陕西师范2011年高等代数解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学试题评析2010年首次新课程陕西省高考数学试题，在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了平稳过渡。
纵观2011年的陕西数学考题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来体现新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说，本套试题符合陕西高中数学教学的实际学情，有利于高校人才的选拔，是一份很有特色的试题。
l 2011年试题特色评析试卷结构鲜活:整套试卷的第1题设计为“有关向量的逆命题”，破除了前几年传统的“集合问题”开头的模式。
复数知识也不是以往的单独命题。
解答题的布局变动较大，打破了以往“八股式”的试卷结构。
将平面图形折叠构成的立体几何试题安排在第16题；将解析几何的轨迹探求与截弦问题放在了第17题的位置，旨在降低试题运算难度;第18题改变了传统的三角函数试题的结构形式，设计为“叙述并证明余弦定理”，体现了课本基础知识和数学本质的考查，既能考核向量方法，又可考核解析方法；第19题将函数的切线问题与动点构成的数列相结合，在历届的陕西考题中较为少见；第20题的概率问题，结合实际情景，结构新颖，在次压轴题的位置上进行有益尝试；理科第21题里的“存在型”的不等式恒成立问题也是较为鲜活的。
应当说，今年数学试卷新颖灵活的结构模式，是对考生应变能力的一次大检验，也会对今后的高中数学教与学带来深刻的启示。
试题背景新颖：理科第3题将函数抽象关系与图象结合，考查函数的奇偶性与周期性；理科第6题的函数零点问题，将根式函数与余弦函数综合，结构新颖；第7题的集合问题，集合M实质为三角函数y=|cos2x|的值域，集合N为复数的模范围问题打破了传统的单一的知识联系的命题模式；第8题的程序结构框图，以高考的网上阅卷评分规则为原始背景，突出实际应用性；理科第14题与文科第10题的植树路程问题，接近课本原题，它可转化为经典的题目，绝对值函数求和的最小值问题；第16题的立体折叠问题，第17题圆的压缩问题，第19题的切线数列问题，根植于高中数学教材，均以全新的面貌闪亮登场；第21题虽以常见的函数与导数的应用压轴，但第二问比较大小设问基本，求解灵活，第三问求范围探究问题设计新颖。
2011陕西高考数学 (2)
2011陕西高考数学一、考试概况2011年陕西省高考数学科目共分为两个卷，考试时间为120分钟，满分150分。
第一卷为选择题，共有15道题目，每题5分，共计75分；第二卷为非选择题，共有6道题目，每题15分，共计90分。
二、选择题分析1. 第1题：已知\(a2+b2=25\)，则下列等式恒成立的是（）A. \(a + b = 5\)B. \(a - b = 5\)C. \(a^2 - b^2 = 5\)D. \(a^2 + b^2 = 5\)答案：A本题主要考察对平方差公式的理解和运用，即\(a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)\)。
根据已知条件\(a2+b2=25\)，可得到等式\((a+b)(a-b)=25\)。
由此可知，当\(a+b=5\)时，等式恒成立。
2. 第5题：某公司8月份和9月份的月利润为m和n万元，且满足恒等式\(n^2 - 8n + 7 = m(6 - m)\)，则n的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B本题涉及到二次方程和二次函数的知识。
首先将恒等式改写为二次方程的形式：\(m^2 - 6m + n^2 - 8n + 7 = 0\)。
根据二次方程的解的性质，当二次方程有解时，其判别式必须大于等于0。
因此，\((-6)^2 - 4(n^2 - 8n + 7) \ge 0\)。
经过简化得到：\(n^2 - 8n + 7 \le 3\)。
进一步，我们可以将不等式两边同除以2，得到：\(\frac{{(n-4)^2}}{2} \le 3\)。
由此可知，当\(n\)取2时，不等式成立。
故选项B为正确答案。
3. 第12题：已知\(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{1-2x}, & x \le -1\\ 2 - x, & -1 < x \le 1\\ x^2, & x > 1 \end{array} \right.\)，则函数\(y=f(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})\)的解析式是（）A. \(\sqrt{1-x}\)B. \(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\)C. \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}\)D. \(\sqrt{x + 1}\)答案：B本题考察对复合函数的理解和运用。
2011陕西高考数学卷及详细解析
2011年陕西省高考数学试卷（理科）2011年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2011•陕西）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（）﹣||=||=，则|||≠，则||||=||≠．．．．2﹣465．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）．C．7．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N8．（5分）（2011•陕西）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）9．（5分）（2011•陕西）设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）过点（，10．（5分）（2011•陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4．C D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2011•陕西）设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=_________．12．（5分）（2011•陕西）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=_________．13．（5分）（2011•陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为_________．14．（5分）（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_________（米）．15．（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是_________．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=_________．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B 分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为_________．三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．17．（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD| （Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．18．（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．19．（12分）（2011•陕西）如图，从点P1（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e于点Q1（0，1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2…；P n，Q n，记P k点的坐标为（x k，0）（k=1，2，…，n）．（Ⅰ）试求x k与x k﹣1的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|．20．（13分）（2011•陕西）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．21．（14分）（2011•陕西）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．2011年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2011•陕西）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（）﹣||=||=，则|||≠，则||||=||≠≠，则||=|||=|，则﹣∴．．．．2﹣465．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）．C．﹣==＞，而＞时，＞7．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N8．（5分）（2011•陕西）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）8.5=9．（5分）（2011•陕西）设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）过点（，10．（5分）（2011•陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4．C D．=二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2011•陕西）设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=1．=12．（5分）（2011•陕西）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4．13．（5分）（2011•陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．14．（5分）（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2000（米）．15．（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是[3，+∞）．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=2．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B 分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为3．三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．的坐标，从而得出向量、与夹角的余弦值．、、所在直线）（，∴∴与，==17．（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD| （Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．|MD|=|PD|由已知得：∴的方程为．）且斜率为的直线方程为：将直线方程，．18．（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．的平方，利用向量的三角形法则，由表示出=19．（12分）（2011•陕西）如图，从点P1（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e于点Q1（0，1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2…；P n，Q n，记P k点的坐标为（x k，0）（k=1，2，…，n）．（Ⅰ）试求x k与x k﹣1的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|．处切线方程为20．（13分）（2011•陕西）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．B+A）（（21．（14分）（2011•陕西）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．））与＜取成＜，，令）﹣x+）＞）＜＜，成＜）知，成立．参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；minqi5；qiss；ywg2058；301137；zhwsd；394782；涨停；邢新丽；wzj123；吕静；sllwyn（排名不分先后）菁优网2014年7月1日。
2011年高考数学试卷解析版-陕西卷[文理两份]
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2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷文科 全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠- ，则||||a b ≠ （B ）若a b =- ，则||||a b ≠（C ）若||||a b ≠ ，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =- ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =- ”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）24y x =- （C ）28y x = （D ）24y x = 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选 C 由准线方程2x =-得22p -=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y px x ==．3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） 2a b a b +<<<（B ）2a b a b +<<（c ）2a ba b +<<<2a ba b +<<<【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选 B （方法一）已知a b <和2a b +<，比较a 与，因为22()0a a a b -=-<，所以a <，同理由22()0b b b a -=->得b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a b a b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a b a b +<<<．4. 函数13y x =的图像是 （ ）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解】选B 取18x =，18-，则12y =，12-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．二、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） 6.283π-7.83π-8.8-2π 9.23π【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C 构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ）(A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11 【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算． 【解】选B ∵126,9,x x ==∴3|9|3x ->； 又8.5p =，127.52x x +=，显然3|9|3x ->不成立，即为“否”，∴有3|9|3x -…，即3612x 剟，此时有398.52x +=，解得38x =，符合题意，故选B ．8.设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，{|||1x N x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 【分析】确定出集合的元素是关键。
2011年陕西文解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1． （2011·陕西·文，1，5分）设,a b 是向量，命题“若a b ≠-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a =—b ，则∣a ∣≠∣b ∣ （C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则a ≠—b （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b 2. （2011·陕西·文，2，5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =3. （2011·陕西·文，3，5分）设0a b <<，则下列不等式中正确的是（A ） 2ab a b <<<（B ）2a ba b +<<<（c ）2a b a b +<<<2a ba b +<<< 4. （2011·陕西·文，4，5分）函数13y x =的图像是5. （2011·陕西·文，5，5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(A)283π-(B)83π-(C)8-2π (D)23π6. （2011·陕西·文，6，5分）方程cos x x =在(),-∞+∞内 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根7. （2011·陕西·文，7，5分）如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于 (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）118. （2011·陕西·文，8，5分）设集合M={y|y=|2cos x —2sin x|,x ∈R}, N={x||x i|<1,i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为 （ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]9、（2011·陕西·文，9，5分）.设1122(,),(,),x y x y ··· ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ） (A) 直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同10、（2011·陕西·文，10，5分）.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ （A ）(1)和（20） （B ）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）11.（2011·陕西·文，11，5分）设f(x)= lg ,010,0xx x x ⎧⎨≤⎩ ，则f(f(-2))=___ __.EDBCA12.（2011·陕西·文，12，5分）如图，点（x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么2x-y 的最小值为_______. 13.（2011·陕西·文，13，5分）观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为_ .14.（2011·陕西·文，14，5分）设n ∈N +,一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=___15、（不等式选做题15）（2011·陕西·文，15，5分）若不等式12x x a++-≥对任意x R∈恒成立，则a 的取值范围是_ _。
2011陕西师范大学高等代数答案解析
高等代数资源网 October 21, 2012
1 声明
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( ) Ir 0 ,其中Ir 是r阶 七.(15分)设A为n阶方阵,且A = A.证明:A相似于一个对角矩阵 0 0 单位矩阵,r = r(A). 八.(20分)求可逆矩阵P 及A的Jordan标准形J,使得P −1 AP = J,其中 2 1 1 −1 2 2 −1 −1 A= 1 0 −1 2 . 0 0 0 3 九.(20分)设η 是n维欧氏空间V 中的单位向量,定义 σ (α) = α − 2(η, α)η, ∀α ∈ V.
证明: ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 1.σ 是V 上的一个正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; 2.σ 是第二类的;
3.如果n维欧氏空间V 中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间 的维数为n − 1,那么σ 是镜面反射. 消息一下,来张美图欣赏一下吧.
3 参考解答
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 证明:必要性.设 f (x) = pk (x), 其中p(x)是不可约多项式,k 是正整数.则对任意的多项式g (x),有 (p(x), g (x)) = 1或者p(x)|g (x), 故 (pk (x), g (x)) = 1或者pk (x)|g k (x), 从而(f (x), g (x)) = 1或者存在正整数m = k, f (x)|g m (x). 充分性.由题设,可设f (x)的标准分解式为
陕西师范大学826高等代数2006-2015年(缺11年、09年缺第2页、15年回忆版)考研专业课历年真题汇编
★机密
2015 年招收攻读硕士学位研究生入学考试业务课试题 适用专业名称： 考试科目名称： 数学、统计学 高等代数 科目代码： 826
注意事项： 1、请将答案直接做到答题纸上，做在试题纸上或草稿纸上无效。 2、除答题纸上规定的位置外，不得在卷面上出现姓名、考生编号或其 它标志，否则按违纪处理。 3、本试题共 3 页，满分 150 分，考试时间 180 分钟。
一、 （本题 15 分） 已知
的充分必要条件是：x-1| 二、 （本题 15 分）
，5 分） 2、设 ，求满足下列线性方程的解.
四、 （本题 20 分） 设 A 是 m 级实矩阵. （1）求 （2）设 求证：线性方程组 五、 （本题 15 分） 设A是n 证明：必存在实数域上的 n 维向量 X≠0，使得 六、 （本题 20 分） 是数域 P 上的线性空间 V 上的一组基，W 是线性空间 P 的非平 凡子空间， 证明，在 是非平凡空间 W 的一组基 中 可 以 找 到 n-r 个 向 量 为 V 的一组基. 使得 ，b 为 m×1 矩阵 有解，AAa
七、 （本题 20 分） 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，β 是 V 上的一个线性变换，β 在线性空间 V 的 一组基 下的矩阵 A=
证明：线性变换β 可对角化. 八、 （本题 15 分） 已知矩阵 A= 问：以上矩阵哪些相似，哪些不相似. 九、 （本题 15 分） 设 A 是实数域 R 上的 n 级可逆矩阵， 证明：存在实数数域上的 n 级正定矩阵 P 和 n 级正交矩阵 Q，使得 A=PQ，并且这 一分解式是唯一的.
2011年高考数学(陕西卷)文科真题及答案
2011年高考数学（陕西卷）文科真题及答案参考答案一、选择题1-10 DCBBACBC二、填空题11．-2 12．1 13．5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 14．3或4 15．A B．2 C．1三、解答题16．解∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，当ＡＢＤ折起后，ADＤＣ，ADＤＢ，又DB ＤＣ＝Ｄ，ＡＤ平面ＢＤＣ，∵AD 平面平面ABD．由知，DA , , ,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA= ,从而表面积：17．解将代入C的方程得b=4 又得即，a=5C的方程为过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，AB的中点坐标，，即中点为。
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。
18．解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
或：在△ABC中，a，b，c 为A，B，C的对边，有，，．证法一如图，即同理可证，证法二已知中所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，同理可证19．解设，由得点处切线方程为由得。
由，得，于是20．解由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0．44．选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0．10．20．30．20．2L2的频率00．10．40．40．1A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。
由知P =0．1+0．2+0．3=0．6P=0．1+0．4=0．5，PP甲应选择L1P =0．1+0．2+0．3+0．2=0．8P=0．1+0．4+0．4=0．9，P＞P，乙应选择L2．21．解由题设知，令0得=1，当时，＜0，故是的单调减区间。
陕西省师大附中2011-2012学年高一下学期期末考试试题数学
陕西师大附中2011—2012学年度第二学期 期末考试高一年级数学《必修2》试题一、选择题（10×4′＝40′）1.过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是【 】.A.210x y --=B.210x y -+=C.210x y +-=D.210x y ++=2.圆221:230C x y x ++-=和圆222:430C x y y +-+=的位置关系为【 】.A.相离B.相交C.外切D.内含 3.过点(3,0)P 直线l 与圆224x y x +=的位置关系是【 】.A.相交B.相切C.相离D.相交或相离 4.若直线22(252)(4)50m m x m y m -+--+=的倾斜角为45︒,则实数m 的值为【 】.A.1B.2C.3D.2或35.下列说法中:①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行.其中正确的说法个数为【 】. k`$#s5uA.1B.2C.3D.4 6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为【 】.7.在ABC ∆中,若1cos 2A =,且sin 2sin B C =,则ABC ∆的形状是【 】. A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.若用一个平面去截一个正方体得到一个截面多边形,则该多边形不可能．．．是【 】. A.锐角三角形 B.直角三角形 C.菱形 D.正六边形9.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 成等差数列,且1sin 2A <,则cos C 的取值范围为【 】.A.1(,0)2- B.( C.1(0,)2D.10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,动点,E F 在棱11A B 上.点Q 是CD 的中点,动点P 在棱AD 上,若1EF =,PD x =,1A E y =,则三棱锥P EFQ -的体积【 】.A.与,x y 都无关B.与,x y 都有关C.与x 无关,与y 有关D.与y 无关,与x 有关二、填空题（5×4′＝20′）11.在空间直角坐标系中,若点(1,2,1),A -点(3,1,4)B --,则||AB =________. 12.若圆锥的主视图是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的表面积为________.13.在ABC ∆中,若60A =︒,1AC =,且ABC S ∆=,则||BC =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和23n n S m +=+,且{}n a 是等比数列,则m =________.15.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所 走的路程总和最小,这个最小值为________(米).陕西师大附中2011—2012学年度第二学期 期末考试高一年级数学《必修2》答题纸一、选择题（10×4′＝40′）二、填空题（5×4′＝20′）11.___________ 12.__________ 13.__________ 14.__________ 15. ___________三、解答题（本大题共5小题,满分为60分）16.(本题满分为8分)如图,已知点,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点,求证:EH ∥FG .17.(本题满分为12分)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点．(1)证明://PA 平面BDE ； (2)证明:平面BDE ⊥平面PBC .18.(本题满分为12分)已知1(2,3)P ,2(4,5)P -与点(1,2)A -,求过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程．EPDCBA19.(本题满分为14分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面四边形ABCD 是直角梯形 其中AB AD ⊥,1AB BC ==,且12AD ==. (1)求证:直线1C D ⊥平面1ACD ； (2)试求三棱锥1A -1ACD 的体积.20.(本题满分为14分)已知直线230x y +-=与圆2260x y x y m ++-+=相交于P ,Q 两点,且OP OQ ⊥(O 为坐标原点),求实数m 的值.陕西师大附中2011—2012学年度第二学期 期末考试高一年级数学《必修2》参考答案一、选择题（10×4′＝40′）二、填空题（5×4′＝20′）11.3π9- 15.2000三、解答题16.(8分)如图,已知点,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点,求 证:EH ∥FG .证明:连接BD ,由,E H 分别是,AB AD 中点可知EH ∥BD ；由,F G 分别是,CB CD 中点可知FG ∥BD ； 所以EH ∥FG .17.(12分)如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点．(1)证明://PA 平面BDE ； (2)证明:平面BDE ⊥平面PBC .证明:(1)连结AC ,设AC 与BD 交于O 点,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴O 为AC 的中点,又E 为PC 的中点,∴//OE PA , ∵OE ⊂平面BDE ,PA ⊄平面BDE ,∴//PA 平面BDE .(2)∵PD DC =,E 是PC 的中点, ∴DE PC ⊥.∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD AD ⊥.又由于AD CD ⊥,PD CD D =,故AD ⊥底面PCD ,所以有AD DE⊥.又由题意得//AD BC ,故BC DE ⊥.于是,由BC PC C =,DE PC ⊥,BC DE ⊥可得DE ⊥底面PBC .故可得平面BDE ⊥平面PBC .18.(12分)已知1(2,3)P ,2(4,5)P -与点(1,2)A -,求过A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程．EPDCB A解法1：当直线斜率不存在时,方程为1x =-,符合题意；当直线的斜率存在时,设直线的方程为2(1)y k x -=+,即20kx y k -++=,1P ,2P 到直线的距离相等,=化简得3133k k -=+,解得13k =-,代入得直线方程为 350x y +-=.综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.解法2：若1P ,2P 在直线l 的同侧,1P ,2P 到l 的距离相等,则过1P ,2P 的直线与直线l 平行,则过点1P ,2P 的直线的斜率为531423k -==---， ∴过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线l 方程为350x y +-=；若1P ,2P 在直线l 的异侧时,要1P ,2P 到l 的距离相等,则l 一定过1P ,2P 的中点,则1P ,2P 的中点为(1,4)-,又l 要过点A ,故直线l 的方程是10x +=． 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.19.(14分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面四边形ABCD 是直角梯形,其中AB AD ⊥,1AB BC ==,且12AD ==.(1)求证:直线1C D ⊥平面1ACD ； (2)试求三棱锥1A -1ACD 的体积.解:(1)在梯形ABCD 内过C 点作CE AD ⊥交AD 于点E ,则由底面四边形ABCD 是直角梯形,AB AD ⊥,1AB BC ==,以及12AD ==可得:1CE =,且11AC CD AA CC ===,AC CD ⊥.又由题意知1CC ⊥面ABCD ,从而1AC CC ⊥,而1CC CD C =,故1AC C D ⊥. 因1CD CC =,及已知可得11CDD C 是正方形,从而11C D CD ⊥. 因11C D CD ⊥,1C D AC ⊥,且1AC CD C =,所以1C D ⊥面1ACD .(2)因三棱锥11A ACD -与三棱锥11C AA D -是相同的,故只需求三棱锥11C AA D -的体积即可,而CE AD ⊥,且由1AA ⊥面ABCD 可得1CE AA ⊥,又因为1AD AA A=,所以有CE ⊥平面11ADD A ,即CE 为三棱锥11C AA D -的高.故111111111213232C AA D V AA A D CE -=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯=.20.(14分)设直线230x y +-=与圆2260x y x y m ++-+=交于P ,Q 两点,且OP OQ ⊥(O 为坐标原点),求实数m 的值.解:由题意设11(,)P x y 、22(,)Q x y ,,则由方程组22230,60.x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩消y 得25104270x x m ++-=,于是根据韦达定理得,122x x +=-,124275m x x -⋅=, 12121212111(3)(3)[93()]224y y x x x x x x ⋅=-⋅-=-++⋅ =142712(96)455m m -+++=. 1212,OP OQ y y k k x x ==, ∵OP OQ ⊥, ∴1OP OQ k k ⋅=-, 即12121y yx x ⋅=-,故12120x x y y +=,从而可得4275m -＋125m +=0,解得3m =.。
2011年陕西高考数学试题及答案(文科)
2012年寒假实践报告—关注家乡民生问题通过学习《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》，我对毛泽东思想以及建设有中国特色社会主义国家有了比较深刻的了解。
了解了我国现在的基本国情，以及面对众多需要尽快解决的实际问题，对我国未来继续坚定不移的走自主和平发展道路有了很多的认识。
·中国经过改革开放后持续30多年的高速增长，人均GDP进入中等发达国家行列，国家发展站在了新的历史起点上，百姓的预期必然不断提高。
解决民生之道，是当前国家中远发展路上的当务之急。
目前国家财力雄厚，每年收入稳定增长，预计2011年会突破十万亿元大关，可能且应当满足人民群众日益增长的福利需求。
黄金发展期往往也是矛盾凸显期。
种种民生问题，如贫富差距、阶层矛盾、劳资关系、教育医疗住房等已到了非解决不可的阶段。
我的家乡在四川省岳池县，在党和政府的正确领导下，在人民群众的共同努力下，正在不断地发展前进。
特别是最近几年，我的家乡发生了许多变化，人民生活得到改善，经济、文化、教育水平都得到提高。
在这个寒假，我通过一个假期的实地走访、上网调查，对家乡的社会现状进行了全面的了解，我能充分感受到，家乡这几年可以称得上是翻天覆地的变化！一个和谐的社会主义现代农业示范区已经形成。
民生问题是当前突出的热点。
家乡的民生政策落到实处，新增财力突出保民生，人民群众在和谐共进中共享发展成果。
在道路交通建设上，政府出资对县城多数街区进行了修整，重新合理规划布局；对县城通往各主要乡镇道路进行大翻修，保证交通畅通。
加快兰渝铁路进度，打通出川大动脉，告别我县不通铁路的历史；积极推进渝广高速建设，尽快贯通直达重庆的高速公路，带动我县经济发展。
几个交通较拥堵的路口配上了红绿灯，交通工具也变得更先进，的士取代了三轮摩托，全镇通了公交车，出行更加方便了。
除此之外，生活配套设施更加完善。
商业小区越来越多，楼房越盖越高。
尤其是近年来新建的工业园，大力促进了全县经济发展，还提供了许多就业的岗位，促进我县经济发展。
2011年陕西省高考数学试卷(理科)及解析
�题础 基于属�力能算计了查考时同�解求的分积定及以�用应的数函段分了查考要主题本�评点 1�为案答故 1=a�得解 a= 0| t=1=td t3 0∫即 1=�0�f=� �1�f�f 则�0=�1�f∴ =�x�f∵�解�答解 �可即之解�系关式等立建义 定的分积定据根后最�式析解的 0≤x 入代 0 将后然�值的�1�f 出求数函段分据根先�析分 。题算计�题专 。义含的合集�点考 � 1 =a 则�1=� �1�f�f 若 =�x�f 设�西陕•1102� 、11 �分 52 共�分 5 题小每�题小 5 共题大本� �题空填、二
2 2
�集交出求义定的集交的合集用利�N 合集简化式公的模的数复 用利�M 合集出求性界有的数函角三用利�M 合集简化式公角倍二的数函角三过通�析分 。题算计�题专 。法解的式等不值对绝�算运其及集交�点考 ]1�0[、D �1�1�� 、C ]1�0� 、B �1�0� 、A
�式公率概型概典古查考、数法方的件事成完求理原数计布分用利查考题本�评点 D 选故 = =P 是率概的点景个一在同们他时小一后式公率概型概典古由
r6�21 r
2=r 得 0=r6�21 令 x 6C �1��=1+rT 为项通的式开展�解�答解
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�项数常的式开展出求 0 为数指的 x 令 �项通的式开展出求式公项通的式开展项二用利 �析分 。题算计�题专 。质性的数系式项二�点考 02、D 51、C 51�、B 02�、A �西陕•1102� 、4 �是项数常的中式开展 R∈x� � x� x� � �型类规常种一的题数函是合结相性偶奇 与性期周 �标指要重个一的数函偶或数函奇为数函个一断判是性称对的象图数函用利 �评点 B 为案答故 确正项选 B 明说�项选 D 除排 �0�f=�2�f 得可 0=x 取�2 为期周的数函∴ �x�f=�2+x�f∵又 项选个两 C、A 除排�称对轴 y 于关象图数函∴ �x�f=�x��f∵�解�答解 �求要合符项选 B 知可� �0�f=�2�f 得可�0=x 值殊特取再�意 题合符不�数函奇为数函的应对象图�项两 C、A 断判先�数函偶为数函�知义定由�析分 。合结形数�题专 。性期周的数函�断判的性偶奇数函�点考 [、D 、C
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(陕西.文)含详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(文科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠- ，则||||a b ≠ （B ）若a b =- ，则||||a b ≠（C ）若||||a b ≠ ，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =- ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =- ”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ）（A ）28y x =- （B ）24y x =- （C ）28y x = （D ）24y x = 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选 C 由准线方程2x =-得22p -=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y p x x ==．3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） 2a b a b +<<<（B ）2a b a b +<<<（c ）2a b a b +<<<2a b a b +<<<【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选 B （方法一）已知a b <和2a b +<，比较a 与，因为22()0a a ab -=-<，所以a <，同理由22()0b b b a -=->得b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a b a b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a b a b +<<<．4. 函数13y x =的图像是 （ ）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解】选B 取18x =，18-，则12y =，12-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） (A)283π-(B)83π-(C)8-2π (D)23π【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.方程co s x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C 构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ） (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算． 【解】选B ∵126,9,x x ==∴3|9|3x ->； 又8.5p =，127.52x x +=，显然3|9|3x ->不成立，即为“否”，∴有3|9|3x -…，即3612x 剟，此时有398.52x +=，解得38x =，符合题意，故选B ．8.设集合22{||c o s s in |,}M y y x x x R ==-∈，{|||1x N x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]【分析】确定出集合的元素是关键。
2011硕士研究生入学考试高等代数试题答案
济 南 大 学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.设()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,取素数p ,则()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()f x 有理数域上不可约.⑵.判断2=x 是8122116)(2345+--+-=x x x x x x f 的几重根.作综合除法可知,2是()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n nx f x -.()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα=-+()()()()(1)12111(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--四、（20分）向量组I 与II 等价⇔I 与II 的极大无关组等价⇔I 与II 的极大无关组为III 的极大无关组123r r r ⇔==.五、（20分）求证：⑴设12,,,s ηηη 是齐次线性方程组0AX =的基础解系，12,,,s ηηη 与12,,,t εεε 等价，由于它们都线性无关，所以s t =；12,,,t εεε 由12,,,s ηηη 表示，i ε为12,,,s ηηη 的线性组合，当然是0AX =的解，又因为任何一个解可由12,,,s ηηη 表示，当然也可由12,,,t εεε 表示，故12,,,t εεε 也是基础解系.⑵显然12,,,,s ξξηξηξη+++ 为AX b =的解，12,,,s ηηη 线性无关，ξ不能由它们表示，12,,,,s ηηηξ 线性无关，秩为1s +;12,,,,s ξξηξηξη+++ 与12,,,,s ηηηξ 等价，12,,,,s ξξηξηξη+++ 的秩也为1s +，从而无关，故为AX b =的线性无关解.试题科目：六、（10分）设n 阶半正定矩阵A ，存在可逆矩阵P ，0'00rE A P P ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵000rE C P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'A C C =．七、（15分）作初等行变换'''''123111312121052(,,,,)1111221153A αααββ--⎛⎫ ⎪⎪== ⎪---- ⎪---⎝⎭100017170100349001032500013B -⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪→=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭由于对矩阵施行初等行变换不改变列向量间的线性关系,从B 知1231,,,αααβ线性无关,且2123117492517333βαααβ=---+.显然dim 13W =,dim 22W =,而dim 12()W W +=dim 12312(,,,,)L αααββ=dim 1231(,,,)4L αααβ=.由维数公式得dim12()W W ⋂=dim1W +dim2W -dim12()3241W W +=+-=.由于211231225174917333W W γββααα=-=---∈⋂,且0γ≠,故γ是12W W ⋂的一个基. 八、（10分）设上三角的正交矩阵为A ，上三角1'A A -=下三角，A 必为对角矩阵，又因为2122'n A A A E λλ⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭，21i λ=，1i λ=±，即对角线元素为1±. 九、（15分）⑴对于()()1211,,22V αααααααα∀∈=-A ++A =+()()1211,,22αααααα=-A =+A1122A ,A αααα=-=，112111,,V V V V V αα--∴∈∈=+；又因为{}1111,,0,0V V V V γαααα--∀∈⋂=A =-=⋂=，11V V V -=⊕；⑵线性变换A 在1V 某组基下矩阵为s E ，在1V -某组基下矩阵为n s E --，设11V V -，的基构成V 的基，故线性变换A 在V 的某组基下矩阵为s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭. 十、（20分）证明：⑴设欧氏空间V 的一组标准正交基为1,,n εε ，()()11A ,,,,n n A εεεε= ，(A ,)(,A )αβαβ= ，(A ,)(,A )ji i j i j ij a a εεεε∴===，'A A ∴=为对称矩阵；反之，A 在一组标准正交基1,,n εε 下的矩阵A 为实对称矩阵，()()11,,,,,n n X Y αεεβεε== ，()()()11(A ,),,,,,n n AX Y αβεεεε=()'''AX Y X A Y ==()()()()11',,,,,(,A )n n X AY X AY εεεεαβ=== ，线性变换A 为对称的.(2)对于11,V V αβ⊥∀∈∀∈，此时1A V β∈，()()A ,=,A 0αβαβ=，1A V α⊥∴∈，则1V ⊥也是A 的不变子空间.。
陕西师范大学高代复习资料
一、基本概念复习1. 什么是正定矩阵？正定矩阵的性质（至少说四条）？怎样判定一个矩阵是正定矩阵？2. 线性空间的定义？基本性质（至少说四条）？子空间定义？子空间的判定？3. 子空间交、和、直和定义？怎样判定直和？关于子空间最重要的两条性质是什么？4．什么是子空间的补及正交补的定义？两者有什么区别和联系？5．生成子空间的定义？生成子空间的基、维数怎确定？写出计算课本第270页第18大题第1小题的步骤？6．线性空间基、维数、坐标的定义？写出基坐标及坐标变换公式？过渡矩阵和可逆矩阵的关系？7．n n P ⨯的维数与一组基？n n P ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵的维数分别是多少？维数是否和所考虑的数域有关？请举例说明。
8．线性空间同构的定义？同构的基本性质（至少说四条）？9．线性变换的定义？线性变换的常见运算有几个？线性变换的乘法是否可换？举例说明？10．线性变换与基像的关系？怎样写出线性变换在一组基下的矩阵？线性变换在不同基下矩阵之间的关系？请写出课本第322页第7大题第6小题的步骤？11．线性变换和矩阵的关系（至少说四条）？线性变换前后向量在一组基下坐标的关系？12．相似矩阵的定义？相似矩阵的性质（至少说四条）？13．线性变换及矩阵特征值和特征向量的定义？两者有何区别和联系？求线性变换特征值及特征向量的步骤？14．线性变换的行列式、特征多项式的定义？矩阵特征值与矩阵迹、行列式的关系？15．线性变换对角化的充要条件？线性变换特征值的性质？什么是Hamilton-Cayley 定理？16. 给定具体线性变换，怎样判断它是否可对角化？请写出步骤？17．什么是幂零矩阵?写出n 阶幂零矩阵A 的特征多项式？迹？行列式？18．线性变换σ的值域与核定义？怎样计算值域及核？以课本第323页第14大题为例说明？值域及核的维数的关系？值域与核的和是否是直和？为什么？19．什么是幂等矩阵？幂等矩阵的特征值？实对称幂等矩阵是否可对角化？能否取掉实对称性？20．什么是不变子空间？请写出课本第326页第25大题的步骤？21．什么是若当块？什么是若当形矩阵？22．什么是-λ矩阵？怎样判断-λ矩阵的可逆性？把-λ矩阵化为标准形的步骤？23．什么是-λ矩阵的不变因子？行列式因子？怎样求-λ矩阵的不变因子？24。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学试题 (文科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设,a b 是向量，命题“若a b =-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是（ ）A ．若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣B ．若a b =，则∣a ∣≠∣b ∣C ．若∣a ∣≠∣b ∣，则a b ≠-D ．若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =-r r ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =r r ，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =r r ，则a b =-r r ”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）A ．28y x =-B ．24y x =-C ．28y x =D ．24y x =【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选B 由准线方程2x =-得22p -=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y px x ==．3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2a b a b ab +<<< B ．2a b a ab b +<<< C ．2a b a ab b +<<< D ．2a b ab a b +<<<4．函数13y x =的图像是（ ）4.答：B5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A ．283π-B ．83π- C ．8-2π D ．23π【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6．方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根7．如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于A ．7B ．8C ．10D ．118．设集合M={y|y=12cos x —2sin x|,x ∈R},{|||1x N x i =< 2, i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为（ ）A ．（0,1）B ．（0,1]C ．[0,1）D ．[0,1]9．设1122(,),(,),x y x y ··· ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）A ．直线l 过点(,)x yB ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．选项 具体分析 结论A回归直线l 一定过样本点中心(,)x y ；由回归直线方程的计算公式$a y bx =-$可知直线l 必过点(,)x y 不正确 B相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 不正确 C 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在1-到0之间时，两个变量负相关不正确 D l 两侧的样本点的个数分布与n 的奇偶性无关，也不一定是平均分布 正确10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） A ．（1）和（20） B ．（9）和（10） C ．（9）和（11） D ．（10）和（11）二、填空题。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（某某卷，解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）． 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =-，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =-”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ）（A ）28y x =- （B ）24y x =- （C ）28y x = （D ）24y x =【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选C 由准线方程2x =-得22p-=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y px x ==．3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ）2a b a b +<<<（B ）2a ba b +<<<（c ）2a b a b +<<<2a ba b +<<<【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选 B （方法一）已知a b <和2a b+<，比较a 与，因为22()0a a a b -=-<，所以a <同理由22()0b b b a -=->b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<． 4. 函数13y x =的图像是 （ ）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解】选B 取18x =，18-，则12y =，12-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．二、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） 6.283π- 7.83π-8.8-2π 9.23π 【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体， 即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C 构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ） (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11 【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算． 【解】选B ∵126,9,x x ==∴3|9|3x ->；又8.5p =，127.52x x +=，显然3|9|3x ->不成立，即为“否”， ∴有3|9|3x -，即3612x ，此时有398.52x +=，解得38x =，符合题意，故选B ．8.设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，{|||1xN x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]【分析】确定出集合的元素是关键。
2011年高考文科数学陕西卷考点分析(一)
陕西省2011年高考文科数学考点分析（一）陕西省南郑中学 王在后2011年是课改后陕西独立命题第二年，试题结构和2010年应该类似，去年较简单，今年在去年的基础上会略有难度，但不会有大的波动。
本人结合必考点将题目归纳如下：必考考点17个，属于中低档题目，其中函数性质综合应用考查，选考部分会略有难度。
2011年陕西高考文科数学考点分析和押题分析（一）主要针对小题结构和考试方向。
考点分析和押题分析（二）主要立足解答题方向分析。
考点1．集合（5分）三类结构,列举法给出集合;解不等式结构(包含函数的定义域,值域);图示给出集合运算1．已知集合U={x|x 3x<-1}≥或, 集合}12|{--==xy y B ，则B C U = 2.已知集合{}2,3x M =，{},N x y =，若{}1M N =，则MN =3．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{|2,B x x =≤∈Z },则A B =考点2．复数（5分）三类结构,虚数单位的周期性;复数几何意义;四则运算(乘除是关键) 1.复数41(1)i-的值是 .2．复数iz +=12（i 为虚数单位）对应的点位于复平面内 . 3. 复数ii+1在复平面中所对应的点到原点的距离为 . 4．已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于 .考点3．数列性质应用（5分）三类结构,中项性质;各类公式的熟练;简单的递推1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 . 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4s = .3. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = .4.在数列}{n a 中，12a =，当n 为奇数时，12n n a a +=+；当n 为偶数时，12n n a a +=，则5a 等于 .5. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2010321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 .考点4．线性规划（5分）两类结构.区域面积或区域整点;线性目标函数最值分析1.已知y x ,满足220101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值为 ．2.已知x ，y ∈R ，且11y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则x+2y 的最大值是________.3．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 .考点5．立体几何定理、简单几何体与三视图（5-10分）1. 直三棱柱111ABC A B C —的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB =，侧棱11AA =，则该三棱柱的外接球的表面积为_______.2．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 _______．3．已知αβ、、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A ．若ββα⊥⊥l ,，则α//l B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l C ．若βα//,l l ⊥，则βα⊥ D ．若γαβα⊥⊥,，则βγ⊥4.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是 .A ．圆锥B ．正方体C ．正三棱柱D ．球5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 .6．已知三棱锥的正视图与俯视图如右图,俯视图是等腰直角三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为 .D考点6．圆锥曲线性质应用（5分）1．已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为 . 2. 设圆过双曲线221916x y -=的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为 .3．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 .4． 已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 .5.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为 .甲乙0129655418355720200641983210考点7．流程图（5分）在这关注分段函数的考查,主要是选择结构.循环结构与数列求和有关. 1. 如果执行右侧的程序框图， 那么输出的S =____.2．如图，该程序框图所输出的结果是（ ）考点8．几何概率（5分）1. 在半径为3米的圆形屋顶下装一盏灯，这盏灯距周围墙壁的距离都不小于1米的概率为________. 2．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿. 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率（油滴的大小忽略不计）是 .考点9．统计学初步（5分）1. 从某商场十一月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场十一月份销售总额约为 .2.为了解老百姓有无收看“建国60周年阅兵仪式”，某记者分别从某社区５０～６０岁,３０～40岁,18～25岁三个年龄中的80人,120人,100人中, 采取分层抽样的方法进行调查,在50～60岁这一年龄段中抽查了4人,那么 这次调查总共抽查了____人.3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 1x 2x ， 1s 2s4．某采购中心对甲、乙两企业同种相同数目产品进行了6次抽检，每次合格产品数据如下：试估计选择那个企业产品更合适：___ ___(填甲或乙). 考点10．三角函数（5分）甲 乙 8 0 7 5 1 3 3 8 4 6 7 2 9 8（第2小题图）1． 已知(),13545,445sin<<=+αα则sin α= ．. 2．2在△ABC 中，45,60,AB A B ===则BC 等于 ．3. 函数24sin y x =的最小正周期是 . 4. 如图为函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像，则函数解析式为 ．5．将函数2y x =的图象向右平移π6个单位后，其图象的一条对称轴方程可以是 ．考点11．向量（5分）1．已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 ．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =， AB AC AB AC +=-，则AM = ．3.在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,,AB mAM AC nAN == 则有关系式 ．A. 1m n +=B. 1m n -=C. 2m n +=D. 2m n -=4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a b c +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC∆的面积等于 ．5.已知向量OZ 与OZ'关于x 轴对称，j =（0，1），则满足不等式20OZ j ZZ'+⋅<的点(,)Z x y 的集合，其区域的面积是 ．6.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，N M ,分别是AB CD ,的中点，设,AB a AD b ==.若,MN ma nb =+则=mn_ ．考点12-13．命题与充要条件，类比（5-10分） 1. 不等式10b a ><a 是a-b成立 ． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列结论错误的是 ．A ．命题：“若20232==+-x x x ，则”的逆否命题为:“若2≠x ，则0232≠+-x x ”B. 命题:“存在x 为实数，02>-x x ”的否定是“任意x 是实数，02≤-x x ” C. “22bc ac >”是“b a >”的充分不必要条件 D.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题 3．设25abm ==，且112a b+=，则m = ． 4．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论: ． 5．正三角形ABC ∆中，D 是三角形的BC 边的中心，O 是正三角形外接圆圆心，则有2=ODAO， 类比到空间正四面体写出你认为合适的结论论: ．考点14-15．函数性质与应用、抽象函数（10分）NMDCBA1．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x = B. ln y x = C. 21y x=D. cos y x = 2．如果过曲线234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那么点P 的坐标为 ．3．设偶函数()f x 满足()24xf x =- (x ≥0），则(){}20x f x ->= ．4.直线b x y +=与曲线29y x -=恰有一个公共点,则b 的取值范围是 ．14. 函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 5．已知函数()()1||xf x x R x =∈+ 时，则下列结论不．正确的是 ． A ．x R ∀∈，等式()()0f x f x -+=恒成立B ．(0,1)m ∃∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根C ．12,x x R ∀∈，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠D ．(1,)k ∃∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点6.函数()f x 满足如下条件：①()f x 定义域为R ，且对任意x ∈R ,()1f x <；②对任意小于１的正实数a ，存在0x , 使00()()f x f x a =->．则函数()f x 可能是 ． A ．1||1||-+x x B ．221x x + CD ．2||1x x +7．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好 通过*()k k ∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.对下列4个函数：①()cos 2f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； ②1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③2()log f x x =-； ④()2()235f x x π=-+，其中是一阶格点函数的有 ．A ．①③ B. ②③ C. ③④ D ①④ 8. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[]0,2010上零点值的个数为 ．考点16．不等式选讲选做题（5分） 1．不等式112x x +≥+的实数解为_ ． 2．不等式230x x m -+++>恒成立，则m 的取值范围是 ．3．如果存在实数x 使不等式k x x <--+21成立，则实数k 的取值范围是_ ．考点17．坐标系与参数方程选做题（直线和圆）（5-10分）1．已知曲线1C：4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），曲线2C ：22,5,x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）, 曲线1C 上任意一点记为P ，则点P 到曲线2C 的距离为最小值为_ ． 2．若ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，B C 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为 ． 3．在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为 ．4．设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是 ． 5．圆()()72222=-+-y x 关于直线2=+y x 对称的圆的方程为_ ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 ．7. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为 ．8．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x 中当t 为参数时，化为普通方程为 ．2011年陕西高考文科数学考点分析和例题分析答案考点1．集合（5分） 1． [3,)+∞ 2. {}0,1,3 3． 0,1,2} 考点2．复数（5分） 1.－42．第四象限3.224． 1 考点3．数列性质应用（5分） 1． 6 2． 12 3.2154. 205. 6- 考点4．线性规划（5分） 1.1- 2. 4.3．73考点5．立体几何定理、简单几何体与三视图（5-10分）1. 3π2．设6a 2π 3．C ．4. A ． 5．6+ 6． D考点6．圆锥曲线性质应用（5分）1． D ．23或52. 1633． 2- 4． 2- 5..1-考点7．流程图（5分） 1. 420 2． 64 考点8．几何概率（5分）1. 492． π94考点9．统计学初步（5分）1. 540万元2. 15 3． 1212,x x s s =< 4． 乙 考点10．三角函数（5分） 1．1027 2．233- 3. π 4. 3sin(2)3y x π=+5． 5ππ,122k x k Z =+∈即可，如512x π=等 考点11．向量（5分）1．－92． 2 3.C. 4．32 5. π 6. 4- 考点12-13．命题与充要条件，类比（5-10分）1. C 2． D. 3．4． 正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值 （或正方体）5．正四面体BCD A -中，E 是BCD ∆边的中心，O 是正四面体BCD A -外接球的球心，则有3=OEAO考点14-15．函数性质与应用、抽象函数（10分）1． B. 2． ()1,03． {}04 x x x <>或 4.}23{]3,3(-⋃-4. 31<<k 5．D ． 6.B 7． A ． 8. 1005考点16．不等式选讲选做题（5分） 1．[)1,+∞ 2．(5,)-+∞ 3． 3k >- 考点17．坐标系与参数方程选做题（直线和圆）（5-10分）1． 32 2．10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos402-=θρ3．3)4π4． 12- 5．722=+y x 6．2．18． 122=-y x。
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 ( )( )−1 ( ) ( ) I 0 I x I x (I + xxT )−1 0 = −xT 1 −xT 1 0 1 0 1 )( ) )( )( )−1 ( ) ( I −x (I + xxT )−1 0 I 0 I x I 0 , = = 0 1 0 1 xT 1 −xT 1 xT 1 )( ) ) ( )( (I + xxT )−1 0 I x I 0 , = 0 1 0 1 xT 1
其中t = xT Q−1 x.由Q正定,从而Q−1 也正定,故t > 0,于是 0< 即结论成立. 六.(15分)(江苏大学04,大连理工02,南京理工08)设V1 , V2 分别为齐次线性方程组 x1 + x2 + · · · + xn = 0 与 x1 = x2 = · · · = xn t < 1. 1+t
Dn+1
解:将Dn+1 的第一行乘以(−x)加到其余各行,得 0 1 1 1 −x 0 = 1 0 −x . . . . . . . . . 1 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . . −x
Dn+1
1 (1)若x ̸= 0,从最后一列开始,每一列乘以 加到第一列,可得 x n 1 1 x 0 −x 0 = 0 0 −x . . . . . . . . . 0 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . −x = n(−x)n−1 .
∗ ∗ (A1 B1 )∗ = B1 A1
上式两边矩阵的元素都是x的多项式,且有无穷多x的值使得等号成立.从而等号恒成立.从 而x = 0时结论也成立. 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 证明:1.易知I + xxT 是实对称矩阵.对任意的非零n维列向量y 有 y T (I + xxT )y = y T y + y T xxT y = y T y + (y T x)2 > 0. 从而I + xxT 是正定矩阵. 由 I xT ( I 0 上两式两边取逆,有 ) (I )−1 ( )( ( I 0 I x I x = −xT 1 −xT 1 0 1 0 0 1 1 + xT x ) ( )( )( ) ( ) 0 I x I −x I 0 = 1 −xT 1 0 1 0 1 + xT x )( )( ) ( ) −x I x I 0 I + xxT 0 = 1 −xT 1 xT 1 0 1
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 1.σ 是V 上的一个正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; 2.σ 是第二类的; 3.如果n维欧氏空间V 中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间 的维数为n − 1,那么σ 是镜面反射.
3
参考解答
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 证明:必要性.设 f (x) = pk (x), 其中p(x)是不可约多项式,k 是正整数.则对任意的多项式g (x),有 (p(x), g (x)) = 1或者p(x)|g (x), 故 (pk (x), g (x)) = 1或者pk (x)|g k (x), 从而(f (x), g (x)) = 1或者存在正整数m = k, f (x)|g m (x). 充分性.由题设,可设f (x)的标准分解式为
Dn+1
(2)若x = 0,显然Dn+1 = 0. 综上,可得 Dn+1 = n(−x)n−1 . 三.(15分) (中科院06,北京交大03)线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ······ an−1,1 x1 + an−1,2 x2 + · · · + an−1,n xn = 0 的系数矩阵为 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · a1n a2n an−1,n
故 ) (I ( I −x 0 1 0 即 ( 0 1 1 + xT x
) (I )( I −x I 0 0 1 −xT 1 0
0 1 1 + xT x
上式左边展开,与右边比较,可得 (I + xxT )−1 = I − 2.由1.有 xT (I + xxT )−1 x = xT (I − 其中t = xT x,且t > 0,故 0< 从而结论成立. 3.如果Q是n阶正定矩阵,则0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1.实际上,类似1.中的方法,可得 (Q + xxT )−1 = Q−1 − 于是 Q−1 xxT Q−1 1 + xT Q−1 x
Dn+1
1
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 三.(15分) (中科院06,北京交大03)线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ······ an−1,1 x1 + an−1,2 x2 + · · · + an−1,n xn = 0 的系数矩阵为 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · a1n a2n an−1,n
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题 参考解答
2
试题
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整5分)计算n + 1阶行列式 0 1 = 1 . . . 1 ··· x ··· 0 ··· . . . . . . 1 x x ··· 1 0 x . . . 1 x x . . . . 0
2
的解空间.证明P n = V1 ⊕ V2 ,其中P 是一个数域.
八.(20分)求可逆矩阵P 及A的Jordan标准形J,使得P −1 AP = J,其中 2 1 1 −1 2 2 −1 −1 A= 1 0 −1 2 . 0 0 0 3 九.(20分)设η 是n维欧氏空间V 中的单位向量,定义 σ (α) = α − 2(η, α)η, ∀α ∈ V. 证明:
= 0.
而M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn 是D的第一行元素的代数余子式,按第一行展开,可知 a11 M1 + a12 (−M2 ) + · · · + a1n (−1)n−1 Mn = 0 又D的其他行元素与第一行相应元素的代数余子式乘积之和为0,于是结论成立. (2)由r(A) = n − 1,故M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn 不全为0,且原方程组基础解系只含有一 个解向量.由(1)可得结论成立. 四.(15分)设A, B 是n阶方阵,证明:(AB )∗ = B ∗ A∗ . 证明: (1)|AB | ̸= 0时，有 (AB )∗ = |AB |(AB )−1 = |B |B −1 |A|A−1 = B ∗ A∗ (2)|AB | = 0时，令A1 = A + xE, B1 = B + xE,则存在无穷多x的值使得A1 , B1 可逆,且
设Mj (j = 1, 2, .., n)表示A中划掉第j 列所得的n − 1阶子式.试证 (1)(M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn )为方程组的一个解. (2)若A的秩为n − 1,则方程组的解全是(M1 , −M2 , · · · , (−1)n−1 Mn )的倍数. 四.(15分)设A, B 是n阶方阵,证明:(AB )∗ = B ∗ A∗ . 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 六.(15分)(江苏大学04,大连理工02,南京理工08)设V1 , V2 分别为齐次线性方程组 x1 + x2 + · · · + xn = 0 与 x1 = x2 = · · · = xn ) ( Ir 0 七.(15分)设A为n阶方阵,且A = A.证明:A相似于一个对角矩阵 ,其中Ir 是r阶 0 0 单位矩阵,r = r(A).
−1 T −1
xxT . 1 + xT x
(xT x)2 t2 t xxT T ) x = x x − = t − = , 1 + xT x 1 + xT x 1+t 1+t t < 1. 1+t