2021版新高考数学一轮课件:第6章 第1讲 不等关系与不等式
最新-2021届高三数学文一轮复习课件:62 一元二次不等式及其解法 精品
(1)求 n 的值。
解析:(1)由试验数据知, s1=25n+4,s2=170n+449,
所以61<4<25n170+n4+<4489<,17,
又 n∈N,所以取 n=6。
5<n<10, 解之得52<n<1945 。
(2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?
解析:(2)由(1)知,s=35v0+4v020,v≥0。 依题意,s=35v0+4v020≤12.6, 即 v2+24v-5 040≤0,解之得-84≤v≤60。 注意到 v≥0,所以 0≤v≤60。 故行驶的最大速度为 60 km/h。
解析:(2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨 论(如图所示):
(1)
(2)
①如图(1),当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时,满足条件,有 Δ=a2-4(3-a)≤0, 即-6≤a≤2。
②如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,
解析:∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2,故原不等式的解集为(1,2),故选 D 项。
答案:D
3.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( )
A.-12,1 C.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(1,+∞) D.-∞,-21∪(1,+∞)
解析:∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0, ∴x>1 或 x<-12, 故原不等式的解集为-∞,-21∪(1,+∞), 故选 D。 答案:D
4.若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为{x|-2<x<14},则 ab=(
)
A.-28
B.-26
C.28
D.26
解析:∵x=-2,14是方程 ax2+bx-2=0 的两根,
2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法pptx课件
知识点三 an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,
则 an=______S__S1__n-____S__n, _-_1n_= __1_, _,n≥2.
知识点四 数列的分类
归纳拓展 1.数列与函数 数 列 可 以 看 作 是 一 个 定 义 域 为 正 整 数 集 N*( 或 它 的 有 限 子 集 {1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 数列的通项公式是相应函数的解析式,它的图象是一群孤立的点.
知识点二 数列的表示方法
列表法 图象法
列表格表示n与an的对应关系 把点___(n_,__a_n_)______画在平面直角坐标系中
通项公式 把数列的通项使用__公__式____表示的方法
公式法 递推公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an, an-1)等表示数列的方法
运算求解
数学运算
并项求和
综合性
逻辑思维
逻辑推理
2022新高考 求通项公 累乘法求数列
运算求解 综合性 数学运算
Ⅰ,17 式
的通项公式
等差数列 2022新高考
及其前n项 Ⅱ,3
和
求值
运算求解 创新性 数学运算
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
等比数列
2022新高考
等比数列的通项 运算求解
及其前n
Ⅱ,17
公式及其应用 逻辑思维
项和
创新性
数学运算
2021新高考
数列的求
错位相减法求和, 运算求解
综合性
数学运算
Ⅰ,16,17 和
分组求和
等差数列 求解等差数列的
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第6讲 函数及其表示
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1.函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.➢考点1 函数的概念[名师点睛](1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同1.(2022·全国·高三专题练习)下列四个图像中,是函数图像的是()A .(1)(2)B .(1)(2)(3)C .(1)(3)(4)D .(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【解析】根据函数的定义,一个自变量值对应唯一一个函数值,或者多个自变量值对应唯一一个函数值,显然只有(2)不满足. 故选:C.2.(2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习)下列各组函数中,()f x ,()g x 是同一函数的是( )A .()2f x x =,()4g x x =B .()2log a f x x =,()2log a g x x =C .()4121x x f x -=-,()21x g x =+D .()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解:对于A 选项,()2f x x =的定义域为R ,()4g x x =的定义域为[)0,∞+,故不满足;对于B 选项,()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠,()2log a g x x =的定义域为()0,∞+,故不满足;对于C 选项,()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠,()21xg x =+的定义域为R ,故不满足;对于D 选项,()f x ,()g x 的定义域均为{}1,对应关系均为0y =,故是同一函数.故选:D [举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数( ) A .至少1个B .至多1个C .仅有1个D .有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内,y =f (x )的图象与直线1x =没有交点, 若1在函数f (x )的定义域内,y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点, 故选:B.2.(2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =211x x -+B .y =x 0和y =1C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D .f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ,函数y =x -1定义域是R ,函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,A 不是;对于B ,0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞,函数y =1定义域是R ,B 不是;对于C ,()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同,C 不是;对于D ,f (x和g (x (0,)+∞,并且对应法则相同,D 是.故选:D3.(2022·全国·高三专题练习)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .1y =与0y x =B .y x =与2y =C .22log y x =与22log y x =D .1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A :1y =定义域为R ,0y x =定义域为{}|0x x ≠,定义域不同不是同一个函数,故选项A 不正确;对于B :y x =定义域为R ,2y =的定义域为{}|0x x ≥,定义域不同不是同一个函数,故选项B 不正确;对于C :22log y x =的定义域为{}|0x x >,22log y x =定义域为{}|0x x ≠,定义域不同不是同一个函数,故选项C 不正确; 对于D :由101xx +>-可得()()110x x +-<,解得:11x -<<,所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<,由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<,所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-,所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数,故选项D 正确, 故选:D.➢考点2 函数的定义域[典例]1.(2022·北京·模拟预测)函数()()=-的定义域是_______.lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得,21020x x +≥⎧⎨->⎩,解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为:1[,2)2-2.(2022·全国·高三专题练习)若函数()y f x =的定义域是[0,8],则函数()g x =义域是( )A .(1,32)B .(1,2)C .(1,32]D .(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8], 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选:D.3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数(1)f x +的定义域为(-2,0),则(21)f x -的定义域为( )A .(-1,0)B .(-2,0)C .(0,1)D .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设,若1t x =+,则(1,1)t ∈-,∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-,故其定义域为(0,1). 故选:C4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =的定义域是R ,则实数a 的取值范围是( )A .(12,0)-B .(12,0]-C .1(,)3+∞D .1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ,∴只需分母不为0即可,即230ax ax +-≠恒成立, (1)当0a =时,30恒成立,满足题意,(2)当0a ≠时,24(3)0a a ∆=-⨯-<,解得120a -<<, 综上可得120a -<≤. 故选:B. [举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)函数y =13x -的定义域为( ) A .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(-∞,3)∪(3,+∞)C .3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3,+∞)D .(3,+∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义,则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030,解得32x ≥且3x ≠,所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3,+∞). 故选:C.2.(2022·全国·高三专题练习)函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是( )A .,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D .,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意,得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩,则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩,即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩,∴[,0]2x π∈-.故选:A.3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3,则函数()3log y f x =的定义域为( )A .[]0,1B .[]1,9C .[]0,2D .[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈,得[]10,2x -∈, 所以[]3log 0,2x ∈,所以[]1,9x ∈. 故选:B .4.(2022·全国·高三专题练习)定义域是一个函数的三要素之一,已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985],则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为( )A .211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知,21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩,解得21198520182021x, 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =R ,则m 的取值范围是( )A .12m -<<B .12m -<≤C .12m -≤≤D .12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得:()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时,()f x =10m +≠时,只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩, 解得:12m -<≤, 综上:1,2m ,故选:C .6.(2022·上海市奉贤中学高三阶段练习)函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解:由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ,所以0x ≤,所以函数的定义域为(,0]-∞,故答案为:(,0]-∞7.(2022·全国·高三专题练习)函数y =的定义域是R ,则a 的取值范围是_________. 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立. ①当0a =时,则10>恒成立,0a ∴=符合题意;②当0a ≠时,则2040a a a >⎧⎨-<⎩,解得04a <<.综上可得04a ≤<,∴实数a 的取值范围为[)0,4. 故答案为:[)0,4.8.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =R ,则a的范围是________. 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时,()1f x =,即定义域为R ;当1a ≠,要使()f x 的定义域为R ,则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立,∴()()210{1410a a a ->∆=---<,解得15a <<, 综上,有15a ≤<, 故答案为:[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析式为________________.(2)若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为________.(3)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=2x,则f(x)的解析式为________.【答案】(1)f(x)=x2-1(x≥1)(2)f(x)=x2-x+3(3)f(x)=2x【解析】(1)方法一(换元法):令x+1=t,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).方法二(配凑法):f(x+1)=x+2x=x+2x+1-1=(x+1)2-1.因为x+1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).(2)(待定系数法)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 又f (0)=c =3, 所以f (x )=ax 2+bx +3,所以f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2. 所以⎩⎨⎧4a =4,4a +2b =2,所以⎩⎨⎧a =1,b =-1,所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x +3. (3)(解方程组法)因为2f (x )+f (-x )=2x ,① 将x 换成-x 得2f (-x )+f (x )=-2x ,② 由①②消去f (-x ),得3f (x )=6x , 所以f (x )=2x .2.(2022·全国·高三专题练习)根据下列条件,求函数f (x )的解析式. (1)f (x )是一次函数,且满足f (f (x ))=4x -3;(2)已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ,求f (x )的函数解析式.(3)已知f (0)=1,对任意的实数x ,y 都有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1). 【解】(1)因为f (x )是一次函数,所以设()()0f x kx b k =+≠,所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++,又因为f (f (x ))=4x -3,所以243k x kb b x ++=-,故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩,解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩,所以()21f x x =-或()23f x x =-+;(2)将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x =0,得f (-y )=f (0)-y (-y +1)=1+y 2-y=()()21y y -+-+,所以f (y )=y 2+y +1,即f (x )=x 2+x +1.[举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭,则()f x 的解析式为( ) A .()()2211x f x x x =≠-+B .()()2211xf x x x =-≠-+ C .()()211x f x x x =≠-+D .()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+,则11t x t -=+ ,所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭, 所以()()2211xf x x x =≠-+,故选:A. 2.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x ﹣1)=x 2+2x ﹣3,则f (x )=( ) A .x 2+4x B .x 2+4C .x 2+4x ﹣6D .x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-,所以()24f x x x =+.故选:A3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为R ,且2()2()f x f x x x +-=-,则()f x =( )A .223x x +B .223x x +C .2223x x+D .23x x +【答案】D【解析】令x 为x -,则2()2()f x f x x x -+=+, 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得,2()3x f x x =+.故选:D .4.(多选)(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 是一次函数,满足()()98f f x x =+,则()f x 的解析式可能为( ) A .()32f x x =+B .()32f x x =- C .()34f x x =-+D .()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+,由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+,所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩,解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩,所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选:AD.5.(2022·山东济南·二模)已知函数2()23f x x x =--+,则(1)f x +=______. 【答案】24x x -- 【解析】解:因为2()23f x x x =--+,所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-,(1)f x +=24x x --.故答案为:24x x --.6.(2022·全国·高三专题练习)已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦,且()f x 为一次函数,求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数,所以设()()0f x kx b k =+≠,所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦, 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦,所以()2149k x b k x ++=+恒成立, 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得:23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩,所以()23f x x =+或()29f x x =--, 故答案为:23x +或29x --.7.(2022·全国·高三专题练习)已知函数)25f x =+,则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=,则2t ≥,且()22x t =-, 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+,()2t ≥所以()()212f x x x =+≥,故答案为:()()212f x x x =+≥.8.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )+2f (2020x)=3x ,则f (x )=_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭,可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得4040()f x x x=-. 故答案为:4040()f x x x=-. 9.(2022·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=,则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=,所以()()323f x f x x --=-,同除以2得()()31322f x f x x --=-,两式相加可得()33322f x x =,即()3f x x =.故答案为:3x .10.(2022·全国·高三专题练习)(1)已知()f x 是二次函数且(0)2f =,(1)()1f x f x x +-=-,求()f x ;(2)已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭,求()f x .【解】(1)∵f (x )为二次函数,∴f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∵f (0)=c =2,∵f (x +1)﹣f (x )=x ﹣1,∴2ax +a +b =x ﹣1,∴a 12=,b 32=-, ∴f (x )12=x 232-x +2. (2)∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,①,∴f (1x )+2f (x )1x=,② ①-②×2得:﹣3f (x )=x 2x-, ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1.(2022·广东梅州·二模)设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩,则()()22log 6f f -+=( ) A .2B .6C .8D .10 【答案】B 【解析】 解:因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩,所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====,所以()()22log 66f f -+=. 故选:B.2.(2022·山东潍坊·模拟预测)设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,则()8f =( )A .10B .9C .7D .6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选:C.3.(2022·浙江省江山中学高三期中)已知[]1,1∈-a ,函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ,则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时,()()0sin 21π=-=f a ,得14a k =--,故34a =;当10a -≤<时,()201f a ==,故1a =-.故答案为:34a =或1a =-.4.(2022·湖南湘潭·三模)已知0a >,且1a ≠,函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩,若()()12f f -=,则=a ___________,()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知,()()()()121log 212a f f f a a ---==+=,则2221a a -=+,即4220a a --=,解得22a =,故a =②当0x 时,())2214f x x=+,解得602x;当0x <时,()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1.(2022·山东·济南一中高三阶段练习)已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =( ) A .2B .9C .65D .513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选:A2.(2022·重庆八中模拟预测)已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩,则()2log 12f =( )A .13B .6-C .16D .3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈,则()22log 122log 33,4=+∈,所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭,故选:A.3.(2022·安徽安庆·二模)已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =,则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭( ) A.1-.1-.1.1【答案】A【解析】∵()1102a f ==,∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩,知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4.(2022·福建三明·模拟预测)已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为:-25.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩,则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时,11x -≤,()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增, ()()20f x f ∴≤=,又()()()1120f x f f -≤<=, ()()10f x f x ∴+-<恒成立;②当23x <≤时,112x <-≤,()3120f x x x =--=-<,又()()120f x f -≤=,()()10f x f x ∴+-<恒成立; ③当34x <≤时,213x <-≤,()314f x x x =--=-,()1413f x x x -=--=-; ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立;④当4x >时,13x ->,()314f x x x =--=-,()1415f x x x -=--=-, ()()1290f x f x x ∴+-=-<,解得:92x <,942x ∴<<; 综上所述:不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6.(2022·浙江省临安中学模拟预测)设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则=a __________,1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<,则112a <+<,由()()1f a f a =+,得()211a a =+-,即24a a =, 解得:0a =(舍去)或14a =;若1a ≥,由()()1f a f a =+,得()()21211a a -=+-,该方程无解.综上可知,14a =,()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为:14; 67.(2022·浙江·湖州中学高三阶段练习)已知函数,则()()1f f =___________;方程()1f x =的解集为___________. 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====,()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=, ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=, {}0,e .x ∴∈故答案为:1;{}0,e .8.(2022·浙江·高三专题练习)已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______;若()1f x <,则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=, ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===,当1x <时,()31f x x =-<,得11x -<<,当1≥x 时,()2log 1f x x =<,得12x ≤<, 故x 的取值范围是()1,2-故答案为:3;()1,2-.9.(2022·浙江浙江·二模)设a ∈R ,函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.则(9)f =________;若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==, 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a -≤,所以3a ≥- 故答案为:2;[)3,∞-+。
高考数学 第六章 第一节 不等关系与不等式课件 理 新人教A
当 a>1 时,a+2>1-3 a. (2)aaabbbba=aa-bbb-a=aba-b,
当 a>b>0 时,ab>1,a-b>0,
则aba-b>1,∴aabb>abba; 当 b>a>0 时,0<ab<1,a-b<0,
则aba-b>1,∴aabb>abba;
当 a=b>0 时,aba-b=1,∴aabb=abba, 综上知 aabb≥abba(当且仅当 a=b 时取等号).
第一节 不等关系与不等式
考点三
比较大小|
抓主干 知识回顾 研考向 考点研究 易错防范系列 课时 跟踪检测 上页 下页
试题
解析
典题悟法 演练冲关
(1) 若 实 数 (1)a+2-1-3 a=-a12+-aa+1,
a≠1,比较 a+2 1-3 a的大小;
与
∵a2+a+1=a+122+34>0, ∴-(a2+a+1)<0,
知识点一
[自测练习]
试题
解析
知识点一 知识点二
1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M
=a1a2,N=a1+a2-1,则 M
与 N 的大小关系是( B )
A.M<N
B.M>N
C.M=N
D.不确定
M- N= a1a2- (a1+ a2- 1)= a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)- (a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1 -1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-
⇒
c>d
知识点二
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
12/8/2021
第十八页,共三十九页。
当2a<-1,即-2<a<0 时,解得2a≤x≤-1. 综上所述,当 a=0 时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当-2<a<0 时,不等式的解集为x2a≤x≤-1
;
当 a=-2 时,不等式的解集为{-1};
பைடு நூலகம்
当 a<-2 时,不等式的解集为x-1≤x≤2a
.
1.思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b2-
4ac≤0.( × )
12/8/2021
第二十二页,共三十九页。
2.求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解:原不等式可化为 12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, 解得 x1=-a4,x2=a3. 当 a>0 时,不等式的解集为 -∞,-a4∪a3,+∞; 当 a=0 时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞); 当 a<0 时,不等式的解集为 12/8/202-1 ∞,a3∪-a4,+∞.
解析:当 k=0 时,不等式 kx2-6kx+k+8≥0 化为 8≥0,其 对任意的 x∈R 恒成立;当 k<0 时,不等式 kx2-6kx+k+8≥0 不 能恒成立;当 k>0 时,要使不等式 kx2-6kx+k+8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立,对于方程 kx2-6kx+k+8=0,需 Δ=36k2-4(k2+ 8k)≤0,得 0<k≤1.综上,实数 k 的取值范围是[0,1],故选 A.
不等式及其解法课件—高三数学一轮复习
有
f f
(0) 5x 3 (1) (x2
2x2 0, 7) 5x
3
2x2
0,
化简得
2 x
x
2
2 5x 3 0, 5x 4 0,
解得
x x
1 或x 3, 2 1或x 4,
故x≤-4或x≥
1 2
.故选A.
答案 A
例2 (2021江苏连云港测试,14)设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)< -m+5恒成立,求m的取值范围.
注意 可逆 同向
可逆 c的 符号 可逆 同向
同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
a>b>0,n∈N*⇒an>bn a>b>0⇒ n a > n b (n∈N,n≥2)
同向 同正 同正 同正
2.不等式的倒数和分数性质
1)倒数性质:a>b,ab>0⇒ 1< 1;
ab
考向一 解一元二次不等式
1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x -1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为 ( )
A.
2,
6 5
B.
2,
6 5
C.(-∞,-2)∪
6 5
,
D.(-∞,-2]∪
6 5
,
答案 C
2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有 一个零点,则 ( ) A.a2-b2≤4
1 n
x
2020届高三(文)一轮复习:第6章 第1讲 不等关系与不等式
2.不等式中的倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒1a<1b; (2)a<0<b⇒1a<1b; (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd; (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
3.分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质 ba<ba+ +mm;ba>ba- -mm(b-m>0). ②假分数的性质 ab>ab+ +mm;ab<ab- -mm(b-m>0).
∵a>b>1,c<0,∴a-c>b-c>1, ∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),知③正确. [答案] D
题型三 不等式的性质及应用(高频考点题,多角突破)
考向一 判断不等式是否成立
1.(2018·河南六市第一次联考)若1a<1b<0,则下列结论不正确的
是( )
A.a2<b2
∵1816>0,1618>0,∴1816<1618.即 a<b.
[答案] a<b
考向三 单调法比较大小
4.若 a=ln33,b=ln44,c=ln55,则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
[解析] 法一:对于函数 y=f(x)=lnxx,y′=1-xl2n x, 易知当 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5),即 c<b<a. 法二:易知 a,b,c 都是正数,ba=34llnn 43=log8164<1, 所以 a>b;bc=54llnn 45=log6251 024>1,所以 b>c.即 c<b<a. [答案] B
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据,掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法:作差法与作商法.(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数,一元二次方程之间的联系,能解一元二次不等式.(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点内容,但一般不会单独命题.预测2020年将会考查:利用不等式的性质判断结论的成立性,求参数的取值X围;一元二次不等式的解法,对含参数的二次不等式的分类讨论等.命题时常将不等式与函数的单调性相结合.试题一般以客观题的形式呈现,属中、低档题型.1.两个实数比较大小的依据2.不等式的基本性质3.必记结论 (1)a >b ,ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0,m >0,则b a <b +ma +m; b a >b -m a -m (b -m >0);a b >a +m b +m ; a b <a -m b -m(b -m >0). 4.一元二次函数的三种形式(1)一般式:□01y =ax 2+bx +c (a ≠0). (2)顶点式:□02y =a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2+4ac -b 24a (a ≠0). (3)两根式:□03y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 5.三个二次之间的关系1.概念辨析(1)a>b⇔ac2>bc2.( )(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.小题热身(1)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于( )A .(0,4]B .[0,4)C .[-1,0)D .(-1,0] 答案 B解析 因为M ={x |-1<x <4},N ={x |0≤x ≤5},所以M ∩N =[0,4). (2)已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中一定成立的是( ) A .ab >ac B .c (b -a )<0 C .cb 2<ab 2D .ac (a -c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ,且ac <0,所以a >0,c <0.b 的符号不确定,b -a <0,a -c >0,据此判断A 成立,B ,C ,D 不一定成立.(3)设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则有( ) A .M >N B .M ≥N C .M <N D .M ≤N 答案 A解析 M -N =2a (a -2)-(a +1)(a -3)=a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,故M >N . (4)已知函数f (x )=ax 2+ax -1,若对任意实数x ,恒有f (x )≤0,则实数a 的取值X 围是________.答案 [-4,0]解析 当a =0时,f (x )=-1≤0成立, 当a ≠0时,若对∀x ∈R ,f (x )≤0,须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4×a ×-1≤0,a <0,解得-4≤a <0.综上知,实数a 的取值X 围是[-4,0].题型 一 不等式性质的应用1.若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c答案 D 解析 解法一:⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒cd >0 c <d <0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd <d cd <0⇒1d <1c <0⇒-1d >-1c >0 a >b >0⇒-a d >-b c ⇒a d <b c .故选D. 解法二:依题意取a =2,b =1,c =-2,d =-1, 代入验证得A ,B ,C 均错误,只有D 正确.故选D.2.已知等比数列{a n }中,a 1>0,q >0,前n 项和为S n ,则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________.答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q =1时,S 3a 3=3,S 5a 5=5,所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时,S 3a 3-S 5a 5=a 11-q 3a 1q 21-q -a 11-q 5a 1q 41-q =q 21-q 3-1-q 5q 41-q =-q -1q 4<0,所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3.已知二次函数y =f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,求f (-2)的取值X 围.解 由题意知f (x )=ax 2+bx ,则f (-2)=4a -2b , 由f (-1)=a -b ,f (1)=a +b ,设存在实数x ,y ,使得4a -2b =x (a +b )+y (a -b ), 即4a -2b =(x +y )a +(x -y )b ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x +y =4,x -y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3,所以f (-2)=4a -2b =(a +b )+3(a -b ). 又3≤a +b ≤4,3≤3(a -b )≤6,所以6≤(a +b )+3(a -b )≤10, 即f (-2)的取值X 围是[6,10].1.判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断.2.比较两个数(式)大小的两种方法3.求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围,是避免错误的有效途径.如举例说明3.1.若1a <1b <0,给出下列不等式:①1a +b <1ab ;②|a |+b >0;③a -1a >b -1b ;④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A .①④B .②③C .①③D .②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0,所以b <a <0,|b |>|a |,所以|a |+b <0,ln a 2<ln b 2,由a >b ,-1a>-1b 可推出a -1a >b -1b ,显然有1a +b <0<1ab,综上知,①③正确,②④错误. 2.若a >0,且a ≠7,则( ) A .77a a<7a a 7B .77a a =7a a 7C .77a a >7a a 7D .77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0,因为77a a7a a 7=⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a =⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a -a =⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7-a.当a >7时,0<7a <1,7-a <0,⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7-a>1,当0<a <7时,7a>1,7-a >0,⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7-a>1. 综上知77a a>7a a 7.3.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值X 围是________. 答案 (-3,3)解析 ∵-4<β<2,∴0≤|β|<4,∴-4<-|β|≤0. ∴-3<α-|β|<3.题型 二 不等式的解法1.函数f (x )=1ln -x 2+4x -3的定义域是( )A .(-∞,1)∪(3,+∞) B.(1,3) C .(-∞,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x -3>0,ln -x 2+4x -3≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0,x 2-4x +4≠0.解得1<x <3且x ≠2,所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3). 2.解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax (a ∈R ). 解 本题采用分类讨论思想. 原不等式可化为ax 2+(a -2)x -2≥0.①当a =0时,原不等式化为x +1≤0,解得x ≤-1.②当a >0时,原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x -2a (x +1)≥0,解得x ≥2a或x ≤-1.③当a <0时,原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x -2a (x +1)≤0.当2a >-1,即a <-2时,解得-1≤x ≤2a;当2a =-1,即a =-2时,解得x =-1满足题意; 当2a<-1,即0>a >-2,解得2a≤x ≤-1.综上所述,当a =0时,不等式的解集为{x |x ≤-1};当a >0时,不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤-1;当-2<a <0时,不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤-1;当a =-2时,不等式的解集为{-1}; 当a <-2时,不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2-(a +1)x +1<0,a ∈R ”,如何解答? 解 若a =0,原不等式等价于-x +1<0,解得x >1.若a <0,则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)>0,解得x <1a或x >1.若a >0,原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0.①当a =1时,1a=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0无解;②当a >1时,1a <1,解⎝⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0得1a<x <1;③当0<a <1时,1a>1,解⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0得1<x <1a.综上所述,当a <0时,解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1;当a =0时,解集为{x |x >1};当0<a <1时,解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ;当a =1时,解集为∅;当a >1时,解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1.解一元二次不等式的四个步骤2.分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解. (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0);如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0,g x ≠0.1.关于x 的不等式x 2-2ax -8a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a =( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1,x 2为方程x 2-2ax -8a 2=0的两根,则x 1+x 2=2a ,x 1x 2=-8a 2.故(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(2a )2-4×(-8a 2)=36a 2=152,得a =52,故选A.2.不等式2x +1x -5≥-1的解集为________.答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x -4x -5≥0,等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x -4x -5≥0,x -5≠0,解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1.(1)若关于x 的不等式x 2-ax -a >0的解集为(-∞,+∞),某某数a 的取值X 围; (2)若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集,某某数a 的取值X 围. 解 (1)设f (x )=x 2-ax -a ,则关于x 的不等式x 2-ax -a >0的解集为(-∞,+∞)⇔f (x )>0在(-∞,+∞)上恒成立⇔f (x )min >0,即f (x )min =-4a +a24>0,解得-4<a <0(或用Δ<0).(2)设f (x )=x 2-ax -a ,则关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集⇔f (x )≤-3在(-∞,+∞)上能成立⇔f (x )min ≤-3,即f (x )min =-4a +a24≤-3,解得a ≤-6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2.(1)已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值X 围是________.(2)设函数f (x )=mx 2-mxx ∈[1,3],f (x )<-m +5恒成立,求m 的取值X 围. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )=x 2+mx -1<0对于任意x ∈[m ,m +1]恒成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m <0,f m +1<0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2-1<0,m +12+m m +1-1<0,解得-22<m <0.(2)要使f (x )<-m +5在x ∈[1,3]上恒成立,即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6<0在x ∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法:解法一:令g (x )=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6,x ∈[1,3].当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3),即7m -6<0,所以m <67,所以0<m <67;当m =0时,-6<0恒成立;当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1),即m -6<0,所以m <6,所以m <0.综上所述,m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二:因为x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34>0,又因为m (x 2-x +1)-6<0,所以m <6x 2-x +1.因为函数y =6x 2-x +1=6⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m <67即可.所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3.已知a ∈[-1,1]时不等式x 2+(a -4)x +4-2a >0恒成立,则x 的取值X 围为()A .(-∞,2)∪(3,+∞)B .(-∞,1)∪(2,+∞)C .(-∞,1)∪(3,+∞)D .(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数,记f (a )=(x -2)a +x 2-4x +4,则由f (a )>0对于任意的a ∈[-1,1]恒成立,所以f (-1)=x 2-5x +6>0,且f (1)=x 2-3x +2>0即可,解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-5x +6>0,x 2-3x +2>0,得x <1或x >3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解. (2)x ∈[a ,b ]的不等式确定参数X 围时,①根据函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求参数的X 围;②数形结合,利用二次函数在端点a ,b 处的取值特点确定不等式求X 围.如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ,b ]的不等式确定x 的X 围,要注意变换主元,一般地,知道谁的X围,就选谁当主元,求谁的X 围,谁就是参数.如举例说明3.1.若不等式x 2+ax -2>0在区间[1,5]上有解,则a 的取值X 围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-235,+∞ 解析 由Δ=a 2+8>0,知方程x 2+ax -2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x 2+ax -2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a >-235,故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-235,+∞. 2.函数f (x )=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,某某数a 的取值X 围;(2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,某某数a 的取值X 围; (3)当a ∈[4,6]时,f (x )≥0恒成立,某某数x 的取值X 围.解 (1)∵当x ∈R 时,x 2+ax +3-a ≥0恒成立,需Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,∴实数a 的取值X 围是[-6,2].(2)当x ∈[-2,2]时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图1,当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2.②如图2,g (x )的图象与x 轴有交点,但当x ∈[-2,+∞)时,g (x )≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0,x =-a 2≤-2,g -2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2-43-a ≥0,-a 2≤-2,4-2a +3-a ≥0, 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤-6,a ≥4,a ≤73,解得a ∈∅. ③如图3,g (x )的图象与x 轴有交点,但当x ∈(-∞,2]时,g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0,x =-a 2≥2,g 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-43-a ≥0,-a 2≥2,7+a ≥0, 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤-6,a ≤-4,a ≥-7.∴-7≤a ≤-6.综上,实数a 的取值X 围是[-7,2].(3)令h (a )=xa +x 2+3.当a ∈[4,6]时,h (a )≥0恒成立.只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0,h 6≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+4x +3≥0,x 2+6x +3≥0,解得x ≤-3-6或x ≥-3+ 6.∴实数x 的取值X 围是(-∞,-3-6]∪[-3+6,+∞).。
2021年高考数学第六章第1讲:不等关系与不等式
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不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的
实际背景.
二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二
元一次不等式组.
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,
并能加以解决.
基本不等式
a+b
2≥ab(a≥0,b≥0)
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
第1讲不等关系与不等式
1.实数大小顺序与运算性质之间的关系
a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
2.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b⇒a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc,
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0⇒a n>b n(n∈N,n≥1);。
高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和课件理新人教A版
(2)由(1)得 bn=3n+2n-1,
所以
Sn
=
(3
+
32
+
33
+
…
+
3n)
+
(1
+
3
+
5
+
…
+
2n
-
1)
=
3(1-3n) 1-3
+
n(1+2n-1) 2
=32(3n-1)+n2
=3n2+1+n2-32.
考点二 裂项相消法求和问题 【例 2】 (2020 届合肥调研)已知在等差数列{an}中,a2=12,a5=24,数列{bn}满 足 b1=4,bn+1-bn=an(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求使得b11+b12+b13+…+b1n>187成立的最小正整数 n 的值.
(2)由(1)得b1n=2n2+1 2n=2n(n1+1)=121n-n+1 1, ∴b11+b12+b13+…+b1n=121-12+12-13+…+1n-n+1 1=121-n+1 1=2(nn+1),即 2(nn+1)>187,解得 n>16, ∴满足条件的最小正整数 n 的值为 17.
►名师点津 利用裂项相消法求和的注意事项
|跟踪训练| 2.(2019 届安徽模拟)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)证明:{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)求证:aa1+1a21+aa2+2a31+…+aanna+n+11<1._________
证明:(1)由 an+1=2an+1,得 an+1+1=2(an+1). 又 a1+1=2,所以{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 所以 an+1=2n,因此{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)由(1)知aanna+n+11=(2n-1)2(n 2n+1-1)=2n-1 1-2n+11-1,于是aa1+1a21+aa2+2a31+…+ aanna+n+11=21-1 1-22-1 1+22-1 1-23-1 1+…+2n-1 1-2n+11-1=1-2n+11-1,所以aa1+1a21+ aa2+2a31+…+aanna+n+11<1.
2025届高三一轮复习数学课件(人教版新高考新教材)
1.1 集合
课标要求
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
(6)直线x=1和直线y=4的交点构成的集合为{1,4}.( × )
2.(多选)若集合A={x|x≤2}, a=√3 ,则下列结论正确的是( BC )
A.a⊆A
B.{a}⊆A
C.a∈A
D.{a}∈A
因为√3<2,所以 a∈A,{a}⊆A.
集合 A⊆B,但存在元素 x∈B, A⫋B
真子集
(或 B⫌A)
且 x∉A
集合 A 的任何一个元素都是
集合
集合 B 的元素,同时集合 B 的
A=B
相等
任何一个元素都是集合 A 的
元素,即 A⊆B,且 B⊆A
问题思考
(1)什么是空集?如何表示?
一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,用符号⌀表示.
(2)空集与任何集合之间有什么关系?
C.{x|4≤x<5}
1
3
B.
1
x|
3
1
x| 3
≤ x ≤ 5 ,则 M∩N=( B )
≤x<4
D.{x|0<x≤5}
如图,由交集的定义及图知
1
M∩N={x|3
≤x<4}.
第二环节
新高考2023版高考数学一轮总复习第1章第6讲基本不等式课件
立.
(3)ab-16=a+2b≥2 2ab,令 ab=t,
则 t2-2
2t-16≥0⇒t≥2
2+ 2
72=4
2,
故 ab≥32,即 ab 最小值为 32.(当且仅当 a=8,b=4 时取等号)故选
B.
考点二
利用基本不等式求参数的范围——师生共研
例4 (2021·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0,y>0,x+2y+2xy =8,则x+2y的最小值是4 ____.
6.(2020·江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最 4
小值是___5__. [解析] 由 5x2y2+y4=1 知 y≠0,∴x2=1- 5y2y4,∴x2+y2=1- 5y2y4+y2
=1+5y42y4=51y2+45y2≥2 245=45,当且仅当51y2=45y2,即 y2=12t;0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为__6__.
[解析] 解法一:(换元消元法) 由已知得 9-(x+3y)=13·x·3y≤13·x+23y2, 当且仅当 x=3y,即 x=3,y=1 时取等号. 即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0, 令 x+3y=t,则 t>0 且 t2+12t-108≥0, 得 t≥6,即 x+3y 的最小值为 6.
[解析] (1)x(3-2x)=12·2x(3-2x)≤12·2x+23-2x2=98, 当且仅当 2x=3-2x,即 x=34时取等号. (2)∵x>54,∴4x-5>0, ∴f(x)=4x-2+4x-1 5=4x-5+4x-1 5+3≥2 1+3=5. 当且仅当 4x-5=4x-1 5,即 x=32时取等号.
(3)y=x+1x的最小值是 2.
2021版新高考数学(山东专用)一轮课件:第6章+第1讲+不等关系与不等式
不等式 第一讲 不等关系与不等式1 知识梳理 • 双基自测2 考点突破 • 互动探究3 名师讲坛 • 素养提升知识梳理•双基自测知识点一 实数的大小与运算性质的关系(1)a >b ⇔___________;(2)a =b ⇔___________;(3)a <b ⇔___________.a -b >0 a -b =0 a -b <0 知识点二 比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,也可以先平方再作差.(2)作商法一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论(注意所比较的两个数的符号).a>c> >< >BDA3.(必修5P74T3改编)设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是( )C A.a-c<b-d B.ac<bdC.a+c>b+d D.a+d>b+c[解析] 由同向不等式具有可加性可知C正确.CC 5.(2019·全国)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|考点突破•互动探究考点一 比较代数式的大小——自主练透>考点二 不等式的性质——师生共研CDCC(1)在判断一个关于不等式命题的真假时,先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并根据性质判断命题的真假,有时还要用到其他知识,如本例中幂函数、对数函数的性质等.(2)在应用不等式的性质时,不可以强化或弱化不等式成立的条件,如“同向不等式”才可以相加,“同向正数不等式”才可以相乘.(3)在不等关系的判断中,赋值法是非常有效的方法.CDD角度1 应用性质判断不等式是否成立(2018·课标Ⅲ,12)设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则( )A .a +b <ab <0 B .ab <a +b <0C .a +b <0<ab D .ab <0<a +b 考点三 不等式性质的应用——多维探究B 例3(-4,2) (1,18)[1,7)[解析] (1)∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2,∴-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6, ∴1<3x+2y<18. (2)∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,又1≤a≤3,∴1≤a+|b|<7.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.AB名师讲坛•素养提升设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是______.[分析] 用f (1)和f (-1)表示f (-2),也就是把f (-1),f (1)看作一个整体求f (-2),或用待定系数法求解.利用不等式变形求范围[5,10]若题目中所给范围的式子比较复杂,一定要把这样的式子当成一个整体,利用待定系数法求解,在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件,如a<α<β<b中,千万不要忽略α<β这一条件.本例中若直接求出a,b范围,再求f(-2)范围,会因扩大范围而出错.(-2,10) [-1,5]。
2021版新高考数学(山东专用)一轮:第6章 第1讲 不等关系与不等式
题组二 走进教材
2.(必修 5P74T3 改编)若 a,b 都是实数,则“ a- b>0”是“a2-b2>0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] a- b>0⇒ a> b⇒a>b≥0⇒a2>b2, 但由 a2-b2>0 a- b>0.
3.(必修5P74T3改编)设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是( C )
A.a-c<b-d
B.ac<bd
C.a+c>b+d
D.a+d>b+c
[解析] 由同向不等式具有可加性可知C正确.
题组三 考题再现
4.(2016·北京)已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( C )
A.1x-1y>0
B.sin x-sin y>0
C.(12)x-(12)y<0
D.x+ln y>0
第六章 不等式
第一讲 不等关系与不等式
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔__a_-__b_>_0____; (2)a=b⇔_a_-__b_=__0____; (3)a<b⇔__a_-__b_<_0____.
(6)可开方性:a>b>0⇒n a>n b(n∈N,n≥2).
1.a>b,ab>0⇒1a<1b. 2.a<0<b⇒1a<1b. 3.a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. 4.若 a>b>0,m>0,则ba<ba++mm;ba>ba--mm(b-m>0).
2021届山东高考数学一轮创新课件:第6章+第1讲+不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
解
解
解
解
解
3
PART THREE
课时作业
A组 基础关
解析 答案
解析 答案
解析 答案
解析 答案
解-3,+∞)
解析
(-∞,1]
解析
解析
B组 能力关
答案
解析
解析 答案
答案
解析
(1,100)
解析
[-8,4]
解析
本课结束
第六章 不等式
第1讲 不等关系与不等式的性质及 一元二次不等式
1
PART ONE
基础知识过关
> = <
b<a a>c
ac>bc a+c>b+d ac>bd
an>bn
ac<bc
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
R
(x1,x2)
∅
∅
答案
解析 答案
解析 答案
解析 答案
[-4,0]
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 不等式性质的应用
解析 答案
解析
解
解析 答案
解析 答案
(-3,3)
解析
题型二 不等式的解法
解析 答案
解
解
答案
解析
解
解
解
解
解析
解
解
解
答案
解析
解析
最新-2021版一轮文数人教B版课件:第六章 第二节 均值不等式 精品
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成 本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获 利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
解析:(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为xy=12x
+80 x000-200≥2
1 80 2x·
x000-200=200,
即 a=13,b=53时取等号,故选 B.
3.设 a,b,c 均为正数,满足 a-2b+3c=0,则abc2的最小值 是_____3_____.
∵a-2b+3c=0,∴b=a+23c, ∴abc2=a2+94ca2c+6ac≥6ac4+ac6ac=3, 当且仅当 a=3c 时取“=”.
[典例] 首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节 能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用 的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 近似地表示为 y=12x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳 得到可利用的化工产品价值为 100 元.
角度二 通过常值代换法求最值
2.(2018·日照模拟)已知第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y-1
=0 上,则代数式2a+3b的最小值为( B )
A.24
B.25
C.26
D.27
因为第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y-1=0 上,所以 2a+3b- 1=0,a>0,b>0,即 2a+3b=1,所以2a+3b=2a+3b(2a+3b)=4 +9+6ab+6ba≥13+2 6ab·6ba=25,当且仅当6ab=6ba,即 a=b=15 时取等号,所以2a+3b的最小值为 25,选 B.
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• A.a-c<b-d
B.ac<bd
• C.a+c>b+d
D.a+d>b+c
• [解析] 由同向不等式具有可加性可知C正确.
题组三 考题再现
4.(2016·北京)已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( C )
A.1x-1y>0
B.sin x-sin y>0
C.(12)x-(12)y<0
D.ln x+ln y>0
题组二 走进教材
2.(必修 5P74T3 改编)若 a,b 都是实数,则“ a- b>0”是“a2-b2>0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] a- b>0⇒ a> b⇒a>b≥0⇒a2>b2, 但由 a2-b2>0 a- b>0.
• 3.(必修5P74T3改编)设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的C 是( )
(6)可开方性:a>b>0⇒n a>n b(n∈N,n≥2).
1.a>b,ab>0⇒1a<1b. 2.a<0<b⇒1a<1b. 3.a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. 4.若 a>b>0,m>0,则ba<ba++mm;ba>ba--mm(b-m>0).
题组一 走出误区 1.(多选题)下列命题正确的是( BD ) A.若ab>1,则 a>b B.a>b>0,c>d>0⇒ad>bc C.一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变 D.ab>0,a>b⇔1a<1b
知识点三 不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒___a_>_c___; (3)同向可加性:a>b⇔a+c___>___b+c;a>b,c>d⇒a+c__>____b+d; (4)同向同正可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac__<____bc;a>b>0,c>d>0 ⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an___>___bn(n∈N,n≥2);
等式中恒成立的是( C )
A.1a<1b
B.1a>1b
C.a>b2
D.a2>2b
(3)(2020·四省八校质检)若 logab<logac,则下列不等式一定成立的是( C )
A.ab<ac
B.ab>ac
C.ab<ac
D.ba>ca
[解析] (1)当 x=1,y=-1 时,满足 x>y,但1x>1y,x+1y=0<2,故 A、B 都错, 对于 C,∵x>y,∴-x<-y,∴2-x<2-y,正确;对于 D,2x+2-y≥2 2x-y>2,D 正确, 故选 C、D.
• 知识点二 比较大小的常用方法
• (1)作差法
• 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形, 常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方 式.当两个式子都为正数时,也可以先平方再作差.
• (2)作商法
• 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论(注意所 比较的两个数的符号).
• C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
考点突破 • 互动探究
考点一 比较代数式的大小——自主练透
例 1 (1)若 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小; (2)设 a>0,b>0,且 a≠b,试比较 aabb 与 abba 的大小; (3)若 a>b>0,试比较 a-b与 a- b的大小.
比较两个代数式的大小,常用的方法有两种,一种是作差法,解题步骤是:作差 —变形—与 0 比较,变形的方法主要有通分、因式分解、配方等,变形的目的是为了 更有利于判断符号.另一种是作商法,解题步骤是作商—变形—与 1 比较.作商法通 常适用于两代数式同号的情形.注意①若ab>1,b<0,则 a<b;②比较两式大小时可以 先赋值判断两式大小关系,以明确比较时变形的方向;③注意函数单调性在比较大小 中的应用.
[解析] (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x- y).∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
(2)aababbab=aa-b·bb-a=(ab)a-b.当 a>b>0 时,ab>1,a-b>0,∴(ab)a-b>1,∴aabb>abba; 当 b>a>0 时,0<ab<1,a-b<0,∴(ab)a-b>1,∴aabb>abba.
第六章 不等式
第一讲 不等关系与不等式
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
• 知识点一 实数的大小与运算性质的关系 • (1)a>b⇔___a_-__b>_0____; • (2)a=b⇔__a_-__b=__0____; • (3)a<b⇔___a_-__b<_0____.
(3)∵a>b>0,∴ a-b>0, a- b>0,又( a-b)2-( a- b)2=a-b-(a+b- 2 ab)=2 ab-2b,∵a>b>0,∴ a> b,∴ ab>b,∴2 ab-2b>0,即( a-b)2>( a - b)2,∴ a-b> a- b.
a+b
[引申]本例(2)的条件下 aabb___>___(ab) 2 .
考点北京海淀区高三模拟改编)已知 x>y,则下列各式中一
定成立的是( CD )
A.1x<1y C.2-x<2-y
B.x+1y>2 D.2x+2-y>2
(2)(2020·广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设 a>1>b>-1,b≠0,则下列不
(2)对于 A,当 a 为正数,b 为负数时,1a>1b,所以,A 错误;对于 B,当 a=2, b=12时,B 不成立,所以错误;对于 C,1>b>-1⇒b2<1,而 a>1,所以选项 C 正确; 对于 D,取反例:a=1.1⇒a2=1.21,b=0.8⇒2b=1.6.D 错误。
[解析] ∵x,y∈R,且 x>y>0,则1x<1y,
sin x 与 sin y 的大小关系不确定,(12)x<(12)y,即(12)x-(12)y<0,ln x+ln y 与 0 的大
小关系不确定,故选 C.
• 5.(2019·全国)若a>b,则(C ) • A.ln(a-b)>0 B.3a<3b