3.1直线与圆的位置关系(1)
九下3[1]--直线与圆的位置关系
3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
(1)
(2)
(3)
l
·O
·O
l
·O
l
相离 (4)
相交 (5)
相切
·O
相交 l
?·O
l
(5)
?·O
l
··
AB
如果,公共点的个数不好判断,
该怎么办?
直线与圆的位置关系的判定:
Ol
1、点与圆有哪几种位置关系? 2、如何判定点与圆的位置关系?
抓住哪两个关键量来判定?
想一想:
经过一点作直线,平移该直线,思考 直线与圆有几种不同的位置关系?画出相 应的图形说明
l
直线与圆的位置关系:
Ol
O
l
O
l
1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交; 2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切;
要解决这个问题,我们首先将其数学化:
本节课你有哪些收获与体会?
• 一、知识上: • 二、思想方法上: • 提出你的问题或困惑:
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
相交
相切 相离
图形
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称
r
•
O
d
2 d<r
交点
•O rd
1
d= 切r 点
r O• d 0
d> r 无
C 3cm A
4cm
D
2.4cm
C 3cm A
变BC=式4cm:,在设△⊙ACB的C半中径,为∠r。ACB=90°,BAC=3cm,
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种:点在圆外,点在圆上,点在圆内.设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ,则点在圆外⇔d >r .点在圆上⇔d=r .点在圆内⇔d <r .2.直线和圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为d ,则直线与圆相交⇔d <r ,直线与圆相切⇔d=r ,直线与圆相离⇔d >r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系:①相离:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离.②若两个圆心重合,半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切.④相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.(2)圆心距:两圆圆心的距离叫圆心距.(3)设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为R 和r ,则①两圆外离⇔d >R+r ;有4条公切线;②两圆外切⇔d=R +r ;有3条公切线;③两圆相交⇔R -r <d <R+r (R >r )有2条公切线;④两圆内切⇔d=R -r (R >r )有1条公切线;⑤两圆内含⇔d <R —r (R >r )有0条公切线.(注意:两圆内含时,如果d 为0,则两圆为同心圆)4.切线的性质和判定(1)切线的定义:直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时,这条直线叫做圆的切线.(2)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的直径.(3)切线的判定:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .内含例2. 如图1,⊙O 内切于ABC △,切点分别为D E F ,,.50B ∠=°,60C ∠=°,连结OE OF DE DF ,,,,则EDF ∠等于( )例题2图A .40°B .55°C .65°D .70°例3. 如图,已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ,且A 、B 到直线L 的距离相等,则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有( )A .0个B .1个C .无数个D .0个或1个或无数个例4.已知⊙O 1半径为3cm ,⊙O 2半径为4cm ,并且⊙O 1与⊙O 2相切,则这两个圆的圆心距为( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5.两圆内切,圆心距为3,一个圆的半径为5,另一个圆的半径为 例6.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时,•两圆相交;• 当d•满足___ ___时,两圆不外离.例7.⊙O 半径为6.5cm ,点P 为直线L 上一点,且OP=6.5cm ,则直线与⊙O•的位置关系是____例8.如图,P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ,切点C 在弧AB 上,若PA 长为2,则△PEF 的周长是 _.例9. 如图,⊙M 与x 轴相交于点(20)A ,,(80)B ,,与y 轴切于点C ,则圆心M 的坐标是 例10. 如图,四边形ABCD 内接于⊙A ,AC 为⊙O 的直径,弦DB ⊥AC ,垂足为M ,过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ,若AC=10,tan ∠DAE=43,求DB 的长.【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4,圆心距为7,那么两圆位置关系是( )A .相离B .外切C .内切D .相交2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为8cm 和2cm ,则圆心距AB 为( )A .10cmB .6cmC .10cm 或6cmD .以上答案均不对3.如图,P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于( )A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) A )6 (B )25 (C )210 (D )2145.如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长).⊙A 半径为2,⊙B 半径为1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90,AO的延长线交BC于点D,AC=4,DC =1,,则⊙O的半径等于()A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长63,以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图,在ABC△中,12023AB AC A BC=∠==,°,,A⊙与BC相切于点D,且交AB AC、于M N、两点,则图中阴影部分的面积是(保留π).9.如图,B是线段AC上的一点,且AB:AC=2:5,分别以AB、AC为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为_______.10. 如图,从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆,则剩下的纸板面积是___.11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm.则大圆的半径是______cm.12.如图,直线AB切⊙O于C点,D是⊙O上一点,∠EDC=30º,弦EF∥AB,连结OC交EF于H点,连结CF,且CF=2,则HE的长为_________.13. 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别为A、B,若直径AC=12cm,∠P=60°.求弦AB的长.中考题型一、选择题1.(2009年·宁德中考)如图,直线AB与⊙O相切于点A,⊙O的半径为2,若∠OBA = 30°,则OB的长为()A.43 B.4 C.23 D.2(第1题图)(第2题图)2.(2009年·潍坊中考)已知圆O的半径为R,AB是圆O的直径,D是AB延长线上一点,DC是圆O的切线,C是切点,连结AC,若∠CAB=30°,则BD的长为()A.2R B.3R C.R D.32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.(2009年·襄樊中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于( )A .40°B .50°C .60° D.70°(第3题图) (第4题图)4.(2009年湖南省邵阳市)如图AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,,A 为切点,连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC =450,则下列结论正确的是( ) A.AD =21BC B.AD =21AC C.AC >AB D.AD >DC二、填空题5.(2009年·綦江县中考)如图,AB 与⊙O 相切于点B ,AO 的延长线交O ⊙于点C ,连结BC ,若34A ∠=°,则C ∠= .(第5题图) (第6题图)6.(2009年·庆阳市中考)如图直线AB 与⊙O 相切于点B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ,连结BD ,则图中直角三角形有 个.三、解答题7.(2009桂林百色)如图,△ABC 内接于半圆,AB 是直径,过A 点作直线MN ,若∠MAC=∠ABC .(1)求证:MN 是半圆的切线; (2)设D 是弧AC 的中点,连结BD 交AC 于G ,过D 作DE⊥AB 于E ,交AC 于F .求证:FD =FG .(3)若△DFG 的面积为4.5,且DG =3,GC =4,试求△BCG 的面积.课后练习题一、填空题:1、在直角坐标系中,以点(1,2)为圆心,1为半径的圆必与y轴,与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3,⊙O的半径是3,则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1,AB为⊙O的直径,CD切⊙O于D,且∠A=30°,⊙O半径为2cm,则CD=5、如图2,AB切⊙O于C,点D在⊙O上,∠EDC=30°,弦EF∥AB,CF=2,则EF=6、如图3,以O为圆心的两个同心圆中,大圆半径为13cm,小圆半径为5cm,且大圆的弦AB切小圆于P,则AB=7、如图4,直线AB与CD相交于点O,∠AOC=30°,点P在射线OA上,且OP=6cm,以P为圆心,1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。
考点41 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点四十一直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1.直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交,有两个公共点;(2) 直线与圆相切,只有一个公共点;(3) 直线与圆相离,无公共点.2. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),圆为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.3.(1) 圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含.(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).圆心距O1O2=d,则4.(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.5.求圆的弦长的常用方法(1)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则(l2)2=r2-d2.(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:设直线与圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]. 注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. 6.相交两圆公共弦所在直线方程求法设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).将两圆方程相减,得到关于x 和y 的一次方程,即为公共弦所在直线方程.典例剖析题型一 判断直线与圆的位置关系例1 直线y =ax +1与圆x 2+y 2-2x -3=0的位置关系是__________. 答案 相交解析 ∵直线y =ax +1恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x -1)2+y 2=4的内部,故直线与圆相交. 变式训练 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆D 的位置关系是__________. 答案 相交解析 由点M 在圆外,得a 2+b 2>1, ∴圆心D 到直线ax +by =1的距离d =1a 2+b 2<1=r ,则直线与圆O 相交. 解题要点 判断直线与圆的位置关系常见的方法: (1)几何法:利用d 与r 的关系. (2)代数法:联立方程随后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 题型二 直线与圆相交弦长问题例2 在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________. 答案2555解析 因为圆心(2,-1)到直线x +2y -3=0的距离d =|2-2-3|5=35,所以直线x +2y -3=0被圆截得的弦长为24-95=2555. 变式训练 已知圆x 2+y 2+2x -2y +a =0截直线x +y +2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是__________. 答案 -4解析 由圆的方程x 2+y 2+2x -2y +a =0可得,圆心为(-1,1),半径r =2-a .圆心到直线x +y +2=0的距离为d =|-1+1+2|2= 2.由r 2=d 2+⎝⎛⎭⎫422,得2-a =2+4,所以a =-4.题型三 直线与圆相切问题例3 过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线方程为__________; 答案 x =2或4x -3y +4=0解析 当直线的斜率不存在时,直线方程为x =2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为y -4=k (x -2),即kx -y +4-2k =0,∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,即d =|k -1+4-2k |k 2+(-1)2=|3-k |k 2+1=1,解得k =43,∴所求切线方程为43x -y +4-2×43=0,即4x -3y +4=0.综上,所求切线方程为x =2或4x -3y +4=0.变式训练 过坐标原点且与圆x 2-4x +y 2+2=0相切的直线方程为________________. 答案 y =±x解析 圆的标准方程为(x -2)2+y 2=2.则圆心(2,0),半径r = 2.设直线方程为y =kx .则|2k |k 2+1=2,解得k =±1,所以直线方程为y =±x .例4 过点P (4,1)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为____________. 答案 3x +y -4=0解析 方法1:如图所示,A 点的坐标为(1,1),∵AB ⊥PC ,k PC =13,∴k AB =-3,∴直线AB 的方程为y -1=-3(x -1),即3x +y -4=0.方法2:把点P 代入切点弦公式,得方程为:(4-1) ·(x -1) +1·y =1,即方程为3x +y -4=0.解题要点 过某点求圆的切线时,要注意分清该点在圆上还是在圆外.如果过圆外一点求切线,还需讨论切线斜率是否存在.当斜率存在时,设为k ,切线方程为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y +y 0-kx 0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程.当斜率不存在时要加以验证.另外,记住一些常见的结论,有助于快速解题. ①过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2外一点P (x 0,y 0)作圆的两条切线,则切点弦方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2. ②过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则切点弦方程为x 0x +y 0y =r 2. 题型四 圆与圆的位置关系问题例5 圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为________. 答案 相交解析 两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为2和3,圆心距d =42+1=17. ∵3-2<d <3+2,∴两圆相交.变式训练 过两圆x 2+y 2+6x +4y =0及x 2+y 2+4x +2y -4=0的交点的直线方程是________. 答案 x +y +2=0解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线,因此该直线方程为x 2+y 2+6x +4y -(x 2+y 2+4x +2y -4)=0,即x +y +2=0.解题要点 求相交两圆公共弦所在直线方程,只需将两圆方程相减,得到关于x 和y 的一次方程,即为公共弦所在直线方程.当堂练习1.设直线l 过点P (-2,0),且与圆x 2+y 2=1相切,则l 的斜率是________. 答案 ±33解析 设l :y =k (x +2),即kx -y +2k =0,又l 与圆相切,∴|2k |1+k 2=1,∴k =±33.2.直线x -y +3=0被圆(x +2)2+(y -2)2=2截得的弦长等于________.答案解析 圆心为(-2,2),2=由勾股定理求出弦长的一半为2,3. 直线x -ky +1=0与圆x 2+y 2=1的位置关系是________. 答案 相交或相切解析 直线x -ky +1=0过定点(-1,0),而点(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交. 4.圆x 2+y 2-4x =0在点P (1,3)处的切线方程为________. 答案 x -3y +2=0解析 设所求切线方程为y -3=k (x -1).⎩⎨⎧x 2+y 2-4x =0y =kx -k +3⇒x 2-4x +(kx -k +3)2=0.该二次方程应有两个相等实根,则Δ=0,解得k =33.∴y -3=33(x -1),即x -3y +2=0. 5.直线y =x +b 与曲线y =1-x 2有两个公共点,则b 的取值范围是________. 答案 1≤b < 2解析 曲线为x 2+y 2=1(y ≥0),表示单位圆的上半圆,由数形结合法,知1≤b <2.课后作业一、 填空题1.将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是________. 答案 x -y +1=02.过两圆x 2+y 2+3x +2y =0及x 2+y 2+2x +6y -4=0的交点的直线方程是________. 答案 x -4y +4=0解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线,因此该直线方程为x 2+y 2+3x +2y -(x 2+y 2+2x +6y -4)=0,即x -4y +4=0.3.已知直线l :y =k (x -1)-3与圆x 2+y 2=1相切,则直线l 的倾斜角为________. 答案5π6解析 由题意知,|k +3|k 2+1=1,∴k =-33.∴直线l 的倾斜角为5π6.4.若圆心在x 轴上,半径为5的圆C 位于y 轴左侧,且被直线x +2y =0截得的弦长为4,则圆C 的方程是________. 答案 (x +5)2+y 2=5解析 设圆心为(a,0)(a <0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d =|a +2×0|12+22=1,解得a =-5,所以,所求圆的方程为(x +5)2+y 2=5.5.若过点P (1,3)作圆O :x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 和B ,则弦长|AB |=________. 答案3解析 如图所示,∵P A ,PB 分别为圆O :x 2+y 2=1的切线,∴OA ⊥AP . ∵P (1,3),O (0,0),∴|OP |=1+3=2.又∵|OA |=1,∴在Rt △APO 中,cos ∠AOP =12. ∴∠AOP =60°,∴|AB |=2|AO |sin ∠AOP =3.6.过点(1,1)的直线与圆(x -2)2+(y -3)2=9相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为________. 答案 4解析 ∵点在圆内,由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦AB 的中点时,|AB |的值最小, 此时|AB |=2r 2-d 2=29-5=4.7.已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 是过点P (3,0)的直线,则________. 答案 l 与C 相交解析 ∵32+0-4×3=9-12=-3<0,∴点P (3,0)在圆内,∴直线l 与圆C 相交.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于________. 答案 2 3解析 圆心到直线3x +4y -5=0的距离d =|-5|32+42=1,∴弦AB =2r 2-d 2=2 3.9.设直线l 截圆x 2+y 2-2y =0所得弦AB 的中点为(-12,32),则直线l 的方程为________;|AB |=________.答案 x -y +2=0 2解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21+y 21-2y 1=0,x 22+y 22-2y 2=0,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)-2(y 1-y 2)=0,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1. 故l 的方程为y -32=1·(x +12),即x -y +2=0. 又圆心为(0,1),半径r =1,故|AB |=2.10.设圆C 同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y =x 上;③截y 轴所得的弦长为4,则圆C 的方程是________. 答案 (x +2)2+(y +2)2=8或(x -2)2+(y -2)2=8 解析 由题意可设圆心A (a ,a ),如图,则22+22=2a 2,解得a =±2,r 2=2a 2=8. 所以圆C 的方程是(x +2)2+(y +2)2=8或(x -2)2+(y -2)2=8. 11.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay -6=0(a >0)的公共弦长为23,则a =________. 答案 1解析 方程x 2+y 2+2ay -6=0与x 2+y 2=4.相减得2ay =2,则y =1a .由已知条件22-(3)2=1a,即a =1.二、解答题12.一个圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且在直线y =x 上截得的弦长为27,求此圆的方程. 解析 ∵所求圆的圆心在直线x -3y =0上,且与y 轴相切,∴设所求圆的圆心为C (3a ,a ),半径为r =3|a |. 又圆在直线y =x 上截得的弦长为27, 圆心C (3a ,a )到直线y =x 的距离为d =|3a -a |12+12. ∴有d 2+(7)2=r 2.即2a 2+7=9a 2,∴a =±1. 故所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 13.已知:圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且AB =22时,求直线l 的方程.解析 将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |a 2+1=2.解得a =-34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,得⎩⎨⎧|CD |=|4+2a |a 2+1,|CD |2+|DA |2=|AC |2=22,|DA |=12|AB |= 2.解得a =-7或a =-1.故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0.。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系:1、直线与圆的位置关系有三种:如图所示. (1)直线与圆相交:有两个公共点; (2)直线与圆相切:有一个公共点; (3)直线与圆相离:没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法:直线l 和圆C 的方程分别为:Ax+By+C=0,x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1)代数法判断直线与圆的位置关系:由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩, ①若方程有两个不相等的实数根(△>0),则直线与圆相交; ②若方程有两个相等的实数根(△=0),则直线与圆相切; ③若方程无实数根(△<0),则直线与圆相离.2)几何法判断直线与圆的位置关系:圆心C(a ,b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时,直线l 和圆C 相交;②若d=r 时,直线l 和圆C 相切;③若d>r 时,直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法:(1)当点(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时,切线方程为x 0x+y 0y=r 2;(2)若点(x 0,y 0)在圆(x -a)2+(y -b)2=r 2上时,切线方程为(x 0-a)(x -a)+(y 0-b)(y -b)=r 2; (3)斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+;斜率为k 且与圆(x -a)2+(y -b)2=r 2相切的切线方程的求法:先设切线方程为y=kx+m ,然后变成一般 式kx -y+m=0,利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ;(4)点(x 0,y 0)在圆外面,则切线方程为y -y 0=k(x -x 0),再变成一般式,因为与圆相切,利用圆心到直线距离 等于半径,解出k ,注意若此方程只有一个实根,则还有一条斜率不存在的直线,务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1)平面几何法求弦长公式:如图所示,直线l 与圆相交于两点A 、B ,线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ,圆的半径为r ,弦长为AB ,则有 222()2AB d r +=,即AB=222r d - . 2)解析法求弦长公式:如图所示,直线l 与圆相交于两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),当直线AB 的倾斜角存在时,联 立方程组,消元得到一个关于x 的一元二次方程,求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-,这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
直线和圆的位置关系(1)
在实际应用中,常采用第二种方法判定。
3、切线的性质:圆的切线垂直于过切点的直 径
拓展 已知⊙A的直径为6,点A的坐标为 (-3,-4),则x轴与⊙A的位置关系是 _相__离__, y轴与⊙A的位置关系是_相__切__。
出它们的对称轴吗?
相
离
B
2、右图,直线CD与⊙O相切于
点A,直径AB与直线CD有怎样的
●
O
位置关系?说说你的理由.
CA D
3、你看得懂小颖和小亮的做法吗?
点拨
B
小颖的理由是:
●O
∵右图是轴对称图形,
AB是对称轴,
C
A
D
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD 重合,
∴ ∠BAC=∠BAD=90°.
利用圆的轴对称性
B
∴当∠r=A2=c6m0时°,.d>r,AB与⊙C相离
;因C当此Dr,=当4Ac半Cm径时si长n,dA为<r2,43AsBicn与m6时⊙0,0CAB相与2交⊙3.Cc相m切. .
B
C
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,
A相C切=,3则cm这,个以圆C的为半圆径心是的圆与152AcmB 。
A
2、直线L 和⊙O有公共点,则直线L与⊙O( D ). A、相离;B、相切;C、相交;D、相切或相交。
3.⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
与⊙O没有公共点,则d为( A):
A.d >3 B.d<3 C.d ≤3 D.d =3
4.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共
直线与圆的位置关系
精心整理直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离.(2)代数法:[知识拓展](1)(2)(3)2.设圆O圆O2[(1)4条.(2)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)(5)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.(√)(6)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(√)1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离答案 B2.(2013·安徽)直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4答案 C3.两圆交于点A(1,3)和B(m,1),两圆的圆心都在直线x-y+=0上,则m+c的值等于________.答案4.⊥BC,答案例1(1)(2)AC.答案例2(2)②与直线l2:x-2y+4=0垂直;③过切点A(4,-1).(1)答案x=2或4x-3y+4=0(2013·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是________________________.(2)两圆x2+y2-6x+6y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0公切线的条数是________.(3)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是________.答案(1)x-2y+4=0(2)2(3)x=(1)圆C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-2x-6=0的位置关系为()A.外离B.外切C.相交D.内切(2)设M={(x,y)|y=,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0},且M∩N≠?,求a的最大值和最小值.(1)与直线2x+yA.πC.(6APB =90°A.7B答案典例() A.[1B.(C.[2D.()A.C. D.答案(3)D(4)DA组专项基础训练(时间:45分钟)1.(2014·湖南)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于()A.21B.19C.9D.-11答案 C2.(2013·福建)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0答案 D3.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为() A.B.2C.4D.2答案 B4.(2013·山东)过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为() A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0答案 A522A.1B答案6答案7.0,则m答案8答案9(1)(2)(1)∴S即△(2)∴10所在的(1)(2)已知直线l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证:直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.解(1)矩形ABCD的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8.(2)故l的方程为y-2=-(x-3),即x+2y-7=0.B组专项能力提升(时间:25分钟)11.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案 A12.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案 B13.(2013·江西)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线lA.B答案14答案15.为等答案16(1)(2)若a解(2)即|。
直线和圆的位置关系
d>r d=r d<r
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d : 已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d 13cm 2 直线与圆有____个公共点. ____个公共点 1)若 ,则直线与圆 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____个公共点. 1 相切 2)若 ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 则直线与圆______ ____个公共点 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 直线与圆有____个公共点. 相离 0 3)若 ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 则直线与圆______ ____个公共点 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 直线与圆有____个公共点. 2、已知⊙O的半径为 、已知⊙ 的半径为 的半径为5cm, 圆心 与直线 的距离为 根据 圆心O与直线 的距离为d, 与直线AB的距离为 条件填写d的范围 的范围: 条件填写 的范围 1)若AB和⊙O相离 则 d > 5cm 若 和 相离, 相离 2)若AB和⊙O相切 则 d = 5cm 若 和 相切, 相切 3)若AB和⊙O相交 则 0cm≤ 若 和 相交,则 相交 ; ;
1、点和圆的位置关系有几种? 、点和圆的位置关系有几种?
(1)d<r ) (2)d=r ) (3)d>r )
点在圆内 点在圆上 点 在圆外
那么,直线和圆有什么位置关系呢? 那么,直线和圆有什么位置关系呢?
直线和圆的位置关系 1、相交 、
直线和圆有两个公共点 时,叫做直线和圆相交 相交; 相交 这时直线叫做圆的割线 割线. 割线
线和圆有唯一公共点时, 叫做直线和圆相切 相切;这时 相切 直线叫做圆的切线 唯一 切线. 切线 的公共点叫做切点 切点. 切点
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系判定方法:(1)代数法:通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解得个数来判断△>0表示直线和圆有2个交点,则相交△=0表示直线和圆有1个交点或者说2个重合的交点,则相切△<0表示直线和圆没有交点,则相离(2)几何法:由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断(1) 当d<r 时,直线与圆相交(2)当d=r 时,直线与圆相切(3)当d.>r 时,直线与圆相离倘若直线和圆的方程都告诉你让你判断它们之间的关系的时候,一般要结合图形解答,所以一般采用几何的方法,如果圆的方程告诉你了,但是直线的方程没有告诉你,让你根据一个点判断直线的斜率在什么范围内时用代数法。
例题1:直线0123=-+y x 与圆042422=-+++y x y x 的位置关系是例题2:已知圆822=+y x ,定点)0,4(P ,问P 点的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1) 相切 (2)相交 (3)相离?并写出过点P 的切线方程二、求圆的切线问题的方法(1)求过圆上一点),(00y x 的圆的切线方程:先求切点与圆心得连线的斜率k ,油垂直关系,知切线斜率为k 1-,由点斜式方程可求得切线的方程,如果0=k 或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为a x b y ==或。
(2)求过圆外一点),(00y x 的圆的切线方程:(1)几何方法:设切线方程为)(00x x k y y -=-即o y kx y kx =+--00 由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,切线方程即可求出(2)代数方法:设切线方程为)(00x x k y y -=-即00y kx kx y +-=,代入圆的方程,得到一个关于x 的一元二次方程,由0=∆求得k ,切线方程即可求出。
注意若此方程只有一个实根,则还有一条斜率不存在的直线。
例题1:圆的方程是1322=+y x 过其上一点(2,3)的切线方程?例题2:圆的方程是822=+y x ,过圆外一点(4,5)的切线方程?三、弦长问题的处理方法(1)几何法:即利用弦心距、弦长一半以及半径构成的直角三角形求解,即222)2(r d l =+(2)代数法:将直线方程与圆的方程练了,运用根与系数的关系,弦长公式是2121x x k AB -+=例题:求直线063:=-+y x l 被圆042:22=--+y y x C 截得的弦长(两种方法) 四、与圆有关的最值问题(1)运用几何及几何手段先确定达到最值的位置,再进行计算,(2)通过建立目标函数后,转化为函数的最值问题例题1:点P 在直线0102=++y x 上移动,PB PA ,与圆422=+y x 分别相切于B A ,两点,则PAOB 面积的最小值为?例题2:已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x ,求(1)xy 的最大值与最小值(2)x y -的最大值与最小值(3)22y x +的最大值与最小值求解与圆有关的最大(小)值问题,应考虑圆的对称性,常与圆心、半径、切线有关,可借助图形性质,利用数形结合的方法处理(1) 形如ax b y u --=的最值问题,可转化为过定点),(b a 的动直线的斜率的最值问题 (2) 形如by ax t +=的最值问题,可转化为斜率为定值的动直线的截距的最值问题(3) 形如222)()(b y a x d -+-=的最值问题,可转化为定点),(b a 的距离的最值问题圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系及公切线的条数(1)⇔+>21r r d 外离⇔4条公切线 (2)⇔+=21r r d 外切⇔3条公切线(3)⇔+<<-2121r r d r r 相交⇔2条公切线 (4)d r r =-21⇔内切⇔1条公切线(5)⇔-<<210r r d 内含⇔无公切线例题:已知两圆4)2(22=+-y x 与1)4(22=+-y x ,求两圆的公切线?二、公共弦两圆相交时的公共弦所在的直线方程、两圆外切时的内公切线方程、两圆内切时的外公切线方程均是两圆方程作差, 消去二次项所得的直线方程。
直线与圆、圆与圆的位置关系题型归纳总结
直线与圆、圆与圆的位置关系【重难点精讲】重点一、直线与圆的位置关系:(1)直线与圆相交,有两个公共点;(2)直线与圆相切,只有一个公共点;(3)直线与圆相离,没有公共点. 重点二、几何判定法:设r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离:(1)d >r ⇔圆与直线相离;(2)d =r ⇔圆与直线相切;(3)d <r ⇔圆与直线相交.重点三、代数判定法:由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax +By +C =0x -a 2+y -b 2=r 2消元,得到一元二次方程的判别式Δ,则(1)Δ>0⇔直线与圆相交;(2)Δ=0⇔直线与圆相切;(3)Δ<0⇔直线与圆相离.重点四、圆与圆的位置关系:两圆(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0)与(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0)圆心距d 221212()()a a b b -+- d >r 1+r 2⇔两圆外离;d =r 1+r 2⇔两圆外切;|r 1-r 2|<d <r 1+r 2⇔两圆相交;d =|r 1-r 2|⇔两圆内切;0<d <|r 1-r 2|⇔两圆内含,d =0时为同心圆.重点五、两圆的公切线条数:当两圆内切时有一条公切线;当两圆外切时有三条公切线;相交时有两条公切线;相离时有四条公切线;内含时无公切线.【典题精练】考点1、直线与圆的位置关系例1.已知直线320l x y -+=,圆22:4410C x y x y ++--=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系,并证明;(2)若直线l 与圆C 相交,求出圆C 被直线l 截得的弦长;否则,求出圆上的点到直线l 的最短距离.【解析】(1)相交,证明如下;可将圆的一般方程22:4410C x y x y ++--=化为:22(2)(2)9x y ++-=,可得其圆心:(2,2)-,半径为:3,由直线320l x y -+=, 可得圆心到直线l 的距离:2322313d --+==+d r <,可得直线l 与圆C 相交;(2)由(1)得直线l 与圆C 相交,且圆心到直线l 的距离d =故弦长为:==考点2、弦长问题例2.已知圆C 的圆心在直线1y x =+上,且圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q .(1)求圆C 的方程;(2)过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2,求直线l 的方程.【解析】(1)由题意可知,设圆心为(),1a a +,则圆C 为:22()[(1)]2x a y a -+-+=, 圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q ,2222(3)[6(1)]2(5)[6(1)]2a a a a ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩,解得4a =,则圆C 的方程为:22(4)(5)2x y -+-=; (2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()3y k x =-,即30k y k --=,∴过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2,1d ∴==,解得125k =, ∴直线l 的方程为125360x y --=,当直线l 的斜率不存在时,直线l 为3x =,此时弦长为2符合题意. 综上,直线l 的方程为3x =或125360x y --=.考点点睛:设直线l 的方程为ax +by +c =0,圆O 的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2,求弦长的方法通常有以下两种:(1)几何法:由圆的性质知,过圆心O 作l 的垂线,垂足C 为线段AB 的中点.如图所示,在Rt △OCB 中,|BC |2=r 2-d 2,则弦长|AB |=2|BC |=2r 2-d 2.(2)代数法:解方程组222000()()ax by c x x y y r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,消元后可得关于x 1+x 2,x 1·x 2或y 1+y 2,y 1·y 2的关系式,则|AB |考点3、圆的切线问题例3.已知点1,2P ,点()3,1M ,圆22:124C x y(1)求过点P 的圆C 的切线方程;(2)求过点M 的圆C 的切线方程.【解析】由题意得:圆心()1,2C ,半径2r(1)()()22211224+-+= P ∴在圆C 上 1PC k ==-∴切线的斜率11PC k k =-= ∴过点P 的圆C 的切线方程为()21y x --=-,即10x y -+-= (2)()()22311254-+-=> M ∴在圆C 外部若过点M 的直线斜率不存在,直线方程为3x =,是圆C 的切线;若过点M 的切线斜率存在,可设切线方程为:()13y k x -=-,即310kx y k--+=∴圆心C 到切线的斜率2d ===,解得:34k = ∴切线方程为()3413y x -=-,即3450x y --= 综上所述:切线方程为3x =或3450x y --=考点点睛:求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的条数.(1)求过圆上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程:先求切点与圆连线的斜率k ,则由垂直关系得切线斜率为-1k,由点斜式方程可求得切线方程.如果k =0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y =y 0或x =x 0.(2)求过圆外一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程时,常用几何方法求解:设切线方程为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y -kx 0+y 0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,进而求出切线方程.但要注意,若求出的k 值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,切线方程为x =x 0. 考点4、两圆位置关系的判断例4.已知两圆1C :22210100x y x y +-++=和2C :222210x y x y ++++=. (Ⅰ)判断两圆的位置关系;(Ⅱ)求两圆公共弦所在直线方程;(Ⅲ)求两圆公共弦的长度.【解析】(Ⅰ)1C :()()221516x y -++=,()11,5C -,14r =, 2C :()()22111x y +++=,()21,1C --,21r =,∴12C C ==121212r r C C r r <<-+,故1C 与2C 相交. (Ⅱ)因为两圆1C :22210100x y x y +-++=和2C 222210x y x y ++++=,所以两方程相减得:4890x y --=.(Ⅲ)设1C 到4890x y --=的距离为d ,则d ==,弦长AB ==2=. 考点点睛: 判断两圆位置关系的方法有两种,一是代数法,看方程组的解的个数,但往往较繁琐,另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价;二是几何法,看两圆连心线的长d ,若d =r 1+r 2,两圆外切;d =|r 1-r 2|时,两圆内切;d >r 1+r 2时,两圆外离;d <|r 1-r 2|时,两圆内含;|r 1-r 2|<d <r 1+r 2时,两圆相交.考点5、由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围例5.已知直线:0l x y m ++=与圆()()22:119C x y ++-=没有公共点,圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交,求m 的取值范围.【解析】圆()()22:119C x y ++-=的圆心()1,1C -,半径3r =,由题意可得,圆心C 到直线的距离3d =>,0m >,则m >圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交,圆心()11,2O -,圆1O 的半径11R =,圆心()24,2O ,圆2O 的半径2R m =,121212R R OO R R ∴-<<+,即11m m -<<+,解得46m <<.综上所述,实数m 的取值范围是().考点点睛: 两圆相切包括外切与内切,外切时,圆心距等于两圆半径之和,内切时,圆心距等于两圆半径差的绝对值.在题目没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.。
直线和圆的位置关系
答案:B.
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3.(2010天津文)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的 交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程 为 . 考查目的:考查利用直线与圆相切的性质求圆的方程的方法. 答案.(x+1)2+y2=2
4.(2009四川理)已知直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=1 ,则圆 上各点到直线距离的最小值为 . 考查目的:考查圆与直线的位置关系的判断,以及圆 上任意一点到一条直线距离最小值的求法. 考查目的:考查圆与直线的位置关系的判断,以及圆上任 意一点到一条直线距离最小值的求法. 答案:4.
直线和圆的位置关系
河北省唐山遵化市高级中学 雷艳霞
1、平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系? 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系?
(1)
(2)
(3)
想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系? 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系? 平面几何中,直线与圆有三种位置关系: (1)直线和圆有两个公共点,直线与圆相交; (2)直线和圆只有一个公共点,直线与圆相切; (3)直线和圆没有公共点,直线与圆相离.
已知圆的圆心是O(0,0),半径是r=1,圆心到直线的距离
d
3 0 4 0 5 3 4
2 2
y
1 r
o
p
所以,此直线与圆相切
x
已知直线 3x 4 y 5 0 与圆 判断它们的位置关系。
x2 y 2 1 ,
3x 4 y 5 0 ① 建立方程组 2 2 x y 1 ②
| 3b b | d 2 2 | b | r=|3b|
r 2 d 2 ( 7 ) 2 b 1
直线与圆的位置关系
|a| 解析:(1)设圆心O(a,0)(a<0),则 5 = 2 2 ⇒|a|=5,得a=- 1 +2 5,∴圆O的方程为(x+5)2+y2=5. (2)依题意可设圆心坐标为(a,0),a>0, |a-1| 则半径为|a-1|,圆心到直线l的距离为 , 2 根据勾股定理可得, |a-1| 2 ( ) +( 2)2=|a-1|2, 2 解得a=3或a=-1(舍去),所以圆C的圆心坐标为(3,0), 则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y-3=0.
kx0+y0,代入圆方程,得一个关于x的一元二次方程,由 Δ=0,求得k,切线方程即可求出.
(3)注意:过圆外一点圆的切线方程一定有两条. 2.圆的弦长的常用求法: (1)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则 l 2 2 ( ) =r -d2 2 (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式:|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2[x1+x22-4x1x2]
4x-x2 有 ( )
B.[1- 2,3] D.[1-2 2,3]
解析:在平面直角坐标系内画出曲线 y= 3- 4x-x2与直线 y=x,在平面直角坐标 系内平移该直线,结合图形分析可知,当 直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的 任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x2 都有公共点;当直线沿右下方平移到与以点 C(2,3)为圆心、2 为半 径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x2都有公共点. 注意到与 y=x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y=x+3;当直线 y=x+b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切 |2-3+b| 时,有 =2,b=1± 2 2.结合图形可知,满足题意的 b 的取 2 值范围是[1-2 2,3].
直线与圆_圆与圆的位置关系
圆心距d (两点间距离公式)
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
比较d和r1,r2的 关系,下结论
知识拓展
1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线 上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。 切线长定理 对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等; (2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径; (3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形; (4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补; (5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部.
C
O B
内心: 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
1.到三边的距离 相等; 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心一定在三角 形内部.
例题分析与巩固练习 见word文档
定理:圆的切线垂直于经过切点的 半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直 线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的 直线必经过圆心. 图8-2-2
3、判定直线 与圆的位置关系的两种方法
直线 与圆的公共点 (1)根据定义,由________________
的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)根据性质,由_________________ 的关系来判断。 在实际应用中,常采用第二种方法判定。
直线与圆的位置关系(第1课时)教学设计
拓宽视角,让数学教学更自然——苏科版“直线与圆的位置关系”(第1课时)教学设计1教材简解直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。
从知识体系上看,它既是点与圆位置关系的延续与提高,又是学习切线的判定定理的基础。
从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系,渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法,有助于提高学生的思维品质。
因此,直线和圆的位置关系在圆一章中起承上启下的作用。
2目标预设2.1知识与技能目标:知道直线和圆相交、相切、相离的定义;会根据定义来判断直线和圆的位置关系;会根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆位置关系。
2.2过程与方法目标:通过直线和圆的位置关系的探究,向学生渗透分类、数形结合的思想,培养学生观察、分析和概括的能力。
2.3情感态度与价值观:使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系,培养学生辩证唯物主义观点。
3重点、难点重点:引导发现直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离与半径的数量关系之间的联系。
难点:理解并灵活运用圆心到直线的距离与半径的数量关系判定直线与圆的位置关系。
4设计理念翻看数学史,不难发现:数学定理、数学思想、数学方法都是数学家们经历曲折、艰辛的研究结果;完美的数学符号、概念、法则是数学界长期自然、合理进化的结果。
从再创造的角度出发,学生的思维和当初创建这些数学知识的数学家们的思维本质一致。
既然数学知识的产生和发展是自然合理的,那么,数学教学只能以自然、合理的方式展开。
[1]本节课的教学中,努力挖掘内容的本质和联系,充分考虑学生的学习基础和思维发展方向,力求教学过程的自然流畅.5教学设计环节1:课题引入问题1:几何学习中,我们常常会研究图形与图形之间的位置关系,我们学习过哪些图形与图形之间的位置关系?大家还想研究哪些图形与图形之间的位置关系呢?问题2:观察太阳缓缓升起的过程,把地平线看成一条直线,而把太阳抽象成一个运动着的圆,地平线与太阳经历了哪些位置关系?环节2:实践探索一问题3:在纸上画一条直线,把它看成水平线,借助圆形纸片演示太阳升起的过程,猜想直线和圆的位置关系?师生活动:在学生尝试活动的基础上,教师再用几何画板演示。
直线与圆的位置关系
2.代数法(也叫公式法):设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
解方程组 消y后得关于x的一元二次方程,从而求
得x1+x2,x1x2,则弦长为|AB|= (此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 )
(其中x1,x2为两交点的横坐标.k为直线斜率).
2 2 x y 4 例1 、已知直线 y= x+1 与圆
(1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时
可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的
距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不
存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.
(2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用 圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 1 , 代入 kCP 点斜式方程可得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过 该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2.
一.直线与圆的位置关系 想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.
(1)
(2)
(3)
二.直线与圆的位置关系 那么,如何用直线和圆的方程判断它们之间的位 置关系? 判断直线与圆的位置关系有两种方法: 方法一:代数法,判断直线l与圆C的方程组成的 方程组是否有解.如果有解,直线l与圆C有公共 点.有两组实数解时,直线l与圆C相交;有一组实数 解时,直线l与圆C相切;无实数解时,直线l与圆C相 离. 方法二:几何法,判断圆C的圆心到直线l的距离 d与圆的半径r的关系.如果d< r ,直线l与圆C相交;如 果d= r ,直线l与圆C相切;如果d> r ,直线l与圆C相 离.
直线与圆圆与圆的位置关系
l(3)(2)(1) T 第21周第1课时上课时间1月15日(星期一)累计教案91个课题:3.1直线与圆的位置关系(1)教学目标:1、利用投影演示,动手操作探索直线和圆的运动变化过程,经历直线与圆的三种位置关系得产生过程;2、在运动中体验直线与圆的位置关系,并观察理解直线与圆的“公共点的个数”的变化,培养猜想、分析、概括、归纳能力。
3、正确判别直线与圆的位置关系,或根据直线与圆的位置关系正确的得出圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数。
教学重点:直线与圆的三种位置关系教学难点:直线与圆的三种位置关系的性质和判定俄正确运用 教学过程:一、创设情景,引入新课 电脑演示:海上日出1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种? 二、探究直线与圆的位置关系1、动手操作:作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺, 仔细观察,直线和圆的交点个数如何变化?在学生回答得基础上,教师指出:由直线和圆的公共点的个数,得出直线和圆的三种位置关系 :(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交,这时的直线叫做圆的割线; (2)相切:直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,公共点叫做切点;(3)直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。
2、做一做:如图,O 为直线L 外一点,OT ⊥L,且OT=d 。
请以O 为圆心,分别以 d d d 23,,21 为半径画圆.所画的圆与直线l 有什么位置关系? 3、直线与圆的位置关系量化 观察所画图形,你能从d 和r 的关系发现直线l 和圆O 的位置关系吗?学生回答后,教师总结并板书:如果⊙O 的半径w 为r ,圆心O 到直线 l 的距离为d,,那么: (1)直线l 和⊙O 相交d <r;T l(2) 直线l 和⊙O 相切⇔d=r ; (3)直线l 和⊙O 相离⇔d >r;三、例题分析,课堂练习例1、在R t △ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,以C 为圆心,r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2cm,(2)r=2.4cm,(3)r=3cm.(此题为课本第49页课内练习第1题的第2小题) 分析:因为题中给出了⊙C 的半径,所以解题的关键是求圆心到直线的距离,然后与r 比较,确定⊙C 与AB 的关系。
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r ,圆心到直线的距离为d )Δ<0 Δ=0 Δ>0 2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1,r 2,d =|O 1O 2|)|r -r |<d <二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.②过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.③过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形,且有r 2=d 2+⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l :mx -y +1-m =0与圆C :x 2+(y -1)2=5的位置关系是( ) A .相交B .相切C .相离D .不确定[解析] 法一:由⎩⎪⎨⎪⎧mx -y +1-m =0,x 2+(y -1)2=5, 消去y ,整理得(1+m 2)x 2-2m 2x +m 2-5=0, 因为Δ=16m 2+20>0, 所以直线l 与圆相交.法二:由题意知,圆心(0,1)到直线l 的距离d =|m |m 2+1<1<5,故直线l 与圆相交. 法三:直线l :mx -y +1-m =0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x 2+(y -1)2=5的内部,所以直线l 与圆相交.[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d 与r 的关系.(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. [提醒] 上述方法中最常用的是几何法. 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线方程为( ) A .3x +4y -4=0 B .4x -3y +4=0 C .x =2或4x -3y +4=0 D .y =4或3x +4y -4=0(2)(2019·成都摸底)已知圆C :x 2+y 2-2x -4y +1=0上存在两点关于直线l :x +my +1=0对称,经过点M (m ,m )作圆C 的切线,切点为P ,则|MP |=________.[解析] (1)当斜率不存在时,x =2与圆相切;当斜率存在时,设切线方程为y -4=k (x -2),即kx -y +4-2k =0,则|k -1+4-2k |k 2+1=1,解得k =43,则切线方程为4x -3y +4=0,故切线方程为x =2或4x -3y +4=0.(2)圆C :x 2+y 2-2x -4y +1=0的圆心为C (1,2),半径为2.因为圆上存在两点关于直线l :x +my +1=0对称,所以直线l :x +my +1=0过点(1,2),所以1+2m +1=0,解得m =-1,所以|MC |2=13,|MP |=13-4=3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2+b 2=2c 2(c ≠0),则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为( )A.12 B .1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为( )A .4πB .2πC .9πD .22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =|c |a 2+b 2=|c |2|c |=22,因此根据直角三角形的关系,弦长的一半就等于1-⎝⎛⎭⎫222=22,所以弦长为 2. (2)易知圆C :x 2+y 2-2ay -2=0的圆心为(0,a ),半径为a 2+2.圆心(0,a )到直线y =x +2a 的距离d =|a |2,由直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,|AB |=23,可得a 22+3=a 2+2,解得a 2=2,故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4π,故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1.已知圆的方程是x 2+y 2=1,则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22,22的切线方程是________. 解析:因为M ⎝⎛⎭⎫22,22是圆x 2+y 2=1上的点,所以圆的切线的斜率为-1,则设切线方程为x +y +a =0,所以22+22+a =0,得a =-2,故切线方程为x +y -2=0. 答案:x +y -2=02.若直线kx -y +2=0与圆x 2+y 2-2x -3=0没有公共点,则实数k 的取值范围是________.解析:由题知,圆x 2+y 2-2x -3=0可写成(x -1)2+y 2=4,圆心(1,0)到直线kx -y +2=0的距离d >2,即|k +2|k 2+1>2,解得0<k <43.答案:⎝⎛⎭⎫0,43 3.设直线y =kx +1与圆x 2+y 2+2x -my =0相交于A ,B 两点,若点A ,B 关于直线l :x +y =0对称,则|AB |=________.解析:因为点A ,B 关于直线l :x +y =0对称,所以直线y =kx +1的斜率k =1,即y =x +1.又圆心⎝⎛⎭⎫-1,m2在直线l :x +y =0上,所以m =2,则圆心的坐标为(-1,1),半径r =2,所以圆心到直线y =x +1的距离d =22,所以|AB |=2r 2-d 2= 6. 答案:6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离[解析] 法一:由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2ay =0,x +y =0,得两交点为(0,0),(-a ,a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22, ∴a 2+(-a )2=2 2.又a >0,∴a =2.∴圆M 的方程为x 2+y 2-4y =0, 即x 2+(y -2)2=4,圆心M (0,2),半径r 1=2.又圆N :(x -1)2+(y -1)2=1,圆心N (1,1),半径r 2=1, ∴|MN |=(0-1)2+(2-1)2= 2. ∵r 1-r 2=1,r 1+r 2=3,1<|MN |<3, ∴两圆相交.法二:由题知圆M :x 2+(y -a )2=a 2(a >0),圆心(0,a )到直线x +y =0的距离d =a2,所以2a 2-a 22=22,解得a =2.圆M ,圆N 的圆心距|MN |=2,两圆半径之差为1,两圆半径之和为3,故两圆相交.[答案] B [变透练清]1.(2019·太原模拟)若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m =( )A .21B .19C .9D .-11解析:选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0),半径r 1=1,因为圆C 2的方程可化为(x -3)2+(y -4)2=25-m ,所以圆C 2的圆心为C 2(3,4),半径r 2=25-m (m <25).从而|C 1C 2|=32+42=5.由两圆外切得|C 1C 2|=r 1+r 2,即1+25-m =5,解得m =9,故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变,则两圆的公共弦长为________.解析:联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-4y =0,(x -1)2+(y -1)2=1,两式相减得,2x -2y -1=0,因为N (1,1),r =1,则点N 到直线2x -2y -1=0的距离d =|-1|22=24,故公共弦长为21-⎝⎛⎭⎫242=142.答案:142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长;(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ,求r 1+r 2,|r 1-r 2|; (3)比较d ,r 1+r 2,|r 1-r 2|的大小,写出结论.[课时跟踪检测]A 级1.若直线2x +y +a =0与圆x 2+y 2+2x -4y =0相切,则a 的值为( ) A .±5 B .±5 C .3D .±3解析:选B 圆的方程可化为(x +1)2+(y -2)2=5,因为直线与圆相切,所以有|a |5=5,即a =±5.故选B.2.与圆C 1:x 2+y 2-6x +4y +12=0,C 2:x 2+y 2-14x -2y +14=0都相切的直线有( )A .1条B .2条C .3条D .4条解析:选A 两圆分别化为标准形式为C 1:(x -3)2+(y +2)2=1,C 2:(x -7)2+(y -1)2=36,则两圆圆心距|C 1C 2|=(7-3)2+[1-(-2)]2=5,等于两圆半径差,故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选A.3.(2019·南宁、梧州联考)直线y =kx +3被圆(x -2)2+(y -3)2=4截得的弦长为23,则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B .-π3或π3C .-π6或π6D.π6解析:选A 由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d =22-(3)2=1.即d =|2k |1+k 2=1,所以k =±33,由k =tan α,得α=π6或5π6.故选A.4.过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=r 2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ) A .2x +y -5=0 B .2x +y -7=0 C .x -2y -5=0D .x -2y -7=0解析:选B 由题意知点(3,1)在圆上,代入圆的方程可得r 2=5,圆的方程为(x -1)2+y 2=5,则过点(3,1)的切线方程为(x -1)·(3-1)+y (1-0)=5,即2x +y -7=0.故选B.5.(2019·重庆一中模拟)若圆x 2+y 2+2x -6y +6=0上有且仅有三个点到直线x +ay +1=0的距离为1,则实数a 的值为( )A .±1B .±24 C .± 2D .±32解析:选B 由题知圆的圆心坐标为(-1,3),半径为2,由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1,故圆心(-1,3)到直线x +ay +1=0的距离为1,即|-1+3a +1|1+a 2=1,解得a =±24. 6.(2018·嘉定二模)过点P (1,-2)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在直线的方程为( )A .y =-34B .y =-12C .y =-32D .y =-14解析:选B 圆(x -1)2+y 2=1的圆心为C (1,0),半径为1,以|PC |=(1-1)2+(-2-0)2=2为直径的圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=1,将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y +1=0,即y =-12.故选B.7.在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________.解析:易知圆心(2,-1),半径r =2,故圆心到直线的距离d =|2+2×(-1)-3|12+22=355,弦长为2r 2-d 2=2555. 答案:25558.若P (2,1)为圆(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为________. 解析:因为圆(x -1)2+y 2=25的圆心为(1,0),所以直线AB 的斜率等于-11-02-1=-1,由点斜式得直线AB 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.答案:x +y -3=09.过点P (-3,1),Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2+y 2=1相切,则a 的值为________. 解析:因为P (-3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(-3,-1), 所以直线P ′Q 的方程为y =-1-3-a (x -a ),即x -(3+a )y -a =0, 圆心(0,0)到直线的距离d =|-a |1+(3+a )2=1,所以a =-53.答案:-5310.点P 在圆C 1:x 2+y 2-8x -4y +11=0上,点Q 在圆C 2:x 2+y 2+4x +2y +1=0上,则|P Q |的最小值是________.解析:把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式,得(x -4)2+(y -2)2=9,(x +2)2+(y +1)2=4.圆C 1的圆心坐标是(4,2),半径长是3; 圆C 2的圆心坐标是(-2,-1),半径是2.圆心距d =(4+2)2+(2+1)2=35>5.故圆C 1与圆C 2相离, 所以|P Q |的最小值是35-5.答案:35-511.已知圆C 1:x 2+y 2-2x -6y -1=0和圆C 2:x 2+y 2-10x -12y +45=0. (1)求证:圆C 1和圆C 2相交;(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解:(1)证明:圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1=11, 圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2=4,两圆圆心距d =|C 1C 2|=5,r 1+r 2=11+4, |r 1-r 2|=4-11,∴|r 1-r 2|<d <r 1+r 2,∴圆C 1和圆C 2相交. (2)圆C 1和圆C 2的方程相减,得4x +3y -23=0, ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x +3y -23=0.圆心C 2(5,6)到直线4x +3y -23=0的距离d =|20+18-23|16+9=3,故公共弦长为216-9=27.12.已知圆C 经过点A (2,-1),和直线x +y =1相切,且圆心在直线y =-2x 上. (1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 经过原点,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程. 解:(1)设圆心的坐标为C (a ,-2a ), 则(a -2)2+(-2a +1)2=|a -2a -1|2.化简,得a 2-2a +1=0,解得a =1.∴C (1,-2),半径r =|AC |=(1-2)2+(-2+1)2= 2. ∴圆C 的方程为(x -1)2+(y +2)2=2.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =0,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2,满足条件.②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx , 由题意得|k +2|1+k 2=1,解得k =-34,∴直线l 的方程为y =-34x ,即3x +4y =0.综上所述,直线l 的方程为x =0或3x +4y =0.B 级1.过圆x 2+y 2=1上一点作圆的切线,与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C .2D .3解析:选C 设圆上的点为(x 0,y 0),其中x 0>0,y 0>0,则有x 20+y 20=1,且切线方程为x 0x +y 0y =1.分别令y =0,x =0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0,0,B ⎝⎛⎭⎫0,1y 0,则|AB |=⎝⎛⎭⎫1x 02+⎝⎛⎭⎫1y 02=1x 0y 0≥1x 20+y 202=2,当且仅当x 0=y 0时,等号成立.2.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y =2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→=0,则点A 的横坐标为________.解析:因为AB ―→·CD ―→=0,所以AB ⊥CD ,又点C 为AB 的中点,所以∠BAD =π4,设直线l 的倾斜角为θ,直线AB 的斜率为k ,则tan θ=2,k =tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-3.又B (5,0),所以 直线AB 的方程为y =-3(x -5),又A 为直线l :y =2x 上在第一象限内的点,联立直线AB 与直线l 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧ y =-3(x -5),y =2x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =6,所以点A 的横坐标为3. 答案:33.(2018·安顺摸底)已知圆C :x 2+(y -a )2=4,点A (1,0). (1)当过点A 的圆C 的切线存在时,求实数a 的取值范围; (2)设AM ,AN 为圆C 的两条切线,M ,N 为切点,当|MN |=455时,求MN 所在直线的方程.解:(1)过点A 的切线存在,即点A 在圆外或圆上, ∴1+a 2≥4,∴a ≥3或a ≤- 3.(2)设MN 与AC 交于点D ,O 为坐标原点. ∵|MN |=455,∴|DM |=255.又|MC |=2,∴|CD |=4-2025=45, ∴cos ∠MCA =452=25,|AC |=|MC |cos ∠MCA =225=5,∴|OC|=2,|AM|=1,∴MN是以点A为圆心,1为半径的圆A与圆C的公共弦,圆A的方程为(x-1)2+y2=1,圆C的方程为x2+(y-2)2=4或x2+(y+2)2=4,∴MN所在直线的方程为(x-1)2+y2-1-x2-(y-2)2+4=0,即x-2y=0或(x-1)2+y2-1-x2-(y+2)2+4=0,即x+2y=0,因此MN所在直线的方程为x-2y=0或x+2y=0.。
3.1直线和圆的位置关系
(2)直线和圆有唯一公共点 条直线叫圆的切线,
这个公共点叫切点
(3)直线和圆有两个公共点 叫做直线和圆相交.
运用:
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
(1)
(2)
(3)
l
·O
·O
l
·O
l
相离 (4)
相交 (5)
相切
·O
相交 l
?·O
l
(5)
?·O
l
··
B A
如果,公共点的个数不好判断,
BC=4cm,以C为圆心,r为
在Rt△ABC中,
半径的圆与AB有怎样的位置 AB=
2
2=
2
2
关系?为什么? (1)r=2cm;(2)r=2.4cm
(3)r=3cm。
=5(cm) 根据三角形面积公式有
CD·AB=AC·BC
B
d=2.
∴CD=
=
=2.4(cm)。
4
即圆心C到AB的距离d=2.4cm。
5
4
围100公里范围要受到影响。如图有一公路l经过A,B两市,已
知AB两城市距离100公里. 此时该公路有没有受到台风的影响?
lA
北
解: 过O点作OC⊥AB垂足是C,则
∠CBO= 45º,∠CAO= 30º
30º
AC 3OC , BC OC
B
AC BC AB 100
45º
3OC OC 100
直线与圆的 位置关系
公共点 个数
公共点 名称
相交
2 交点
相切
1 切点
相离
0 无
图形
圆心到直线距离
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l
当直线与圆相切时, d=r
.
r d
o
T
l
当直线与圆相交时, d<r .
r
o
d
T
l
应用新知:
d,r所满足的 关系 直线l与⊙o的 位置关系 相离 直线l与⊙o的 公共点个数 0个 1个
d=2,r=1
d 2 3, r 2 3
相切
d=3,r=4
相交
2个
应用新知:
例1.在平面直角坐标系中,以点(4,3)为圆心, 半径为3的圆,必定与x轴 相切 .
C
A
类比与迁移:
思考:请类比点与圆的位置关系判定探索直线与圆的 位置关系的判定方法.
o
d
o
d
o d
l
l
l
合作与交流: 直线和圆的位置关系的判定
r d
o
当d>r时,直线与圆相离
l
r d
o l
当d=r时,直线与圆相切
r
o
d
当d<r时,直线与圆相交
l
直线和圆的位置关系的性质 思考:
r d
T
o
当直线与圆相离时, d>r .
要解决这个问题,我们可以将其数学化,首先按题意 画出图形.
1、知识梳理 直线与圆的位置关系及判定
直线与圆的 位置关系 公共点个数 公共点名称
相交
2 交点
相切
1
相离
0
切点
无
图
形
圆心到直线距离 d与半径r的关系
d<r
d=r
d>r
2.方法提炼
点与圆的位置关系
(类比)
直线与圆的位置关系
(分类讨论)
圆与圆的位置关系
天海 涯上 共升 此明 时月
3.1 直线与圆的位置关系(1)
.C .B
.A
直线与圆有哪几种位置关系?
探索与发现:
直线与圆的位置关系有 三 种
o l
0个公共点 直线与圆相离
切线
o
切点
割线
o l
2个公共点
l
直线与圆相交
只有1个公共点 直线与圆相切
请说出⊙o和△ABC三边所在直线的位置关系:
B
.O
y
4
.
(4,3) P 3
x
O
应用新知:
例1.已知Rt△ABC的斜边AB=6cm,直角边AC=3cm。 (1)圆心为 C,半径2cm的圆与直线AB 有怎样的位置关 系 半径r多长时,直线 AB与⊙C 相切? (2)若⊙C与线段AB有一个公共点时, 半径r的取值范围? B 6 C A
3
海中有一个小岛P,离该岛中心12海里范围内 是一暗礁区.今有货轮自西向东航行,开始在A点 观测P在北偏东60°方向, 行驶10海里后到达B点 观测P在北偏东45°方向,若货轮不改变方向继续 向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁 的危险吗?