方1.7近似数本章复习与测试第2章整式加减2.1 代数式2.2 整式加减本章复习与测试第3章一次方程与方程组3.1一次方程及其解法3.2一次方程的应用3.3二元一次方程及其解法3.4二元一次方程组的应用3.5三元一次方程组及其解法3.6综合与实践一次方程组与CT技术本章复习与测试第4章直线与角4.1 几何图形4.2 线段、射线、直线4.3 线段的长短比较4.4 角4.5 角的比较与补（余）角4.6 用尺规作线段与角本章复习与测试第5章数据的收集与整理5.1 数据的收集5.2 数据的整理5.3 用统计图描述数据5.4 从图表中的数据获取信息5.5 综合与实践水资源良妃现象的调差本章复习与测试沪科版数学七年级下册（新）第6章实数6.1 平方根、立方根6.2 实数本章复习与测试第7章一元一次不等式与不等式组7.1 不等式及其基本性质7.2 一元一次不等式7.3 一元一次不等式组本章复习与测试第8章整式乘法与因式分解8.1 幂的运算8.2 整式乘法8.3 完全平方公式与平方差公式8.4 因式分解8.5 综合实践纳米材料的奇异特性本章复习与测试第9章分式9.1 分式及其基本性质9.2 分式的运算9.3 分式方程第10章相交线、平行线与平移10.1 相交线10.2 平行线的运算10.3 平行线的性质10.4 平移本章复习与测试沪科版数学八年级上册（新）第11章平面直角坐标系11.1 平面内的坐标11.2 图形在坐标系中的平移本章复习与测试第12章一次函数12.1 函数12.2 一次函数12.3 一次函数与二元一次方程12.4 综合实践一次函数模型的应用本章复习与测试第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系13.2 命题与证明本章复习与测试第14章全等三角形14.1 三角形全等14.2 三角形全等的判定本章复习与测试第15章轴对称图形与等腰三角形15.1 轴对称图形15.2 线段的垂直平分线15.3 等腰三角形15.4 角的平分线本章复习与测试沪科版数学八年级下（新）第17章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的运算本章复习与测试第17章一元二次方程17.1 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程的根的判别式17.4 一元二次方程的根与系数的关系17.5 一元二次方程的应用本章复习与测试第18章勾股定理18.1 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理本章复习与测试第19章四边形19.1 多边形内角和19.2 平行四边形19.3 矩形、菱形、正方形19.4 综合实践多边形的镶嵌本章复习与测试第20章数据的初步分析20.1 数据的频数分布20.2 数据的集中趋势与离散程度20.3 综合与实践体重指数本章复习与测试沪科版数学九年级上册（新）第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数21.2 二次函数的图像和性质21.3 二次函数与一元二次方程21.4 二次函数的应用21.5 反比例函数21.6 综合实践获取最大利润本章复习与测试第22章相似形22.1 比例线段22.2 相似三角形的判定22.3 相似三角形的性质22.4 图形的位似变换22.5 综合实践测量与误差本章复习与测试第23章解直角三角形23.1 锐角三角函数23.2 解直角三角形及其应用本章复习与测试沪科版数学九年级下册（新）第24章圆24.1 旋转24.2 圆的基本性质24.3 圆周角24.4 直线与圆的位置管你西24.5 三角形的内切圆24.6 正多边形与圆24.7 弧长与扇形面积24.8 综合实践进球线路与最佳射门角本章复习与测试第25章投影与视图25.1 投影25.2 三视图本章复习与测试本章复习与测试第26章概率初步26.1 随机事件26.2 等可能情形下的概率计算26.3 用频率估计概率26.4 综合实践概率在遗传学中的应用本章复习与测试。
二元一次方程组及其解法第1课时PPT课件(沪科版)
解:设胜x场,则负(22-x)场,根据题意得方程 2x+(22-x) ×1=40。 这是＿一元一＿次方程．
解得 x=18。 22-18=4（场）。
答:这个队胜18场,只负4场.
你会了吗?
分析
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负, 每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争 取较好名次,想在全部22场比赛中得到40 分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
沪科版七年级上册
3.3第1课时 二元一次方程组
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵。已 知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树 苗用了60元。问樟树苗、白杨苗各买了多少棵？
分析：
棵树
樟树 X棵
花费
2x元
白杨 （45–x）棵 (45–x)元
购买樟树的花费+购买白杨的花费=总花费. 2x+ （45–x）= 60. 解得x =15. 所以45-x=30.
所以樟树买了15棵，白杨买了30棵.
分析： 樟树
白杨
棵数
x
+y
= 45.
花费 2x + y
= 60.
｛ 列出方程组： x + y = 45； 2x + y = 60.
这里的x、y同时满足两个关系， 因此我们可以把它们加上括号 联列在一起
问题
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负, 每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争 取较好名次,想在全部22场比赛中得到40 分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
3.含未知数的式子是( 整式 )
含有两个未知数的1次方 程叫做二元一次方程。
注意:方程两边都是整式。
沪科版数学七年级上册3用代入法解二元一次方程组课件
x y 22; 2x y 40.
昨天，我们8个 人去红山公园玩, 买门票花了34元
每张成人票 5 元， 每张儿童票 3 元，
问题2：他们到底去了几个 成人，几个儿童呢? 设他们中有x个成人,y个 儿童.根据题意得：
x y 8; 5x 3y 34.
解：设这些消毒液应该分装x瓶大瓶、y瓶小瓶。
根据题意，可列方程组：
5x 2y,
500x 250y 22500000.
解方程组，得
x
y
20000, 50000.
小技巧：当相同未知 数的系数成倍数关系 时，我们常用整体代 入法会使解法更加快 捷简便！
解得x=5 代入y=8-x
得y=3 x=5
x+y=8
y= 3
思考:从 5x+3y=34 到 5x+3(8-x)=34
达到了什么目的?怎样达到的?
归纳总结
二元一次方程组
消元 一元一次方程
转化
消除其中一个未知数，将二元一次方程组转 化成解一元一次方程的想法，叫做消元思想.
从一个方程中求出某一个未知数的表达式， 再把它“代入”另一个方程，进行求解.这种方 法称为代入消元法，简称代入法.
典例精析
例1：解方程组
3x+2y=14 ① x=y+3 ②
解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14
3y +检9+验2y可=以14口算或 在以草后稿可5y纸以=5上不验 必算 写， 出. y=1.
将y=1代入② ，得 x=4.
经检验， x=4，y=1适合原方程组. x=5，
所以原方程组的解是 y=2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《3.3 二元一次方程组及其解法》 在学习本节之前，学生已经掌握了一元一次方程的解法及其应用. 本节的教学内容是由实际问题抽象出一元一次方程组的模型，探究解一元一次方程组的一般步骤，为下一节学习一元一次方程组的应用做铺垫. 本节将使学生的探究能力、计算能力等得到进一步提升，也为学生进一步解决实际问题和三元一次方程组、不等式、分式方程等知识打下坚实基础.【知识与能力目标】 1. 理解二元一次方程(组)及其解的定义；2. 会根据已知条件列出二元一次方程组；3. 会用代入消元法解二元一次方程组；4. 会用加减消元法解二元一次方程组.【过程与方法目标】1. 经历具体实例的抽象概括过程，形成一元一次方程组的模型，进一步培养学生观察、分析、概括和转化的能力；2. 通过探究、交流、反思等活动，进一步体会解一元一次方程组的方法和步骤，培养学生的化归思想，提升学生的计算能力.◆ 教材分析◆ 教学目标【情感态度价值观目标】通过由具体实例抽象概括的思考与学习的过程，培养学生实事求是的态度和独立思考的良好学习习惯.◆教学重难点【教学重点】1. 掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；2. 掌握用代入消元法解二元一次方程组的方法；3. 掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法.【教学难点】1. 学会根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组；2. 明确用代入法解二元一次方程组，基本方法是消元化二元为一元；3. 明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等．◆课前准备多媒体课件.◆教学过程一、情境引入问题：你能根据题意列出方程吗？小丽母亲的生日到了，小丽打算买一束康乃馨送给母亲，这束康乃馨由红色和粉色康乃馨组成.问题一：小丽买了红色和粉色康乃馨共16枝，若设红色康乃馨有x枝，粉色康乃馨有y枝，那么可得方程_______________；问题二：小丽一共花了10元钱，已知红色康乃馨0.7元一枝，粉色康乃馨0.5元一枝，若设红色康乃馨有x枝，粉色康乃馨有y枝，那么可得方程_______________.【设计意图】通过对实际问题的解决，引出二元一次方程的概念，为进一步探究二元一次方程(组)的相关知识做铺垫.二、探究新知1. 二元一次方程的有关概念.问题：观察这两个方程，它们有什么相同的特征？(1)x＋y＝16.(2)7x＋5y＝100.这两个方程都含有两个未知数x和y，它们都是一次方程.二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.问题：二元一次方程x＋y＝16中的未知数x和y都要取正整数，由于0＜x＜16，所以x取1到15的正整数，你能将下表填写完整吗？二元一次方程的解的定义：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.如x＝2，y＝14就是方程x＋y＝16的一个解，记作{=2y=14.问题：若不考虑实际意义，方程x＋y＝16有多少个解？你能再例举一个吗？有无数个解，x＝2.5，y＝13.5.二元一次方程的解集的定义：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.【设计意图】经历探究二元一次方程的概念的过程，使学生掌握二元一次方程的定义以及方程的解的定义.2. 二元一次方程组的有关概念.问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？方法①：解：设笼中有鸡x只，则兔子有(35－x)只.根据题意，得2x＋4(35－x)＝94.方法②：解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，得{+y=352x+4y=94.问题：这个方程组有什么特点？这个方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次.二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程组，叫做二元一次方程组．{x+y=35 2x+4y=94.由x＋y＝35，变形得：y＝35－x.由2x＋4y＝94，变形得：y=94−2x4=472−x2.从两个表中可以看出x＝23，y＝12既是方程x＋y＝35的解，又是2x＋4y＝94的解，所以二元一次方程组{x+y=352x+4y=94的解是{x=23y=12.二元一次方程组的解的定义：使二元一次方程组中每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．【设计意图】经历探究二元一次方程组的概念的过程，使学生掌握二元一次方程组的定义以及方程组的解的定义.3. 利用代入消元法解二元一次方程组.小明到体育用品商店购买羽毛球、乒乓球，需购羽毛球的数量是乒乓球数量的2倍.商店里每只羽毛球的价格是2元，每只乒乓球的价格是1.5元，小明共花费了11元，那么小明购买的羽毛球、乒乓球的数量各是多少？解：设小明购买乒乓球x 只，购买羽毛球y 只.根据题意，得{y =2x 1.5x +2y =11， 问题：怎么解方程组呢？所以，原方程组的解是{x =4y =2. 例1 解方程组：{3x −y =5 ①4x +2y =11 ②. 解：由①得，y =3x −5. ③把③代入②得，4x +2(3x −5)=11.解得，x=21 10把x=2110代入③得，y=3×2110−5解得，y=31 10所以，原方程组的解是{x=2110y=31 10通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．问题：你能总结一下代入消元法解二元一次方程组的步骤吗？①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解；③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.【设计意图】让学生体验利用代入消元法解二元一次方程组的过程与方法，深化对解二元一次方程组方法的认识.4. 利用加减消元法解二元一次方程组.问题：如何求方程组{x −2y =6 3x +2y =10的解？ 将第一个方程中的x 用2y ＋6表示，再代入第二个方程，得到一个关于y 的一元一次方程.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
问题：这个方程组的两个方程中未知数前的系数有什么特征？还有什么方法能将方程组转化为一个一元一次方程？将方程组中的两个方程相加消去y ，可以得到一个关于x 的一元一次方程.通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法.例2 解方程组：{2x +4y =9 ①3x −5y =8 ②.解：由①×5，②×4得，{10x +20y =45 ③12x −20y =32 ④把③＋④得，22x =77.解得，x =72把x =72代入①得， 2×72+4y =9 解得，y =12所以，原方程组的解是{x =72y =12问题：你能总结一下加减消元法解二元一次方程组的步骤吗？ ①变形，使某个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元；③解一元一次方程；④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．【设计意图】让学生体验利用加减消元法解二元一次方程组的过程与方法，深化对解二元一次方程组方法的认识.三、巩固练习1. 解方程组：{x −3y =262x +3y =−5. 2. 解方程组：{4x +2y =−55x −3y =−9. 四、课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？1. 二元一次方程的概念：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.2. 二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程组，叫做二元一次方程组．3. 代入消元法解二元一次方程组的步骤：①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解；③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.4. 加减消元法解二元一次方程组的步骤：单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
①变形，使某个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元；③解一元一次方程；④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．◆略.。