1.3简单的逻辑联结词(学案)
1.3 简单的逻辑联结词学案
1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,p q p q p∧∨⌝的真假性的判断；3. 正确理解p⌝的意义，区别p⌝与p的否命题；4. 掌握,,p q p q p∧∨⌝的真假性的判断，关键在于p 与q的真假的判断.1416复习1：什么是充要条件?复习2：{|A x x=满足条件}p,{|B x x=满足条件}q (1) 如果A B⊆,那么p是q的什么条件；(2) 如果B A⊆,那么p是q的什么条件；(3) 如果A B=,那么p是q的什么条件.二、新课导学※学习探究探究任务一：“且”的意义问题：下列三个命题有什么关系?（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.反思：p q∧的真假性的判断，关键在于.探究任务二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?（1）27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.反思：p q∨的真假性的判断，关键在于的判断.探究任务三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?（1）35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；（2）3是方程290x-=的根；（31-反思：p⌝的真假性的判断，关键在于. ※典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式：如果p q∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗？反之，p q∨为真命题，那么p q∧一定是真命题吗？例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：32<（3）空集是集合A的子集. 三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展阅读教材第18页,理解逻辑联结词“且”“或”“非”“补”的关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差1. “p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P：在ABC∆中，C B∠>∠是sin sinC B>的充要条件；命题q：a b>是22ac bc>的充分不必要条件，则（）.A.p真q假B.p假q假C.“p或q”为假D.“p且q”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.A.1B.2C.3D.44.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p或q”“p且q”“非p”“非q”中假命题是，真命题是.5. 已知p：2||6x x-≥，q：,,x Z p q q∈∧⌝都是假命题，则x的值组成的集合为6. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q∨，这里p：4{2,3}∈，q：2{2,3}∈；（2）p q∧，这里p：4{2,3}∈，q：2{2,3}∈；(3) p q∨，这里p：2是偶数，q：3不是素数；(4) p q∧，这里p：2是偶数，q：3不是素数.7.判断下列命题的真假：（1）52>且73>；（2）78≥；（3）34>或34<.。
1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案
1.3 简单的逻辑联结词教材知识检索考点知识清单1．“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题．2．“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题．3．对一个命题p ③ ，得到的新命题，记作ip ，读作“ ④ ”或“ ⑤ ”．4．已知p 、q 的真假时，常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假．要点核心解读一、逻辑联结词“且”1．定义：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∧读作”，且q p其中符号“∧”读作“合取”．2．判断命题“p 且q”的真假：当p 、q 都是真命题时，“p 且q”为真命题；当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，“p 且q”就为假命题．[注意]．逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关，与A x x B A x ∈=∈|{且}B x ∈中的“且”意义相同，即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足，举一个与“且”有关的实际例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路．二、逻辑联结词“或”1．定义：用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∨读作“p 或q”，其中符号“∨”读作“析取”．2．判断命题“p 或q”的真假：当p 、q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时，“p 或q”就为真命题；当p 、q 两个命题都为假命题时，“p 或q”为假命题．[注意] 对“或”的理解，可联想并集的概念，”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一个是成立的，即为”“A x ∈且”B x ∉还可以为A x ∉且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，例如“你去图书馆或去游泳馆”，两者不可能同时发生；再如，日常生活中，我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不妥的，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”，由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”，在“p 真q 假”“p 假q 真”“p 真q 真”时，“p 或q ”都为真．三、逻辑联结词“非”1．定义：对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”．2．判断命题p ⌝的真假：若p 为真命题，则p ⌝必为假命题；若p 为假命题，则p ⌝必为真命题．3．对“非”的理解，可联想集合中补集的概念，若将命题p 对应集合P ，则命题“非p”就对应集合P 在全集U 中的补集.P C U 例如，“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题，一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下：[注意] (1)“都是”的否定词是“不都是”；“一定是”的否定词是“一定不是”，而不是“不一定是”．在逻辑中，“一定”只是个语气词，不能对它否定．(2)“p 且q ”的否定为”，或且（“)()()q p q p ⌝⌝=⌝“且”变为“或”；“p 或q ”的否定为)q p 或（“⌝”，且)()(q p ⌝⌝=“或”变为“且”． (3)“命题的否定”与“否命题”：这是两个完全不同又极易混淆的概念，命题的否定是,,p ⌝形式的命题，它已经不再是简单命题的形式了，它是复合命题；而否命题是对条件和结论分别都进行了否定，如果原命题是简单命题，那么它的否命题仍是简单命题．命题的否定的真假与原来的命题相反，而否命题的真假与原命题无关．四、复合命题1．定义一般地，把不含逻辑联结词的命题称为简单命题，简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题．由简单命题和逻辑联结词所构成的命题称为复合命题．[注意] 判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”，如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合”，此命 题字面上无“且”，但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”，所以它是复合命题；又如“5的倍数的末位数字不是0就是5”，此命题字面上无“或”，但它也是复合命题．2．复合命题的真假判定判断复合命题的真假，可按如下步骤进行：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假．复合命题的真值表：[注意] 我们可以把上面的真值表概括为：对于“p 或q ”形式的复舍命题“有真必真”，即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为真命题，复合命题“p 或q ”就是真命题；对于“ p 且g ”形式的复合命题“有假必假”，即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为假命题，复合命题“p 且q ”就是假命题；对于“非p ”形式的复合命题“真假相反”， 即p 真则“非p ”假，p 假则“非P ”真.典例分类剖析考点1复合命题的构成命题规律1．用逻辑联结词“或”“且”“非”构成一个复合命题．2．分析一个复合命题的构成部分，[例1] 分别写出由下列命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p”形式的新命题．(l)p:π 是无理数，q:e 不是无理数．(2)p ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根，q ：方程0122=++x x 两根的绝对值相等．(3)p ：正△ABC 三内角都相等，q ：正△ABC 有一个内角是直角．[答案] (l)p 或q ：π 是无理数或e 不是无理数．p 且g ：π是无理数且e 不是无理数，非p:π不是无理数．(2)p 或q ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．p 且q ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．非p ：方程0122=++x x 没有两个相等的实数根．(3)p 或q ：正△ABC 三内 角都相等，或有一个内角是直角；p 且q ：正△ABC 三内角都相等，且有一个内角是直角；非p ：正△ABC 三个内角不都相等：[点拨] 解答这类问题，应先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．注意在写否命题时，否定词语必须添加在正确位置上．检验由简单命题构成复合命题是否正确的依据是：构成后的复合命题的真假漫．否符合真值表．母题迁移 1．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数．(2)p ：菱形的对角线一定相等．q ：菱形的对角线互相垂直．(3)p ：方程012=-+x x 的两实根符号相同．q ：方程012=-+x x 的两实根绝对值相等．(4)p: π是有理数，q ：π是无理数．[例2] 判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”“或”“非”，若含有，请指出其中p 、q 的基本命题．(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)不等式0652>+-x x 的解为x>3或x<2． [答案]（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分.(2)是“p 且q ”形式的命题，其中P ：是4的约数；q:2是6的约数．(3)是简单命题，而不是用“或”联结的复舍命题“不等式0652>+-x x 的解为x>3或不等式 0652>+-x x 的解为x<2”，因为前者（原命题）是真命题，而后者（用“或”联结的复合命题）是假命题．[感悟] 对于用逻辑联结词“或”“且”“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“ 非 ”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题，如“四边相等且四角相等的由速形是正方形”不是“且”联结的新命题，因为它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．事实上，它 是一个复合条件的简单命题．母题迁移 2．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题．(1)李明是老师，赵山也是老师；(2)1是合数或质数；(3)他是运动员兼教练员；(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且语法上也有错误，考点2复合命题真假的判定命题规律1．判定一个复合命题的真假．2．利用真值表进行逻辑推理．[例3] 指出下列命题的真假．(1)不等式Ix +2{≤0没有实数解；(2) -1是偶数或奇数；2)3(属于集合Q ，也属于集合R ；).()4(B A A ⊆/[答案] (1)此命题是”“p ⌝的形式，其中p ：不等式+x |0|2≤有实数解，因为2-=x 是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即p ⌝为假命题，所以原命题为假命题．(2)此命题是,,q p ∨的形式，其中p ：-1是偶数；q ：-1是奇数．因为命题P 为假命题，命题q 为真命题，所以”∨“q p 为真命题，故原命题为真命题． (3)此命题是“”∧q p 的形式，其中.2:p 属于集合2:;q Q 属于集合R ．因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“”∧q p 为假命题，故原命题为假命题．(4)此命题是”“p ⌝的形式，其中),(:B A A p⊆因为p 为真命题，所以p ⌝为假命题，故原命题为假命题，母题迁移 3．（2010年全国高考题）已知命题:1p 函数x x y --=22在R 内为增函数；:2p 函数 x x y -+=22在R 内为减函数．则在命题：∧和∨∧∨14213212211:)(:,:,:p q p p q p p q p p q ⌝)(2p ⌝中，真命题是( )． 42413231,..........,.......,........,q q D q q C q q B q q A ⋅⋅⋅⋅[例4] 以下判断是否正确：(1)命题_p 和q 都是简单命题，那么：①命题p 真，则命题“p 且q”一定真；②命题p 假，则命题“p 且q”不一定假；③命题 “P 且q”真，则命题p 一定真；④命题“p 或q”假，则命题p 一定假．(2)命题“p 或q”与命题“p 且q”都是真命题，那么：①命题q 一定是真命题；②命题q 不一定是真命题；③命题p 不一定是真命题；④命题p 与q 真假相同．(3)命题“p 或g”与命题“p 且q”都是假命题，那么：①命题“非p”与命题“非q ”真假不同；②命题“非p”与命题“非q”至少有一个是假命题；③命题“非p 且非q”是真命题；④命题q 与命题“非p”真假相同．[答案] (1) ∵对于“p 且q”一假必假，∴①②错，③正确，而对于“p 或q”一真必真，因此④正确．(2) ∵p 或q”与“p 且q”都是真命题，∴p 与q 均为真命题，．．，①④正确，②③错误． ．(3)∵ p 或q”与“p 且q”都是假命题，∴p 与q 均为假命题，而“p ⌝”的真假相反．因此①②④错，③正确 .[点拨] 解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，再判断相关命题正确与否． 母题迁移 4．是否存在同时满足下列三个条件的命题p 和命题q?若存在，试构造出一组这样的命题；若不存在，请说明理由．,,)1(q p ∨⋅为真；(2),,q p ∧为假；(3)”“p ⌝为假， 考点3 命题的否定与否命题命题规律1．“命题的否定”与？否命题”的辨析．2. 准确地写出一个命题的否命题．[例5] 写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若,0=abc 则a 、b 、c 中至少有一个为零；(2)若.,022=+y x 则x 、y 全为零；(3)等腰三角形有两个内角相等；(4)自然数的平方是正数．[答案] (1)否定形式：若abc =O ，则a 、b 、c 全不为零；否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零．(2)否定形式：若,022=+y x 则x 、y 不全为零；否命题：若,022=/+y x 则x 、y 不全为零．(3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；否命题：不是等腰的三角形的任意两个内角都不相等.(4)否定形式：自然数的平方不是正数；否命题：不是自然数的数的平方不是正数．[辨析] 命题的否定(即p ⌝）与否命题是容易混淆的两个概念，准确把握它们之间的联系与区别． (1) 区别：①概念：命题的否定形式是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题．②构成：对于“若p ，则q ”形式的命题，其否定形式为“若p ，则q ⌝”也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若q p ⌝⌝则,”,也就是条件和结论都否定．③真值：否定命题的真值与原命题相反；而否命题的真值与原命题无关．(2)联系：①它们都是把原命题的条锌或结论否定后组成的新命题．②它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的（如“至多有一个”的否定为“至少有两个”）.母题迁移 5．写出下列命题的否定形式和命题的否命题：(1)若a>b ，则;22->-b a(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．考点4 复合命题的应甩命题规律1．给出简单命题及由它们组成的复合命题的真值求参数取值范围．2．复合命题的真值推理的实际应用．[例6] 已知,1,0=/>a a 设p ：函数)1(l o g +=x y a 在∈x ),0(+∞内单调递减；q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点，如果p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．[答案] 当10<<a 时，函数)1(log +=x y a 在),0(∞+ 内单调递减；当a>l 时，函数)1(log +=x y a在),0(+∞内不是单调递减．曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点等价于,04)32(2>--a 即21<a 或⋅>25a 解法一：(1)若p 正确且q 不正确，即函数)1(lo g +=x y a 在),0(+∞∈x 内单调递减，曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴不交于两点，因此]),25,1()1,21([)1,0( ∈a 即⋅∈)1,21[a (2)若 p 不正确且q 正确，即函数)1(log +=x y a 在,0（∈x )∞+内不是单调递减，曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点，因此 ),1(+∞∈a )],,25()21,0[(+∞ 即∈a ⋅+∞),25( 综上，a 的取值范围为⋅+∞),25()1,21[ 解法二：设====)}(|{),1,0()}(|{a q a B a p a A ⋅+∞),25()21,0(∴ p 和q 有且只有一个正确B A a ∈⇔且,B A a ∉故a 的取值范围为⋅+∞),25()1,21[ [点拨] 解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范 围， 在综合参数的取值范围时，有时利用集合来处理，可以简化解题过程．如本例的解法二，就较为简捷，母题迁移 6．已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的正实数根，命题q ：方程 01)2(442=+++x m x 无实数根，若“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围，[例7] 现有张三、李四、王五三人，张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三和李四都在说谎，其中只有一人说真话，请问：张三、李四、王五谁在说谎？谁说的是真话？[解析] 可先假设 其中一人说真话，从而可推知其他人的情况，再进行综合分析，探寻矛盾．[答案] 设张三为A ，李四为 B ，王五为C ，说真话为1，说谎话为0，（1）若A=1，即张三说真话，由于张三说李四说谎，可得;0=B 而李四说王五说谎，所以王五说的为真话，故,1=C 由于王五说张三和李四都说谎，可知,0,0==B A 这与1=A 矛盾，故1=A 不成立．(2)若,0=A 依题意知,1=B 李四说王五说谎，因此,0=C 由于王五说张三和李四都说谎，而由0=C 可知1,1==B A 或,0,11,0====B A B A 或只要这三种情况，中有一种成立，都可说明王五说的是假的，因为在这三种情况中至少有一人说的是真话，由这三种情况可以挑选出0,1,0===C B A 符合要求，结论：张三、王五说谎，李四说真话．[点拨] 解决这类复合命题的真值推理应用问题，一般使用分类讨论方法来处理，即以某命题真与假为分类标准，进行分类讨论，进而研究其他命题的真值，解答这类问题易错地方是忽视其中某种情况．这类问题往往涉及_较多的命题，因此直接分析有时较为复杂，利用真值表有时可简化分析过程，如本例解答的思维过程列表如下：母题迁移 7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”；乙说：“甲未获奖，丙也未获奖”；丙说：“我获奖了”；丁说：“是乙获奖”， 四位歌手的话中有两句是对的，则获奖的歌手是谁？优化分层测训学业水平测试1．命题“2011≥2010”使用逻辑联结词的情况是( ）．A ．使用了逻辑联结词“或” B.使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“非”D ．以上都不对2．下列命题中是真命题的为( )．2332.<<且A 1325.<<或B e C ≥π. 321.=/+D3．已知命题p:2是偶数，命题q:2是3的约数，则下列命题为真命题的是( )． q p A ∧⋅ q p B ∨⋅ p C ⌝. )()(q p D --⋅∧4．判断下列命题的形式（从””和“”“p q p q p ⌝∧∨中选填一种）． (1)π不是整数：:86)2(≤(3)2是偶数且2是素数：5．已知命题,0:R p ∈则p ⌝是6．指出下列 命题各是由哪些命题和逻辑联结词构成的．(1)李强是篮球运动员且是跳高运动员；(2)△ABC 是等腰三角形或△ABC 是直角三角形；⋅22)3(不是分数． 高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ).A.、简单命题 B ．“p 或g”形式的复合命题C ．“p 且g”形式的复合命题D ．“非P”形式的命题2．如果命题“q p ∨”与命题“p ⌝”都是真命题，那么( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定为真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．命题),,(0:22R b a b a p ∈<+命题),,(0:22R b a b a q ∈≥+下列结论正确的是( )．”∨“q p A .为真 ”∧“q p B .为真 ”“p C ⌝.为假 ”“q D ⌝为真 4．已知全集,,,U B U A R U ⊆⊆=如果命题,:B A a p ∈则命题“非p”是( )．A ．非A a p ∉:B ．非BC a p U ∈: C ．非B A a p ∉:D ．非)()(:B C A a p U U ￠∈5．命题p ：若,,R b a ∈则1||||>+b a 是1||>+b a 的充分而不必要条件，命题q ：函数|2|1--=x y的定义域是,∞-（),,3[]1+∞-则( )． A ．“p 或q”为假 B ．“p 且q”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真6．（2010年海南、宁夏高考题）已知命题:1p 函数x x y --=22在R 上为增函数，:2p 函数x x y -+=22 在R 上为减函数，则在命题213212211)(,:,:p p q p p q p p q ∨∧∨⌝和∧14:p q )(2p ⌝中，真命题是( )．31,q q A ⋅ 32,q q B ⋅ 41,q q C ⋅ 42,q q D ⋅7．(2008年广东高考题)已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )．q p A ∨).(⌝ q p B ∧⋅ )().(q p C ⌝⌝∧ )().(q p D ⌝⌝∨8．（2011年北京高考题）若P 是真命题，q 是假命题，则( )．q p A ∧⋅是真命题 q p B ∨⋅是假命题p C ⌝是真命题 q D ⌝.是真命题二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．答案须填在题中横线上）9．若命题p ：不等式0>+b ax 的解集为}|{a b x x ->命题q ：关于x 的不等式0))((<--b x a x 的解集为},|{b x a x <<则p q p q p ⌝,,∧∨形式的复合命题中的真命题是10.已知命题,:,2|:|2Z x q x x p ∈≤-如果””与““p q p ⌝∧同时为假命题，则x 的取值范围为11.设有两个命题：p:关于x 的不等式0422>++ax x 对一切∈x R 恒成立，q ：函数x a y )25(--=在R 上是减函数，若“p 且q”为真命题，则实数a 的取值范围是三、解答题（本大题共4小题，12，13，14题每小题11分，15题12分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．分别写出由下列各组命题构成的p q p q p ⌝、∧、∨形式的复合命题：2:)1(p 是无理数，;12:大于q;0:,:)2(N q Z N p ∈⊆.41:,41:)3(22-<+->+x x q x x p13.分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、-p 形式的复合命题的真假：;23:,522:)1(>=+q p(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数；张喜林制 11}.0{:},0{:)3(=∅≠⊂∅q p14．命题p:l 是集合}|{2a x x <中的元素；q:2是集合}|{2a x x <中的元素，则a 为何值时，“p 或q”为真?a 为何值时，“p 且g”为真？15.已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的正实数根，命题q ：方程01)2(442=+++x m x 无实数根．若“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围．。
13简单的逻辑联结词教案
1.3简单的逻辑联结词1.3.1且 1.3.2或(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）掌握逻辑联结词“或、且”的含义（２）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题（３）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(二)教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．（三）教学过程学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入将会如果不学习一定的逻辑知识，所学的数学比初中更强调逻辑性．高中以后，在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
学案5：§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断：p∧q中p、q有一假为，p∨q有一真为，p与非p必定是．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“_____________________”．2．存在量词与特称命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“”．三、含有一个量词的命题的否定跟踪训练1．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题2．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，x0＋1x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0 3．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉Q C．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q4．命题p：有的三角形是等边三角形．命题¬p：__________________.5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．规律总结1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．考点1：含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入例1已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④由题悟法1．“p∧q”“p∨q”“¬p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“¬p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)¬p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．以题试法1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p 或q”是假命题．其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]考点2：全称命题与特称命题的真假判断典题导入例2 下列命题中的假命题是( )A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0C ．∀x ∈R,3x ≠0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 由题悟法1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．以题试法2．下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0＝35B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0>1C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x考点3：全称命题与特称命题的否定典题导入例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被2整除的整数都是奇数 B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C ．存在一个能被2整除的整数是奇数 D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数一题多变若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．由题悟法1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．3．要判断“¬p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与¬p的真假相反．4．常见词语的否定形式有：以题试法3．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则¬p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0参考答案知识梳理一、简单的逻辑联结词1．p∧q p且q2．p∨q p或q3．¬p4．假真一真一假二、全称量词与存在量词1．(1)所有的任意一个∀(2)全称量词(3)∀x∈M，p(x) 对任意x属于M，有p(x)成立2．(1)存在一个至少有一个∃(2)存在量词(3)∃x0∈M，P(x0) 存在M中的元素x0，使p(x0)成立三、跟踪训练1．D2．C3．D【解析】其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.4．所有的三角形都不是等边三角形5．[－22，2 2 ]【解析】∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤2 2.考点1：含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入例1 D【解析】命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．以题试法1．(1)A (2)C【解析】(1)选A “非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题⇒p 与q 均为 真命题．(2)选C “p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题．p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.p ∧q 为真，则e≤a ≤4.考点2：全称命题与特称命题的真假判断典题导入 例2 B【解析】对于A ，a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)＋b －(an ＋b )＝a 常数．A 正确；对于B ，∀x ∈(－∞，0)，2x >3x ，B 不正确；对于C ，易知3x ≠0，因此C 正确；对于D ，注意到lg 1＝0，因此D 正确．以题试法 2．C【解析】 由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确． 考点3：全称命题与特称命题的否定典题导入 例3 D【解析】命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.一题多变所有能被2整除的整数都不是奇数 以题试法 3．C【解析】命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f ( x 1))(x 2－x 1)<0”．。
《1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》 学案
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习重点 学习难点 全称命题、特称命题的否定及判断 全称命题、特称命题的否定及判断
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学习过程 一、复习预习 1、四种命题的相互关系 2、充分条件与必要条件及其判断方法
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7．已知命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：∃x0∈R，x2 0＋2ax0＋2－a＝0，若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．
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课程小结
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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 2. 知 识 点 3. 4. 5. 学习目标 逻辑联结词“且”“或”“非”的含义 含有逻辑联结词的命题真假的判断 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题 含有一个量词的命题的否定 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
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【答案】
选D
【解析】对于 A，当 α＝β＝0 时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项 A 是真命题；对于 B，注意到 lg2x＋lg x＋1 1 3 3 ＝lg x＋22＋4≥4>0，因此选项 B 是真命题；对于 C，在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B(其中 R π 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项 C 是真命题；对于 D，注意到当 φ＝ 时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项 2 D 是假命题．
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【答案】C 【解析】∵函数 y＝cx 在 R 上单调递减，∴0<c<1. 即 p：0<c<1，∵c>0 且 c≠1，∴非 p：c>1. 1 1 1 又∵f(x)＝x2－2cx＋1 在2，＋∞上为增函数，∴c≤2.即 q：0<c≤2， ∵c>0 且 c≠1， 1 ∴非 q：c>2且 c≠1. 又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， ∴p 真 q 假或 p 假 q 真．
1.3简单的逻辑联结词
p qp q高二数学选修1-1 2-1 1.3《简单的逻辑联结词》学案一、学习任务：1. 通过数学实例，了解“且”，“或”，“非”逻辑联结词的含义； 2、能正确地利用“且”，“或”，“非”表述相关的数学内容；3. 掌握q p ∧，q p ∨，p ⌝的真假性的判断,关键在于p 与q 的真假的判断. 二、探究新知：（一）合作探究（阅读教材P 14～P 16，完成下列问题）探究任务一：“且”的意义问题1：观察下列各组命题，每组中命题③是由命题①和②怎样构成的？这种新命题记作“ ”，读作“ ”(1) ①p :12能被3整除； (2) ①p :等腰三角形两腰相等； ;②q :12能被4整除； ②q :等腰三角形三条中线相等； ③12能被3整除且能被4整除。
③等腰三角形两边相等且三条中线相等. 问题2：(1)如图所示的串联电路，小灯在什么条件下亮？（2）上述问题中，若开关p 、q 的闭合与断开分别对应命题p 、q 的真与假，整个电路的接通与断开分别对应命题q p ∧的真与假，你能归纳出 q p ∧的真假与p 、q 的真假的关系吗？归纳：阅读例1、例2，试一试：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断他们的真假：（1）p :6是奇数q :6是素数（2）p ：12是48的约数，q ：12是32的约数；（3）p ：矩形的对角线互相平分，q ：矩形的对角线相等；（4）p ：梯形有两组对边平行，q ：梯形有两组对边相等.探究任务二：“或“的意义问题1：观察下列各组命题，每组中命题③是由命题①和②怎样构成的？这种新命题记作“ ”，读作“ ”（1） ①p :27是7的倍数; （2）①p :等腰梯形对角线垂直； ②q :27是9的倍数; ②q :等腰梯形对角线平分；③27是7的倍数或是9的倍数. ③等腰梯形对角线垂直或平分. 问题2:（1）如图所示的并联电路，小灯在什么条件下亮？（2）上述问题中，若开关p 、q 的闭合与断开分别对应命题p 、q 的真与假，整个电路的接通与断开分别对应命题q p ∨的真与假，你能归纳出 q p ∨的真假与p 、q 的真假的关系吗？ 归纳：阅读例3，试一试：将下列命题用“或”联结成新命题，并判断他们的真假：（1）p ：47是7的倍数，q ：49是7的倍数；（2）p ：等腰梯形的对角线互相平分，q ：等腰梯形的对角线互相垂直.探究任务三：“非”的意义问题1：观察下列两个命题，命题①和②有什么关系？这种新命题记作“ ”，读作“ ” ①p :35能被5整除; ②q :35不能被5整除;思考：判断上述两个命题的真假，你能归纳出p ⌝的真假与p 的真假的关系吗？______________________________________________________________________________________ 阅读例4，试一试：写出下列命题的否定，然后判断他们的真假：（1）p ：2+2=5；（2）p ：3是方程092=-x 的根；（3）p ：1)1(2-=-完成课本P 18习题A 组1、2、3 B 组 （三）巩固训练1.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“q p ∨” 、 “q p ∧” “p ⌝”中假命题是 ， 真命题是 .2.命题：（1）1-是偶数或奇数；（2）2属于集合Q ，也属于集合R:（3）三角形两边的和大于或等于第三边；（4）有两个角为045的三角形是等腰直角三角形;其中是真命题有_________________3. 设p ,q 是两个命题，若q p ∧为假，则 （ ）A.p 、 q 均为假命题B.p 、 q 均为真命题C.p 、 q 至少有一个为真命题D.p 、 q 至多有一个为真命题 4.如果命题“q p ∨”为真命题，则 ( )A.p 、 q 均为假命题B.p 、 q 均为真命题C.p 、 q 至少有一个为真命题D.p 、 q 至多有一个为真命题 (四)拓展延伸1.思考:如果p ∧q 为真命题,那么p ∨q 一定是真命题吗?反之,如果p ∨q 为真命题,那么p ∧q 一定是真命题吗?2.设p ：关于x 的不等式1>xa 的解集是0}x |{x <，q ：函数)lg(2a x ax y +-=的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧pqpq。
学案6：1.3 简单的逻辑联结词
1.3 简单的逻辑联结词导学目标：1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．课前准备区——回扣教材夯实基础【自主梳理】1．逻辑联结词命题中的叫做逻辑联结词．“p且q”记作，“p或q”记作，“非p”记作.2．命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做，可用符号简记为，它的否定(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做，可用符号简记为，它的否定【自我检测】1．命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是()A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1>0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<02．若命题p：x∈A∩B，则﹁p是()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B3．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真4．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 5．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4课堂活动区——突破考点 研析热点探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1】 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“﹁p ”形式的复合命题，并判断真假． (1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧﹁q ”是假命题；③命题“﹁p ∨q ”是真命题；④命题“﹁p ∨﹁q ”是假命题，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④探究点二 全(特)称命题及真假判断 【例2】 判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.变式迁移2 下列四个命题中，其中为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0 B ．∀x ∈N ，x 2≥1 C ．∃x ∈Z ，使x 5<1 D ．∃x ∈Q ，x 2＝3探究点三 全称命题与特称命题的否定【例3】 写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.变式迁移3 命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0 B ．存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R,2x ≤0 D ．对任意的x ∈R,2x >0转化与化归思想的应用【例】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．课堂小结1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．3．全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个特称命题“∃x∈M，﹁p(x)”，特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，﹁p(x)”．答 案自主梳理1.或，且，非 p ∧q p ∨q ﹁p 3.全称量词与存在量词(1)全称量词 “∀” 全称命题 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x ∈M ，﹁p (x ) (2)存在量词 “∃” 特称命题 ∃x ∈M ，p (x ) ∀x ∈M ，﹁p (x )自我检测 1. 【答案】 C【解析】 因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题．对x 2－2x ＋1<0的否定为x 2－2x ＋1≥0，故选C. 2. 【答案】 B【解析】 ∵“x ∈A ∩B ”⇔“x ∈A 且x ∈B ”， ∴﹁p ：x ∉A 或x ∉B . 3.【答案】 B【解析】 ∵“p ∨q ”的否定是真命题， ∴“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都假． 4.【答案】 B【解析】 对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0. 5. 【答案】 D【解析】 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，p 2正确．当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，p 4正确．课堂活动区——突破考点 研析热点例1【答案】解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． ﹁p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． ﹁p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题． p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．﹁p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．变式迁移1 【答案】D【解析】命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧﹁q ”是假命题； ③命题“﹁p ∨q ”是真命题；④命题“﹁p ∨﹁q ”是假命题．例2【答案】解 (1)真命题， 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．变式迁移2【答案】 C【解析】 由于∀x ∈R 都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3<0”为假命题； 由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 2≥1”为假命题； 由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1，所以命题“∃x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”为假命题．例3【答案】解 (1)﹁p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以﹁p 假．(2)﹁q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)﹁r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．(4)﹁s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.变式迁移3【答案】D【解析】本题考查全称命题与特称命题的否定．原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“≤”的否定是“>”，所以其否定为“对任意的x ∈R,2x >0”．转化与化归思想的应用例【答案】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．[3分]若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，[10分]综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [12分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求﹁p成立的条件，然后取补集．【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q就是方程x2＋2ax＋2－a ＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x0使方程成立．。
高中数学常用逻辑用语简单的逻辑联结词且and或or非not学案
1.3 简单的逻辑联结词1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3 非(not)学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p 且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)[自主预习·探新知]1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题：用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p1．思考辨析(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( )(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( )(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]3．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则( )【导学号：97792023】A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D.][合作探究·攻重难](1)方程x2－3＝0没有有理根；(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.【导学号：97792024】[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.的已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋x 最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)．则其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[思路探究] 判断p，q的真假→判断p，q的真假→判断所给命题的真假[解析]由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋4x<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(q)，(p)∨(q)是真命题，故选C.[答案] C”还是“2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③q为真命题，则p∧(q)为真命题，④p为假命题，则(p)∨q为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假.【导学号：97792025】①p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；②p：2是奇数，q：2是合数；③p：4≥4，q：23不是偶数；④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．[解] ①∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是真命题． ②∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题，p 是真命题． ③∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题，p 是假命题． ④∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是假命题.1．设集合A 是p 为真命题时参数的取值范围，则p 为假命题时，参数的取值范围是什么？提示：p 为假命题时，参数的取值范围是∁R A .2．设集合M 、N 分别是p ，q 分别为真命题时参数的取值范围，则p ∨q 与p ∧q 分别为真命题时参数的取值范围分别是什么？提示：当p ∨q 为真命题时，参数的取值范围是A ∪B . 当p ∧q 为真命题时，参数的取值范围是A ∩B .已知p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．[思路探究][解] 当x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－m <0，解之得m >2，当4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根为真时，16(m －2)2－16<0，解之得1<m <3. 因为p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p 与q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≥3或m ≤1，所以m ≥3.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，所以1<m ≤2.所以m 的取值范围为1<m ≤2或m ≥3.求出根据命题根据1．若命题“p∧q”为假，且p为假，则( )A．p∨q为假B．q假C．q真D．p假B[由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.]2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4D[对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A ∩B 是A 的子集，也是A ∪B 的子集．故④是真命题，故选D.]3．已知命题：p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧qD [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x>0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、p 为假命题，q 为真命题，p ∧q 、p ∧q 为假命题，p ∧q 为真命题，故选D.]4．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97792026】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12 [p 为真时，2a －1<0，即a <12，q 为真时，－a2≤1，即a ≥－2，则p ∧q 为真时，－2≤a <12.]5．分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”形式的命题的真假：(1)p ：点P (1,1)在直线2x ＋y －1＝0上，q ：直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝4的圆心； (2)p ：4∈{2,3,4}，q ：不等式x 2－x －2＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}； (3)p ：若a ＞b ，则2a＞2b，q ：若a ＞b ，则a 3＞b 3. [解] (1)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p 为真命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p 为假命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，p 为假命题．。
学案4：1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词一、课前准备： 【知识回顾】 1. 命题的概念：（1）可以 叫命题.判断为真的语句叫 ，判断为假的语句叫 . （2）设“若p 则q ”为原命题，则逆命题为 ，否命题为 ，逆否命题为 .（3）四种命题之间关系：注：如果两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的 . 2. 充分条件和必要条件：（1）若,q p ⇒且p q ⇒，那么称p 是q 的 条件.（2）若,q p ⇒且q /⇒p ，那么称p 是q 的 条件.（3）若p /⇒q ，且p q ⇒，那么称p 是q 的 条件. （4）若p /⇒q ，且q /⇒p ，那么称p 是q 的 条件.3. 简单逻辑联结词:（1） ， ， 称为逻辑联结词. （2）复合命题真值表pqq p ∨q p ∧p ⌝真 真 真 假 假 真 假假4.全称量词和存在量词（1）“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词称为 ，含有这种量词的命题称为 ，符号表示为 ，其否定表示为 . （2）“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词称为 ，含有这种量词的命题称为 ，符号表示为 ，其否定表示为 . 【自我检测】1．下列语句是命题的是 ．① a x +；②{0}∈N ；③元素与集合；④真子集． 2．若0<x ，则02>x 的否命题是 ． 3．“1>x ”是“x x >2”的 条件．4．设b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的 条件． 5．“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ． 6．“N x ∈∃，x x ≤2”的否定是 ． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）若命题“014,2>++∈∀cx x R x ”是真命题，求c 的取值范围__ _． （2）函数b ax x f +=)(，[]1,0∈x ，则“02>+b a ”是“0)(>x f 恒成立”的___ ___条件． （3）“0<a ”是“方程0122=++x ax 至少有一个负根”的___ _ _______条件 （4）“至少有一个点在函数x y =的图像上”的否定是 ．【例2】把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）已知d c b a ,,,是实数，若d c b a ==,则d b c a +=+.【例3】指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在ABC ∆中，B A p ∠=∠:，B A q sin sin :=；（2）对于实数,,y x 2:,8:≠≠+x q y x p 或6≠y ；（3）非空集合B A ,中，B x q B A x p ∈⋃∈:,:；（4）已知R y x ∈,，0)2)(1(:,0)2()1(:22=--=-+-y x q y x p【例4】分别指出由下列命题构成的 “q p ∨”、“q p ∧”、“p ⌝”形式命题的真假.（1）p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；（2）p ：菱形的对角线相等，q ：菱形的对角线互相垂直；（3）p :方程012=-+x x 的两实根符号相同,q :方程012=-+x x 的两实根绝对值相等；（4）p :π是有理数,q : π是无理数.【例5】已知两个命题01:)(,cos sin :)(2>++>+mx x x s m x x x r ，如果对)(,x r R x ∈∀与)(x s 有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围.三.课后作业1.下列命题：①45>或54>；②39≥；③命题“若b a >,则c b c a +>+”的否命题； ④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 .2.设n m ,是整数，则“n m ,均为偶数”是“m +n 是偶数”的 条件.3.若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ,则p ⌝是q ⌝的 条件.4．在ABC ∆中，“A 2sin =23”是“A = 30°”的 条件． 5．已知命题p :,1sin ,R ≤∈∀x x 则p ⌝为 ．答案1.② 2．若,0≥x 则02≤x 3．充分不必要条件4．既不充分也不必要5．01,2≤++∈∃x x R x 6．N x ∈∀， x x >2 【例1】（1）⎪⎭⎫⎝⎛-21,21（2）必要不充分（3）充分不必要（4）所有点都不在函数x y =的图像上 【例2】【解析】 （1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形 否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（2）原命题即是“已知a ,b ,c ,d 是实数，若a =b ,c =d ，则a +c =b +d ”.逆命题：已知a ,b ,c ,d 是实数，若a +c =b +d ，则a 与b ，c 与d 都相等. 否命题：已知a ,b ,c ,d 是实数，若a 与b ,c 与d 不都相等，则a +c ≠b +d . 逆否命题：已知a ,b ,c ,d 是实数，若a +c ≠b +d ,则a 与b ,c 与d 不都相等.【例3】【解析】（1）p 是q 的充要条件.(2) p 是q 的充分不必要条件. (3) p 是q 的必要不充分条件.(4) p 是q 的充分不必要条件.【例4】【解析】（1）∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题，⌝p 是假命题.(2) ∵∵p 是假命题,q 是真命题,∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，⌝p 是真命题. (3)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题，⌝p 是真命题. （4）∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真假命题，p ∧q 是假命题，⌝p 是真命题. 【例5】【解析】 ∵sinx +cosx =2sin （x +4π）≥-2，∴当r (x )是真命题时，m <-2又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2+mx +1>0恒成立，有Δ=m 2-4<0,∴-2<m <2. ∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <-2，同时m ≤-2或m ≥2,即m ≤-2;当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥-2且-2<m <2,即-2≤m <2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤-2或-2≤m <2. 三、课后作业1. 12.充分不必要3.充分不必要 4．必要不充分 5．,1sin ,R >∈∃x x。
简单的逻辑联结词学案
1.3简单逻辑联结词
“且、或、非”
（学案）
学习目标
1.掌握逻辑联结词“或、且、非”的含义 2.正确应用逻辑联结词“或、且、非”解 决问题 3.掌握真值表并会应用真值表解决问题
问题导学
1.命题“p∧q”与命题“p∨q”即命题“p且q”与 命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两 个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？ （1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。 （2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。 2.你能确定命题“p∧q”、命题“p∨q”与命题 “￢p”的真假吗？命题“p∧q”，命题“p∨q” 与命题“￢p”的真假和命题p，q的真假之间有 什么联系？ 3.若非p为假，则p一定为真？
5 “至多三个”的否定为 （ A．至少有三个 B.至少有四个 C．有三个 D.有四个
）
6. 已知命题p:x 2 5 x 6 0 ,命题 q:0 x 4 。若p是真命题，q为假命题，求实数x 的取值范 围
7.已知命题p：x 2 x 6, 命题q : x Z , 且“p q "与q
学法指导
认真看课本14-17页“且、或、非”。思 考命题p∧q，p∨q，￢p的真假性并注意 非p命题的改写。（“非”命题对常见的 几个正面词语的否定）
课堂训练
1.已知命ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp: 2 ,3都是自然数；q： 是无理数， 写出命题“p∧q”、“p∨q”、“ ￢p”并判断其 真假。 2.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了 两次，设命题p是“第一次射击击中飞机”，命 题q是“第二次射击击中飞机”，试用p,q以及联 结词 “且 ”、“或”、“非”表示下列命题： 命题m:两次都击中飞机 （ ） 命题n:两次都没击中飞机 （ ） 命题k:至少有一次击中飞机 （ ）
2021届高考数学一轮必备 1.3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》考情分析学案(1)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的明白得，表达简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.注意事项1.逻辑联结词与集合的关系。
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词组成的命题问题2．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．3．复合命题的否定(1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．典型例题题型一含有逻辑联结词命题真假的判定【例1】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，那么在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析可判定p1为真，p2为假；那么q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案C【变式1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出以下结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的选项是( )．A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③解析 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确．答案 C题型二 全称命题与特称命题【例2】►写出以下命题的否定，并判定其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．【变式2】 写出以下命题的否定，并判定真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根；(2)q ：有些合数是偶数；(3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题．(2)¬q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．题型三 依照命题的真假，求参数的取值范围【例3】已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．假设“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．解 由p 得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2. 由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，那么1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3； ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2. ∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.【变式3】 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．假设p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1.不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≥4，得a ≥4. ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1. 故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．难点冲破【例1】(2021辽宁模拟)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，假设“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． [解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴¬p：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12. ∵c ＞0且c ≠1，∴¬q：c ＞12且c ≠1.(6分) 又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ c ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.(12分)【例2】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1. ∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，现在m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，现在－1≤m ＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．巩固提高1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，那么( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案C2．假设p是真命题，q是假命题，那么( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析此题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的明白得运用能力．只有¬q是真命题．答案D3．命题p：假设a，b∈R，那么|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而没必要要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的概念域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)那么( )．A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真答案D4．设p、q是两个命题，那么复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案C5．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3。
高二数学2-1 1.3 简单的逻辑联结词 学案
1.3简单的逻辑联结词（学案)教学目标：1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或"、“且”、“非”的含义;2．能正确地利用“或”、“且”、“非"表述相关的数学内容；3．知道命题的否定与否命题的区别．教学重点及难点：1．掌握真值表的方法；2．理解逻辑联结词的含义．教学过程:一、复习回顾问题：判断下面的语句是否正确．⑴125>;⑵3是12的约数；⑶3是12的约数吗?⑷0.4是整数；⑸5x>．二、讲授新课例1:判断下面的语句是否为命题？若是命题，指出它的真假．⑴请全体同学起立!⑵20+>；x x⑶对于任意的实数a，都有210a+>；⑷x a=-；⑸91是素数；⑹中国是世界上人口最多的国家;⑺这道数学题目有趣吗?⑻若||||-=-;-=-，则x y a bx y a b⑼任何无限小数都是无理数．我们再来看几个复杂的命题：⑴10可以被2或5整除；⑵菱形的对角线互相垂直且平分；⑶0。
5非整数．这里的“或”、“且”、“非"称为逻辑联结词．我们常用小写拉丁字母p，q,r，…表示命题，上面命题⑴⑵⑶的构成形式分别是:非p也叫做命题p的否定．非p记作,“⌝”读作“非”(或“并非”），表示“否定"．思考：下列三个命题间有什么关系？⑴12能被3整除;⑵12能被4整除;⑶12能被3整除且能被4整除．一般地,用逻辑联结词“且"把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且q”．规定:当p、q都是真命题时，p q∧是真命题；当p、q 两个命题中有一个是假命题时,p q∧是假命题．例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它的真假:⑴p：平行四边形的对角线互相平分；q：平行四边形的对角线相等．⑵p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分．例2:用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：⑴1既是奇数，又是素数;⑵2和3都是素数．例3：分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．⑴24既是8的倍数，又是6的倍数;⑵李强是篮球运动员或跳水运动员；⑶平行线不相交．思考:下列三个命题间有什么关系？⑴27是7的倍数;⑵27是9的倍数；⑶27是7的倍数或是9的倍数．一般地，用逻辑联结词“或"把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题,记作：,读作:p或q．规定:当p、q两个命题中有一个是真命题时,p q∨是真命题；当p、q都是假命题时,p q∨是假命题例1：判断下列命题的真假:⑴22≤；⑵集合A是A B的子集或是A B的子集；⑶周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．思考：如果p q∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗?反之，如果p q∨为真命题，那么p q∧一定是真命题吗？思考：下列命题间有什么关系？⑴35能被5整除；⑵35不能被5整除．一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作: ，读作“非p”或“p的否定"．若p是真命题，则p⌝必是假命题;若p是假命题，则p⌝必是真命题．“非”命题最常见的几个正面词语的否定：例1：写出下列命题的否定,并判断它们的真假：⑴p：sin=是周期函数；[y x⑵p：32<；⑶p：空集是集合A的子集；⑷p：π是无理数；⑸p：等腰三角形的两个底角相等;⑹p：等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合．练习：1．判断下列命题的真假:⑴12是48且是36的约数；⑵矩形的对角线互相垂直且平分．2．判断下列命题的真假：⑴47是7的倍数或49是7的倍数;⑵等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直．3．写出下列命题的否定，然后判断它们的真假：⑴225+=;⑵3是方程290x-=的根;=-．1。
学案5：1.3 简单的逻辑联结词
1.3简单的逻辑联结词教学过程一、问题情境考察下列命题:(1) 6是2的倍数或6是3的倍数;(2) 6是2的倍数且6是3的倍数;(3) √2不是有理数.二、数学建构问题1这些命题的构成各有什么特点?命题(1)是用“或”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;命题(2)是用“且”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;命题(3)是对命题”进行否定而成的新命题,在逻辑上常用“非”来表示.概念逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.不含逻辑联结词,是简单命题;由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题.我们常用小写拉丁字母p,q,r,…表示命题.命题(1)的构成形式为“p或q”;命题(2)的构成形式为“p且q”;命题(3)的构成形式为“非p”.1.将逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“交”“并”“补”比较记忆.构成形式符号表示读法对应集合p或q p∨q“∨”读作“析取”,表示“或者”并集p且q p∧q“∧”读作“合取”,表示“且”交集非p p “ ”读作“非”或“并非”,表示“否定”补集2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解(1)对“或”的理解:逻辑联结词的“或”与一般连词之间是有区别的.例如:在“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中,“或”是一般连词;而“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”中,“或”是逻辑联结词,是两者至少选一个的意思,这与并集中的“或”有相同之处,A∪B={x|x∈A或x∈B}.(2)对“且”的理解:“且”的含义可以联想到交集的概念,A∩B={x|x∈A且x∈B},A∩B中的“且”是指“x∈A”“x∈B”两个条件都要满足的意思.(3)对“非”的理解:非的含义是否定,非p也称为命题p的否定.由“非”可以联想到补集的概念,∁A={x∈U且x∉A}.U3.“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中,p,q都是命题.而“若p则q”中的p,q可以是命题,也可以是其他的语句.4.思考:命题的否定与否命题是一回事吗?不一样.“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定,而“命题的否定”只是否定命题的结论.注:在考虑命题“非p”时,往往需要对一些词语进行否定,常见的一些词语的否定词如下表所示.原词语是都是完全负数所有的否定词语不是不都是不完全非负数至少一个不原词语任意的任意两个所有的能至多n个否定词语某个某两个某些不能至少n+1个原词语等于(=)大于(>)小于(<)至少一个至多一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)一个也没有至少两个问题2判断含有逻辑联结词的命题的真假,观察并寻找规律.基本规律:“或”“且”“非”构成命题的真假判断方法(复合命题真假判断表).①“非p”形式的复合命题的真假可以用下表表示:P非p真假假真②“p且q”形式的复合命题的真假可以用下表表示:p q p且q真真真真假假假真假假假假③“p或q”形式的复合命题的真假可以用下表表示:p q p或q真真真真假真假真真假假假判断一个复合命题的真假,一般有三个步骤:①确定复合命题的构成形式及其中简单命题的内容;②判断各简单命题的真假;③利用上面真值表判断复合命题的真假.三、数学运用【例1】分别指出下列命题的形式:(1) 8≥7;(2) 2是偶数且2是质数;(3) π不是整数.【例2】分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题.(1)p:π是无理数,q:e不是无理数;(2)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【例3】判断下列命题的真假:(1)4≥3; (2)4≥4; (3)4≥5.【例4】已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求出满足要求的m的取值范围.变式将条件:如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,改为“p且q”为真命题,其他条件不变,求出满足要求的m的取值范围.四、课堂练习1.命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中的元素”是的形式,命题“非空集合A∪B中的元素是A中的元素或是B中的元素”是的形式.2.已知p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分,写出下列复合命题:(1)p或q;(2)p且q;(3)非p.3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么下列说法中正确的有.①命题p不一定是假命题;②命题p一定是假命题;③命题q不一定是真命题;④命题p与命题q都是真命题.4.由命题p“0∈⌀”与q“0∈N”构成的“p且q”形式的命题是命题;由命题p“5是15的约数”与q“1是方程x2-x-2=0的根”构成的“p或q”形式的命题是命题.五、课堂小结1.知道简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能知道一个复合命题中逻辑联结词的使用情况.2.会利用“或”“且”“非”表述相关的数学内容.3.会判断“或”“且”“非”构成命题的真假.4.利用命题的真假求参数的取值范围.参考答案【例1】【答案】解 (1) 这个命题是“p 或q ”的形式,其中,p :8>7,q :8=7. (2) 这个命题是“p 且q ”的形式,其中,p :2是偶数,q :2是质数. (3) 这个命题是“非p ”的形式,其中,p :π是整数.【例2】【答案】 解 (1)“p 或q ”:π是无理数或e 不是无理数; “p 且q ”:π是无理数且e 不是无理数; “非p ”:π不是无理数.(2)“p 或q ”:方程x 2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x 2+2x+1=0两根的绝对值相等; “p 且q ”:方程x 2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x 2+2x+1=0两根的绝对值相等; “非p ”:方程x 2+2x+1=0没有两个相等的实数根.(3)“p 或q ”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“p 且q ”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“非p ”: 三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.【例3】【答案】解 (1) “4≥3”的含义是“4>3或4=3”,其中“4>3”是真命题,所以“4≥3”是真命题. (2)“4≥4”的含义是“4>4或4=4”,其中“4=4”是真命题,所以“4≥4”是真命题.(3)“4≥5”的含义是“4>5或4=5”,其中“4>5”与“4=5”都是假命题,所以“4≥5”是假命题. 【例4】【答案】解 若方程x 2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,则21240=m x x m ⎧∆-⎨+=-<⎩解得2m >若方程4x 2+4(m -2)x+1=0无实数根, 则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m+3)<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为“p或q”为真命题,所以p,q至少有一个为真.又因为“p且q”为假命题,所以p,q至少有一个为假,因此这两个命题应是一真一假.当p真q假时213mm m>⎧⎨≤≥⎩或解得3m≥，当p假q真时213 mm≤⎧⎨<<⎩，解得1<m≤2.综上,m≥3或1<m≤2.变式【答案】解由题意知p,q都为真,得2<m<3.课堂练习1.【答案】p且q; p或q2.【答案】解(1)菱形的对角线互相垂直或平分;(2)菱形的对角线互相垂直且平分;(3)菱形的对角线不垂直.3.【答案】②4. 【答案】假；真。
学案10：§1.3 简单的逻辑联结词
§1.3简单的逻辑联结词学习目标1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)基础·初探教材整理1“且”“或”“非”的含义1.用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“”.3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“ ”或“”.预习自测1.命题：“菱形的对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”2.若p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0，则p∨q：________.(用文字语言表述)教材整理2含有逻辑联结词的命题的真假判断阅读教材P14第7,8段，P15最后两行，P17第3,4段，完成下列问题.预习自测1.已知命题p：5≤5，q：5＞6，则下列说法正确的是()A.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为真B.p∧q为假，p∨q为假，﹁p为假C.p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假D.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为假2.若命题p：常数列是等差数列，则﹁p：________.合作探究类型1 含逻辑联结词的命题的构成形式例1(1)用适当的逻辑联结词填空(填“且”“或”“非”)：①若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；②若ab＝0，则a＝0________b＝0；③平行四边形的一组对边平行________相等.(2)将下列命题写成“p∧q”“p∨q”和“﹁p”的形式：①p：6是自然数，q：6是偶数；②p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}；③p：甲是运动员，q：甲是教练员.名师指导1.判断一个命题的构成形式时，不能仅从命题的字面上找逻辑联结词，而应当从命题的结构特征进行分析判断.2.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤3.常见词语的否定形式：跟踪训练1.(1)判断下列命题的形式(从“p∨q”“p∧q”和“﹁p”中选填一种)：①π不是整数：________；②6≤8：________；③2是偶数且2是素数：________.(2)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题：①p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；②p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.类型2 含有逻辑联结词的命题真假的判断例2指出下列命题的真假：(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”.名师指导判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断.跟踪训练2.分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题，并判断其真假.(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1>0恒成立.探究共研型探究点由含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围探究对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？例3已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“﹁q”同时为真命题，求实数a的取值范围.名师指导应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤1.分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.2.由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假.3.由p，q的真假转化为相应的集合的运算.4.求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.跟踪训练3.已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.课堂检测1.已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是()A.p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假B.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真C.p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假D.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假2.已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.﹁p∧﹁qC.﹁p∧qD.p∧﹁q3.命题“若x＞0，则x2＞0”的否定是________.4.命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴；q：2π是y＝|sin x|的最小正周期.下列命题：①p∨q；②p∧q；③﹁p；④﹁q.其中真命题的序号是________.5.判断下列命题的真假：(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解.参考答案基础·初探教材整理1“且”“或”“非”的含义1. p∧q p且q2.p∨q p或q3.﹁p 非p p的否定预习自测1.【答案】B【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分.∴使用逻辑联结词“且”.2.【答案】正数或负数的平方大于0预习自测1.【答案】C【解析】易知p为真命题，q为假命题，由真值表可得：p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假.2.【答案】常数列不是等差数列【解析】只否定命题的结论：常数列不是等差数列.合作探究类型1 含逻辑联结词的命题的构成形式例1(1) 【答案】①且②或③且【解析】①若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，故填且.②若ab＝0，则a＝0或b＝0，故填或.③平行四边形的一组对边平行且相等，故填且.(2)解：①p∧q：6是自然数且6是偶数.p∨q：6是自然数或6是偶数.﹁p：6不是自然数.②p∧q：∅⊆{0}且∅＝{0}.p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}.﹁p：∅⃘{0}.③p∧q：甲是运动员且甲是教练员.p∨q：甲是运动员或甲是教练员.﹁p：甲不是运动员.跟踪训练1. (1)【答案】①﹁p②p∨q③p∧q(2)解：①“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“﹁p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.②“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“﹁p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.类型2 含有逻辑联结词的命题真假的判断例2解：(1)此命题是“﹁p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解.∵x＝－2是该不等式的一个解，∴命题p为真命题，即﹁p为假命题，故原命题为假命题.(2)此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数.∵命题p为假命题，命题q为真命题，∴“p∨q”为真命题，故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式，其中p：2∈Q，q：2∈R.∵命题p为假命题，命题q为真命题.∴命题“p∧q”为假命题，故原命题为假命题.跟踪训练2.解：(1)p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题.p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题.﹁p：等腰梯形的对角线不相等，假命题.(2)p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1>0恒成立，假命题.p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1>0恒成立，真命题.﹁p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题.探究共研型探究点由含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围探究【提示】已知命题p∧q、p∨q、﹁p的真假，可以通过真值表判断命题p、q的真假，然后将命题间的关系转化为集合间的关系，利用解不等式求参数的范围，要注意分各种情况进行讨论.例3解：命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，由于⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]. 跟踪训练3.解：由 2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2， ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2， ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 课堂检测 1.【答案】 D【解析】 p 为真，q 为假，故选D. 2.【答案】 D【解析】因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.3.【答案】若x＞0，则x2≤04.【答案】①④【解析】∵π是y＝|sin x|的最小正周期，∴q为假.又∵p为真，∴p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假，﹁q为真.5.解：(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题.。
简单的逻辑联结词导学案
1.3简单的逻辑联结词（一）教学目标：1．了解简单的逻辑联结词“或”，“且”的含义；2．能正确地利用“或”、“且”表述相关数学内容；3、能由p ，q 的真假准确判断ｐ∨ｑ，ｐ∧ｑ的真假。
4、让学生体会运用或，且表述数学内容的准确性和简洁性。
实例引入：（1）图一：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”才会开启，相应的电路叫做“串联电路”；（2）图二：洗衣机在甩干时，“到达预订时间”或“机盖被打开”就会停机。
相应的电路叫做“并联电路”一、自主学习：问题1、阅读教材14---16并考察下列命题后填空：（1）27是7的倍数； （2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数且是9的倍数； （4）27是7的倍数或是9的倍数。
命题（3）是由命题（1）（2）___________________________得到的新命题；命题（4）是由命题（1）（2）___________________________得到的新命题这里的“_______”、“________”都是逻辑联结词，命题（1）记为p,命题（2）记为q ，上面的命题（3）（4）的构成形式分别记作 ； .读作 ；问题2、在上面的实例中，洗衣机在甩干时，机盖打开是否会停机？电子保险门在钥匙插入后是否能开启？由此探究ｐ∨ｑ，ｐ∧ｑ与p 、q 之间的真假关系，并填下表（填真、假）：（图一） （图二）问题3、判断命题（3）（4）的真假，并说明理由。
问题4：如果ｐ∧ｑ为真命题，那么ｐ∨ｑ一定是真命题吗？反之，如果ｐ∨ｑ为真命题，那么ｐ∧ｑ一定是真命题吗？二、合作学习：1、 分别写出由下列命题构成的“ｐ∨ｑ”“ｐ∧ｑ”的形式，并判断真假。
（1）p : 2+2=5 q : 3>2；(2) p :菱形的对角线互相垂直; q :菱形的对角线互相平分；（3）p :5是15的约数，q : 5是8的约数；（4）p :方程0122=++x x 有两个相等的实数根，q :方程0122=++x x 两根的绝对值相等。
高中数学《简单的逻辑联结词》导学案》
第一章 常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词一、学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.会判断由“且”“或”“非”构成的含有逻辑联结词的命题的真假.【重点、难点】1.逻辑联结词“且”“或”“非”的含义及符号表示2.判断由“且”“或”“非”构成的含有逻辑联结词的命题的真假.二、学习过程1.“且”“或”“非”的含义(1)且：一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作_____，读作“p___q ”.(2)或：一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作_____，读作“p___q ”.(3)非：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作____，读作“____”或“p 的_____”.2.含有联结词“且”“或”“非”的命题真假判断(1)当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是_______；当p ，q 两个命题中_______命题是假命题时，p ∧q 是___命题.(2)当p ，q 两个命题中_______命题是真命题时，p ∨q 是___命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是_______.(3)若p 是真命题，则﹁p 必是_______；若p 是_______，则﹁p 必是_______.【典例分析】例1.下列命题：①末位不是0的数不能被5整除；②指数函数是单调函数；③每一个向量都既有大小，又有方向；④正方形是菱形或是矩形.其中含有逻辑联结词的命题有( )A.①③④B.③④C.③D.①③例2.分别指出下列含有逻辑联结词的命题的形式及构成的简单命题.(1)小李是老师，小赵也是老师.(2)1是合数或质数.(3)方程2x+1=0无实根.(4)2≥1.例3.分别指出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的含有逻辑联结词的命题的真假：(1)p ：2+2=5；q ：3>2.(2)p ：9是质数；q ：8是12的约数.(3)p ：函数y=cosx 是周期函数；q ：函数y=cosx 是偶函数.(4)p ：∅⊆{0}；q ：∅={0}.【变式拓展】：1.若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∨qC.﹁pD.以上都不对2.设命题p ：函数y=sin2x 的最小正周期为2π；命题q ：函数y=cosx 的图象关于直线2π=x 对称.则下列判断正确的是( )A.p 为真B.﹁q 为假C.p ∧q 为假D.p ∨q 为真3.已知命题p ：2x +2ax+1>0恒成立，命题q ：a ∈Z ，若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的值可能是( )A.-1B.1C.±1D.04.命题“非空集合A ∩B 中的元素既是A 中的元素也是B 中的元素”是__________形式.(填“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”中的一种)5.“m ≥3”是__________形式.(填“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”中的一种)6.命题“矩形的对角线不相等”是__________形式.(填“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”中的一种)三、总结反思：1.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤第一步:确定两个简单命题p,q;第二步:分别用逻辑联结词“且”“或”将p 和q 联结起来,就得到一个新命题“p ∧q ”“p ∨q ”,用“非”将命题p 全盘否定,得到命题“﹁p ”2.判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构,即命题是“p ∧q ”“p ∨q ”,还是“﹁p ”.(2)对命题p 和q 的真假作出判断.(3)由“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”的真假判断方法给出结论.3.命题“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”的真假应用的规律(1)由命题“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”的真假推出p 和q 真假，其结论如下：①若“p ∧q ”为真，则p 和q 均为真；若“p ∧q ”为假，则p 和q 至少有一个为假；②若“p ∨q ”为真，则p 和q 至少有一个为真；若“p ∨q ”为假，则p 和q 都为假；③命题p 和命题﹁p 真假相反.四、随堂检测1.命题“矩形的对角线相等且互相平分”是 ( )A.“p ∧q ”形式的命题B.“p ∨q ”形式的命题C.“﹁p ”形式的命题D.以上说法都不对2.设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p:若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0;命题q:若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是 ( )A.p ∨qB.p ∧qC.(﹁p)∧(﹁q)D.p ∨(﹁q)3.已知p:x 2-2x-3≥0,q:x ∈Z,若p ∧q,q 同时为假命题,则满足条件的x 的集合为 ( )A.{x|x ≤-1或x ≥3,x ∉Z}B.{x|-1≤x ≤3,x ∉Z}C.{x|x<-1或x ∈Z}D.{x|-1<x<3,x ∈Z}4.“p ∨q ”为真是“p ∧q ”为真的__________条件.(填“充分”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)5.若命题p:矩形的四个角都是直角,则﹁p 为:__________.6.命题“2015≥2014”使用的逻辑联结词是__________.7.分别写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”的形式.(1)p:函数y=23x 是偶函数,q:函数y=23x 是增函数.(2)p:3是无理数,q:3是实数.(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.8.判断下列命题的真假:(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.(2)7≥7.(3)集合A 不是A ∪B 的子集.9.已知a>0，设命题p ：函数y=x a 在R 上单调递增；命题q ：不等式012>+-ax ax 对x ∈R 恒成立.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.10.已知命题p:不等式x 2+kx+1≥0对于一切x ∈R 恒成立,命题q:已知方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个大于1的实数根,若p 且q 为假,p 或q 为真.求实数k 的取值范围.。
1.3简单的逻辑联结词 学案
简单的逻辑联结词教学目标1．了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；3．知道命题的否定与否命题的区别．重点理解逻辑联结词的含义．难点如何表述新命题p q∧,p q∨,p⌝.预习新知★ 1.一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作读作（一假必假）★ 2.一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作读作（一真必真）★3.一般地，对一个命题全盘否定，就得到一个新命题，记作读作（真假相反）预习自测1.将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它的真假：⑴p：平行四边形的对角线互相平分；q：平行四边形的对角线相等．⑵p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分．2. 判断下列命题的真假：(1)集合A是A BI的子集或是A BU的子集；(2)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．3.写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：空集是集合A的子集；（3）p：等腰三角形的两个底角相等；合作探究展示点评探究一：命题真假的判断例1：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：（1）p：2+2=5；q：3>2（2）p：9是质数；q：8是12的约数；（3）p：1∈{1，2}；q：{1}⊂{1，2}探究二：应用★例2已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。
p q p且q真真真假假真假假p q P或q真真真假假真假假p 非p真假正面=>是都是至多有一个至少有一个任意的所有的否定≠≤不是不都是至少有两个一个也没有某个某些选修1-1 课内探究学案当堂检测1．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题 C ．“非p ”是真命题 D ．“非q ”是真命题 2.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）A ．简单命题B ．非p 形式的命题C ．p 或q 形式的命题D ．p 且q 的命题 3.用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0.4.设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________.5.命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________．拓展提升1．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是( ) A ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真 B ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真 C ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假 D ．p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真★2．.p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知x ∈R ，设p ：x <－1，q ：x 2－x －2>0，则下列命题为真的是 ( )A ．若q 则非pB ．若非q 则pC ．若p 则qD ．若非p 则q★★4. 已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若非q 且p 为真，则x 的取值范围是______________5、写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的新命题，并判断其真假． (1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．6．已知命题p ：任意x ∈R ，有ax 2＋2x ＋3≥0，如果命题非p 是真命题，求实数a 的取值范围．课后作业1．如果命题“p 或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ） A 命题p 一定是假命题 B 命题q 一定是假命题C 命题q 一定是真命题D 命题q 是真命题或者是假命题 2．在下列结论中，正确的结论为（ ）①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件 ②“p 且q”为假是“p 或q”为真的充分不必要条件 ③“p 或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件 ④“ p”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件 A ①② B ①③ C ②④ D ③④3．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q”的否定是真命题，则必有（ ） A. p 真，q 真 B. p 假，q 假 C. p 真，q 假 D. p 假，q 真4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ， 否命题是__________________________。
学案6：1.3 简单的逻辑联结词
1.3 简单的逻辑联结词基础知识∙自主学习知识梳理1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假关系表【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)2n>1 000，则綈p：∃n∈N, 02n≤1 000.(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,0(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．(×)(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√)2x≤0”是假命题．(√)(6)命题“∃x0∈R,0考点自测1．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是() A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈q2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q4．若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断例1 (1)命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q答案 (1)B (2)B解析 (1)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后， 所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， ∴命题p 是假命题．又y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π， ∴命题q 真．由此，可判断命题“p ∨q ”真，“p ∧q ”假，“綈p ”为真．所以真命题的个数是2.(2)当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件．答案 (1)C (2)必要不充分解析 (1)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题．当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．故选C.(2)若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题．若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定例2 (1)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，ln x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝π2C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,3x >0(2)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉BB ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词，并对结论进行否定．答案 (1)C (2)D解析 (1)当x ＝1时，ln x ＝0，所以排除A ；因为y ＝tan x ∈R ，所以命题“∃x ∈R ，tan x ＝π2”为真命题，所以排除B ；命题“∀x ∈R,3x >0”为真命题，所以排除D.应选C. (2)命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)下列命题中的真命题是( )A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x(2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1答案 (1)B (2)C解析 (1)因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；因为x ∈(0，π4)时有sin x <cos x ，故D 错误．所以选B. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 (1)设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是________________．(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞) (2)[e,4] 解析 (1)根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}． 由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}． 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)． (2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x , 得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}(2)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1)A (2)[－22，22]解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤2 2.答案考点自测1.【答案】B【解析】∵p是假命题，q是真命题，∴綈p∧q是真命题．2. 【答案】D【解析】因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．3. 【答案】D【解析】因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故选D.4. 【答案】[－4,0]【解析】“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.。
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1.3简单逻辑联结词
学习目标
1.正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义和表示；
2.会判断用“且”“或”“非”联结成新命题的真假；
学习重点
了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，并能正确的表示相关教学内容
学习难点
理解用逻辑连接词“且”“或”“非”联结的新命题的真假性自主学习
一、探求新知
1.“且”
（1）一般地，用连接词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作___________读作”_______”
（2）规定：
________________________________________________
________________________________________________
____________________
2.“或”
（1）一般地，用连接词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作___________读作”_____________”
（2）规定：
______________________________________________________ ______________________________________________________
3.“非”
（1）一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_______读作”_______________”或“___________”
（2）规定：
______________________________________________________ ________________________________________________
小结：完成下列真值表
二、例题与练习
例1 将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p∧q”与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1） p:平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；
（2） p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3） p：35是15的倍数，q：35是7的倍数。
例2 选择合适的逻辑连接词改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1即是奇数，又是素数；
（2）2和3都是素数；
（3）2≤2.
例3 判断下列命题的真假：
（1）6是自然数且是偶数；
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等。
例4 写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1） p：是周期函数；
（2） p：33；
（3） p：空集是集合A的子集；
练习
1.指出下列命题中的“p∧q”、“p∨q”的真假：
（1） P：3是13的约数，q：3是方程x2-4x+3=0的解；
（2） P：x R,则x2+1≥1，q：34；
（3） P：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；（4） P：1，q：
2.p：大于900的角叫做钝角，q：三角形三边的垂直平分线相交
于一点，则命题组成的新命题的真假是（）
A“p或q”假 B“p且q”真
C“非p”真 D“p或q”真
3.下列命题中是“p或q”形式的是（）
A 正数或负数的倒数是正数
B 方程x2+1=0
C 当a=0且b=0时，a2+b2=0
D 小王在足球队中既是队员又是教练
4.“xy≠0”是指（）
A x≠0且y≠0
B x≠0或y≠0
C x，y至少有一个不为0
D 不都是0
4.若命题p：x A，命题x B，使用集合表示命题“p或q”
和“p且q”；
课堂小结
课堂检测
1、判断下列命题的真假
（1）12是48且是36的约数
（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直
2、写出下列命题的否定，然后判断它们的真假
（1）3是方程x2-9=0的根；
（2）=-1.
3、如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则（）
A 命题 p和命题q都是假命题 B命题 p和命题q都是真命题C命题 p和命题非p真假相同 D命题 p和命题非q真假不相同。