椭圆的几何性质(1)1
椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质（一）【内容分析】1、本节教材的地位和作用本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，遵循学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
对于学生来说，是首次利用曲线方程研究曲线的性质，因此教学中教师要注意引导、点拨。
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用2、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程；3、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法．【教学目标】（1）知识和技能目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，掌握标准方程中的几何意义，并能正确作出图形。
（2）能力和方法目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力（3）情感和价值目标：通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
【教学方法】借助多媒体辅助手段，创设问题情境，引导学生观察、分析、猜测、论证，组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思式总结。
【学法指导】本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，因此教学中教师要注意引导、点拨。
【教学过程】y 变B教学反思：1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式研究体验式创新教学法是我校的一个科研课题。
本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
高二数学椭圆的几何性质1
e越接近1，椭圆越扁；e越接近 于0，椭圆越接近于圆。
2 2 例1：椭圆25x +16y =400
的长轴长为____，短轴长 为____，焦点坐标为___， 顶点坐标为____，离心率 为 ______。
x y 练习：若椭圆 1的离心率 a8 9 1 为 ，求a的值。 2
2
2
x y (2)若 2 2 1( a b 0 ) 的左焦 a b
x y 2 1 2 a b ( a b 0)
y B2(0,b) o x A2(a,0) B1(0,-b)
2
2
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长。
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比, 2c c 叫做椭圆的离心率。 e y 2a a
0<e<1
o x
变式： (08江西)已知F1，F2椭圆的两 个焦点，满足 MF1 MF2 0 ，点 M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率 的取值范围是___________。
2
2
练习：
2 2
x y 1 ( a b 0 ) 已知 2 2 a b 的长轴两端点为A，B，如果椭圆 上存在一点Q，使∠F1QF2=120°， 求离心率e的取值范围。
一、椭圆的范围 二、椭圆的对称性 三、椭圆的顶点
变量x，y的取 值范围 方程的对称性 x=0或y=0时 方程的解
四、椭圆2 2 2 2 x y x y 由 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
即
x a和 y b
o
y
说明：椭圆位于矩 形之中。
x
二、椭圆的对称性 2 2
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称；
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
椭圆及其简单几何性质(1)
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A、B层全部掌握，C层选做。
【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．【问题导学】（预习教材理P43~ P46，文P37~ P40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．【合作探究】问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【深化提高】例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？学案编号：B51 第1 页共2 页成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦第 2 页 共 2 页小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．※ 动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．【当堂检测】1．若椭圆2215x y m+=的离心率105e =，则m 的值是（ ）． A ．3 B ．3或253C ．15D ．15或51532．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143．短轴长为5，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．【小结】（1）知识与方法方面 。
2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1
课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。
34C 。
错误!D 。
错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。
］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。
错误!＋错误!＝1B 。
错误!＋y 2＝1C 。
错误!＋错误!＝1D 。
错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
用椭圆的简单几何性质(1)
练习2：
x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 上的点有 （1）P（-2，4） （2）P（-4，2） （3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
？
x2 y2 2.若点P（2，4）在椭圆 2 2 1(a b 0) 上，下列是椭圆 a b
已知椭圆方程为6x2+y2=6
2 。短轴是：_____
。
它的长轴长是：2 6
焦距是：
2 5
焦点坐标是： (0, 5 )
外切矩形的面积等于：
(0, 。顶点坐标是： 6) (1, 0) 。
30 .离心率等于：___________。 6
4 6
。
x2 y2 其标准方程是 1 1 6
a 6 b 1 则c a2 b2 5
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
一、范围：
观察:椭圆
x2 y2 1, 2 1得： -a≤x≤a, 2 a b
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
二、椭圆的对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x y 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.2
问题 5 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？ 为什么？
2 2 x y 4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1 25 20 2 2 x y 答案 将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1，
则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心 5 x 2 y2 率 e＝ 3 ；椭圆25＋20＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5， 5 2 2 c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ 5 .
解
x y 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分 5 c 别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率 e＝a＝ 3 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
b c 问题 4(1)a或b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝a越大，椭 c 圆越扁？e＝a越小，椭圆越圆吗？ a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由a＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知， a
b 当 e 越趋近于 1 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋 b 近于 0 时，a越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a ＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆。 c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a
由于前一个椭圆的离心率较大， 因此前一个椭圆更扁， 后 一个椭圆更圆．
2015.9.15椭圆的几何性质(1)
焦点坐标、顶点坐标。
x2 y2 例3： 椭 圆 2 2 1(a b 0)的 左 焦 点 为 F （ 0） , A( a ,0), B(0, b) 1 - c， a b b 是两个顶点，如果 F1到 直 线 AB的 距 离 为 , 求 椭 圆 的 离 心 率 . 7
例 4：
x2 y2 1. P 为椭圆 2 2 =1 上一点， F1、 F2 为焦点 ,如果 a b
3 (C) 2
2 (D) 3
60
2 .1,1 则该椭圆的离心率的取 值范围为_______
x2 y2 (6)已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别为F1 , F2 , a b a c 若在椭圆上存在一点 P, 使 , sinPF1 F2 sinPF2 F1
例5.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点， 线段BF的延长线交C于点D，且 BF 2 FD .求C的离心率e .
c e (0 e 1) a c e (0 e 1) a
离心率
例1:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、
离心率、焦点和顶点坐标
能标出图中椭圆焦点的位置吗?依据是什么?
练习: 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,c=3,e=3/5; (2)经过点P(-3,0),Q(0,-2); (3)长轴长等于20,离心率等于3/5. (4)长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6） (5)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂 直，且焦距为6
一、椭圆的范围
x y x 2 1 2 由 2 a a b
即 x a和 y b 说明：椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
1.椭圆的几何性质(简单性质)
e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400， 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： 10 ；短轴长是 短轴长是： 8 ； 它的长轴长是 短轴长是
焦距是： 焦距是
6
；离心率等于 离心率等于： 离心率等于
焦点坐标是： 焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ； 顶点坐标是： 顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作 的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A， 两点， 的面积为20， 直线与椭圆交于 ，B 两点，若△ AB F2 的面积为 ， 求直线的方程。 求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 已知椭圆的中心在原点 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（ ， ）， ），求 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点 （3，0），求 椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆 过椭圆 的直线AB， 求线段AB的长度 的长度. 的直线 ， 求线段 的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y
【新教材教案】3.1.2 椭圆的简单几何性质(1) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.1.2椭圆的简单几何性质（1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：由几何条件求出椭圆的方程 难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质多媒体思考1. 离心率对椭圆扁圆程度的影响提示:如图所示,在Rt△BF2O中∠BF2O越小,椭圆越扁;e越小答案:√3-1变式 1 若例2改为如下F1F2为底边作等腰直角三角形4.已知椭圆x23+y22=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为.解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为x 23+y22=1,其中a=√3,b=√2,则c=√3-2=1,则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,√2),B2(0,-√2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=√2,则S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1|=2√2.答案:2√25.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为cm.解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,c 大a 大=c小a小,即√a大2-b大2a大2=√a小2-b小2a小2.所以2a大2b大=2a小2b小,所以4020=2a小10,所以小椭圆的长轴长为20 cm.五、课时练运用代数方法，让学生体会方程与函数的思想在研究椭圆几何性质中的作用，让学生的思路更加清晰，对学习内容的把握更加容易，同时注意及时让学生进行思维拓展，形成知识网，提升教学效果。
第2章2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
例 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的 椭圆方程．
(1)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直， 且半焦距为 6；
(2)与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点，且离心率 e＝ 55； (3)以直线 3x＋4y－12＝0 与两坐标轴的交点分别作为顶点 和焦点．
第25页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 (1)ba与bc的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什 么？
(2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝ca越大，椭圆 越扁？e＝ac越小，椭圆越圆？
第26页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)都能．由ba＝ a2－a2 c2＝ 1－e2(0<e<1)可知， 当 e 越趋近于 1 时，ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦 点重合，图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
【解析】 把已知方程化成标准方程为2y52 ＋x2＝1. 这里 a＝5，b＝1，所以 c＝ 25－1＝2 6. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a＝10 和 2b＝2，两个焦 点分别是 F1(0，－2 6)，F2(0，2 6)，椭圆的四个顶点是 A1(0，－ 5)，A2(0，5)，B1(－1，0)和 B2(1，0)．
第29页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程x92＋y42
＝1，则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心率 e ＝ 35；椭圆2x52＋2y02 ＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5，c＝ a2－b2
椭圆的几何性质
x y 椭圆 2 2 1(a b 0）的几何性质 a b 2 2 x y 1、范围： 1, 2 1得： 2 a b
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆位于直线x=±a，y= ± b围成的矩形内 y
y=b x=-a
●
2
2
x=a
F1
o
y=-b
F2
●
x
x y 从方程 2 2 1(a b 0)上看： 2、对称性： a b （1）把x换成-x方程不变，故如果 M(x,y) 是椭圆上 ' 任意一点,则与点M关于y轴对称的点 M ( x, y ) 也在椭 圆上,即椭圆关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，椭圆关于原点 y 成中心对称。
结论:
M ' ( x, y) ●
●
2
2
●
M ( x, y)
椭圆关于x轴、y轴成轴对称图形,
又是以原点为对称中心的中心对 '' M ( x, y ) 称图形。 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
F1
●
o
●
F2
M ' ( x, y )
离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它 的图形。
x2 y2 解：把椭圆的方程化为标准方程 1 25 16 2 2 2 故 c 9 故椭圆的焦点在x轴上.其中 a 25, b 16
它的长轴长是： 10 。 焦距是： 短轴长是： 离心率等于： 8
3 5
。 。
6
。
焦点坐标是：
(3,0) 。顶点坐标是： (5,0) (0,。 4)
F1 (-a，0)
0046数学课件：椭圆的几何性质(1)
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
即
x2 y2 1, 2 1 2 a b
y
B2
x a和 y b
A1
F1
O
B1
F2
A2 X
说明：椭圆位于矩形之中。
二、椭圆的对称性
x y 2 1( a b 0) 2 a b y
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称； 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. o x
由题意,有 2c=8,c=4;2a=10,a=5.
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
又
b2=a2-c2=25-16=9.
故所求方程为x2/25+y2/9=1.
(2)设焦点在y轴上,标准方程为
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
同(1),可得所求方程为y2/25+x2/9=1.
2
2
三、椭圆的顶点
(-a,0)A1y B2(0, Nhomakorabea) o B1(0,-b) A2 (a,0) x
x y 2 1( a b 0) 2 a b
2
2
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
半轴长：a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
-b ≤x ≤b -a≤y≤a, 关于x，y轴，原点对称 A1(0 ，-a),A2(0 ，a) B1(-b， 0),B2(b ，0)
离心率
e
c (0 e 1) a
小结：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量）
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） y B1(0,b)
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。
椭圆几何性质知识点总结
椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
即PF1+PF2=2a。
其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。
椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。
椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。
2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。
椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。
一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。
其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。
4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。
c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。
d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。
6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。
标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。
8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。
因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。
椭圆几何性质
椭圆是平面上的一个几何图形，具有一些特殊的性质。
以下是一些椭圆的几何性质：
1.定义性质：椭圆是一个点到两个焦点距离之和等于常数的点
集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆
的中心。
2.对称性质：椭圆具有两个对称轴，即横轴和纵轴。
横轴和纵
轴互相垂直，并交于椭圆的中心。
3.焦点性质：椭圆的焦点是椭圆的两个特殊点，对于椭圆上的
每一个点，它到两个焦点的距离之和是恒定的，等于椭圆的
长轴长度。
4.直径性质：椭圆的任意一条直径的长度等于椭圆的长轴长度。
5.切线性质：椭圆上的每一条切线与椭圆的两个焦点之间的线
段的长度是相等的。
6.圆锥截面性质：椭圆是一个旋转椭圆曲线，可以通过将一个
圆沿一个不在圆心处的直线截成椭圆来得到。
这些性质为椭圆的研究和应用提供了基础，例如在数学、物理、工程等领域中，椭圆的性质被广泛应用于解决实际问题。
人教版高中数学必修第二册椭圆的几何性质(1)
椭圆的几何性质（一）教学目标1．熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）。
2．能说明离心率的大小对椭圆形状的影响。
3．能利用椭圆的曲线特征、几何性质求椭圆方程。
教学重点椭圆的几何性质教学过程一．引入问题：解析几何研究的两个问题是什么？我们知道椭圆的方程及图形，今天我们就从定义、方程出发研究椭圆的性质。
二．讲授新课1.焦点在x轴上的椭圆的性质（1）对称性：关于x轴、y轴、原点对称口答：下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（）A x2=4yB x2+2xy+y=0C x2-4y2=5xD 9x2+y2=4(2)范围：椭圆上的点的横坐标、纵坐标的范围（3）顶点：椭圆与对称轴的交点长轴长、短轴长、半长轴长、半短轴长2．焦点在y轴上的椭圆的性质学生讨论，在此基础上教师板书有关内容练习：指出下列椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长短轴长（1）192522=+y x （2）81922=+y x3．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，即e=a c思考：（1）e 的范围。
（2）e 的大小对椭圆形状的影响？三．例题选讲1求满足下列条件的椭圆的标准方程（1） a=6,e=1/3，焦点在x 轴上；（2） （2）椭圆过点P （-22，0）Q （0，5）；（3）一短轴的一个顶点B 与焦点F 1、F 2组成三角形周长为4+23且21BF F ∠=32π；（3） 长轴长为短轴长的2倍，且椭圆过（-2，-4）； 2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长为6且cos OFA ∠=2/3，求椭圆的方程。
思考；已知椭圆192522=+y x ，F 1、F 2分别是它的焦点，过F 1的弦CD 与x 轴所成角为α(0<α<π)求CD F 2∆的周长。
三．小结：1椭圆的几何性质2．求椭圆方程四．作业。
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|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是：
10 。短轴长是：
。 离心率等于：
焦距是：
8
4 5
6
。
。
焦点坐标是： ( 0 , 4 )
。顶点坐标是： ( 3, 0 ) 。
外切矩形的面积等于：
60
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标 2 2 x y 准方程 1 明确a、b
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x
2
y
2
1
（2）
x
2
y
212516254y
4 B2 3 2 1
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
25 9
2、确定焦点的位置和长轴的位置
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点
P 3 2 , 4
解： ⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的 坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y
B2 (0,b)
A1
b
a F2
A2 (a，0)
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
P（x，y）
O P2（-x，-y）
X
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 y 心对称。
B2
A1
b F1
a F2
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围：0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭 圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF | | PF2 | 2a(2a | F F2 |) 1 1
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x a
2 2
2 2
y b
2 2
1(a b 0)
2 2
36
32
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
c
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
[3]e与a,b的关系: e
c a a b
2 2
a
2
1
b a
2
2
标准方程 范围
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
x b
2 2
y a
2 2
1( a b 0 )
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
y a
x b
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
二、椭圆
1、范围：
x a
2 2
简单的几何性质
1,
y b
2 2
1得：
-a≤x≤a,
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
椭圆的对称性
Y P1（-x，y）
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是 椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为
⑵ ⑶
x
2
x
2
y
2
1
x
2
y
2
y
2
9
1
4
或 或
y
2
2
100
64
1
x
2
1
2
100
y 145 4
64
x 290 9 1