【学案】天津中考数学复习--圆(学生版)

4
中考数学之圆的相关知识（学案） 2. 公切线条数与两圆的位置关系 ⑴ 若两圆外离，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__； ⑵ 若两圆外切，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__； ⑶ 若两圆相交，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__； ⑷ 若两圆内切，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__； ⑸ 若两圆内含，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__； 3. 性质：⑴ 若两圆有两条外（内）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经 过交点且平分这两条公切线的夹角； ⑵ 若两圆外切， 则两圆的连心线垂直两圆的内公切线； 若两圆内切， 则两圆的连心线垂直两圆的外公切线． 特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行． 4. 公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长． 5. 公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条内公切线的长也相等．
三、与圆有关的计算
1.正多边形的概念： 一般的，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，如果一个正多边形有 n 条边，那么这个正多边形叫做正 n 边形。 2.弧长公式： 在半径为 R 的圆中，360º的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 1º的圆 心角所对的弧长是______， 于是在半径为 R 的圆中， nº的圆心角所对的弧长_____ 3 扇形的面积公式 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 S= nR 360
3
中考数学之圆的相关知识（学案） 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。 注意：三角形的呢新就是三角形三条内角平分线的交点。 5.三角形内心、外心有关知识
名称 确定方法 三角形三边垂直平 分线的交点 三角形三个内角的 平分线的交点 性质 ①外心到三角形三个顶点距离相等②外心 不一定在三角形的内部 ①内心到三角形三边距离相等②内心到三 角形三个顶点的连线分别平分三个顶角
r d O l
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 公共点名称 直线名称 相交 相切 相离
注意：若一条直线与一个圆没有公共点，那么这条直线与这个圆相离；若一个直 线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切；若一条直线与一个圆 有两个公共点，那么这条直线与这个圆相交。 3.圆的切线 （1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点 （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （3） 垂直于经过切点的半径 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 ②经过切点且垂直于切线的直 线必过圆心 注意：①②是对“切线的识别”的两种叙述方式，虽然形式上不相同，但在本质 上是一致的，在解题时，我们可根据题目特点灵活选择适当的方法。在应用切线 的识别方法时，必须先弄清“题设”中的两个事项：一是经过半径外端，二是垂 直于这条半径，这两条缺一不可。 4 三角形的内切圆：与三角形各边都内切的圆叫做三角形的内切圆。
②在由等弦推出等弧时要注意：优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等
1
中考数学之圆的相关知识（学案） （5）直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等；经过圆心及一弦中点 的垂线垂直平分该弦 4.圆的对称性 圆是轴对称图形，_________________是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称 中心是_____________________ 5.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 ①平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且 平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧垂直 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 注意：应用垂径定理与推论计算时，往往要构建直角三角形，在一个圆中，若已 知半径为 R，弦长为 a，圆心到此弦的距离为 d，根据垂径定理与勾股定理可知： _____________________,据此公式可知三个量中，知道任意两个，即可求出第三个。 6.切线长定理 （1）切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段长叫做这点到圆 的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一 点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。 注意：我们要明确切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切 线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
d R r 两圆内切
r O 2 O1 R
0 d R r 两圆内含
从上表可以看出，两种圆的五种位置关系是从 d 很大，然后逐渐减小，它们的位 置从外离逐渐演变为内含 注意：两圆内含时，如果 d=0，则两圆同心，这是内含的一中特殊情况。 两圆的连心线 1. 定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线． 2. 性质：⑴ 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上； ⑵ 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 两圆的公切线 1. 定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线． 外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线； 内公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做内公切线．
已知 AB 是⊙ O 的直径， AP 是⊙ O 的切线， A 是切点， BP 与⊙ O 交于点 C . （Ⅰ）如图①，若 AB 2 ， P 30 ，求 AP 的长（结果保留根号） ； （Ⅱ）如图②，若 D 为 AP 的中点，求证直线 CD 是⊙ O 的切线.
r O
P
点在圆周上
d r 点 P 在 ⊙O 的圆周上.
r O
P
点在圆的内部
d r 点 P 在 ⊙O 的内部.
(2) 圆心和半径是确定圆的两个元素，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 所以过已知点画圆的问题，应紧紧抓住圆心位置和半径大小进行探讨。
2
中考数学之圆的相关知识（学案） 经过平面上一点可以做无数个圆；经过平面上两个点也可以做无数个圆；经过不 在同一条直线上的三个点只能做一个圆。 (3) 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外接圆的圆心叫做 三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 注意：三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线。 2.直线与圆的位置关系 （1）设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表
中考数学之圆的相关知识（学案）
中考数学 • 圆
基础知识
一、圆的基本性质：
1.圆的定义： ⑴ 描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，其中 固定端点 O 叫做圆心，OA 叫做半径。 ⑵ 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫圆心， 定长叫半径。 ⑶ 圆的表示方法：通常用符号______表示圆，定义中以 O 为圆心，OA 为半径 的圆记做__________，读作圆 O。 ⑷ 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆称作_______；圆心相等，半 径不相等的圆称作__________；能够重合的两个圆叫做__________。 注意：同圆或等圆的________相等。 2.弦和弧: (1)连接圆上____________线段叫做弦; (2)直径：__________叫做直径，直径等于半径的________； (3)弦心距：从___________距离称作弦心距； (4)弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧。 以 CD 为端点的记做_______ ， 读作弧 CD (5)等弧：在同圆或等圆中，________________弧叫做等弧； (6)半圆：圆的任意一条直径的端点分圆为两条弧，每一条弧都叫做半圆； (7)优弧、劣弧：___________弧叫做优弧，_____________叫做劣弧； (8)弓形：由____________________组成的图形叫做弓形。 3.圆心角和圆周角： （1）圆心角：顶点到圆心的角叫做圆心角将整个圆分为 360 等份，每一份的弧 对 1º的圆心角，我们也称这样的弧为 1º的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 （2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 （3）圆周角定理：_________________________________________________ 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相 等。 推论 2：半圆所对的圆周角是直角，90º的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。 （4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相同，那么他们所对应的其他量也相同。 注意：①前提条件是在同圆或等圆中；
2
①
1 S= lR 2
②
注意： （1）已知半径 R 和圆心角 n，求扇形的面积时应选用①； （2）已知半径 R 和弧长 L,求扇形面积引用② ( 3 ) 根据扇形面积公式和弧长公式，已有面积、弧长、n、R 四个量中的 任意两个量，都可以求另外两个量 （4） 扇形的周长=2R+L 弧 4，弓形的面积： （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 （2）弓形的周长=弦长+弧长 （3）弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 注意：弓形的面积可看做扇形的面积和三角形面积的分解和组合，弓形的面积都 可以化为扇形面积与三角形面积的和与差 5 圆柱的侧面展开图及计算 圆柱侧的面积________ 圆柱全面积=_____________________________ 6.圆锥的侧面展开图及面积计算 圆锥底面上圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线， 连接顶点与底面 圆心的线段叫做圆锥的高，圆锥侧面的面积_____ ，圆锥全部的面积________
性质及判定
d R r 两圆外离