高中数学苏教版选修1-1学案：第2章 2 椭圆含解析
高级中学高中数学(苏教版)选修1-1导学案：2.2.2椭圆的标准方程(2)
学科：数学 年级：高二 课题：1-1（2-1）2.1.3椭圆及其标准方程(2)主备人： 学生姓名： 得分：学习目标：1. 能根据条件熟练地求出椭圆的标准方程.2. 借助椭圆方程巩固求曲线方程的一般方法．3. 学会代入法求轨迹方程学习难点：写出椭圆的标准方程,代入法求轨迹方程学习方法：自主预习，合作探究，启发引导一、导入亮标1．椭圆的定义?2．椭圆的标准方程？二、自学检测1、已知椭圆的方程为 192522=+y x ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____，焦点坐标为_______________，焦距等于2．已知椭圆的方程为15422=+y x ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____，焦点坐标为_______________，焦距等于3.经过)3,2(),0,4(B A -的椭圆的标准方程是4．将下列椭圆方程转化成标准方程．（1）22431x y +=,（2）22561x y +=．三、合作探究例1：如图，在圆422=+y x 上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段D PD ,为垂足。
当点PPD M 的轨迹是什么？为什么？例2：如图，设点B A ,的坐标为()()。
，、，0505-直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是4-，求点M 的轨迹方程．四、展示点评五、检测清盘1．已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线'PP ,点M 为'PP 上的点，且'2=,则点M 的轨迹方程________________．2．已知圆A :),6,0(,400)6(22B y x =++圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程___________________．3．若长度为8的线段AB 的两个端点B A 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在AB 上，且2=，求点M 的轨迹方程．4．若△ABC 的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为_ ．5. 动点P (,)x y 8=，则点P 的轨迹是6. 已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F1、F2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF1的中点，若OQ ＝1，则PF1＝________.7．已知椭圆)0(2222>=+a a y x 的左焦点1F 到直线2-=x y 的距离为22， 求椭圆的标准方程．8. 已知方程112222=-++m y m x 是焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．9．()），（05B 5,0-A 直线BM AM 、交于点M ，且它们的斜率之积是2516-，求点M 的轨迹方程．10．B A ,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-为圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x C 上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于P ，求P 的轨迹方程．。
苏教版高中数学(选修1-1)2.2《椭圆》word教案
2.2.1椭圆的标准方程【新课程教学过程一】教学过程㈠创设情景情境一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义。
上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？[平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距]情境二：展示图片一，思索：油罐的横截面是不是椭圆？情境三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆型建筑如何设计？情境四：展示图片三，思索：“嫦娥奔月”中卫星如何精确定位？通过研究椭圆的方程，可以帮助我们回答这些问题。
目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题．㈡互动探究椭圆标准方程的推导问题1：联想必修2中圆方程的推导步骤是如何的？（建立坐标系、设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程）问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．通过几何画板来画一个椭圆，让学生思考根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．☆结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么．⑴建立直角坐标系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy ．⑵设点的坐标：设点P （x ，y ）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为()()120,0F c F c - , 、．⑶列等式：依据椭圆的定义有|PF 1| + | PF 2| = 2a .2a =．目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2-2-1 椭圆的标准方程 -含答案
2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程[思考]121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12. ∴S △12PF F ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3.反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长． 解 如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有AF 1＋AF 2＝2a ＝10，BF 1＋BF 2＝2a ＝10， AF 2＋BF 2＝AB ，所以△AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2 ＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝20.题型三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示． 由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴PB ＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距PA ＝10－r ， 即PA ＋PB ＝10(大于AB ＝6)．∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝AB ＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.分类讨论思想的应用例4 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点．P 为椭圆上的一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值． 分析 已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由PF 1＞PF 2，知∠PF 2F 1＞∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2不会是直角，但是∠F 1PF 2与∠PF 2F 1都有可能为直角，故应分类讨论．解 由题意，得PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝2 5. 根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22， 即PF 21＝(6－PF 1)2＋20，解得PF 1＝143，PF 2＝43，故PF 1PF 2＝72；若∠F 1PF 2为直角，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 即20＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2(由于PF 1＞PF 2， 故舍去PF 1＝2，PF 2＝4)，故PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2的值为72或2.解后反思 分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论．1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案 线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2， ∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 答案 2解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k －1＝1， 解得k ＝2.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 6解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△12pF F ∆2是直角三角形， 则S △12pF F ∆＝12×3×4＝6.4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆． 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， 所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100， 即196－2PF 1·PF 2＝100. 解得PF 1·PF 2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质(二)
2．2.2 椭圆的几何性质(二) 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示： 位置关系满足条件 P 在椭圆外x 20a 2＋y 20b 2>1 P 在椭圆上x 20a 2＋y 20b 2＝1 P 在椭圆内x 20a 2＋y 20b2<1知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？梳理直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)AB＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]；(2)AB＝1＋1k2|y1－y2|＝(1＋1k2)[(y1＋y2)2－4y1y2](直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判定。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.2 椭圆的几何性质》5
《直线与椭圆的位置关系》教学设计一、教材分析及学生情况分析本节课是平面解析几何的核心内容之一。
在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。
本节内容是《直线与椭圆的位置关系》，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。
这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
所以是承上启下的一节课。
这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。
数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。
因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。
学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。
本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。
本班为文科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。
二、教学目标知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系；②会进行位置关系的判断，计算弦长。
过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法，学会解决相关的问题。
情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用教学难点：应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系四、教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。
苏教版选修(1-1)2.2《椭圆》word教案
3
D.
3 3
2.已知椭圆
x2 y2 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一个直角三角形的三 16 9
）
个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（
A.
9 5
B.
9 7 7
C.
9 4
D.
9 9 7 或 4 7
x x ， x2 y2 3 1 y 0 ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两点） 由题意有 代入①，得 A 的轨迹方程为 ． y 900 324 y 3
小结：对于求椭圆标准方程的题型主要有两种，一种是利用标准方程中胡 a、b、c、e 的几何意义及其关系，
讲授法
教学过程
一、椭圆的定义 平面内，到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定长（大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这俩个定点叫做椭圆的_________,俩个焦点的距离叫做椭圆的________.
2a F1 F2 轨迹为椭圆 ※ 2a F1 F2 轨迹为____ 2a F F _________ 1 2
习题： 1．椭圆 2 x 2 3 y 2 6 的焦距是（ A A．2 ） C． 2 5 D． 2( 3F1、F2 是定点，|F1F2|=6，动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6，则点 M 的轨迹是（ C ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 5 3 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0） ，且椭圆过点 ( , ) ，则椭圆方程是 （ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A． y x 1 B． y x 1 C． y x 1 D． x y 1 10 6 4 8 8 4 10 6 4．方程 x 2 ky 2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是（ D A． (0,) B． （0，2） C． （1，+∞） ）
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2 椭圆》
直线与椭圆专题教学设计一、教材与学情分析本节课是文科的一节复习课，主要考察直线与椭圆的相关问题，重点考查学生对直线方程与椭圆方程联立求交点问题的掌握情况．直线与椭圆的相关问题是历年高考的一个热点问题，例如弦长问题，面积问题等等．而对这些问题进行剖析，它们的起点即最基本的一个知识点，就是直线与椭圆方程联立求交点坐标．但是直线与椭圆方程联立求交点问题一直都是学生的难点．因此，基于以上分析，设计了＜直线与椭圆专题练习＞，见附录，该练习中，包含了直线与椭圆相交中的最基本的几种情况，如过原点的直线，过椭圆上一定点的直线，希望通过这些问题的解决，进一步总结归纳此类问题的方法．此外，针对学生在练习中出现的问题，分块进行梳理与讲解．二、教学目标与重难点教学目标1、对易错问题进行识别、辨析，加强认识，避免类似的错误发生；2、对直线与椭圆相交求交点问题，进行方法的归纳与总结；3、对于方法多样的题目，进行比较分析，选择最优解法，渗透最优化思想；对于综合问题，进行解析，回归到最基本的知识点，养成良好的分析问题解决问题的习惯．重点：直线与椭圆相交求交点方法．难点：直线与椭圆相交求交点方法．三、教学过程一易错问题分析——抛物线标准方程与准线1．抛物线2＝4的准线方程是错误!．这道题目错误率不高，但这一直是学生的易错点，将错误答案展示出来，请原来做错的同学分析错误原因，总结一般方法，达到强化作用．二方法归纳：直线与椭圆相交求交点1过原点的直线5．在平面直角坐标系O中，已知椭圆错误!＋错误!＝1，过坐标原点，斜率为的直线交椭圆于满足m≠0，且m≠±错误!．1 用m表示点E，F的坐标；2 若△AMF的面积是△BME的面积的2倍，求m的值．显然，第7题是一道综合问题，而这样一个综合问题，经过我们的分析，发现最后都是回归到基础问题．如第一问，这就是过椭圆上一个已知定点的直线与椭圆相交求交点问题．而第二问，也涉及到了方法的选择，但是无论是哪种方法，最后都要回归到第一问的两个交点坐标上．因此对于复杂的综合问题，我们应该仔细分析，回归到最基础的问题，难题也就迎刃而解了．四、附：直线与椭圆测试卷1．抛物线2＝4的准线方程是错误!．2．在平面直角坐标系O中，椭圆的中心为坐标原点，若椭圆的短轴长为2，动点M2，tt∈R在椭圆的准线上，则该椭圆的标准方程为错误!．3．在平面直角坐标系O中，F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2垂直于轴，若直线MF1的斜率为错误!，则椭圆的离心率为错误!．4．在平面直角坐标系O中，椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的离心率为错误!，且经过点1，错误!，则椭圆的标准方程为错误!．5．在平面直角坐标系O中，已知椭圆错误!＋错误!＝1，过坐标原点，斜率为的直线交椭圆于满足m≠0，且m≠±错误!．1 用m表示点E，F的坐标；2 若△AMF的面积是△BME的面积的2倍，求m的值．应用－选做如图，在平面直角坐标系O中，椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的焦距为2，且过点错误!，错误!．1求椭圆的方程；证：直线m过定点，并求出定点的坐标．。
高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章2.2 椭圆
2．2椭__圆2．2.1 椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足P A ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得 x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6， 化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标 (±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5. b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B )由已知得，⎩⎨⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫3π4，2π. (2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π4. [一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k ＝－1可化为x 25－k ＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中， 由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2， 即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5.由⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2. ∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22.∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1.由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.①由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ， 即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)， 则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )， 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.2．2.2 椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质． 以方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？ 提示：由y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，得－a ≤x ≤a .同理－b ≤y ≤b .问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1] 求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析] 椭圆的方程可化为 x 2＋y 281＝1，∴a ＝9，b ＝1， ∴c ＝81－1＝80＝4 5， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－4 5)，F 2(0,4 5)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)， B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 59.[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4， 得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ， 得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有 22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13， 又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2， 即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通](1)椭圆的离心率的求法：①直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . ②将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF ·2PF 的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)， 则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF ＝(c －x ，－y )，1PF ·2PF ＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF ·2PF )max ＝b 2， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R 15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375. ∴e ＝c a ＝3752 750＝322.答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝ 3.∴P 点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)，同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝23(km 2)，所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km 2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是__________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1. 7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P (－c ，b 2a )，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.。
江苏省高级中学(苏教版)高中数学选修1-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质
课题：§2.2.2 椭圆的几何性质【学习目标】1.掌握椭圆的简单的几何性质.2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法.3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【学习重点】椭圆几何性质及其简单应用【学习难点】椭圆几何性质及其简单应用【学习过程】一．问题情境1.解析几何研究哪两个问题？2.前面我们学习如何建立椭圆方程，这节课研究椭圆有哪些性质.（离心率对椭圆形状的影响）例2：求下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(2,0)P -和(0,3)Q -； （2）长轴是短轴的3倍，且过P （3,0）；（3）过点，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点； （4）中心在原点，对称轴都在坐标轴上，且过点)2.3(-,离心率为33。
例3：(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4，求椭圆离心率；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,求此椭圆的,离心率。
（3）已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.例4.椭圆 12222=+by a x )0(>>b a 的两个焦点分别为21,F F ，短轴的一个端点为P.(1) 若21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率；（2）若21PF F ∠为钝角，求椭圆的离心率的取值范围.四．回顾小结 五.课堂检测1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4（3）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6（4）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 2.设F 是椭圆的一个焦点，1B B 是短轴，160B FB ∠=,求椭圆的离心率.3.已知椭圆短轴上的两个三等分点和两个焦点构成一个正方形，求椭圆离心率.4.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 5. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.2 椭圆的几何性质》2
1．已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长为 ；2．已知椭圆1422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，若21PF F ∠为直角，则点P 的坐标为 ； 变式：已知椭圆1422=+y x 的左、右为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为 ； 3若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为短轴的端点，若 6021=∠PF F ，则该椭圆的离心率为 ； 变式：若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，若 6021=∠PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ；例1 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，记n PF m PF ==21,，则n m ⋅的取值范围是 ；变式：若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，记2212b PF PF =⋅，则椭圆的离心率的取值范围是 ；例 2 椭圆121022=+y x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，21PF F ∠为直角，则21F PF ∆的面积为 ；变式1：椭圆121022=+y x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点， 6021=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为 ；变式2：若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，满足021=⋅PF PF ，若21F PF ∆的面积为9，则=b ；变式3：若椭圆1162522=+y x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，若21F PF ∆的面积为3316，则=∠21PF F ；变式4：椭圆121022=+y x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点， 6021=∠PF F ，则点P 到x 的距离是 ；反馈练习：1 椭圆12422=+y x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，则满足021=⋅PF PF 点P 有 个；2．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，满足421=F F ， 6021=∠PF F ，若21F PF ∆的面积为334，则椭圆的方程为 ； 3．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，若 12021=∠PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ；4．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，若213PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ；。
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课题：2.2.2椭圆的几何性质授课教师：苏州高新区第一中学金鹏教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1一、教学目标：1．从图形上体会曲线的美，并掌握椭圆的简单的几何性质；2．感受运用方程研究曲线几何性质的过程与思想方法；3．能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．二、教学重点、难点：重点：椭圆的简单的几何性质及利用方程研究曲线性质的方法；难点：如何运用椭圆标准方程研究椭圆的几何性质．三、教学方法与教学手段：本节课采用启发式教学，合作探究式学习，突出教师的“导〞和学生的“探〞．通过问题激发学生求知欲，借助多媒体等工具，让学生在教师的引导下参与探究活动，主动去观察、分析问题，并通过探究实验，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解．四、教学过程：〔一〕创设情境，提出问题多媒体展示视频．问题1．如何求轨道运行的方程？【设计意图】通过一段振奋人心的视频，让学生进一步感受圆锥曲线的实际背景，并通过问题1来点燃学生的求知欲，引导学生用数学的眼光观察问题，为新课顺利进行做好铺垫．〔二〕数学探究感悟抽象问题2．接下来我们要研究什么呢？以“怎么样来研究？〞为话题展开小组讨论，引导同学们解决两个问题，一个是椭圆有哪些性质？第二个是怎么来研究？学生通过回忆类比，确定研究目标和研究方案．【设计意图】启发学生从数学内部提出问题，通过类比、回忆，引导学生思考研究的内容与方法，探索本节课研究的目标、任务及内容，从学生的认知规律出发，引导学生通过观察、分析、方程的特点，体验新旧知识的联系与区别，同时为利用方程探究椭圆曲线的几何性质做好了准备．以焦点在轴的椭圆：为例，问题3．怎样研究它的性质呢？探究1．结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆的范围．情形1：方程可以变形为：，即，所以得到了椭圆在标准方程下的范围：．同理，我们也可以得到的范围：．情形2：方程可以变形为：，即，所以得到了椭圆在标准方程下的范围：．同理，我们也可以得到的范围：．说明：椭圆应该位于直线和所围成的矩形内．【设计意图】教学中，引导学生从特殊到一般，通过抽象出来的椭圆的表达式来进行观察，通过引导学生建立一个不等关系与构造函数关系式来研究椭圆的范围，一方面丰富了学生的数学表征，开展了学生的思维，而且还让学生体会到了函数的思想和方程的思想等重要的数学思想方法．探究2．继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆的对称性．在椭圆的标准方程中，把换成方程并不改变，说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点是也在椭圆上，因此，椭圆是关于轴对称的；同理：把换成前方程不变，说明椭圆关于轴对称；同时把，换成，前方程不变，说明椭圆关于原点对称．定义：坐标轴是该椭圆的对称轴，原点是该椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．思考：椭圆既然有对称性，它的对称轴一定是坐标轴吗？【设计意图】将新知识同化、顺应到已有的认知结构中来，引导学生用数学的思维进行分析，用数学的语言进行表述，认知结构不断完善．探究3．再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆的“顶点〞．在方程中，令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点．同理，是椭圆与轴的两个交点．定义：把椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点．思考：椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？【设计意图】学生通过直观想象，体验下定义的过程，由于学生对顶点的理解会存在一定的片面性，通过让学生发现问题后准确抽象出概念，并通过思考，让学生对顶点有更深刻的认识，在认知冲突的中提高抽象的能力．问题4．过椭圆中心的直线与椭圆相交的线段中哪个最长？你能证明吗？定义：把线段A1A2，线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，其中a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．【设计意图】学生经历直观想象→猜测→实验→证明→结论的过程，学会用数学的思维思考问题，提高学生的逻辑推理与数学运算的能力．思考：椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置呢？【设计意图】在引入长、短轴及半轴长的概念后及时说明在推导椭圆的标准方程时引入b的必要性与合理性．通过思考进一步稳固椭圆长轴、短轴的概念，深化对的本质理解．探究4．结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆的“扁〞的程度．第1步．观察比拟，发现问题；第2步．提出问题，大胆猜测；问题5．椭圆的“扁〞的程度会与哪些量有关呢？【设计意图】学生对椭圆“扁〞的程度有初步的感性认识．引导学生认识到椭圆方程中a与b的变化是椭圆“扁〞的程度发生变化的根源，学生易于将这种认识上升到理性高度，用这一比值来表示椭圆的“扁〞，这个也符合学生的认知结构．第3步．回归定义，实验探究；问题6．用什么样的量来刻画椭圆的“扁〞的程度呢？请同学们完成下面两个实验．〔1〕将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度〔分别加长、缩短〕，观察椭圆“扁〞的程度的变化规律；〔2〕细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的“扁〞的程度的变化规律．第4步．比拟分析，抽象概念．【设计意图】离心率是一个难点，基于从具体到抽象，由浅入深，由表及里的原那么设计了4个步骤思维引导，通过实验，发现问题，提出问题，在合作探究中解决问题，享受数学．定义：把焦距与长轴长的比值叫做椭圆的离心率,记作e，即．问题7．离心率的大小如何影响椭圆的“扁〞的程度？用几何画板进行演示，让学生观察到，e越大〔接近1〕，椭圆越扁；e 越小，〔接近0〕，椭圆越圆．思考：离心率的范围是多少？鼓励学生给出代数的证明．【设计意图】通过分析，引导学生比拟、筛选、优化，了解用这个比值刻画椭圆“扁〞的程度的合理性．从两个方面认识离心率：e的范围和e的变化对椭圆形状的影响，并借助几何画板加深认识，使教学更富有灵性，彰显智慧．引导学生把刚研究的这些几何性质小结并类比说出椭圆的几何性质〔表格〕．稳固新知求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【设计意图】进一步稳固所研究的几何性质，让学生体会到先由方程研究曲线的几何性质，再运用几何性质解决有关问题〔如作图等〕，进一步提高学生的数据分析的能力，体会形与数的完美结合．〔三〕数学运用，能力提升例题我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心简称“地心〞F2为一个焦点的椭圆．它的近地点A〔离地面最近的点〕距地面439km，远地点B〔离地面最远的点〕距地面2384km，地球半径约为6371km，假设AB是椭圆的长轴，求卫星运行的轨道方程．【设计意图】加深对几何性质的理解，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，感受实际问题的解决过程，让学生感受数学文化．〔四〕活动回忆，深化认识先和学生一起回忆整个知识的探究和发生的过程，再提出同学们需要关注的几点：1．椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无关．2．离心率的刻画；【设计意图】以活动回忆为契机，帮助学生回忆反思本节课学习的内容与研究方法，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．特别是对于容易混淆的内容再次提出3个关注，使学生由模糊到清晰、由清晰到深刻．〔五〕课外延展，自主探究1．阅读与数学探究〔太阳系中的行星运动轨迹〕；2．P36—2、3、6；P38—15〔猜测椭圆的面积公式〕．【设计意图】通过设置阅读材料，引导学生去了解更多的课堂中没有的知识，体验数学的文化价值．并把学生的探究活动从课内延伸到课外，这对于培养学生的数学素养具有积极的意义．附：教学设计说明1．关注教材设计，在钻研中领会意图把培养学生的创造性的思维能力和解决实际问题的能力放在首位．充分挖掘教材资源，利用上节课的例2与本节课的例2，把这两个例题改编为根源性问题，引导学生深入探究椭圆的性质．教材中第一句就提示：“在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．〞通过椭圆与圆之间的内在联系进行类比探索，发现椭圆的几何性质，再利用标准方程进行证明，表达“利用方程研究曲线性质〞的本质，既表达教材的设计意图，更符合学生的认知规律．2．关注学生开展，在活动中开展思维以学生为主体地位，开展学生的认知力，教学生学会思考，体会数学内容的本质．如：让学生类比联想，发挥想象，启发学生从数学内部提出问题〔研究什么〕，探究怎样解决问题〔怎么研究〕；再如：利用方程推导性质，培养学生的逻辑思维，在探究顶点时，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．并用数学的思维思考问题，并围绕问题4，学生经历直观想象→猜测→实验→证明→结论的过程，将几何性质的研究更深入，代数方法的使用更全面．又如：通过“动手实验〞，在抽象中培养学生探究抽象意识，让学生发现影响椭圆“扁〞的程度发生变化的根源，并将这种认识上升到理性高度，体会怎么样定义才更合理，使学生在概念发生、开展的过程中感受数学的本质，培养学生的思维能力．3．关注核心素养，在探究中享受数学教学中紧扣方程，自始至终表达利用方程研究曲线的意识，把知识点的掌握转化为探究过程，并把探究的领域一次次地扩大，一次次地深入．让学生经历从特殊到一般的探究过程，从理性的思维进行分析，提高学生的逻辑推理与数学运算的能力．在探究“离心率〞时，借助一系列动态变化的椭圆，与学生一起讨论、交流，让学生用数学的眼光观察问题，培养数学抽象与直观想象的能力，并通过课堂回忆及延展，把学生的探究活动从课内延伸到课外，引导学生去了解更多的表达数学的文化价值，不仅提升了学生的数学素养，也让学生在探究中享受数学．。
苏教版数学选修1-1(2)椭圆
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集第2章 圆锥曲线与方程 （1）椭圆1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数 （21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆． ⑴若2a ＞21F F ，则动点P 的轨迹是椭圆 ⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F 1F 2 ⑶若2a ＜21F F ，则动点P 无轨迹2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a b y a x 焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a bx a y 焦点),0(1c F -),0(2c F注:222b a c -=椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+3．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的性质：(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-(2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，c ±(4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c(5)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的，准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2a c .通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2b a，焦准距（焦点到对应准线的距离）c b 2．(6)离心率O F B ab ac a c e 222222cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁 (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和0202)(ex a ca x e PF -=-=． 4．椭圆的的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部220022x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部220022x y a b⇔+> 5．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是12222=+++λλb y a x （02>+λb ）．与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：λ=+2222b y a x 或λ=+2222bx a y ．。
高中数学 2.2椭圆学案1苏教版选修1-1
《椭圆一》班级 姓名学习目标：椭圆的标准方程和几何性质（中心在坐标原点） (B)重点、难点： 椭圆标准方程任务一、椭圆的定义：平面内一点P 与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数.即|PF 1|+|PF 2|=2a （a>0).(1)若2a>|F 1F 2|,则点P 的轨迹为 ;(2)若2a=|F 1F 2|,则点P 的轨迹为 ;(3) 若2a<|F 1F 2|,则点P 的轨迹为 .2)平面内点P 与定点F 的距离和它到定直线l 的距离d 的比是常数e ∈ 的点的轨迹叫做椭圆.定点F 为椭圆的 ，定直线l 为椭圆的 . 任务二、1.填空题：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0),(4,0)-，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程是_____________.（2）焦点在坐标轴上，且经过2)A -和(B -两点的椭圆的标准方程是___________.（3）ABC ∆的两个顶点坐标分别是(0,6)B 和(0,6)C -，另两边,AB AC 的斜率的乘积是49-，则顶点A 的轨迹方程是_______________． （4）一动圆与已知圆221:(3)1O x y ++=外切，圆222:(3)81O x y -+=内切，则这动圆圆心的轨迹方程是_______________．2.准备一张纸片（如图1）（其中点表示圆心，点表示圆内除点以外的任意一点。
）将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过点（图2），将折痕用笔画上颜色。
继续上述过程，绕圆心一周。
观察看到了什么？想一想为什么？3.以椭圆221123x y+=的焦点为焦点，过直线:90l x y-+=上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．。
苏教版选修1-1高中数学2.2.2《椭圆的几何性质》word教案1
江苏省涟水县第一中学高中数学 2.2.2 椭圆的几何性质（1）教学案苏教版选修1-1教学目标：1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴． 2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质．教学重点：椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点．教学难点：椭圆几何性质的研究过程，即如何运用椭圆标准方程研究椭圆的几何性质．教学过程：一、问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a ，b ，c 的关系．2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二、学生活动（1）探究椭圆的几何性质．阅读课本第32页至第33页例1上方，回答下列问题：问题1 椭圆的范围是指椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b +=>>中x ，y 的范围，可以用哪些方法推导？问题2 借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？问题3 椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？ 三、建构数学1．范围． 由方程22221x y a b +=可知，椭圆上点的坐标都适合不等式222211x y a b =-≤，即22x a ≤，所以 x a ≤，同理可得y b ≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称．从方程22221x y a b +=上看：（1）把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称；（2）把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称；（3）把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆中心．3．顶点： 在方程22221x y a b +=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)Aa -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点． （1）顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；（2）长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b ；（3）a ，b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长．四、数学运用 例1 求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．例2 求符合下列条件的椭圆标准方程（焦点在x 轴上）：（1（2）已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程．2．练习．（1）根据前面所学有关知识画出下列图形 ①13422=+y x ． ②1422=+y x ． （2）在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( )A ．y x 42=B ． 022=++y xy xC ． x y x 5422=-D ．4922=+y x班级：高二（ ）班 姓名：____________1．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为________，短轴长为______，焦点坐标为____________，顶点坐标为____________2.根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4（3）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为 1（4）中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为（5）已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．3.点A （2a ，1）在椭圆22142x y +=的外部，则a 的取值范围是4．已知两椭圆x225＋y29＝1与x29－k ＋y225－k＝1(0<k<9)，则它们有相同的________． 5．已知点(m ，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m ＋4的取值范围是____________．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.2 椭圆的几何性质》
椭圆中的焦点三角形一、建构数学1定义：椭圆上任意一点异于长轴端点与椭圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三角形2焦点三角形构成要素之间的关系以椭圆方程为为例，两焦点分别为椭圆上任意一点为P，设焦点三角形①焦点三角形的构成：三边：两条焦半径，焦距，三角：设②构成要素的关系：其中一边为焦距，另两边的和二、性质探究性质1：焦点三角形的周长为性质2：椭圆的离心率与边的关系椭圆的离心率与角的关系证明：由正弦定理得，由等比定理得：而，∴例1．设椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，求证：的面积证明：性质3：焦点三角形的面积为稳固练习：假设P为椭圆上的一点，为椭圆的左右焦点，假设，求点P到轴的距离解：设点P到轴的距离为h，，又，所以例2椭圆的左、右焦点,在椭圆上找一点P,使最大,并求出这个最大角的余弦值证明：在中，由余弦定理得：当且仅当,即点P位于短轴端点处等号成立所以当P在短轴端点处时最大，此刻或师：结合性质3中的面积公式，你还能得出什么结论吗？生：当最大时，由面积公式可知，焦点三角形的面积也到达最大所以焦点三角形的面积最大时，P在短轴的端点处师：很好！我们也可以用另外一个面积公式：×底×高这里底是，高是点P的纵坐标的绝对值，当P点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，所以在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值性质4：焦点三角形中，或性质5：焦点三角形中，假设最大，那么点P为椭圆短轴的端点，此时焦点三角形的面积最大稳固练习：假设是椭圆的两焦点, 椭圆上存在一点，使得,求椭圆离心率的范围解：，即，所以三、提炼升华例3椭圆的焦点为,P为其上的动点,当为钝角时,求点P的横坐标的取值范围解法1〔余弦定理〕：，由余弦定理得：，为钝角，解得：解法2〔余弦定理〕：因为钝角,那么在中有＊易知,那么设点P的横坐标为,那么由焦半径公式,得又,将上面三个式子代入＊式,解得解法3〔向量〕：由题意，设，那么因为为钝角，所以，即那么有，又点P在椭圆上，那么，两式联立消去得到变式训练1：假设为直角呢？为锐角呢？师：这题的解法还是很多的如果我们把问题变成为直角或者锐角呢？也可以类似上述解法进行处理这类问题我们还可以从几何角度来看，如果是直角的话，点P就在以原点为圆心，为直径的圆上，在椭圆上，联立得①是直角，那么点P在圆和椭圆的四个交点位置，所以点P的横坐标②为锐角，那么点P就在圆外，那么点P在圆外的椭圆局部，所以点P的横坐标范围为或③为钝角，那么点P就在圆内，那么点P在圆内的椭圆局部，所以点P的横坐标范围为变式训练2：是椭圆的焦点，点P在椭圆上，满足的点P的个数有多少？解：由上面的研究知点P有4个变式训练3:是椭圆方程为的焦点，点P在椭圆上，满足的点P的个数有多少？解：点P在以原点为圆心，为直径的圆上，在椭圆上，联立得，那么点P在短轴的端点，有2个总结：是椭圆方程为的焦点，点P在椭圆上，探究满足的点P的个数？研究方法1：由上面的研究可知，点P满足，那么P在以原点为圆心，为直径的圆上，的个数是由圆方程与椭圆方程的交点个数决定的而，圆与椭圆的交点个数就取决与的大小关系①时，点P个数为0个②时，点P个数为2个③时，点P个数为4个研究方法2：由性质4、5知，焦点三角形中，当点P在短轴端点时，最大，此时可以计算的值，从而找到的最大值，假设最大值大于90度，那么由对称性知，有4个点；假设最大值等于90度，那么有2个点；假设最大值小于90度，那么有0个点①时，点P个数为0个②时，点P个数为2个③时，点P个数为4个两种研究方法的结论是一致的，只是研究的角度不同而已四、回忆总结。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.2 椭圆的几何性质》99
课题：椭圆的几何性质教学目标：1掌握椭圆的简单的几何性质和范围，对称性，顶点，离心率等2感受如何运用方程研究曲线的几何性质3．能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题教学重点：掌握椭圆的简单几何性质教学难点：运用方程的简单几何性质处理一些简单问题教学过程：一．学习引导，自主整理1．练习：点P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，21,F F 是焦点，且ο6021=∠PF F ， 则∆21PF F 的面积为2．知识构建：问题1、怎样由椭圆的标准方程画出它的草图？问题2、c b a ,,具有什么样的几何意义？二．知识应用，交流探究（椭圆的几何性质）：1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：三．精选精练，例题探讨例1．求椭圆221625y x +400=的长轴和短轴的长、离心率，焦点坐标和顶点坐标变式引申：求适合下列条件的椭圆标准方程：⑴ 经过点)0,3(),0,3(Q P - ⑵ 长轴长等于,20离心率为53 例2 已知椭圆m y mx 5522=+的离心率510=e ，求m 的值例3 比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？①112163692222=+=+y x y x 与 ②36922=+y x 与110622=+y x巩固练习：【A 组题】（1）椭圆116914422=+y x 的焦点为（2）已知椭圆13422=+y x ，点21,F F 是它的焦点,AB 是过点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是（3）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则其离心率为（4）方程 412x y -=所表示的曲线是______________________________ （5）椭圆长轴长是短轴长的3倍，且过点)0,3(P ,则椭圆标准方程是【B 组题】（6）已知点M 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为3:2，求点M 的轨迹方程。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.1 椭圆的标准方程》1
椭圆及其标准方程
常州市北郊高级中学陶华
【教学目标】
1．知识与技能目标：
理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导，会根据条件求椭圆
的标准方程．
2．过程与方法目标：
通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生数学建模和数学运
算能力，进一步体会数形结合的思想，培养学生运用类比、联想等方法提
出并解决问题．
3．情感态度与价值观目标：
通过经历椭圆标准方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美．[
【教学重点】椭圆定义和标准方程
【教学难点】椭圆标准方程的推导与化简
【教学过程】
一、创设情景，引入课题
生活中有许多椭圆形的实际例子，比方在宇宙中有许多天体的运行轨道，鸟巢，大剧院等等。
它们究竟是不是椭圆？怎么判断？怎么建立椭圆的方程？
二、学生活动，形成方法
〔1〕复习椭圆的定义；
〔2〕回忆求圆的标准方程的根本步骤
三、师生互动，导出方程
牛刀小试
1以下方程哪些是椭圆方程？假设是，指出焦点在哪个坐标轴上2求以下椭圆的焦点坐标
3椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离
四、尝试运用，深化理解
例1、求适合以下条件的椭圆的标准方程:
例2
五、课堂小结
1、知识上：
〔1〕椭圆的标准方程的推导〔2〕椭圆的标准方程
2、思想方法上：
〔1〕类比思想，数形结合思想〔2〕定义法，待定系数法。
苏教版数学高二-苏教版选修1-1第二章导学案 椭圆的几何性质1
2.2.2 椭圆的几何性质一、学习目标1． 掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．明确标准方程中a ，b 的几何意义.二、自我构建若椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)． 1．范围：方程中x 、y 的取值范围分别为______________．2．对称性：从图形上看，椭圆关于________、________和________对称，_______是椭圆的对称轴，_______是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做________________．3．顶点：椭圆的四个顶点坐标为_______________________________．长轴长为________，短轴长为________．三、学以致用例1.求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．．例2.求符合下列条件的椭圆的标准方程(焦点在x 轴上）：（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0）．四、总结提高 1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．五、同步反馈1.椭圆22194x y +=的长轴长为________，短轴长为______，焦点坐标为____________，顶点坐标为____________.2．点A （3a ，1）在椭圆22192x y +=的外部，则a 的取值范围是 . 3．根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 ;（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4 ;（3）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为 1 ;（4）中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为4.已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．5．设0<k<9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的________． 6．已知点(m ，n )在椭圆9x 2＋3y 2＝81上，求2m ＋4的取值范围。
苏教版数学高二-【新学案】 选修1-1教学案 椭圆的几何性质(2)
2.2.2椭圆的几何性质(2)教学过程一、数学运用【例1】(教材第33页例2)如图(1),我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2 384km,AB是椭圆的长轴,地球的半径约为6 371km,求卫星运行的轨道方程.(见学生用书P23)(例1(1))引导学生先建立适当的直角坐标系,再分析题意寻求a,b,c的关系,从而求出a,b的值.解如图(2),以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,AB与地球交于C,D 两点.设椭圆的方程为+=1(a>b>0).(例1(2))由题意知AC=439,BD=2 384,F2C=F2D=6371.a-c=OA-OF2=F2A=6 371+439=6 810,a+c=OB+OF2=F2B=6 371+2 384=8 755,解得a=7 782.5,c=972.5.所以b==≈7 721.因此,卫星运行的轨道方程为+=1.椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.利用a,b,c之间的关系,求出a,b的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.【例2】已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2为正三角形,求椭圆的离心率. (见学生用书P24) 引导学生根据题意画出图形,将“△ABF2为正三角形”转化为关于a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程.(例2)解设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为△ABF 2为正三角形,所以2c=,即b2=2ac,所以(a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,解得e=或-(舍去).所以e=.求离心率的关键是能得到关于a,b,c之间的一组关系,通过化简变形得到关于的方程,将换成e 解关于e的方程即可.变式1已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是椭圆的上顶点.若△F1BF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.同例2的解题思路,强化求离心率的关键点.解根据题意可得b=c,即b2=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以e=.本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺垫.变式2已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是椭圆上一点.若∠F1BF2为直角,求椭圆的离心率的范围.让学生思考,比较变式2与变式1的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认识.解法一设BF1=m,BF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2.又m2+n2≥,所以4c2≥2a2,所以e2≥,所以e≥.又0<e<1,所以e∈.解法二因为在椭圆上当点B为短轴的端点时,点B对两焦点的张角最大,设A是短轴的另一个端点,则∠F1AF2≥90°,所以b≤c,即a2-c2≤c2,所以e∈.求离心率的范围除了要寻求a,b,c之间的关系外,还需要找到不等关系.建立不等关系的基本方式有:①直接得到a,b,c之间的不等关系;②利用基本不等式找到线段之间或基本量之间的不等关系;③椭圆上点的横、纵坐标的取值范围,利用|x0|≤a,|y0|≤b(有界性),得到不等关系;④利用焦半径的取值范围是,得到不等关系.(变式3)变式3如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>2)的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°,求a的取值范围.本题和变式2的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用两种方法完成,也可以作为课后练习.解法一设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a.因为∠F1PF2=120°,所以=-,即=-,4a2-2mn-4c2=-mn,所以mn=4b2.因为(m+n)2≥4mn,则4a2≥16b2,所以2a≥4b,即a≥2b,所以a≥4,即a∈[4,+∞).解法二设B为椭圆短轴的一个端点,根据∠F1BF2≥120°,于是有a≥2b=4,即a∈本题旨在帮助学生进一步掌握对焦半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的张角的最大值的理解和应用.特别强调是对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角.【例3】已知P为椭圆+=1(a>b>0)上任意一点(异于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是B1,B2.若直线PB1,PB2分别与x轴交于点M,N,求证:OM·ON为定值.本题有一定难度,旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中能将上述2例讲清并给足学生充足时间做好课堂练习,教学目标就已经完成.证明设点P的坐标为(x0,y0),由题意不妨设B1(0,-b),B2(0,b),则直线PB1的方程为(y0+b)(x-x0)-x0(y-y0)=0,直线PB2的方程为(y0-b)(x-x0)-x0(y-y0)=0.因为y0≠±b,分别令y=0,得x M=,x N=-.所以OM·ON=|x M·x N|==.因为+=1,所以b2=a2(b2-),故OM·ON=a2为定值.本例属于椭圆中的定值问题,根据椭圆的几何性质,充分利用点在椭圆上及椭圆的方程来解决问题,进一步理解用方程解决几何问题的思想.二、课堂练习1.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为.提示由题意得ac=b2,所以ac=a2-c2,所以=1-,解得e==.2.已知椭圆的焦距为2,离心率不小于,则它的长轴长的取值范围是(2,4].提示由题意得c=1,e=≥,所以a≤2.又a>c=1,所以2a∈(2,4].3.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B 两点.若以AB为直径的圆恰好过点F2,求椭圆的离心率.(第3题)解如图,设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为以AB为直径的圆恰好过点F2,所以2c=,即b2=2ac,所以a2-c2=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1.4.已知F2是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,O为坐标原点,椭圆上存在一点P,使PF2=OF2,则椭圆的离心率的取值范围是.提示由题意知c≥a-c,所以a≤2c,所以e=≥.又e<1,所以e∈.三、课堂小结1.椭圆几何性质的简单应用.2.如何求椭圆的离心率及离心率的取值范围:(1) 求离心率的关键是找出a,b,c之间的一个关系式;(2) 求离心率的取值范围的关键是找出a,b,c之间的一个不等关系式,或根据题意先找不等的几何关系等.。
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2.2 椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
1.了解椭圆标准方程的推导过程.(难点)
2.会求椭圆的标准方程.(重点)
.
3.能运用椭圆的标准方程处理一些简单的实际问题
[基础·初探]
教材整理椭圆的标准方程
阅读教材P28～P29例1部分，完成下列问题.
1.判断正误：
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)方程2x 2＋y 2＝4表示的曲线不是椭圆.( ) (3)圆是椭圆的特殊形式.( )
(4)方程x 2
a 2＋y 2
2a ＝1(a>0)，表示焦点在x 轴上的椭圆.( )
【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a 2＝b 2＋c 2.
(2)×.把方程2x 2＋y 2＝4化为标准形式为x 22＋y 2
4＝1，易知其表示的曲线是
椭圆.
(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误.
(4)×.当a 2＞2a ，即a ＞2时，方程x 2
a 2＋y 2
2a ＝1(a ＞0)才表示焦点在x 轴上的
椭圆，否则不是.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为______. 【解析】 ∵a ＝5，c ＝3，∴b 2＝25－9＝16，
又∵焦点在y 轴上，∴椭圆的方程为y 2
25＋x 2
16
＝1.
【答案】
y 2
25＋x 2
16
＝1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)经过点A(3，－2)和点B(－23，1).
【24830026】
【精彩点拨】(1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解.
【自主解答】(1)方法一：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。