第十六章量子力学基础

第十六章 量子力学基础一、 基本要求1、 了解波函数的概念及其统计意义 ，理解微观粒子的波动性2、了解一维定态的薛定谔方程及其波函数解一般必须满足的条件，以及量子力学中用薛定谔方程处理一维无限深势阱、一维谐振子等微观物理问题的方法 。

3、了解量子力学对氢原子问题处理的基本方法，理解描述氢原子量子态的三个量子数（m l n ,,）的函义和能级公式。

了解核外电子概率分布的函数形式和意义。

二、 基本内容本章重点：建立量子物理的基本概念，了解微观粒子运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、一维定态的薛定谔方程及其应用。

本章难点：波函数及其核外电子概率分布的意义。

（一）波函数及其统计意义：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数),(t rψ 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。

（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：德布罗意波或波函数),(t rψ 不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。

量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。

微观粒子的概率波的波函数是：),,,(),(t z y x t r ψψ=概率密度： 波函数模的平方2|),(|t r ψ代表时刻t ，在r 处附近空间单位体积中粒子出现的几率。

因此2|),(|t rψ也被称为概率密度。

即某一时刻出现在某点附近在体积元dV 中的粒子的概率为：或τψd t r ⋅2|),(| 波函数必须满足标准化条件：单值、连续、有限。

波函数必须满足归一化条件：zy x t z y x d d d ),,,(2ψ),,,(),,,(),,,(t z y x t z y x t z y x ψψρ*=1d )()(=⎰*τψψVt r t r ,,（二）薛定谔方程： 1、含时薛定谔方程：量子力学中微观粒子的状态用波函数来描述，决定粒子状态变化的方程是薛定谔方程。

一般形式的薛定谔方程，也称含时薛定谔方程，即：式中μ是粒子的质量，)(r U是否粒子在外力场中的势能函数。

2、定态薛定谔方程：当粒子在稳定场中运动，势能函数与时间无关，即)(r U U=时，为定态薛定谔方程：其特解为：概率密度分布为： （三）一维势阱和势垒问题： 1、一维无限深方势阱：对于一势阱有维无限深方 U(x)定态薛定谔方程为： 令x薛定谔方程的解为：其中α,,A k 都是常量，（α,A 为积分常量），其中α,A 分别用归一化条件和边界条件确定。

根据0)0(=ψ ，可以确定α = 0或,πm ,3,2,1=m 于是上式改写为：)()](2[)(i 22t r r U t t r ,, ψμψ+∇-= )()()](2[22r E r r U ψψμ=+∇-h iEt er t r /)(),(-= ψψ)()()()()(r r t r t r t r ψψψψρ**==,,,⎩⎨⎧≥≤∞<<=),0()0(0)(a x x a x x U 02d d 222=+ψμψE x)sin()(αψ+=kx A xE k μ2=∞∞a根据0)(=a ψ， 可以确定πn ka =， ,3,2,1=n 根据归一化条件，确定 a2 ， 得能级公式为：由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这个分立的能谱就是量子化了的能级。

当1=n 时，粒子处于最低能量状态，称为基态，其基态能量（零点能）为：激发态能量：一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 。

波动方程：波函数：概率密度：能量： 量子数： ,3,2,1=n势阱中相邻能级之差：能级相对间隔：kxA x sin )(=ψ⋅⋅⋅= ==,3,2,1,22222222n an k E n μπμ 022221≠ =aE μπ ),3,2(,22222==n an E n μπ0π8d d 2222=+ψψhmEx =)(x ψ),0(,0a x x ≥≤)0(,πsin 2a x x a n a <<xan a x πsin 2)(22=ψ2218)12(ma h n E E E n n +=-=∆+nma h n ma h n E E n n 288222222=≈∆22222a n E n μπ =当∞→n0→∆nnE E 能量视为连续变化。

与能量本征值n E 相对应的本征函数)(x n=ψ 为：归一化波函数为：,3,2,1=n 2、势垒穿透和隧道效应： 有限高的势垒：在P 区和S 的形式区薛定谔方程为：),0(a x x >< 在Q 区粒子应满足下面的方程式：)0(a x << 用分离变量法求解，得： (P 区)(Q 区)（S 区）在P 区，势垒反 射系数： 在Q 区，势垒透射系数：粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。

经典理论：（1）E >0U 的粒子， 越过势垒。

（2）E <0U 的粒子， 不能越过势垒。

量子理论：（1）E >0U 的粒子，也存在被弹回的概率—— 反射波。

（2）E <0U 的粒子，也可能越过势垒到达S 区—— 隧道效应。

（四）一维谐振子问题1、一维谐振子的定态薛定谔方程 ： 为系统的势能：,sin2)(ax n ax n =πψ⎩⎨⎧<<=><==)Q ()S ()P (0,)(,0,0)()(0区区区a x U x U a x x x U x U U ao E PSUx0)(2d )(d 222=+x E x x ψμψ 0)()(2d )(d 0222=-+x U E x x ψμψ kxkx B A i 1i 11e e -+=ψxx B A γγψ-+=e e 222kxA i 33e =ψ=R 211A B 213A A T =2222121)(x kx x U μω==简谐振子的能量为：将势能形式代入定态薛定谔方程，得：2、一维谐振子的能量本征值：为使波函数量满足单值、连续、有限的条件，能量本征值只能取：,3,2,1=n基态能量（零点能）为：（五）氢原子1、角动量的本征函数和相应的量子数：动量的本征值为：L 称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。

核外电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。

电子轨道角动量的z 分量的大小：=m 0, ±1, ±2, …, ±l m 称为磁量子数。

轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动量的空间量子化。

2、氢原子的能级： 氢原子的能级公式：从能级公式可以看到，E ∞ = 0，这就是电离。

当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为：3、能量的本征函数和能级的简并度：A kA E 222121μω==)()(][x E x x xψψμωμ=+-222221d d22,)21(ω +==n E E nω 210=E)1(+=l l L m L z =⋅⋅⋅=-=-=,3,2,1,)4(2222024e 224e n ne m n e m E s n πε eV 597.13)π4(22024e 1-=-=ε e m E对于任何一个主量子数n ，共有：个量子态都对应于相同的能量本征值n E ，这种情形就称为能级n E 是简并的，或者更具体地说，定态能级n E 的简并度是2n 。

三、 类氢离子能级公式 ：（六）氢原子中电子的概率分布 1、电子概率的径向分布：在半径为r 到r +d r 的球壳内发现电子的概率为：式中22)(r r R w nl nl=是电子出现在相应球壳内的概率密度，称为电子概率的径向分布函数。

可以证明，对于n -l -1 = 0的所有量子态的最概然半径可以表示为：2、电子概率的角度分布函数：立体角d Ω = sin θ d θ d ϕ内发现电子的概率为 ：式中lm w (θ, ϕ)是电子出现在相应立体角内的概率密度，称为电子概率的角度分布函数。

电子概率的角度分布函数lm w (θ, ϕ)与ϕ无关,所以角度分布函数lm w (θ, ϕ)是以z 轴为旋转对称轴的。

三、问题讨论1、数归一化波函是什么意思？21)12(nl n l =+∑-=⋅⋅⋅= -=,2,1,)4(2220242e n n e Z m E n ε ⎰⎰=ππ20222d d sin ),(Y d )(d )(ϕθθϕθlm nl nl r r r R r r w rr r R nl d )(22=⋅⋅⋅==,2,1,2n a n r n ⎰∞=Ω022d d sin d ),(Y )(d ),(ϕθθϕθϕθr r r R w lm nl lm Ω=d ),(Y =d d sin ),(Y 22ϕθϕθθϕθlm lm答：波函数绝对值的平方2)(rψ是在r处的概率密度，即在此处附近空间单位体积中粒子发现的概率的大小。

数归一化波函是指概率密度在全空间中的积分为1，即：上式在物理上，是指在整个空间发现粒子的概率为1。

因为只要在空间有一个粒子，遍及整个空间总能找到这个粒子。

2、势阱中的粒子（包括谐振子）处于激发态时的能量都是完全确定的——没有不确定能量。

这意味着粒子处于这些激发态的寿命将为多长？它们自己能从一个态跃迁到另一个态吗？答：粒子所处的状态的是完全确定的，就是说在这样的确态上能量E 的不确定度为零，即：0=∆E ， 能量E 的不确定度和寿命的不确定度τ∆之间的不确定度关系为： 2≥∆⋅∆τE 现已知0=∆E ，就要求∞→∆τ，也就是说，粒子处于这些激发态的寿命是无限长，如果没有外界扰乱动，它们自己不能能从一个态跃迁到另一个态。

四、典型例题1、粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽为a ），若其状态对应于波函数)0(a x <<，求粒子出现的概率最大有哪些位置？解：出现粒子的概率密度为： )0(a x << 对上海式求极值：06sin 6)3sin 2()(222===a x aa x a dx d x dx d πππψ 则 06sin =a x π， ππk a x =6， bak x =， ,3,2,1,0=k 其中：0=k 时， ,0=x 6=k 时，,a x = 由边界条件知：0)(=x ψ7≥k 时，,a x > 已出势阱。

故：ba xb a x b a x 5,3,===处，粒子出现的概率最大。

2、一维无限深方势阱中粒子的定态波函数 试求：粒子在此0=x 和3ax =之间被找到的概率，当：（1） 粒子处于基态时； （2） 粒子处于n=2的状态时。

1d )()(=⎰*τψψVt r t r ,,,3sin 2)(a xa x n =πψxaa x π3sin 2)(22=ψ,sin 2)(ax n a x n =πψ解：（1）当n ＝1时，概率为：（2）当n=2时，概率为：3、一个细胞的线度为m 510，其中一粒子质量为g 1410-，按一维无限深方势阱计算，这个粒子的1001=n 和1011=n 的能级和它们的差各是多少？解：J n a E 37210172342212221104.510010102)1005.1(2----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==πμπ J n a E 37210172342222222105.510110102)1005.1(2----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==πμπ J E E E383712100.110)4.55.5(--⨯=⨯-=-=∆五、自我检测1、一维无限深方势阱宽为a ，粒子的波函数为 )0(a x <<，则粒子出现的概率最大位置是 。