25.3利用频率估计概率

与《利用概率解决实际问题》有关的中考题集锦附参考答案第1题. (2006 梅州课改)小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．（2）请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平．答案：解：（1）这个游戏公平．根据图甲的对称性，阴影部分的面积等于圆面积的一半， ∴这个游戏公平．（2）把图乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略）第2题. (2006 成都课改)含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有 张． 答案：9第3题. (2006 济南课改)小明和小丽用形状大小相同、面值不同的5张邮票设计了一个游戏，将面值1元、2元、3元的邮票各一张装入一个信封，面值4元、5元的邮票各一张装入另一个信封．游戏规定：分别从两个信封中各抽取1张邮票，若它们的面值和是偶数，则小明赢；若它们的面值和是奇数，则小丽赢，请你判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由．答案：游戏对双方是公平的．通过列表或树状图等方法，求得()12P =小明赢． ()12P =小明赢． 因为()()P P =小明赢小明赢，所以游戏对双方是公平的．图甲 图乙第4题. (2006 青岛课改)小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．答案：从表中可以得到：P （小明获胜）59=，P （小亮获胜）49=． ∴小明的得分为55199⨯=，小亮的得分为44199⨯=．5499>∵，∴游戏不公平． 修改规则不惟一，如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．第5题. (2006 湖北十堰课改)小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜．这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图加以分析．红黄蓝红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，蓝）红黄蓝第二次第一次答案：解：这个游戏对双方公平．理由如下：12 3 4 2 213+= 224+= 235+= 246+= 3 314+= 325+= 336+= 347+= 4 415+= 426+= 437+= 448+=从表中可以看出，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为奇数的结果有6种． 61122P ∴==小莉．因此，这个游戏对双方公平．第6题. (2006 佛山课改)小明、小华用牌面数字分别为1，2，3，4的4张扑克牌玩游戏．他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面．若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜． 这个游戏公平吗？请说明理由．答案：解：这个游戏不公平．理由：因为一次抽出两张牌的组合共有(12)(13)(14)(23)(24)(34)，，，，，，，，，，，，六种情况，其中有4组中的两数和是奇数． 所以421()()633P P ===小明获胜小华获胜，． 因此，这个游戏不公平．第7题. (2006 广州课改)如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）． （1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性．答案：解：（1）按照小夏设计的游戏规则，小夏获胜的可能性是23，而小秋获胜的可能性是13． （2）公平的游戏规则不唯一，只要正确，均得分．解法1：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之和为5或6，则小夏获胜；否则小秋获胜． 理由如下：甲转盘指针所指区域的数 乙转盘指针所指区域的数 两数和从树状图可以看出，两数和为5或6的机会与两数和为7或8的机会是相等的，所以，两人获胜的机会均为12，即设计的游戏规则是公平的． 解法2：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之和为奇数，则小夏获胜；否则小秋获胜，此时，两人获胜的可能性均为12．（理由略） 解法3：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之积为4的倍数，则小夏获胜；否则小秋获胜，此时，两人获胜的可能性均为12．（理由略） 解法4：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之差为奇数，则小夏获胜；否则小秋获胜，此时，两人获胜的可能性均为12．（理由略） 等等．第8题. (2006 镇江课改)小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．4 5 4 5 4 5 5 6 6 7 7 8 123蓝红 红蓝答案：解：方法一：用表格来说明 或方法二：用树状图来说明红色 蓝色 红1 （红1，红） （红1，蓝）红2 （红2，红） （红2，蓝）蓝色 （蓝，红） （蓝，蓝）所以，配成紫色的概率为P （配成紫色）3162==． 所以游戏者获胜的概率为12．第9题. （2006 白银课改）某公司现有甲、乙两种品牌的计算器，甲品牌计算器有A B C ，，三种不同的型号，乙品牌计算器有D E ，两种不同的型号，新华中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器．（1）写出所有的选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号计算器被选中的概率是多少？（3）现知新华中学购买甲、乙两种品牌计算器共40个（价格如图所示），恰好用了1000元人民币，其中甲品牌计算器为A 型号计算器，求购买的A 型号计算器有多少个？答案：解：（1）树状图表示如下：转盘 转 盘 12 开始 红1 红2 蓝色 蓝（红1，蓝） 红（红1，红） 蓝（红2，蓝）红（红2，红） 蓝（蓝，蓝） 红（蓝，红）⨯⨯公司 计算器单价 （单位：元） A 型：60 B 型：40 C 型：25 D 型：50 E 型：20A BC甲品牌列表表示如下：有6种可能结果：()()()()()()AD AE B D B E C D C E ，，，，，，，，，，，． 说明：用其它方式表达选购方案且正确者，只给1分．（2）因为选中A 型号计算器有2种方案，即()()A D A E ，，，，所以A 型号计算器被选中的概率是2163=． （3）由（2）可知，当选用方案()A D ，时，设购买A 型号，D 型号计算器分别为x y ，个， 根据题意，得4060501000.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100140.x y =-⎧⎨=⎩，经检验不符合题意，舍去；当选用方案()A E ，时，设购买A 型号、E 型号计算器分别为x y ，个， 根据题意，得4060201000.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得535.x y =⎧⎨=⎩，所以新华中学购买了5个A 型号计算器．第10题. （2006 衡阳课改）A B ，两个口袋中均有3个分别标有数字1，2，3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．游戏规则是：甲从A 袋中随机摸一个球，乙从B 袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗？为什么？答案：解：不公平．下面列举所有可能出现的结果：123甲 A BC D()D A ， ()D B ， ()D C ， E()E A ， ()E B ， ()E C ， 乙 A和 B1 2 3 42 3 4 53 4 5 6 由此可知，和为奇数有4种，和为偶数有5种．∴甲赢的概率为49，乙赢的概率为59．∴不公平．第11题. （2006济宁课改）甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢．你认为此规则公平吗？并说明理由．．答案：不公平．因为出现偶数的概率为59，而出现奇数的概率为49第12题. （2006南京课改）某校有A B，两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．答案：解：所有可能出现的结果如下：甲乙丙结果ＡＡＡ（Ａ，Ａ，Ａ）ＡＡＢ（Ａ，Ａ，Ｂ）ＡＢＡ（Ａ，Ｂ，Ａ）ＡＢＢ（Ａ，Ｂ，Ｂ）ＢＡＡ（Ｂ，Ａ，Ａ）ＢＡＢ（Ｂ，Ｂ，Ｂ）ＢＢＡ（Ｂ，Ｂ，Ａ）ＢＢＢ（Ｂ，Ｂ，Ｂ）（1）甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率是14；（2）甲、乙、丙三名学生中至少有一人在Ｂ餐厅用餐的概率是78．第13题. （2006安徽课改）田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，蠃得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……（1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）【解】答案：解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．（2）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，总有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率16P=．与《利用概率解决实际问题》有关的中考题集锦（二）第14题. （2006大连课改）小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1，2，3，4，5，6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20000次，结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格（合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等）？并说明理由．答案：解：两枚骰子质量不都合格．同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况：234567345678456789567891067891011789101112，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．∴出现两个朝上面点数和为7的概率为610.167 366=≈．试验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率为200.001 20000=．因为大数次试验的频率接近概率，而0.001和0.167相差很大．∴两枚骰子质量不都合格．第15题. （2006菏泽课改）将编号依次为1，2，3，4的四个同样的小球放进一个不透明的袋子中，摇匀后甲、乙二人做如下游戏：每人从袋子中各摸出一个球，然后将这两个球上的数字相乘，若积为奇数，则甲获胜；若积为偶数，则乙获胜．请问：这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用概率的知识说明理由．答案：答：这种游戏规则对甲、乙双方不公平．理由如下：不妨设甲先摸，则甲、乙所摸得球的情况如下：总共有12种情况，每种情况发生的可能性相同，其中积为奇数的情况有2种，积为偶数的情况有10种，所以甲获胜的概率为21126=，乙获胜的概率为105126=． 因1566<，所以这样的游戏规则对甲、乙双方不公平．第16题. （2006 宜昌课改）某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，…，100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）．若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元．估计促销期间将有5000人次参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？答案：解：获得500元购物券的概率是0.01，， 获得300元购物券的概率是0.02， 获得5元购物券的概率是0.2摸球一次获得购物券的平均金额为：()0.015000.023000.2512⨯+⨯+⨯=（元） 如果有5000人次参加摸球，商场付出的购物券的金额是：()50000.015000.023000.2560000⨯⨯+⨯+⨯=元若直接获得购物券，需付金额：50001575000⨯=元 商场选择摸球的促销方式合算．开始2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 甲： 乙： （2）（3）（4） （2）（6）（8） （3）（6）（12） （4）（8）（12） 积：第17题. （2006 株洲课改）如图，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1，2，3和方块1，2，3，将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． （1）用列举法列举所有可能出现的结果；（2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率．答案：（1）所有可能出现的结果可用下表表示： 1231 (11)，(12)，(13)，2 (21)， (22)， (23)， 3(31)，(32)， (33)，（2）由上表可知牌面的数字之和不小于5的概率为：3193=．第18题. （2006 山西吕梁课改）有一块表面是咖啡色、内部是白色、形状是正方体的烤面包．小明用刀在它的上表面、前面面和右侧表面沿虚线各切两刀（如图1），将它切成若干块小正方体形面包（如图2）．（1）小明从若干块小面包中任取一块，求该块面包有且只有两个面是咖啡色的概率； （2）小明和弟弟边吃边玩．游戏规则是：从中任取一块小面包，若它有奇数个面为咖啡色时，小明赢；否则，弟弟赢．你认为这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使之公平．答案：解：（1）按上述方法可将面包切成27块小面包，有且只有两个面是咖啡色的小面包有12块，124279=．所以，所求概率是49．红桃方块（图1） （图2）（2）27块小面包中有8块是有且只有3个面是咖啡色，6块是有且只有1个面是咖啡色． 从中任取一块小面包，有且只有奇数个面为咖啡色的共有14块，剩余的面包块共有13块． 小明赢的概率是1427，弟弟赢的概率是1327． 所以，按照上述规则弟弟赢的概率小于小明赢的概率，游戏不公平．游戏规则修改举例：任取一块小面包，恰有奇数个面为咖啡色时，哥哥得13分；恰有偶数个面为咖啡色时，弟弟得14分．积分多者获胜．第19题. （2006 鄂尔多斯课改）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A B ，．转盘A 被平均分成3等份，分别标上123，，三个数字；转盘B 被平均分成4等份，分别标上3456，，，四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘A 与B ，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜． 你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？答案：解：不公平． P ∵（和为6）31124==，甲、乙获胜的概率不相等 ∴不公平．（无列表或树状图不扣分） 规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．（和为奇数，甲胜；和为偶数，乙胜；或和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜．答案不唯一．） 列 表3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 36789第20题. （2006 辽宁十一市课改）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余213 Ａ4 35 6Ｂ A都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为13，那么口袋中球的总数为（ ） Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个Ｄ．3个答案：Ａ第21题. （2006 漳州课改）根据天气预报，明天降水概率为20％，后天降水概率为80％，假如你准备明天或后天去放风筝，你选择 天为佳． 答案：明第22题. （2006 山西临汾课改）某市举办“2008拥抱北京”迎奥运长跑活动，参加长跑活动的市民约有10000人，为了解参加长跑活动人员的年龄分布情况，从中随机抽取了一部分人的年龄作为样本，进行数据处理后，得到如图所示不完整的频数分布直方图．（1）若所抽取年龄在60 岁以上的人数占样本总人数的15%，请求出样本容量，并补全频数分布直方图；（2）请估计参加这次长跑活动的市民中，20岁以下的约有多少人? （3）根据统计图提供的信息，请再写出两条正确的结论．答案：解：（1）1515%100÷=， ∴样本容量是100． 补图正确． （2）1000028%2800⨯=（人）， ∴参加这次长跑活动的市民中20岁以下 的约有2800人．（3）答案不唯一，例如所得的信息可以是：①参加这次长跑活动的市民中20岁以下的人最多； ②参加这次长跑活动的市民中41—50岁之间的人最少； ③参加这次长跑活动的市民中20—30岁之间的人大约 是15%；人数 年龄 30 252015 10 50 20岁以下 20｜ 30岁 31｜ 40岁 41｜ 50岁 51｜ 60岁 60岁以上 2815 12 10 15 人数年龄30 252015 10 5 020岁以下20｜ 30岁31｜ 40岁41｜ 50岁51｜ 60岁60岁以上28 15 12 1015 20第23题. （2006山西临汾课改）小明和小乐做摸球游戏．一只不透明的口袋里只放有3个红球和5个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小明得3分，若是绿球小乐得2分．游戏结束时得分多者获胜．（1）你认为这个游戏对双方公平吗?（2）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方公平．答案：解：（1）不公平．（2）P（摸出红球）38=，P（摸出绿球）58=．小明平均每次得分39388=⨯=（分），小乐平均每次得分55284=⨯=（分）．9584<，∴游戏对双方不公平．游戏规则可修改为：①口袋里只放2个红球和3个绿球；②摸出红球小明得5分，摸到绿球小乐得3分；说明：修改游戏规则对双方公平即可得2分．第24题. （2006钦州课改）袋中装有除颜色外其余都相同的红球和黄球共25个，小明通过多次模拟实验后，发现摸到的红球、黄球的概率分别是25和35，则袋中黄球有个．答案：15第25题. （2006南充课改）在三个相同乒乓球上分别写上1，2，3，放入布袋中供甲、乙两人做游戏．规则是：（1）每轮游戏两人各摸一个球，一人摸出记录编号后放回袋中另一人再摸．（2）如果两球的编号之和为奇数，则甲胜；如果两球的编号之和为偶数，则乙胜．你认为这是否是一个公平的游戏？如果不公平，谁获胜的可能性较大？答案：解：编号之和的可能性列表如下：1 2 3 1 2 3 4 23453 4 5 6由表可知，编号之和为奇数的可能性有4种，编号之和为偶数的可能性有5种． 即P （编号之和为奇数）49=，P （编号之和为偶数）59=． 因此，这不是一个公平的游戏．乙获胜的可能性较大． 注：不列表画树状图亦可第26题. （2006 郴州课改）甲、乙两超市同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外，其它全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）． 甲超市 球两红一红一白 两白 礼金券（元） 5 10 5 乙超市如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．答案：去甲超市购物一次摸奖获10元礼金券的概率是P (甲)1111266663=+++= 去乙超市购物一次摸奖获10元礼金券的概率是P (乙)111663=+=所以我选择去甲超市购物．球两红一红一白两白礼金券（元） 10 5 10乙摸甲摸 编号之和。