计量经济学 张晓桐版 第六章 自相关
计量经济学课后答案第六章 自相关
第六章课后答案6.1（１）收入—消费模型为Se = (2.5043) (0.0075)t = (-3.7650) (125.3411)R2 = 0.9978，F = 15710.39，d f = 34，DW = 0.5234（２）对样本量为36、一个解释变量的模型、5%显著水平，查DW统计表可知，d L=1.411，d U= 1.525，模型中DW<d L，显然消费模型中有自相关。
（３）采用广义差分法查5%显著水平的DW统计表可知d L = 1.402，d U = 1.519，模型中DW= 2.0972>d U，说明广义差分模型中已无自相关。
同时，判定系数R2、t、F统计量均达到理想水平。
由差分方程式可以得出：所以最终的消费模型为：6.2（1）给定n=16, ,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
模型中，所以可以判断模型中存在正自相关。
给定n=16, ,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
模型中，所以可以判断模型中不存在自相关。
（2）自相关可能由于模型6.1的误设，因为它排除了趋势的平方项。
（3）虚假自相关是由于模型的误设造成的，因此就要求对可能的函数形式有先验知识。
真正的自相关是可以通过广义差分法等方法来修正。
6.3（１）收入—消费模型为（２）DW＝0.575，取，查DW上下界，说明误差项存在正自相关。
（３）采用广义差分法使用普通最小二乘法估计的估计值，得DW=1.830，已知，模型中因此，在广义差分模型中已无自相关。
由差分方程式可以得出：因此，修正后的回归模型应为6.4（1）回归结果如下：（2）模型检验：从回归结果可以看出，参数均显著，模型拟和较好。
异方差的检验：通过white检验可以得知模型不存在异方差。
DW检验：给定n=25, ,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
模型中，所以可以判断模型中存在正自相关。
（3）采用广义差分法修正模型中存在的自相关问题：给定n=24，,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
计量经济学 第六章 自相关
计量经济学
第六章
自相关
6
一阶自相关系数
自相关系数 的定义与普通相关系的公式形式相同
n
utut-1
t=2
n
n
ut2
u2 t 1
t2
t2
的取值范围为 -1 1
(6.1)
式（6.1）中 ut-1是 ut 滞后一期的随机误差项。 因此，将式（6.1）计算的自相关系数 称为一阶 自相关系数。
模型中
ut
是
-1
ut
滞后一期的值，因此称为一阶。
此式中的 也称为一阶自相关系数。
18
如果式中的随机误差项 vt 不是经典误差项，即
其中包含有 ut 的成份，如包含有 ut2 则需将 vt
显含在回归模型中，其为
ut = 1ut-1 + 2ut-2 + vt
其中，1 为一阶自相关系数，2为二阶自相关系
另外回归模型中的解释变量在不同时期通常是
正相关的，对于
Xt和
X
t
来说
j
Xt Xt+j 是大于0的。
33
因此，普通最小二乘法的方差 Var(ˆ2) = 2 Σxt2
通常会低估 ˆ2 的真实方差。当 较大和 Xt 有
较强的正自相关时，普通最小二乘估计量的方 差会有很大偏差，这会夸大估计量的估计精度， 即得到较小的标准误。 因此在有自相关时，普通最小二乘估计 ˆ2 的标 准误就不可靠了。
许多农产品的供给呈现为 蛛网现象，供给对价格的 反应要滞后一段时间，因 为供给需要经过一定的时
间才能实现。如果时期 t
的价格 Pt 低于上一期的 价格 Pt-1 ，农民就会减少 时期 t 1 的生产量。如
计量经济学第六章 自相关
X X
t
t+ j
是大于0的。
43
ˆ ) = 2 Σx2 因此，普通最小二乘法的方差 Var( 2 t ˆ 的真实方差。当 较大和 X 有 通常会低估 2 t
较强的正自相关时，普通最小二乘估计量的方
差会有很大偏差，这会夸大估计量的估计精度，
即得到较小的标准误。
ˆ 的标 因此在有自相关时，普通最小二乘估计 2
，
由于使用了广义差分数据，样本容量减少了1个，为22
个。查5%显著水平的DW统计表可知dL = 0.997，dU
。
= 1.174，模型中DW = 1.3979> dU， 说明广义差 分模型中已无自相关。同时，可决系数R2、t、F统计 量均达到理想水平。 10
最终模型结果
由差分方程可知：
7.7649 ˆ 1 41 .9271 1 0.8148
vt 是经典误差项，满足零均值 E(vt ) = 0 ，同方
差 Var(v ) = 2 ，无自相关 E(vt vs ) 0 (t s ) t v 的假定。
32
33
可以推得:
E(ut ) = r E(vt-r ) = 0
r =0
∞
2 σ 2 Var(vt ) = 2 n Var(vt-r ) = v 2 = u 1- r =0
R 2 0.9966 F 4122.531
2
检验结果表明：回归系数的标准误差非常小，t 统 计量较大，说明居民收入 X 对居民储蓄存款 Y 的 影响非常显著。同时可决系数也非常高，F统计量 为4122.531，也表明模型异常的显著。
但此估计结果可能是虚假的，t统计量和F统计量
都被虚假地夸大，因此所得结果是不可信的。为
《计量经济学》第六章精选题及答案
第六章自相关二、问答题1、那些原因可以造成自相关；2、存在自相关时，参数的OLS估计具有哪些性质；3、如何检验是否存在自相关；4、当存在自相关时，如何利用广义差分法进行参数估计；5、当存在自相关时，如何利用广义最小平方估计法进行参数估计；6、异方差与自相关有什么异同；三、计算题1、证明：当样本个数较大时，)d。
≈-1(2ρα2、通过D-W检验，判断下列模型中是否存在自相关，显著性水平%5=（1）样本大小：20；解释变量个数（包括常数项）：2；d=0.73；（2）样本大小：35；解释变量个数（包括常数项）：3；d=3.56；（3）样本大小：50；解释变量个数（包括常数项）：3；d=1.87；（4）样本大小：80；解释变量个数（包括常数项）：6；d=1.62；（5）样本大小：100；解释变量个数（包括常数项）：5；d=2.41；3、假定存在下表所示的时间序列数据：请回答下列问题：（1）利用表中数据估计模型：t t t x y εββ++=10；（2）利用D-W 检验是否存在自相关？如果存在请用d 值计算估计自相关系数ρ；（3）利用广义差分法重新估计模型：'''1011(1)()t t tt t y y x x ρβρβρε---=-+-+。
第三部分 参考答案二、问答题1、那些原因可以造成自相关？答：造成自相关的原因大致包括以下六个方面：（1）经济变量的变化具有一定的倾向性。
在实际的经济现象中，许多经济变量的现值依赖于他的前期值。
也就是说，许多经济时间序列都有一个明显的相依性特点，这种现象称作经济变量所具有的惯性。
（2）缺乏应有变量的设定偏差。
（3）不正确的函数形式的设定错误。
（4）蛛网现象和滞后效应。
（5）随机误差项的特征。
（6）数据拟合方法造成的影响。
2、存在自相关时，参数的OLS 估计具有哪些性质？答：当存在自相关，即I D ≠ΩΩ=,)(2σε时，OLS 估计的性质有：（1）βˆ是观察值Y 和X 的线性函数；（2）βˆ是β的无偏估计；（3）βˆ的协方差矩阵为112)()()ˆ(--'Ω''=X X X X X X D σβ；（4）βˆ不是β的最小方差线性无偏估计；（5）如果nX X n Ω'∞→lim存在，那么βˆ是β的一致估计；（6）2σ 不是2σ的无偏估计；（7）2σ不是2σ的一致估计。
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
[(
1
ˆ
)
1
xt
ut
]2
(1 ˆ1)2 xt2 2(1 ˆ1) xt ut ut2
(6.2.11)
其中 xt ut xt ut (1 ˆ1) xt2
u
2 t
ut ut
ut2
1 n
ut ut
t t
(1
1 n
)
u
2 t
2 n
ut
t t
ut
所以
2 t
(1
ˆ 1 )2
xt2
第六章 自相关 【本章要点】（1）自相关的概念，自相关强度的 量度—自相关系数，了解经济现象中自相关产生 的原因；（2）自相关性对模型参数估计的影响； （3）检验自相关性的主要方法；（4）消除自相 关影响的方法。 §6.1 自相关 一、自相关的概念
如果经典回归的基本假定4遭到破坏，则
COV(ut ,us)=E(ut us)≠0 , t≠s , t,s=1,2, …,n,即u的取值与 它的前一期或前几期的取值相关，则称u存在序列相关 或自相关。 自相关有正自相关和负自相关之分，对随机项的时间 序列u1,u2,…,un,…，当ut > 0时，随后的若干个随机项 ut+1,u t+2,…都有大于0的倾向，当ut < 0时，随后若干个 随机项都有小于0的倾向，我们说u具有正相关性；而 负自相关则意味着两个相继的随机项ut和ut+1具有正负 号相反的倾向。在经济数据中，常见的是正自相关现象。
(4)根据样本容量n，自变量个数和显著水平0.05 (或0.01)从D-W检验临界值表中查出dL和du。 (5)将d 的现实值与临界值进行比较： ①若d < dL，则否定H0，即u存在一阶线性正自相关； ②若d > 4- dL，则否定H0，即u存在一阶线性负自相关； ③若du< d < 4- du，则不否定 H0，即u不存在（一阶）线 性自相关；
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关自相关是计量经济学中一种重要的现象，它指的是一个变量与其自己在过去时间点上的相关性。
自相关在实证研究中十分常见，对经济学家来说，了解和掌握自相关性质是至关重要的。
1. 引言自相关作为计量经济学的一项基础概念，是经济学研究中不可或缺的一个重要方法。
自相关性的存在通常会引起回归结果的偏误，而忽略自相关性可能导致估计不准确的结果。
因此，探讨自相关性的性质和应对方法是计量经济学的重点之一。
2. 自相关的定义和表示自相关是指一个变量与其自身在过去时间点上的相关性。
假设我们有一个时间序列数据集，其中变量yt表示一个时间点上的观测值，t表示时间索引。
自相关系数可以通过计算观测值yt与其在过去某一时间点上的观测值yt-k（k为时间滞后期数）的相关性来得到。
数学上，自相关系数可以用公式表示为：ρ(k) = Cov(yt, yt-k) / (σ(yt) * σ(yt-k))其中，ρ(k)表示第k期的自相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
3. 自相关性的性质自相关性具有以下几个性质：3.1 一阶自相关性一阶自相关性是指变量值yt与前一期的观测值yt-1之间的相关性。
一阶自相关系数ρ(1)通常用来检验时间序列数据是否存在自相关性。
若ρ(1)大于零且显著，则表明存在正的一阶自相关性；若ρ(1)小于零且显著，则表明存在负的一阶自相关性。
3.2 高阶自相关性除了一阶自相关性，时间序列数据还可能存在高阶自相关性。
高阶自相关性是指变量值yt与过去第k期的观测值yt-k之间的相关性。
通过计算不同滞后期的自相关系数ρ(k)，可以了解数据在不同时间跨度上的自相关性情况。
3.3 异方差自相关性异方差自相关性是指时间序列数据中的方差不仅与自身相关，还与过去观测值的相关性有关。
异方差自相关性可能导致在回归分析中的标准误差失效，从而产生无效的回归结果。
因此，在处理存在异方差自相关性的数据时要采取合适的修正方法。
4. 自相关性的检验方法在实证研究中，经济学家通常使用多种方法来检验数据中的自相关性，常用的方法包括：4.1 Durbin-Watson检验Durbin-Watson检验是一种常用的检验自相关性的方法，其基本思想是通过检验误差项的相关性来判断自相关是否存在。
计量经济学第6章1 自相关6.1 课件
项的“近似估计量”，用 e~t 表示：
e~t Yt (Yˆt )OLS
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的 相关性，以判断随机干扰项是否具有自相关性。
6.3.1 图示法
利用残差项e~t 的变化图形来判断随机干扰项的自
相关性。
6.3.2 杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
（4）样本容量应充分大（ T 15）。
DW检验步骤:
（1）计算DW值 （2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界 值 dl 和 du （3）比较、判断
若 0<DW< dL dL<DW<du du <DW<4-du
4-du <DW<4-dL 4-dL<DW<4
存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
(1)所得到的参数估计量虽是无偏的，但却非有效
考虑具有一阶自回归形式的随机干扰项模型
Yt X t ut 其中，ut ut1 t用普通最小二乘
法可得
ˆ
X tYt Xt2
X
t
(Xt
Xt2
ut
)
X t ut Xt2
由于 E(ut ) 0 所以
由于自相关的存在，Cov (ut , us ) 0，所以这时
ˆ 的方差已不同于经典假设之下的 ˆ 方差。因此，
若不考虑自相关性，仍用普通最小二乘法估计 ˆ
的方差，则可能会导致不小的偏误。
(2) 参数的显著性检验失去意义
由于估计量 ˆ 的方差已不同于经源自假设之下ˆ的方差，所以由ˆ 估计量和其方差估计量所构造的
计量经济学第六章-自相关资料
1、时间顺序图—将残差对时间描点
e
e
a
t
b
t
• 如a图所示，扰动项为锯齿型，et随时间变化频繁 地改变符号，表明存在负自相关。
• 如b图所示，扰动项为循环型，et随时间变化不频 繁地改变符号，而是几个正之后跟着几个负的，
几个负之后跟着几个正的，表明存在正自相关。
2、绘制残差et, et-1的图形
• 自相关按形式可分为两类。 • （1）一阶自回归形式
• 当误差项ut只与其滞后一期值有关时，即
ut f (ut1) vt
• 称ut具有一阶自回归形式。
• (2) 高阶自回归形式
• 当误差项ut的本期值不仅与其前一期值有关，而且
与其前若干期的值都有关系时，即
ut f (ut1, t2 ,) vt
• 模型设定偏误： 若所用的数学模型与变量间的真实关系不一致， 误差项常表现出自相关。比如平均成本与产量呈抛 物线关系，当用线性回归模型拟合时，误差项必存 在自相关。
• 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。 若丢掉了应该列入模型的带有自相关的重要解释变量 ，那么它的影响必然归并到误差项ut中，从而使误差 项呈现自相关。当然略去多个带有自相关的解释变量 ，也许因互相抵消并不使误差项呈现自相关。
=
u2 (xt x)2
当 ut 为一阶自回归形式时
Var ( ˆ1) =
u2 (xt x)2
+2 u 2
ts
(xt (
x)(xs x) s-t (xt x)2 )2
3、参数显著性t检验失效
低估了2，也低估了bi的方差和标准差,等于
夸大了T值，使t检验失去意义
4、降低预测可信度度
参数估计值不具有最小方差性，使预测区间的可信度降低。 所以用依据普通最小二乘法得到的回归方程去预测，预测是无效的。
计量经济学自相关
Yt Yt 1 (1 ) 1 ( X 1t X 1t 1 ) 2 ( X 2t X 2t 1 ) k ( X kt X kt 1 ) t
* * X 2t X 2t 1 … X2 t
令： Yt Yt 1 Yt (1 ) * X 1t X 1t 1 X 1*t * * 则： Yt* * 1 X 1*t 2 X 2 X t k kt t
四、回归检验法
回归检验法的优点是：(1)适合于任何形式的自相关检验，(2) 若结论是存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与 参数的估计值。缺点是计算量大。回归检验法的步骤如下： ①用给定样本估计模型并计算残差et。 ②对残差序列et , (t = 1 ,2 ,… , T ) 用普通最小二乘法进 行不同形式的回归拟合。如： et et 1 t
* * Yt* * 1 X 1*t 2 X 2 X t k kt t
第四步：利用广义最小二乘估计量，计算原模型参数估计值：
ˆ* ˆ ˆ 1
ˆ ˆ
第五步：根据原回归模型及估计值计算残差 et ：
ˆ X ˆ X ˆ X ˆ et Yt 1 1t 2 2t k kt
t 1 t 1
二、DW检验
2 et21 2 et et 1
t 2 t 2 2 e t 1 t 2 T
TTΒιβλιοθήκη 2(1 e et 2 T t 2
T
t t 1
2 e t 1
ˆ) ) 2(1
e e ˆ t 其中， 即可表示为 对 t 1 做回归的系数估计值，可等价 于 et 与 et 1 的相关系数。
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
由于解释变量之一是被解释变量的滞后值，称为自 回归模型。人们的消费习惯不会轻易改变，从而 对模型产生自相关性。
（3）模型设定偏误（specification error）。
一是应含而未含变量（excluded variable）设定偏 误；二是不正确的函数形式。例
Yi
1
2 X 2i
3
X
2 2i
ui
• 同时，可以推出下列结论
•
E(ut ) mE(vtm ) 0
m0
（6.1.14）
•
Var(ut
)
m0
2 mVar (vt
m
)
1
2 v
2
（6.1.15）
三、自相关产生的原因
（1）惯性（inertia）。
大多数经济时间序列都一个明显的特点，就是它的 惯性或黏滞。例如，GDP、价格指数、就业等时 间序列都呈现出一定的周期性。这种“内在的动 力”惯性往往产生序列自相关。
E ( ˆ2
)
E
(
xt yt xt2
)
E(2
xtut xt2
)
•
2
xt E(ut ) xt2
2
（6.2.5）
• 即参数 2的OLS估计量为无偏估计量。
在随机干扰项不满足无自相关条件时，得到OLS估 计量的方差为：
Var(ˆ2
)
E(ˆ2
2
)
E(
xtut xt2
)2
1 ( xt2 )2
下，经济变量也是正相关，式子（6.2.6）括号内的数值是 大于0的。也就是说，仍使用式子（6.2.3）作为参数估计 量的方差将会低估真实的方差。
• 当随机干扰项不存在自相关时， 2 的无偏估计为：
计量经济学 第六章 自相关
5
3、模型设定不当
(1)数学模型设定不当 比如我们在非线性回归模型中介绍的产品总成本Y和产量X 的回归模型为:
Yt b0 b1 X t b2 X b3 X t
2 t 3 t
但如果用线性模型来替代
Yt b0 b1 X t t
2 3
那么随机误差项
vt b2 X t b3 X t t
若d 0.562, 则0 d d L , 存在一阶正自相关
若d 3.521, 则4 d L d 4, 存在一阶负自相关
若d 2, 则dU d 4 dU , 不存在一阶自相关 若d 1.267, 则d L d dU , 无法确定模型中是否存在一阶自相关 若d 2.980, 则4 dU d 4 d L , 无法确定模型中是否存在一阶自相关
无自相关 区域
负自相关区域 正自相 关区域
0
dL
dU
2
4 dU
4 dL 4
17
例题6.1
在给定的显著性水平＝0.05条件下，n 10, k 1
查表得下限值d L 0.879, 上限值dU 1.320 又可以计算得4 dU 2.68, 上限值4 d L 3.121
2 2
若nR ( p ), 拒绝原假设，原模型存在自相关
2 2
若nR ( p), 接受原假设，原模型不存在自相关
2 2
拒绝域
接受域
( p )
2
nR
2
( p )
2
nR
2
22
6.4 自相关的修正
• 自相关修正的基本原理：通过差分变换，对原始数据进行 修正。自相关修正主要有三种方法。 • 1、广义差分法
计量经济学 第六章 自相关性
第六章自相关性6.1 自相关性：6.1.1. 非自相关假定由第2章知回归模型的假定条件之一是，Cov(u i, u j) = E(u i u j) = 0, (i, j∈T, i≠j), (6.1)即误差项u t的取值在时间上是相互无关的。
称误差项u t非自相关。
如果Cov (u i,u j ) ≠ 0, (i≠j)则称误差项u t存在自相关。
自相关又称序列相关。
原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。
这里主要是指回归模型中随机误差项u t与其滞后项的相关关系。
自相关也是相关关系的一种。
6.1.2．一阶自相关自相关按形式可分为两类。
(1)一阶自回归形式当误差项u t只与其滞后一期值有关时，即u t = f (u t - 1) + v t称u t具有一阶自回归形式。
(2) 高阶自回归形式当误差项u t的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都有关系时，即u t = f (u t– 1, u t– 2 , …u t– p ) + v t则称u t具有P阶自回归形式。
通常假定误差项的自相关是线性的。
因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即u t = α1 u t -1 + v t(6.2)其中α1是自回归系数，v t 是随机误差项。
v t 满足通常假设E(v t) = 0, t = 1, 2 …,T,Var(v t) = σv2, t = 1, 2 …,T,Cov(v i , v j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2 …, T , Cov(u t -1, v t ) = 0, t = 1, 2 …, T ,依据普通最小二乘法公式，模型（6.2）中 α1 的估计公式是，1ˆa= ∑∑=-=-Tt t Tt t t u u u 22121(1ˆβ=∑---2)())((x x x x y y t t t ) (6.3)其中T 是样本容量。
《计量经济学》第六章自相关
但若有人说此估计结果有可能是虚假的，t统计量和F统计 量被虚假地夸大了，因此所得结果是不可信的。为什么呢?
第六章 自相关
本章讨论四个问题： ●自相关的概念和产生的原因 ●自相关的后果 ●自相关的检验方法
●自相关的补救方法
第一节 自相关的概念
一、什么是自相关
一般概念: 自相关是指同一随机变量以时间和空间为顺 序的观测值序列各部分之间的相关关系，也称序列相关。 计量经济学中的概念：特指随机扰动项逐次观测值相互之 间的相关关系。
经济变量与前几个时期的数值往往有关，如本期消费常与 前期消费有关
（2）经济行为本身的滞后性
如本期消费还依赖于前期收入，而前期收入未纳入模型
（3）设定偏倚
如省略重要解释变量、不正确的函数形式可引起自相关
（4）数据的加工引起自相关
如数据修匀平滑， 用内插和外推取得数据
（5）扰动项自身特性引起自相关（真实自相关）
●一阶自回归形式较为简单
●在实际计量分析中处理一阶自回归形式常能取得较好
效果
一阶自回归形式自相关的性质
对于
ut ut 1 t 可以证明： ut ( ut 2 t 1 ) t
( ut 3 t 2 ) t 1 t
ˆ
t 2 n t t 1 2 t 1
回顾:一元回归
ˆ 2
xi yi x
2 i
u
t 2
t 2
t t 1 n
u u
1
在样本容量大时有
2 2 u u t t1
(注意: ui u j 0) （回归系数公式）（相关系数公式）
一般关系： ut ut 1 t 期望为
计量经济学第六章
εt遵循0均值、同方差、无 序列相关的各条OLS假定
以双变量回归模型和 AR (1)为例。 Yt = β1 + β 2 X t + u t u t = ρu t −1 + ε t Yt = β1 + β 2 X t + ut (1) ( 2)
ρYt −1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t −1 + ρu t −1
3、回归检验法
~ ~ et 为被解释变量， et −1 、 以 以各种可能的相关量， 诸如以 ~ ~ et − 2 、 et 2 等为解释变量，建立各种方程：
~ ~ e t = ρ e t −1 + ε t
~ = ρ e + ρ ~ +ε ~ et 1 t −1 2 et − 2 t
……
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在序列相关性。 回归检验法的优点 回归检验法 优点是：（1）能够确定序列相 优点 关的形式，（2）适用于任何类型序列相关性问 题的检验。
+ ⋯ + β k ( X kt − ρ1 X kt −1 − ⋯ − ρl X kt − l ) + ε t
该模型为广义差分模型 广义差分模型，不存在序列相关问题。 广义差分模型 可商行OLS估计。
ρ未知时序列相关的修正
应用广义差分法， 应用广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数 ρ1, ρ2, … , ρp 。 实际上， 人们并不知道它们的具体数值 ， 所以 实际上 ， 人们并不知道它们的具体数值， 必须首先对它们商行估计。 必须首先对它们商行估计。
如果怀疑随机扰动项存在pρ1µt −1 + ρ 2 µt − 2 ⋯ + ρ p µt − p + ε t
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关在计量经济学的学习中，自相关是一个重要且颇具挑战性的概念。
自相关，简单来说，就是指在时间序列或横截面数据中，观测值之间存在的某种相关性。
想象一下，我们在研究某个经济变量随时间的变化情况，比如一家公司的销售额。
如果在不同的时间段，销售额的变化不是相互独立的，而是存在一定的关联，这就可能出现了自相关现象。
自相关产生的原因多种多样。
其中一个常见的原因是经济变量的惯性。
例如，消费者的消费习惯往往具有一定的延续性，不会突然发生巨大的改变。
这就导致消费数据在不同时期可能存在相关性。
另一个可能的原因是模型设定的不准确。
如果我们在构建计量经济模型时，遗漏了某些重要的解释变量，那么残差项就可能包含这些被遗漏变量的影响，从而导致自相关。
自相关的存在会给我们的计量经济分析带来一系列问题。
首先，它会影响参数估计的有效性。
在存在自相关的情况下，传统的最小二乘法（OLS）估计得到的参数估计值不再是最优的，估计的方差也会被低估，这可能导致我们对参数的显著性做出错误的判断。
其次，自相关会使我们对模型的假设检验失效。
假设检验是基于一定的统计分布进行的，如果存在自相关，这些分布就不再适用，从而导致检验结果的不可靠。
那么，如何检测自相关呢？常用的方法有图形法、杜宾瓦特森（DurbinWatson）检验等。
图形法是通过绘制残差的序列图来直观地观察是否存在自相关。
如果残差呈现出某种周期性或趋势性，那么就可能存在自相关。
杜宾瓦特森检验则是一种基于统计量的检验方法。
它通过计算一个特定的统计量，并与临界值进行比较来判断是否存在自相关。
如果经过检测发现存在自相关，我们就需要采取相应的方法来处理。
一种常见的方法是广义最小二乘法（GLS）。
GLS通过对原模型进行变换，使得变换后的模型不存在自相关，从而得到更有效的参数估计。
另外，还可以使用一阶差分法。
这种方法将原变量的一阶差分作为新的变量进行回归分析，从而消除可能存在的自相关。
计量经济学课件：第六章-自相关性
第六章 自相关性本章教学要求：本章是违背古典假定情况下线性回归描写的参数估计的又一问题。
通过本章的学习应达到：掌握自相关的基本概念，产生自相关的背景；自相关出现对模型影响的后果；诊断自相关存在的方法和修正自相关的方法。
能够运用本章的知识独立解决模型中的自相关问题。
经过第四、五、六章的学习，要求自行选择一个实际经济问题，建立模型，并判断和解决上述可能存在的问题。
第一节 自相关性的概念一、一个例子研究中国城镇居民消费函数，其中选取了两个变量，城镇家庭商品性支出（现价）和城镇家庭可支配收入（现价），分别记为CSJTZC 和CSJTSR ，时间从1978年到1997年，n=20。
但为了剔除物价的影响，分别对CSJTZC 和CSJTSR 除以物价（用CPI 表示），这里CPI 为城镇居民消费物价指数（以1990年为100%），经过扣除价格因素以后，记CPICSJTSRX CPICSJTZCY ==即如下表回归以后得到的残差为Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/27/04 Time: 09:39Sample: 1978 1997Included observations: 20Std. Error t-Statistic Prob.Variable CoefficientC-103.369278.80739-1.3116690.2061X0.9235510.01603357.603880.00003939.341 R-squared0.994605Mean dependentvarAdjusted R-squared0.994305S.D. dependent var2124.467S.E. of regression160.3247Akaike info criterion13.08692Sum squared resid462671.9Schwarz criterion13.18649Log likelihood -128.8692 F-statistic 3318.207 Durbin-Watson stat1.208037 Prob(F-statistic)0.000000二、什么是自相关性在引出自相关性的概念之前，根据建立中国城镇居民储蓄函数，经用最小二乘法估计出参数后，得到残差序列，由此画出残差图（残差序列自身的关系），从图形上看存在t e 对1 t e 的线性关系，残差的这种现象说明了什么？下面给出序列自相关的定义。
计量经济学 张晓桐版 第六章 自相关
（2）分别用DW、LM统计量检验误差项 ut是否存在自相关。
已知DW = 0.60，若给定a = 0.05，查附表4，得DW检验临界值dL = 1.26，dU = 1.44。 因为 DW = 0.60 1.26，认为误差项ut存在严重的正自相关。
LM 统计量既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。 LM 检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。
Yt = 0 + 1 X1 t + 2 X2 t + … + k Xk t + ut 考虑误差项为 n 阶自回归形式 ut = 1 ut-1 + … + n ut - n + vt H0: 1 = 2 = …= n = 0
第6章 自相关
非自相关假定 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 克服自相关的矩阵描述（不讲） 自相关系数的估计 案例分析
6.1非自相关假定：Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j)
如果Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项ut存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类： （1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1) （2）高阶自回归形式。ut = f (ut – 1, u t – 2 , … ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。
2 1
t2
6.3 自相关检验
的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值范围是 [0, 4]。
与 DW 值的对应关系及意义
计量经济学(第六章自相关)
所以在有自有关时，一般最小二乘估计 ˆ2 旳原 则误就不可靠了。
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20
一种被低估了旳原则误意味着一种较大旳t统计
量。所以，当 0时，一般t统计量都很大。
这种有偏旳t统计量不能用来判断回归系数旳明 显性。 综上所述，在自有关情形下，不论考虑自有关， 还是忽视自有关，一般旳回归系统明显性旳t检 验都将是无效旳。 类似地,因为自有关旳存在,参数旳最小二乘估 计量是无效旳，使得F检验和t检验不再可靠。
cov(i , j ) E(i j ) 0存在i j
常见于时间序列数据。
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3
自有关类型：一阶自有关
一阶自相关：Cov(ut , ut1) 0;
若进一步，有ut＝ut1＋t ,
则称ut一阶线性自相关
（其中 |
|
1，
为白噪声序列，
t
即E(t ) 0, Cov(t , s ) 0(t s),
作为散布点绘图，假如大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表白
随机误差项 ut 存在着正自有关。
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et
et
et-1et 1
图 6.2 et与et-1旳关系
假如大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误
差项 ut 存在着负自有关。
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et
t
二、对模型检验旳影响
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n
n
n
et2 +
e2 t -1
-
2
et et -1
DW = t=2
t=2 n
计量经济学(第六章自相关)
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本节主要内容
1. 自相关的定义和产生原因； 2. 自相关的影响； 3. 自相关的检验； 4. 自相关的补救；
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2
6.1 自相关的定义、类型、产生原因
自相关（autocorrelation）定义： 在古典线性回归模型中，我们假定随机扰动项序 列的各项之间不相关。如果这一假定不满足，则 称之为自相关。即用符号表示为：
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6
二、设定偏误1：应含而未含变量的情形
例如, 如果真实的回归方程的形式为：
Yt 1 2 X 2t 3 X 3t X 4t 4 ut
其中，因变量表示牛肉需求量，解释变量分别为 牛肉价格、消费者收入和猪肉价格。但是在做回
归时用的是：Yt 1 2 X 2t 3 X 3t vt 则，随机扰动项会出现系统模式：vt X 4t 4 ut
有方差最小性；
2
2. 一般地，残差方差被严重低估( 2 )
3. 参数显著性检验失效；
4. 区间估计和预测区间的精度降低。
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自相关的后果的例证
以扰动项一阶自相关和双变量回归模型为例:
由ˆ2 2
xt ut xt2
， 显 然 有E ( ˆ2
)
。
2
而 var(ˆ2 ) E(ˆ2 2 )2 E
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6.2.2对模型检验的影响
考虑自相关时的检 验
对模型检验的影响
忽视自相关时的
检验
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考虑自相关时的检验
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=0 =1 = -1 0<<1 -1 < < 0
DW DW = 2 DW = 0 DW = 4 0 < DW < 2 2 < DW < 4
ut 的表现 ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。
T
ut ut1
aˆ1
=
t2 T
。若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是
ut12
t2
T
ut ut1
T
T
ˆ =
t2
。对于充分大的样本显然有
ut2
u
t
2 1
。
T
T
ut 2
u
t
2 1
t2
t2
t2
t2
把这种关系代入上式得
T
ut ut1
ˆ t2
T
aˆ1
u
t
2 1
t2
对于总体参数有 = a1，回归模型中误差项 ut 的
H0: = 0 (ut 不存在自相关)。H1: 0 (ut 存在一阶自相关) 用残差值 et 计算统计量 DW。
DW =
T
(et et1 ) 2
t2
=
T
et 2
t 1
T
T
T
et 2 et12 2 et et1
t2
t2
t2
T
et 2
t 1
T
T
T
因为在样本容量充分大条件下有 et 2 ≈ et12 ≈ et 2
c. 负自相关序列
3 U
2
1
0
-1
-2
-3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
e. 非自相关序列
6 X
4
2
0
-2
-4
-6 -6
6 X
4
X(-1)
-4
-2
0
2
4
6
b. 正自相关序列散点图
2
0
-2
-4
-6 -6
X(-1)
-4
-2
0
2
4
6
d. 负自相关序列散点图
4 U
2
0
-2
-4 -4
U (-1)
-2
0
2
4
f 非自相关序列散点图
6.2自相关的来源与后果
自相关的来源： 1．模型的数学形式不妥。
2. 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。 3. 回归模型中略去了带有自相关的重解释变量。
6.2自相关的来源与后果
模型存在自相关的后果 1. 回归系数的最小二乘估计量 ˆ j 仍具有无偏性。
ut = a1 ut -1 + vt
E(vt ) = 0, t = 1, 2 …, T
Var(vt) = v2, t = 1, 2 …, T
Cov(vi, vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 …, T Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 …, T
依据普通最小二乘法公式，模型 ut = a1 ut -1 + vt 中 a1 的估计公式是，
6.4 自相关的解决方法
1. 如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那 么就应当修改模型的数学形式。方法是用残差et 对解释变量的 较高次幂进行回归。
2. 如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的， 那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变 量列入模型。
一阶自回归形式可表示为， ut = ut-1 + vt
序列的自相关特征分析。给出具有正自相关，负自相关和非自相关三个序列。
4 X
2
0
-2
-4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
a. 正自相关序列
6 X
4
2
0
-2
-4
-6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
用多元回归式得到的残差建立辅助回归式，
et = ˆ1 et-1 + … + ˆ n et-n +0 +1 X1 t +2 X2 t + … + k Xk t + vt
估计并计算确定系数 R2。构造 LM 统计量，LM = TR2
若 LM = T R2 2(n)，接受 H0；若 LM = T R2 > 2(n)，拒绝 H0。
DW检验临界值与三个参数有关。（1）检验水平a，（2）样本容量T ,
(3) 原回归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。
6.3 自相关检验
（3）LM检验（亦称BG检验）法
LM 统计量既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。 LM 检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。
Yt = 0 + 1 X1 t + 2 X2 t + … + k Xk t + ut 考虑误差项为 n 阶自回归形式 ut = 1 ut-1 + … + n ut - n + vt H0: 1 = 2 = …= n = 0
t2
t2
t 1
T
T
2
et
2 1
2
et et1
所以 DW 可以近似表示为， DW≈ t2
t2
T
et
2 1
= 2 (1 -
t2
T
et et1
t2
) = 2 (1 - ˆ )
T
et
2 1
t2
6.3 自相关检验
的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值范围是 [0, 4]。
与 DW 值的对应关系及意义
第6章 自相关
非自相关假定 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 克服自相关的矩阵描述（不讲） 自相关系数的估计 案例分析
6.1非自相关假定：Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j)
如果Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项ut存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类： （1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1) （2）高阶自回归形式。ut = f (ut – 1, u t – 2 , … ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。
2. Var( ˆ j ) 不再具有最小方差性。 3. 有可能低估误差项 ut 的方差（估计小了）。 4. 由于 ut 存在自相关时，Var( ˆ1 ) 和 su2 都变大，
都不具有最小方差性。用依据普通最小二乘法 得到的回归方程去预测，预测无有效性。
6.3 自相关检验
（1）图示法：依据残差 et 对时间 t 的序列图作出判断。 （2）DW（Durbin-Watson）检验法 使用 DW 检验，应首先满足如下三个条件。（1）误差项 ut 的自相关为一阶自回归形式。（2） 因变量的滞后值 Yt-1 不能在回归模型中作解释变量。（3）样本容量应充分大（T 15） DW 检验步骤如下。