苏教版高中数学必修五-第二学期苏州高一期中考试模拟试卷.docx

2014-2015学年第二学期苏州高一数学期中考试模拟试卷（必修5：解三角形、数列、不等式） 2015.4.25 1.不等式13x x +<的解集为 ． 1(,0)(,)2-∞+∞U 2.已知x ＞2，则y ＝21-+x x 的最小值是 ．4 3.在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为________．45°解 ∵BC >AC ，∴A >B ，所以角B 是锐角，由正弦定理得，BC sin A ＝ACsin B，即sin B ＝AC ·sin A BC ＝42×3243＝22，所以B ＝45°.4.数列{}n a 中, 322n n a =-,则25826a a a a ++++L = . 9925.在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.226.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ．327.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.解 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则=++987a a a ．448 9.当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为_________．(－∞，－5]10.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.30°11.设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，已知2142n n S n T n +=-，*n N ∈， 则1011318615a a b b b b +=++ ．417812. 已知一个直角三角形的周长为12+，则它的面积的最大值为 .4113.在等差数列{a n }中，已知首项10a >，公差0d >．若1260a a +≤，23100a a +≤，则155a a +的最大值为 ．20014．已知函数x y a b =+(0)b >的图象经过点P (1，3)，如下图所示，则411a b +-的最小值为 ．92方法一：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数y =a x+b 的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a＜3，0＜b ＜2．4a －1+1b ＝12×2(4a －1+1b )＝12［(a －1)+b ］(4a －1+1b )＝12(5+4b a －1+a －1b )≥92． 当4b a －1＝a －1b 时，即a ＝73，b ＝23时，4a －1+1b ＝92．故4a －1+1b 的最小值为92． 二、解答题15(本题满分14分). 在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且2sin c A =.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆，求a b +的值. 解：（1）3C π=……………6分（2）5a b +=……………14分16.（本小题满分14分）.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）求S 的最大值． 解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，………………………6分定义域为()8,450x ∈． ………………………7分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………10分 当且仅当60x =时等号成立．从而676S ≤．………………………13分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2．……………14分17(本题满分15分).设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域，集合B 为函数11y x x =++的值域，集合C 为不等式1()(4)0ax x a -+≤的解集. (1)求A B I ； (2)若R C C A ⊆,求a 的取值范围.解：(1)由2280x x --+>，解得(4,2)A =- …………………2分又11(1)111y x x x x =+=++-++，所以(][),31,B =-∞-+∞U …………4分所以(][)4,31,2A B =--I U …………………………………6分(2)因为(][),42,R C A =-∞-+∞U ，由1()(4)0ax x a-+≤可知0a ≠………8分①当0a >时，由21()(4)0x x a -+≤，得21[4,]C a a =-显然不满足R C C A ⊆；……………………………………10分②当0a <时，由21()(4)0x x-+≥，得21(,4],Ca ⎡⎫=-∞-+∞⎪⎢⎣U ，要使R C C A ⊆， 则212a ≥，解得0a ≤<或0a <≤，又0a <，所以0a ≤<…14分综上所述，所求a 的取值范围是[ …………………15分18. (本题满分15分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(4分)(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图a ，当g (x )的图象恒在x 轴上方，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(7分) ②如图b ，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之，得a ∈∅.(10分)③如图c ，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.(13分)综合①②③，得a ∈[－7,2]．(14分)19(本题满分16分).已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.………4分(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．………10分(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1，………16分 20.(本题满分16分) 设数列{}n a 的前ｎ项和为n S ，已知1(,n n S pS q p q +=+为常数，*n N ∈），1232,1,3a a a q p ===-（1）求ｐ，ｑ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若0>>b a 则b a 11<，那么是否存在正整数ｍ，ｎ，使1221m n mn S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（ｍ，ｎ）；若不存在，说明理由。

20．解：⑴ 由题意，知2132,,S pa q S pS q =⎧⎨=⎩++即32,333,p q q p p q =⎧⎨-=⎩+++解之得1,22p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩．……… 4分⑵ 由⑴知，1122n n S S +=+，①当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，()1122n n a a n +=≥，……………………… 6分又2112a a =，所以()*112n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=．………………………… 8分 ⑶由⑵得，12(1)124(1)1212n n n S -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得 114(1)221214(1)2m nmn mm --<+--+，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+，……………………… 10分 即212(4)221nm m >--+，因为210m +>，所以2(4)2n m ->，所以4m <，且122(4)24n m m <-<++，()*因为*m ∈N ，所以1m =或2或3．…………………………… 12分 当1m =时，由()*得，2238n <⨯<，所以1n =； 当2m =时，由()*得，22212n <⨯<，所以1n =或2； 当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．…………………………………………… 16分。