第五讲 函数的单调性

第五讲 函数的单调性
一、考点分析
⒈ 函数的单调性：
（1）定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，
⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； ⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。

（2）单调性与单调区间：若函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)
(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。

（3）用定义证明函数单调性的步骤：
取值——作差（商）——变形——定号——结论。

（4）复合函数的单调性：复合函数()[]x g f 的单调性与构成它的函数()()u f y x g u ==,的
单调性密切相关，其规律如下。

函数
单调性 ()x g u = 增 增 减 减 ()u f y =
增 减 增 减 ()[]x g f y =
增
减
减
增
2．具有单调性的函数的性质：（前四点中两函数均在公共定义域内） （1）函数()x f 与()c x f +（c 为常数）具有相同的单调性。

（2） 0>c 时，函数()x f 与函数()x cf 具有相同的单调性；0<c 时，函数()x f 与函数
()x cf 具有相反的单调性。

（3）若()0≠x f ，则函数()x f 与
()
x f 1
具有相反的单调性。

（4）函数()x f ，()x g 都是增（减）函数，则()()x g x f +仍然是增（减）函数。

（5） 对单调性的定义，为了方便，也可改述下列形式：若对于任意的M x x ∈21,，且21x x <，
恒有
()()()002
121<>--x x x f x f ，则()x f 在M 上为增函数（减函数）。

二、典型例题
【考点一：函数的单调性定义】
【例题1】已知函数()x f y =()A x ∈，若对任意A b a ∈,，当b a <都有()()b f a f <，则
方程()0=x f 的根（ ）
A ．有且只有一个
B ．有2个
C ．至多有1个
D ．有2个以上
【例题2】函数()x f 对于任意R y x ∈,都有()()()1-+=+y f x f y x f 当0>x 时，()1>x f ，并且()43=f ，则（ ）
A ．()x f 是减函数，且()31=f
B ．()x f 是增函数，且()31=f
C ．()x f 是减函数，且()21=f
D ．()x f 是增函数，且()21=f
【考点二：求复合函数的单调区间】 【例题1】若函数()()1
,22
+=
+-=x a
x g ax x x f 在区间[]2,1上都是减函数， ①a 的取值范围是 ；
②若1=a 时，函数()[]x g f y =在区间()1,0上单调递 ；
【例题2】求①函数322
--=x x y 的递减区间 ；
②函数3
21
2
--=
x x y 的递增区间 。

③已知函数()x f 定义在()+∞,0上递减，则()
322
--x x f 的减区间
是 。

【考点三：利用定义证明函数单调性】 【例题1】讨论函数())
0(>+=a x
a
x x f 的单调性。

变式训练：求函数()9
492
2++
+=
x x x f 的最小值。

【考点四：利用函数单调性，求参数的取值范围】
【例题1】函数()542
+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数，则()1f 的取值范围是（ ）
A ．()251≥f
B ．()251=f
C ．()251≤f
D ．()251>f
【例题2】若函数()2+-=b x a x f ，在[)+∞,0上为增函数，则实数b a ,的取值范围
为 。

【例题3】设函数()ax x x f -+=12，在区间[)+∞,0上是单调递减函数。

求a 的取值范围。

【考点五：利用函数单调性，解（证明）不等式】
【例题1】已知()x f 是R 上的增函数，()()1,3,1,0B A - 是其图像上的两个点，那么
()11<+x f 的解集是 。

【考点六：利用函数单调性，解综合题】 【例题1】函数a ax x y --=21在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--21,2上单调递增，求a 的取值范围。

【例题2】设()x f 是定义在R 上且满足①当0<x 时，()1>x f ；②()0≠x f ；③对任意
实数y x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+。

（1）当0>x 时，求证：()10<<x f ； （2）求证：()x f 是R 上的减函数； （3）解不等式()()
1242
≥+⋅-x x f x f 。

【例题3】设()x F 是定义在R 上的减函数，且对[]1,0∈x ，不等式组
()
()(
)
()⎪⎩⎪⎨⎧-<--<-,
3,
422
2
k F kx x F k F x kx F 均成立，求k 的取值范围。

【例题4】已知()x f 是定义在[]1,1-上的函数满足)()(x f x f -=-，且()11=f ，若
[]1,1,-∈b a ，0≠+b a ，有
()()0>++b
a b f a f ， （1）判断()x f 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ； （3）若()122
+-≤am m x f ，对所有[][]1,1,1,1-∈-∈a x 恒成立，求实数m 的取值
范围。

【随堂练习】
1、函数322-+=
x x y 的单调递减区间是（ ）
A 、]3,(--∞
B 、),1[+∞
C 、)1,(--∞
D 、),1[+∞-
2、函数)(x f y =在R 上单调递增，且)()(2
m f m f ->，则实数m 的取值范围是（ ） A 、)1,(--∞ B 、),0(+∞
C 、)0,1(-
D 、 )1,(--∞),0(+∞ 3、已知函数)(x f 在区间],[b a 上单调，且0)()(<⋅b f a f ，则方程0)(=x f 在区间上（ ）
A 、至少有一个实根
B 、至多有一个实根
C 、没有实根
D 、必有惟一的实根
4、如果二次函数5)1()(2
+--=x a x x f 在区间)1,2
1
(上是增函数，求)2(f 的取值范围。

5、已知函数|2|)(-=x x x f ，
（1）写出)(x f 的单调区间； （2）解不等式3)(<x f ；
（3）设0>a ，求)(x f 在],0[a 上的最大值。

6、函数)(x f 对任意的R b a ∈,，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当0>x 时，
1)(>x f 。

（1）求证：)(x f 是R 上的增函数； （2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2
<--m m f ；
（3）若关于x 的不等式2)()2(2
<-+-x x f nx f 恒成立，求实数n 的取值范围。

【课后考】
1、函数()x f 对于任意R y x ∈,都有()()()1-+=+y f x f y x f 当0>x 时，()1>x f ，并且()43=f ，则（ ）
A ．()x f 是减函数，且()31=f
B ．()x f 是增函数，且()31=f
C ．()x f 是减函数，且()21=f
D ．()x f 是增函数，且()21=f
2、若函数()()1
,22
+=+-=x a x g ax x x f 在区间[]2,1上都是减函数，
①a 的取值范围是 ；
②若1=a 时，函数()[]x g f y =在区间()1,0上单调递 ；
3、求函数()9
492
2++
+=x x x f 的最小值。

4、若函数()2+-=b x a x f ，在[)+∞,0上为增函数，则实数b a ,的取值范围为 。

5、已知()x f 是R 上的增函数，()()1,3,1,0B A - 是其图像上的两个点，那么()11<+x f 的解集是 。

6、设()x f 是定义在R 上且满足①当0<x 时，()1>x f ；②()0≠x f ；③对任意实数y
x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+。

（1）当0>x 时，求证：()10<<x f ； （2）求证：()x f 是R 上的减函数； （3）解不等式()()
1242
≥+⋅-x x f x f 。