高等数学第四节 向量及其加减法 数与向量乘积 向量的坐标表示式
向量的数量积坐标运算原理
向量的数量积坐标运算原理向量的数量积（也称为点积或内积）是向量运算中的一种重要运算，它用于计算两个向量之间的相似性和夹角。
在三维空间中，向量的数量积可以通过以下公式来表示：A ·B = A * B * cos(θ)其中，A和B是两个向量，A 和B 分别表示它们的模（长度），θ表示A和B 之间的夹角。
向量的数量积可以使用坐标运算来计算。
假设A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)是两个三维向量，则它们的数量积通过以下公式计算：A ·B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3在计算数量积时，我们将每个向量的对应坐标相乘，然后将乘积相加，从而得到数量积的结果。
这个过程可以类比于在笛卡尔坐标系中通过向量的投影计算出向量的模和夹角。
为了更好地理解坐标运算原理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有两个向量A = (2, 3)和B = (4, 5)，我们可以使用坐标运算来计算它们的数量积。
首先，将向量A和B的对应坐标相乘：A ·B = (2 * 4) + (3 * 5) = 8 + 15 = 23这样，我们得到了向量A和B的数量积为23。
通过计算可以得到，向量A和B 之间的夹角θ约为57.02。
在实际应用中，向量的数量积具有很多重要的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：1. 平行性：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。
因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否平行。
2. 夹角：通过数量积的公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。
夹角的范围是0到180之间。
3. 正交性：如果两个向量的数量积为0，则它们是正交或垂直的。
因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否正交。
4. 投影：向量的数量积还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。
具体而言，如果我们有一个向量A和一个单位向量u，那么向量A在u上的投影可以通过执行数量积A ·u来计算。
向量坐标数量积公式
向量坐标数量积公式向量坐标数量积是向量运算中的一种重要运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角以及向量的投影等。
在本文中，我们将详细介绍向量坐标数量积的概念、计算方法以及应用。
一、概念向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
向量的坐标数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间按照一定规则进行的乘法运算。
其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
二、计算方法设有两个向量A和B，其坐标分别为(A₁, A₂, A₃)和(B₁, B₂, B₃)。
则向量A和向量B的坐标数量积计算公式如下：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃三、性质向量坐标数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(A+B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)，其中k为常数4. 长度平方：A·A = |A|²，其中|A|表示向量A的模四、应用向量坐标数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 计算夹角：通过向量坐标数量积的公式，可以计算两个向量之间的夹角。
具体计算方法为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中θ表示向量A和向量B之间的夹角。
2. 计算投影：向量坐标数量积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。
具体计算方法为：projB(A) = ((A·B) / (|B|²)) * B其中projB(A)表示向量A在向量B上的投影。
3. 判断垂直与平行：如果两个向量的坐标数量积为0，则它们垂直；如果两个向量的坐标数量积不为0且模相等，则它们平行。
4. 计算功和能量：在物理学中，向量坐标数量积可以用来计算功和能量。
功的计算公式为：W = F·s其中F表示力，s表示力的位移。
向量的坐标运算法则
向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。
在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。
本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。
1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。
公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。
2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。
公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。
3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。
公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。
4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。
公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。
例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。
内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。
5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。
公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。
向量数量积坐标运算
向量数量积表示两个向量在几何空间中的投影面积之和，即它们在x轴和y轴上的投影面积的乘积之和。
当两个向量垂直时，它们的数量积为0；当两个向量平行或同向时，它们的数量积等于它们模长的乘积。
计算能量
在保守力场中，势能等于位置矢量与力的向量数量积，可以用来计算势能和做功。
在物理中的应用
判断向量共线
两个向量共线当且仅当它们的数量积为零，可以利用这个性质来判断向量的共线性。
计算向量的模
向量的模等于其自身与单位向量的数量积的平方根，可以用于计算向量的长度或大小。
求解线性方程组
向量数量积可以用于求解线性方程组，通过构造向量和矩阵，利用向量数量积的性质进行求解。
向量点积与向量加法的结合律
对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$。
向量点积与向量减法的结合律
对于任意向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$vec{a} - vec{b} = (vec{a} + (-vec{b}))$，且$(vec{a} - vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{c}$。
使用计算器或软件进行验证
计算错误
注意单位换算
如果需要将不同单位的向量进行数量积运算，需要进行适当的单位换算，以确保结果的准确性。
向量的坐标表示与平面向量的运算
向量的坐标表示与平面向量的运算向量是数学中一种常用的概念，它能够用于描述空间中的方向和大小。
在研究向量时，我们经常使用坐标表示和进行运算。
本文将探讨向量的坐标表示以及平面向量的运算。
一、向量的坐标表示向量的坐标表示是将向量的起点放在原点(0,0)处，终点放在坐标轴上的一点(x,y)，然后以起点与终点之间的线段作为向量的表示。
记作向量AB，表示为AB = (x,y)。
二、向量的加法运算对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的加法运算可以表示为：A + B = (x1 + x2, y1 + y2)。
即将两个向量的横坐标分别相加，纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
三、向量的减法运算向量的减法运算与加法运算相似，可以表示为：A - B = (x1 - x2, y1 - y2)。
即将被减向量的横坐标减去减去向量的横坐标，纵坐标减去减去向量的纵坐标，得到一个新的向量。
四、向量的数乘运算向量的数乘运算即将一个向量乘以一个实数。
对于向量A = (x, y)和实数k，数乘运算可以表示为：kA = (kx, ky)。
即将向量的横坐标和纵坐标分别乘以实数k，得到一个新的向量。
五、向量的数量积向量的数量积是向量间的一种运算，结果是一个实数。
对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的数量积可以表示为：A·B = x1x2 + y1y2。
即将两个向量的横坐标分别相乘，纵坐标分别相乘，然后相加，得到一个实数。
六、向量的向量积向量的向量积是向量间的一种运算，结果是一个新的向量。
对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的向量积可以表示为：A×B = (0, 0, x1y2 - x2y1)。
即将两个向量的横坐标和纵坐标进行交叉相乘，再在结果中添加一个垂直于平面的纵坐标，得到一个新的向量。
总结：向量的坐标表示和运算对于研究空间中的方向和大小有着重要的意义。
向量数量积的坐标表示
05
向量数量积的扩展
向量点乘的坐标表示
总结词
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。
详细描述
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$，向量$mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
在工程中的应用
机械系统分析
向量数量积可以用于分析机械系 统的运动状态，例如分析机器人 的关节运动、车辆的行驶轨迹等。
控制系统分析
向量数量积可以用于控制系统的 分析和设计，例如分析系统的稳 定性、设计控制算法等。
信号处理
在信号处理中，向量数量积可以 用于分析信号的频率和相位，例 如进行频谱分析和滤波器设计等。
$mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (a_1(b_2c_3 - b_3c_2), a_2(b_3c_1 - b_1c_3), a_3(b_1c_2 - b_2c_1))$。
感谢观看
mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A}
+
mathbf{பைடு நூலகம்}) cdot mathbf{C} = mathbf{A}
cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot
mathbf{C}$。
数量积为0当且仅当两个向量垂直，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$当且仅当 $mathbf{A} perp mathbf{B}$。
向量的坐标表示及其运算1
a (x1, y1),b (x2, y2)
a b (x1, y1) (x2, y2) x1 x2, y1 y2
观察. 如图，写出向量 a,b 的坐标.
4，平面内任意两点 如图，设A(x1, y1) 、 B(x2, y2)是平 间的向量的坐标： 面直角坐标系内的任意两点，如何
QP =(2,-1)-(3,2)=(-1,-3)
课堂练习：教材P34第3题
(1) A(5,3), B(3,-1) (2) A(1,2), B(2,1) (3) A(4,0), B(0,-3)
例2：已知平行四边形ABCD三个顶点A, B,C的坐标
分别为(2，1),(3, 2),(1，3)，①求 AC, BC的坐标；
思考:与一个位置向量相等的向量有 _无___数__ 个。
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i 2 j
-2
-3
y
3，那么对于任一向量， 能否用单位向量来表 示呢？
j
Oi
A (x, y) a
x
在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯 一一个与它相等的位置向量.
向量的坐标表示
千职高：达代方
温习：平面向量的线性运算
1、向量加法：首尾相接，首指向尾 2、向量减法：起点相同，后指向前 3、数乘向量：相似于实数运算 方法：三角形法则及平行四边形法则
引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
向量坐标运算
向量坐标运算向量是带有方向和大小的物理量，通常用箭头表示，箭头方向表示向量方向，箭头长度表示向量大小。
向量坐标运算是指对向量进行加、减、数乘等运算，并以坐标的形式表示出来。
本文将从向量加法、向量减法、数量积、向量积四个方面来详细介绍向量坐标运算。
一、向量加法向量加法是指把两个向量的各个对应分量相加得到一个新的向量。
用公式表示为A＋B＝C，在二维空间中，向量A（a1，a2）和向量B（b1，b2）的向量加法如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2)在三维空间中，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的向量加法如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)向量加法的本质是平移或者说移位。
根据平行四边形法则，向量加法可以表示两个向量合力后的结果。
因为向量有方向，所以向量加法不满足交换律，即A + B ≠ B + A。
但是，满足结合律，即 A + (B + C) = (A + B) + C。
二、向量减法向量减法是指把两个向量的各个对应分量相减得到一个新的向量，用公式表示为A－B＝C。
在二维空间中，向量A（a1，a2）和向量B（b1，b2）的向量减法如下：A -B = (a1 - b1, a2 - b2)在三维空间中，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的向量减法如下：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)同样，向量减法的本质也是平移或者移位。
运用这个方法，可以很方便地解决几何问题。
三、数量积数量积是指两个向量按一定规律相乘得到一个标量的运算。
用公式表示为A·B＝|A||B|Cosθ，在二维坐标系中，向量A（a1，a2）和向量B（b1，b2）的数量积如下：∣A∣×∣B∣×Cosθ=a1b1＋a2b2在三维坐标系中，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的数量积如下：∣A∣×∣B∣× Cosθ=a1b1＋a2b2＋a3b3其中，|A|、|B|分别为向量A、B的大小，θ为A、B之间的夹角。
高B数学必修四课件向量数量积的坐标运算与量公式
02
坐标运算的基本原理与方法
坐标系的选择与建立
直角坐标系
在平面上选择两个互相垂直的数轴， 分别作为x轴和y轴，建立直角坐标系 。
极坐标系
在平面上选择一个点作为极点，以极 点为起点引出一条射线作为极轴，通 过极角和极径确定点的位置，建立极 坐标系。
向量的坐标表示法
向量的坐标
在直角坐标系中，一个向量可以用其终点坐标减去起点坐标得到，即向量 a=(x2-x1, y2-y1)。
夹角余弦值
数量积$vec{a} cdot vec{b}$除以两向量模的乘积等于两向量夹角的余弦值，即$cos theta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$。当$theta = 90^circ$时，两向量垂直；当$theta = 0^circ$时，两向量同向；当$theta = 180^circ$时，两向量反向。
量公式在解决实际问题中的应用
01
02
03
物理中的应用
在物理中，向量数量积的 坐标运算公式可以用来计 算力、速度等物理量的合 成和分解。
工程中的应用
在工程中，向量数量积的 坐标运算公式可以用来计 算机器人的路径规划、物 体的碰撞检测等问题。
数学中的应用
在数学中，向量数量积的 坐标运算公式可以用来解 决解析几何、线性代数等 领域的问题。
计算向量的夹角
通过向量数量积可以计算两个非零向量之间的夹角，即 $cos theta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|}$。
向量在轴上的投影
向量在某一坐标轴上的投影长度可以通过向量与该坐标轴单位向量的 数量积得到。
向量的几何表示及加减和数乘运算
已知P是△ABC内一点, 满足 PA +PB+PC =0. 若实数λ满足: AB + AC =λ AP ,则λ值为( 3 A.2 B. C.3 D.6 2 已知O是△ABC内一点,
)C
满足 OA+2 OB +3OC=0,
求△ABC与△AOC的面积之比.
由 OA+2 OB+3 OC=0, OA + OC =-2( OB + OC ) 如图D,E为AC,BC的中点 则 OD =-2 OE A D B O E B到AC的距离= E到AC的距离的2倍 = C 而E到AC的距离 3 O到AC的距离
B
A
E
B'
已知O,A,M,B为平面上四点, 若OM=λOA +(1–λ) OB ,λ(1,2),则( )C A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O,A,M,B四点共线
A、B、C是不在同一直线上的三点, 1 若OP= OA +λ( AB + BC ) (λ[0,+∞)),则动点P的 2 轨迹一定过△ABC的( ) C (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
A
C
B
O 若 AC 2 AB 则 AC
CB .
△ABC中的中线问题 在△ABC中,已知 AB =a, AC =b. 1 (1)若D为BC 的中点,则 AD= (a+b) ; 2 反之如何?
在△ABC中, D为BC 的中点,已知 AD =a, 则3 AB+2 BC + CA = 2a .
1 (a+b) (2)若G是△ABC的重心,则 GB+GC = 3 ; GA+GB+GC = 0 .
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
在进行向量运算时，我们经常需要进行向量的坐标运算。
向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算。
在本文中，我们将详细介绍向量的坐标运算公式及其应用。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标分别为(A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>)和(B<sub>1</sub>,B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)，则它们的加法结果为：A +B = (A<sub>1</sub> + B<sub>1</sub>,A<sub>2</sub> + B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> +B<sub>3</sub>)向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A 和 A + (B + C) = (A + B) + C。
向量的加法在几何上表示两个向量的相对位移，例如在物理学中，可以用来计算物体在不同力的作用下的位移。
2. 向量的减法向量的减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标分别为(A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>)和(B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)，则它们的减法结果为：A -B = (A<sub>1</sub> - B<sub>1</sub>, A<sub>2</sub> - B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> - B<sub>3</sub>)向量的减法也满足交换律和结合律，即A - B ≠ B - A 和 A - (B - C) ≠ (A - B) - C。
向量数量积的坐标表示公式
向量数量积的坐标表示公式Vector dot product, also known as the scalar product, is a mathematical operation that takes two vectors and returns a scalar. The formula for the dot product in terms of the coordinates of the vectors is simply the sum of the products of the corresponding components of the vectors. This operation is used in various fields such as physics, engineering, and computer science to calculate angles, work, and projections.向量数量积，也称为标量积，是一种数学运算，它接受两个向量并返回一个标量。
向量数量积的坐标表示公式简单的是向量对应分量的乘积之和。
这种运算在物理学、工程学和计算机科学等领域中被使用，用于计算角度、功和投影。
One way to understand the dot product is to see it as a measure of how much two vectors align with each other. When the dot product of two vectors is positive, it means they are pointing in the same general direction. If the dot product is negative, the vectors are pointing in opposite directions. And when the dot product is zero,the vectors are orthogonal, meaning they are perpendicular to each other.理解数量积的一种方式是将其视为两个向量对齐程度的度量。
两个向量坐标相乘公式
两个向量坐标相乘公式向量的乘法是一种运算法则，它可以用来求解向量之间的相互关系和性质。
在向量计算中，有两种主要的向量乘法运算，分别是点积和叉积。
本文将详细介绍这两种向量乘法运算的公式和性质。
1.点积（内积）：点积又称为内积、数量积或标量积，它是两个向量之间的一种运算法则。
点积可以表示为两个向量的模的乘积与它们之间的夹角的余弦值的乘积。
假设有两个向量A和B，它们的坐标表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，则它们的点积表示为A·B。
点积的公式为：A·B=a1*b1+a2*b2+a3*b3点积的性质：1)交换律：A·B=B·A2)分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3)结合律：(kA)·B=k(A·B)=A·(kB)，其中k是一个标量点积的应用：点积可以用来计算两个向量之间的夹角、向量的投影、判断向量的正交性等。
例如，两个向量的点积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积，即A·B = ，A，B，cosθ，可以通过点积来判断两个向量的夹角的大小和正交性。
2.叉积（向量积）：叉积又称为向量积、叉乘或矢量积，它也是两个向量之间的一种运算法则。
叉积是一个向量，它的模等于乘积向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积，并且它的方向垂直于乘积向量所在平面，并满足右手法则。
假设有两个向量A和B，它们的坐标表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，则它们的叉积表示为AxB。
叉积的公式为：AxB=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)叉积的性质：1)反交换律：AxB=-(BxA)2)分配律：Ax(B+C)=AxB+AxC3)结合律：(kA)xB=k(AxB)叉积的应用：叉积常用于计算平面或空间中的面积、判断向量的共面性、计算力矩等。
向量的数量积坐标表示公式
向量的数量积坐标表示公式
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，其结果为一个标量。
向量的数量积可以通过向量的坐标来进行计算，具体的坐标表示公式如下：
设向量A的坐标为(A1，A2，A3)，向量B的坐标为(B1，B2，B3)，则向量A与向量B的数量积为：
A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3
其中，“·”表示向量的数量积运算。
这个公式可以用于计算任意两个向量的数量积，只需要将向量的坐标带入公式中即可。
需要注意的是，在进行向量的数量积运算时，向量的顺序会影响最终的结果，因此需要按照约定好的顺序进行计算。
- 1 -。
高等数学向量及其加减法向量与数的乘法.ppt
λ2
向量的单位化：
a
）
设a 0，则向量| a | 是与 a 同方向的单位向量，记为a（表示
非零向量a同向的单位向量， ︱ a0︱=1 ）．
于是a | a | a．
例 1 在平行四边形 ABCD 中，设 AB a，AD b．试用
a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 、MD ，其中 M 是平行四边
、| a
|、|
M1M
|．
2
单位向量：
模等于1的向量叫做单位向量．
零向量： 模等于0的向量叫做零向量，记作0． 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．
向量的平行： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量
平行．向量a与b平行，记作a // b． 零向量认为是与任何向量都平行．
向量与数的乘积符合下列运算规律： (1)结合律( a )( a )( )a； (2)分配律()aa a； ( a b )a b．
向量平行的充分必要条件： 定理1 设向量 a 0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条
件是：存在唯一的实数，使 b a．（ 向量 b 平行于 a 的充分
a =0 +b 必要条件是：存在不全为零的实数λ1 、 λ2 ，使 λ1
例如，b，i，j，k，F，n
，i
，
j
，
k
．
以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向量，记作．
M1M 2 ．
z
M2
M1
O
y
x
向径：
以原点O为起点，向一个点M引向量， 这个向量叫做点M 对 于点O的向径，常用r或 r 表示．
z
M r
O
y
x
向量的坐标表示和坐标运算
uur uur 这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
一个平面向量用一组基底e1,e2表示成ａ= λ1e1 + λ2e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1,e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
教学目标
1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的 正交分解.
2.会对平面向量进行坐标运算；会求两个向量的 和与差，会对向量与数量的积进行坐标运算.
平面向量基本定理：
uur uur 如果e1、e2是同一平面内的两个ur不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
a b, a b, a 的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
rr
a r
b r
(
x1
x2
,
y1
y2
)
a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量
相应坐标的和（差）
r
a (x1, y1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
来向量的坐标
探索2：如图，已知
A(
(3, 1)
而OuuDur
uuur OB
uuur BD
(1,3) (3, 1)
(2, 2)
y B
A O
C D
x
所以顶点D的坐标为（2，2）
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标
分别是 ( x1, y1 ), ( x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 求点P的坐标。
向量坐标的加减知识点总结
向量坐标的加减知识点总结一、向量的表示在数学中，向量通常用有序数对或矩阵的形式来表示。
一个二维向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
一个三维向量可以表示为(a, b, c)，其中a、b和c分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
一般地，一个n维向量可以表示为(a1, a2, ..., an)，其中a1, a2, ..., an分别代表向量在n个方向上的分量。
除了用有序数对或矩阵来表示向量外，我们还可以用向量的模和方向角来表示向量。
向量的模表示向量的长度，通常用符号||v||表示。
而向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角，通常用α、β、γ等希腊字母来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们分别表示为(a1, a2)和(b1, b2)，则它们的加法规则如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2)即将A和B的对应分量相加，得到一个新的向量。
这个规则同样适用于更高维的向量。
另外，我们还可以用向量的几何方法来进行向量的加法运算。
假设有两个向量A和B，它们的起点都位于原点O，通过将B的起点移动到A的终点，然后连接A的起点O和B的终点P，得到一个新的向量C。
向量C的起点为O，终点为P，即C = A + B。
这个方法被称为平行四边形法则。
三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们分别表示为(a1, a2)和(b1, b2)，则它们的减法规则如下：A -B = (a1 - b1, a2 - b2)即将A的对应分量减去B的对应分量，得到一个新的向量。
同样，我们也可以用向量的几何方法来进行向量的减法运算。
假设有两个向量A和B，它们的起点都位于原点O，通过将B的方向取反移动到A的终点，然后连接A的起点O和B的终点P，得到一个新的向量C。
向量C的起点为O，终点为P，即C = A - B。
向量的坐标运算课件
分配律：外积满足分配律，即对于任意常数$k$，有$(koverset{longrightarrow}{A}) times overset{longrightarrow}{B} = k(overset{longrightarrow}{A} times overset{longrightarrow}{B})$。
总结词
在二维平面中，任意一个向量都可以用有序实数对$(x, y)$表示，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的投影。类似地，在三维空间中，向量可以用有序实数对$(x, y, z)$表示。
详细描述
02
CHAPTER
向量的加法与数乘运算
坐标表示
若向量$overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(x_1, y_1)$，向量$overset{longrightarrow}{BC}$的坐标为$(x_2, y_2)$，则$overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC}$的坐标为$(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
详细描述
向量的模表示向量的长度或大小，记作$|overrightarrow{a}|$。
向量的模是通过勾股定理计算得出的，即$|overrightarrow{a}| = sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$是向量的坐标分量。
详细描述
总结词
向量的坐标表示是将向量与直角坐标系中的点对应起来，表示为$(x, y)$。
结合律：外积满足结合律，即$(overset{longrightarrow}{A} + overset{longrightarrow}{B}) times overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} times overset{longrightarrow}{C} + overset{longrightarrow}{B} times overset{longrightarrow}{C}$。
向量加法的坐标运算
① 三角形法则
:“首尾相接，连首尾”
;
② 平行四边形法则 :“起点相同，连对角”
.
向量加法的坐标运算：对应坐标相加
。
2.向量减法的作图法则：
三角形法则 ： 共起点，连终点，减数指向被减数 。
向量减法的坐标运算： 对应坐标相减
。
3.向量的数乘运算： 沿着a的方向或反方向伸长或缩短 ，
5 4 cos120 5 4 ( 1) 10
2
| a | 4,| b | 4, a b 8 2, 求a与b的角
解：cos
ab | a || b |
82 44
2 2
4
(1)交换律 a b b a
(2)数乘结合律 (a) b (a b ) a (b ) R
(3)分配律 (a b ) c a c b c
(a b) c a (b c )
a b 的结果是实数 (a b ) c c 与c 共线的向量 b c 的结果是实数 a (b c ) a 与a 共线的向量
例
一种新的运算
“ · ”不能省略，也不能写成“×”
a
b表
示
数
量
而
不
表
示
向，量与
实
数a
b
不同，a b,a b , a 都是向量；
0a 0
注意公式变形，知三求一.
cos a b
ab
(1) a b a b 0
(2)当 a与b 同向时，a b | a || b |; 当 a与b 反向时，a b | a || b |;
向量坐标的乘积和数量积
向量坐标的乘积和数量积标题：向量坐标的乘积和数量积正文：向量是数学中的重要概念，在物理学、几何学和工程学等领域都有广泛的应用。
在向量运算中，向量的乘积和数量积是两个重要的概念。
首先，我们来看向量的乘积。
向量的乘积有两种形式，即数量积和向量积。
数量积，也称为点积或内积，是两个向量的各个对应分量相乘后再相加的结果。
对于两个n维向量A和B，数量积可以表示为：A·B=A1B1+A2B2+…+AnBn。
数量积的结果是一个标量，它表示了两个向量的相似程度。
接着，我们来讨论数量积的性质和应用。
数量积具有交换律、分配律和结合律等性质。
它可以用于计算向量的模长、夹角、投影等。
例如，根据数量积的定义，我们可以得出两个向量的夹角公式：cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中θ为向量A和B的夹角，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。
另外一个重要的概念是向量积，也称为叉积或外积。
向量积是两个向量的叉乘，在三维空间中表示为向量，其方向垂直于原来两个向量所在的平面。
向量积的计算需要使用右手法则，并且结果的模长表示了两个向量所在平面的面积。
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同时，为了避免版权侵权争议，文章中的内容应基于公开的数学知识，并注明引用来源。
文章也应避免使用包含敏感词或不良信息的语句，以确保读者的良好阅读体验。
总结起来，向量的乘积和数量积是数学中重要的概念。
数量积是两个向量的各个对应分量相乘后再相加的结果，可以用于计算向量的模长、夹角等。
向量积是两个向量的叉乘，表示了两个向量所在平面的面积。
通过理解和应用这些概念，我们可以更好地理解和运用向量的性质和运算。
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aba （ 1 ） b. 由定义可得，与非零
b
ab
a
向量a同向的单位向量是 b
a (b)
a0 a . |a |
例1 AB中 CD,E是BC 边上三等分 A点 Ba,，设
ACb.试 用 a,b表 示 AD ,AE .
A
解 由三角形法则，知
BCba,
再由数与向量乘积定义，知 B
|a|
1, 3
cos y
|a|
1 , cos z
3
|a|
1. 3
a0 a i j k .
| a|
3
例3 设向 a2 i 量 jz,k 其长 3 ， 度 试 a 的 为 求 坐
标表 . 示式 解 a 3，而a x2y2z2 41z2
41z2 3,
第一章 空间解析几何 向量代数
§4 向量及其加减法 数与向量乘积 向量的坐标表示式
一、向量 二、向量的加减法 三、数与向量的乘积 四、向量的坐标表示式 五、拓展与思考 六、小结
一、向量
数学上，既有大小又有方向的量叫做向量.
如：力，速度，加速度等. 用始点到终点带有箭头的线段表示，如AB,CD,
或用黑体字母表示，如a,b等.
M2
O2M ij2k,
O
y
M 1M 2 2 i3j2 k,x
M 1M 2( 2 )2( 3 )222 17.
cos 2 , cos 3 , cos 2 .
17
17
17
例5 设向 a的 量 方向 co余 s1,弦 cos2,又
3
3
|a|3,求向 a的 量 坐标. 表示式
12121231. 2 2 2 2
所以该“向量”不存在，因此画不出来.
六、小结
1、本节基本要求 理解向量的概念，掌握向量的加减法（平行
四边形法则和三角形法则）、数与向量乘积运算， 以及用向量的坐标表示式求解有关向量的问题， 会求向量的方向角或方向余弦.
a (x 1 ) i (y 1 ) j (z 1 ) k .
而a 向 的量 长 ax 度 1 2y 1 2 z1 2. 给定向量的坐标表示式，如何确定其方向？ 一是，i利 , j,k用 的系数定出向， 量即 的可 终 在几何上表示方 出向 向； 量的
二是 ，求出 向 轴x量 ,y,z的 与正 三方 个向 之 的夹 角，即可 量表 的示 方 . 出 向向
结合律可从三角形法则得到.
b ab ba
a
a(bc) (ab)c
c
bc ab
b
a
定义三 若向量b加向量c等于向量a, 则称c为a 与b之差，记为a – b，即c = a – b.
由减法定义，a – b就是 以a, b邻边的平行四边形中， b
cab
由b的终点到a终点的向量.
两个向量a, b的加、减
2、本节重点、难点 重点：向量及其加减法（平行四边形法则和
三角形法则） 、数与向量乘积、向量的坐标表示 式、方向角或方向余弦.
难点：加减法、数与向量乘积.
3、本节知识结构
向 量 及 其 加 减 法
数 与 向 量 乘 积
向 量 的 坐 标 表 示 式
向量
向量的 加减法
数与向量 的乘积
向量的坐标 表示式
定义、表示法
加法、减法、负向量 平行四边形法则、
三角形法则 性质 定义 性质
坐标表示法 方向角、方向余弦
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
思考题 一个同学拟在空坐 间标 直系 角中画出一个
向量，其长2， 度且 为与 x、y、z三坐标轴正向
夹角都4为 5o. 你认为他能画出为 来什 吗么 ？？ 解 不能.
假设能画 .由出题意知，向量角的为方向
45o， 45o， 45o.
但是 c2 o sc2 o sc2 o s
下面引入向量的坐标表示式.
将向量的始点置 原于 点坐 ，标 则其终点M对 ; 应
反之 ,给定M 点 ,则对应着一个点 始的 点向 在 OM 量 原 .
向量OM 点M
z
在x, y, z轴的正方向上各
M(x, y,z)
取一个单位向量，分记别
k i
j
为i, j,k,称为基本单位向量.
O
y
x
设向O量 M 的始点在原M 点 的， 坐终 标x点 ,为 y,z） （ .
a
法三角形法则的区别： 加法是a与 b“首尾”相接，
由a的始点到b的终点的向量
ab b
a
为a + b ； 减法是a与 b“首首”相接，
b
cab
由b 的终点到a的终点的向量为a – b.
a
定义四 与向量a的模相同，方向相反的向量b,
称为向量a的负向量，
记作 –a，即b =–a.
b
b =–a
a
思考： 指出下列图中向量a、b 、c 之间的关系.
向量的大小称为向量的长度或模，
uuur AB
B
a
用AB, CD, a, b等 表.示
A
长度是1的向量称为单位向量， D
u u ur CD
用AB0,CD 0或a0,b0等表. 示
C
b
始点和终点重合的向量，即长度为零的向量称为 零向量，用0表示.
零向量的方向不定，或方向任意.
定义一 方向相同，模相等的两个向量a,b称为相等， 记为a = b.
下 面 介 绍利 用 坐 式标 进表 行示 向量 加 、 减
与 向 量 的乘 积 运 代算 数， 运. 即 算 设 a x 1 i y 1 j z 1 k , b x 2 i y 2 j z 2 k , 则 a b ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j ( z 1 z 2 ) k ,
则有 OM O M M M .
在 OM P 中O M ， O P P M ,
z
而PM O,Q M MO,R R
所以 OM O PO Q O.R
M(x, y,z)
由数与向量的乘积定义 ，得
k i
j
P
O
Q
y
M
O Px,O i Q y,jO R z.k x
故有 OM x iy jz.k 该式称为向量的坐标表示式.
解得 z2.
这样的向量2i有 j两 2k及 个 2i： j2k.
例4 设 M 1(1,2,0),M （ 2 1， 1， 2） ,求 M 1M 2的坐标
表示|M 式 1M 2， |及 M 1M 2的方向 . 余弦
解 在 O1M M 2中
z
M 1M 2OM 2OM 1,
M1
而OM 1i2j,
记 ， ， 分别为 a与 x向 ,y,z轴 量正方向
角0（ ,,）称， 为向量a的方向角. co,scos,cos称为向量a的方向余弦.
若向a量xiyjzk，如何求其方向？余弦
OMP为直角三角形，得 z
cos x
x
.
R
|OM| x2y2z2
同 理
c os
D
E
C
BD 1BC 1(ba), 33
EC 1BC 1(ba), 33
从 AB及 D AE 中 C可得
ADABBD
a
1(ba) 3
1 (b 2a), 3
AEACCEACEC
b
1 (b 3
a)
1 (2b a). 3
四、向量的坐标表示式
用几何方法定义向量的加减法具有直观的优 点，但也存在运算不便的缺点.
y
,
x2y2z2
可 得
cos
z
.
x2y2z2
M(x, y,z)
a
Q
P
O
x
y
M
显然 c2 o c s2 o c s2 o 1 s .
例2 求向a量 ijk的长度及方 ,并向 求 a0余弦
的坐标表 . 示式
解 a1212(1)2 3 .
cos x
显然，平行移动（即不改变方向）后的向量是相 等的，
即向量仅仅与模和方向有关， 而与始点的位置无关.
b
a
二、向量的加减法
定义二 两向量a, b始于同一个点，作以a, b为 邻边的平行四边形，则由始点到对顶点的向量称 为a, b之和，记为a + b.
b ab
ab b
a
a
这种方法定义的加法称为平行四边形法则.
解 向量的方向余弦有下列关系：
c2 o c s2 o c s2 o 1 s .
由此 c解 o s 1 得 c2 o sc2 o s
1
12
22
3 3
2, 3
x|a|cos311, y|a|cos322,
a
c
b
c
b
a
a
b
c
三、数与向量的乘积
定义五 是一个实数，a是非零向量，与 a的
乘积记作 a ,规定如下：
(1) a是一个向量；
(2)a |||a|即 , 向 a的 量 长 ||度 a ||； 为
(3) a的方向为
若 0,则 a的方a相 向同 与， 若 0,则 a的方a相 向反 与，
3
3
z|a|co s3(2)2.
3
向 a 有 量两 i 2 j 个 2 k , i ： 2 j 2 k .
五、拓展与思考
例6 试用向量方法证明：对角线互相平分的四
边形必是平行四边形.
解 AM MC BM MD
D b
A