复变函数与积分变换留数测验题与答案

第五章 留 数
一、选择题： 1．函数
3
2cot -πz z
在2=-i z 内的奇点个数为 ( )
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数
)()(z g z f
的( )
（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点
3．设0=z 为函数z
z e x
sin 142
-的m 级极点，那么=m ( )
（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1
1
sin
)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点
5．∞=z 是函数2
3
23z
z z ++的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点
6．设∑∞
==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)
([
Re k z
z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)
()
([
Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）
（A ） 2
1)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1
sin )(-=
（C ）z z z z f cos sin )(+=
(D) z
e z
f z
1
11)(--= 9．下列命题中，正确的是( )
（A ）
设)()()(0z z z z f m ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．
（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ）
若0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点
10． =∞],2cos
[Re 3z
i
z s ( ) （A ）3
2- （B ）3
2 （C ）i 3
2 （D ）i 3
2- 11．=-],[Re 1
2
i e
z s i
z ( )
（A ）i +-
61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6
5 12．下列命题中，不正确的是( )
（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s
（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则
)
()(],)()
([
Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则
)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dz
d n z z f s n n n
x x +→-=
（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z
f 的一级极点，并
且)1(lim ]),([Re 0
z
zf z f s z →=∞
13．设1>n 为正整数，则
=-⎰=21
1
z n
dz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）
n
i
π2 （D ）i n π2
14．积分
=-⎰
=
2
310
9
1
z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）
5
i π
15．积分
=⎰=1
2
1sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）6
1
- （C ）3
i
π-
（D ）
i π-
二、填空题
1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m ． 2．函数z
z f 1cos
1)(=
在其孤立奇点),2,1,0(2
1 ±±=+
=
k k z k ππ处的留数
=]),([Re k z z f s ．
3．设函数}1
exp{)(22z
z z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设
a
z =为函数)(z f 的m 级极点，那么
='],)
()
([
Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设2
12)(z z
z f +=
，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5
cos 1)(z
z
z f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分
=⎰=1
13
z z
dz e z
．
9．积分
=⎰=1
sin 1
z dz z ． 10．积分=+⎰∞
+∞
-dx x xe ix
2
1 ． 三、计算积分
⎰=
--4
12)1(sin z z dz z e z
z ．
四、利用留数计算积分)0(sin 0
22>+⎰a a d π
θ
θ
五、利用留数计算积分⎰∞
+∞
-+++-dx x x x x 9
102
2
42 六、利用留数计算下列积分： １．⎰∞
++0
212cos sin dx x x
x x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1
)1cos(2 七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m a
z =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．
八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则
]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．
九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明A
z f z f a
z 1
)
(1)(lim
2
=
+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，
),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 20
2
t d f t t t Φ=+-⎰
πθθθθθ
π
)11(<<-t
答案
第五章留数
一、1．（D） 2．（B） 3．（C） 4．（D）５．（B）
６．（C）７．（A）８．（D）９．（C）10．（A）
11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）
二、1．9 2．2
)
2
()1(π+π-k k
3．0 4．m -
5．1
6．2- 7．241-
8．12
i π 9．i π2 10．
e i π 三、i π-3
16
. 四、
1
2
+πa a .
五、
π12
5
. 六、１．)(443e e e -π ２．e
1
cos π。