10-6第六节高斯公式与散度

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散度定理与高斯公式

散度定理与高斯公式在研究电磁学、流体力学以及热传导等领域时，散度定理和高斯公式是非常重要的数学工具。

它们可以用于描述和解释物质和能量在空间中的流动和分布规律。

本文将深入探讨散度定理和高斯公式的概念、原理和应用，并通过实例展示其在实际问题中的作用。

一、散度定理散度定理又称为高斯散度定理，它是微积分中的一个基本定理。

简单来说，散度定理描述了一个有向闭曲面上向量场的通量与该向量场在该闭曲面所围成的体积之间的关系。

下面我们来详细介绍一下散度定理。

散度定理的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为闭曲面S。

那么散度定理可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV在这里，F·dS表示对于向量场F的通量积分，div(F)表示F的散度。

从散度定理中可以看出，一个向量场的通量积分等于该向量场在体积内的散度的体积分。

散度定理的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 流体力学中的应用：通过散度定理可以计算一个流体的流出流量或流入流量，从而在实际应用中可以用于计算管道中的流体流速、流量、压力等参数。

2. 电磁学中的应用：散度定理可以描述电场与磁场的分布规律，并用于计算电场或磁场的总通量。

3. 热传导中的应用：散度定理可以用于描述热流在空间中的传导规律，并用于计算热量的传递率等参数。

二、高斯公式高斯公式又称为高斯定理，它是微积分中的另一个基本定理。

高斯公式是对于散度定理在三维空间中的一种特殊情况，即当闭曲面是一个球面时，散度定理被称为高斯公式。

下面我们来详细介绍一下高斯公式。

高斯公式的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为球面S。

那么高斯公式可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV由高斯公式的形式可知，在计算球面上的通量积分时，等于该向量场在球内的散度的体积分。

南京航空航天大学《高等数学》10.6高斯(Guass)公式通量与散度

的Σ1 两个Σ曲−3 面积Σ2 分正Σ好3 抵 Σ消1 , Σ2
Σ
Σ3
Ω2
Σ
− 3
−n
证得高斯公式 .
Σ2
∴ 综合一、二步高斯公式得证 .
7
注 Σ 当闭 , 取外侧 , P , Q , R 有连续偏导数
Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
8
例1 计算 : I = ∫∫ x 2dydz + y 2dzdx Σ Σ : x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = b, z = c − −外侧
= − 2π dθ 0
h r 3dr
Dxy
=−
1 πh4
0
2
14
D xy
解法2
对Σ锥：n = −{ x, y, z} / x2 + y2 + z2 = {cosα ,cos β ,cosγ }
∫∫ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
Σ锥
∫∫ = [ x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ ]ds
∫∫ ( y − z)dydz + (z − x)dzdx + ( x − y)dxdy
Σ锥
= ∫∫ [( y − z)cosα + (z − x)cos β + ( x − y)cosγ ]ds Σ锥
∫∫ = − [( y − z)x + (z − x) y + ( x − y)z]/ x2 + y2 + z2 ds Σ锥
gradu ⋅ gradv = ∇u ⋅ ∇v = ∂u ∂v + ∂u ∂v + ∂u ∂v ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

10-6高斯公式与散度 (1)

利用高斯公式，
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0

0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高斯公式
说明：
若可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z

1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0

高斯公式
1

3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭曲面，取外侧 .
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高斯公式与散度

所以
R Rdx dy z dV .

P 同理可证 Pdy dz dV , x

Q Qdz dx y dV .

故
Pdy dz Qdz dx Rdx dy

P Q R ( )dV . x y z
P Q R z 2z 0 3z. x y z
I (
1 1
)xzdy dz 2 yzdz dx 3 xydx dy
2 y x2 1 4
3 zdV 3

xy dxdy 30 zdz
0 .
注:
（1） Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续，三者缺一不可.
( 2 ) 正确确定P , Q , R 三个函数 , 并注意分别对哪个变若积分曲面不封闭，则添加辅助曲面使之封闭；量求偏导数; Gauss 公式中的符号应为负号；当封闭曲面取内侧时，
( 3 ) 令 P x, Q y, R z, 由Gauss 公式得 P Q R Gauss P ,d Q , R , d ,V , 3V ,的应用 xdy 公式前首先要检验 d z y d z d x z d x y 3 x y z
过有向封闭曲面外侧的流量 v dS ，其中n 为

. ，所围成的区域为外侧的单位法向量
总流量流出的流量流入的流量 .
（1） 0 ，流出大于流入，表明内有“源” ；
（2） 0 ，流出小于流入，表明内有“洞” ；
1

0 6z(1 z )dz
1
2 y x 2 1 z 4

第六节高斯公式通量与散度

第六节高斯公式通量与散度㈠本课的基本要求了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，了解通量与散度的概念，并会计算㈡本课的重点、难点高斯公式重点、利用高斯公式计算曲面积分为难点㈢教学内容在本章的第三节中，我们介绍了格林公式。

它反映了平面区域D 上的二重积分与其边界曲线L 上的曲线积分之间的关系。

作为格林公式在空间的推广，下面介绍的高斯公式则反映了空间区域Ω上的三重积分与其边界曲面∑上的曲面积分之间的关系。

一．高斯公式定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(z y x Q z y x P , ),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)()(Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ⑴ 或ds R Q P dv z R y Q x P ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)cos cos cos ()(γβα ⑵ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。

公式⑴或⑵叫做高斯公式。

证由第五节中两类曲面积分的关系可知，公式⑴及⑵的右端是相等的，因此这里只要证明公式⑴就可以了。

首先假设穿过区域Ω内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑只有两个交点，并且Ω在xoy 平面上的投影区域为xy D ，这样∑可为三部分321,,∑∑∑，其中21,∑∑的方程分别为),(:11y x z z =∑，取下侧，),(:22y x z z =∑，取上侧，并且21z z ≤，而3∑是以xy D 边界线为准线且母线平行于z 轴的柱面的一部分，取外侧。

一方面，根据三重积分的计算法，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂Ωxy D y x z y x z dxdy dz z R dv z R ),(),(21 ⎰⎰-=xy D dxdy y x z y x R y x z y x R )]},(,,[)],(,,[{12另一方面，根据第二类曲面积分的计算法，又有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(11 ⑶ ⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdy y x zy x R dxdy z y x R )],(,,[),,(22因为3∑在xoy 平面上的投影区域为一条曲线，其面积为零，因而由定义知0),,(3=⎰⎰∑dxdy z y x R将上述三式相加可得⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12 ⑷ 比较⑶式与⑷式，得=∂∂⎰⎰⎰Ωdv z R ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,( 若穿过区域Ω内部且平行于x 轴及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑也都只有两个交点，那么类似地可证=∂∂⎰⎰⎰Ωdv x P ⎰⎰∑dydz z y x P ),,( =∂∂⎰⎰⎰Ωdv y Q ⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,( 将以上三式两端分别相加，即得高斯公式⑴。

第六节 Gauss公式、通量与散度

1 lim S →M V
vn dS = ( ∂X + ∂Y + ∂Z )( x, y, z ) ∫∫ ∂x ∂y ∂z S
上式左端的极限称为向量场 v 在点 M ( x, y, z ) 处的散度，处的散度，记作 divv. 即
Σ1取上侧，取上侧，
⋅h
Σ
构成封闭曲面， Σ + Σ1构成封闭曲面， Σ + Σ1围成空间区域 Ω .
在Ω上使用高斯公式 ,
Dxy
o
y
x
z
Σ + Σ1
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ1
⋅h
Σ
= 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
Dxy
1 ∂X ∂Y ∂Z = + + ) 应用积分中值定理，应用积分中值定理， ( ∂x ∂y ∂z (ξ ,η ,ζ ) V 1 lim S →M V
∫∫ v dS
n S
令V 缩成一点 M (x, y, z), 此时 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z ), 因此
∂X ∂Y ∂Z ∫∫ vn dS = ( ∂x + ∂y + ∂z )( x, y, z ) S
∂X ∂Y ∂Z 由高斯公式，由高斯公式， ∫∫∫ ( + + )dV = ∂x ∂y ∂z V
∫∫ v dS
n S
由此得
1 V
∂X ∂Y ∂Z 1 ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV = V V
∫∫ v dS
n S
单位时间单位体积所产生流体量的平均值

大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度

Σ
其中 Σ 是以原点为中心，边长为体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R

10-6高斯公式

=
∫∫{R( x, y, z2( x, y)] - R( x, y, z1( x, y)]}dxdy
Dxy
故
∫∫∫
Ω
∂R dv = ∂z
∂Ω
∫∫+Rdxdy
∫∫∫
Ω
∂R dv ∂z
YZ XZ 若Ω同时为 − 型区域和 − 型区域,
下两式也成立
三式相加可得
高斯公式
∫∫∫
Ω
∂P ∂Q ∂R + dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + ∂x ∂y ∂z ∂Ω+
Σ
Ω
∂P ∂Q ∂R ( + + ) dv ∂x ∂y ∂z
3° °
由高斯公式可得空间立体的体积: 由高斯公式可得空间立体的体积
1 = 3
∂Ω
∫∫+xdydz + ydzdx + zdxdy
例1 计算曲面积分
(§5，例4) § ，方法2 方法解 (方法 )
= 3a3 .
3 3 3 例 2 计算曲面积分 I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy, Σ
∑
=
− ∫∫ = 1 πh4 - πh4 = − 1 πh4. ∫∫ 2 2 ∑+∑ 1 ∑ 1
(方法方法2) 方法
z
h
∑
y
π 4 =− h . 2
o x
例 4-1 设Σ是光滑的闭曲面，V是Σ所围的立体是光滑的闭曲面，是所围的立体所围的立体Ω 是光滑的闭曲面的体积. 的矢径，的体积 r 是点 ( x, y, z ) 的矢径， =| r | . r

高等数学(第五版)10-6高斯公式

z2 ( x , y )
DxyD xyFra bibliotekD xy
若不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 同理
P P ( x, y, z )dydz x dv, Q Q( x, y, z )dzdx y dv ,
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy

称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 向着指定侧的通量.
P Q R 而叫做向量场A 的散度，记作 A. div x y z

高斯公式现在可写成： A ndS divAdv .
2 2 2
( x
解: 根据两类曲面积分的联系，
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS

x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 z

z h ( x 2 y 2 h2 ) 补充 1 :
1 : z z1 ( x , y )
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
R （把R( x , y , z )看作z的函数 [ dz ]dxdy z1 ( x , y ) z 用牛顿莱布尼兹公式） D xy R dxdydz . z
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的

10.6 高斯(Gauss)公式与散度

2 2 2 2
2 2 2 2
xy dydz x ydzdx z ( x y ) dxdy
1

z n1
1

z ( x y ) dxdy
2 2
1
1

( x
2 2
2
y ) dxdy
2
D xy : x y 1
o
y

2
0
d d
3 0
1
2
1

xdydz z dxdy
2
2
z
n2
6 0
2 1
4 dxdy
D xy : x y 1
2 2
6 4 2
2
o
1
y
x
n1
二散度（divergence）
1 通量
定义1
F ( x, y, z )
设
F ( x , y , z ) 是空间中一向量场，则
M 0 (1, 2 , 3 ),
求
.
M
0
（2） grad ( div F )
解（1） div F y 2 z 2 x 2
div F ( M 0 ) 2 3 1 14
2 2 2
（2） grad ( div F ) 2 x i 2 y j 2 z k
grad ( div F )
z
解由高斯公式有
a
( x

yz ) dydz ( y zx ) dzdx ( z xy ) dxdy
o a x
a
y

(1 1 1) dV 3 dV 3a

10-6高等数学高斯公式

练习计算 I x dydz y dzdx z dxdy 2 a 2 2 2 为球面 x y z 的内侧 4 解: 利用 Gauss 公式
3 3 3
I 3 x 2 3 y 2 3z 2 dv

3
2 0
d sin d
穿过： ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 2)2 9 流向外侧的通量
则 Pdydz Qdzdx Rdxdy
2. 散度的定义: 设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
注： 1.这里是的整个边界曲面，是闭封曲面，且取外侧 2.高斯公式揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
(Gauss 公式)
例1. 计算曲面积分其中为柱面及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得

1

1
记 , 1所围区域为, 则
z
2 ( x y z ) d x d y d z

1 4 h 2 z d x d ydz 2
由对称性 2 x 2 y d v 0

h

y
o x

Dx y
h 2 d x d y h4
P Q R 则称为向量场 A的散度 x y z 记作 divA
P Q R divA x y z

高等数学 10-6高斯公式通量与散度

章节题目
第六节高斯(Gauss)公式通量与散度
高斯公式通量与散度
内容提要
利用高斯公式计算曲面积分重点分析
高斯公式使用的条件及方法难点分析
习题布置
P213
1（单）、2（单）
备注
1
教
一、高斯公式
学
内
容
设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲面 Σ 围成 , 函数 P ( x, y , z ) 、 Q ( x, y , z ) 、
Σ Σ Σ
r
r
r
r
r r r r Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ A ⋅ n 0 dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
r 称为向量场 A( x, y, z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义: 设有向量场 A( x, y, z ) ,在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ , Σ 包围的区域为 V ,记体积
∫∫ ( x
D xy
2
cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
= 2 ∫∫ dxdy ∫
h x2 + y2
( x + y + z )dz ,
其中Dxy = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ h 2 }.
Q
∫∫ dxdy ∫
Ω ∑
∂P
∂Q
∂R
这里 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧，cosα , cos β , cos γ 是 ∑ 上点 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余弦.

第六节高斯公式与散度解析

2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解记所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z

高数之高斯公式通量与散度

高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。

它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。

首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。

通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。

通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。

散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。

散度可以用于描述场的源和汇。

高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。

从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。

也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。

这个公式的物理意义非常重要。

比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。

这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。

在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。

总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。

通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。

《高等数学》第十章第六节高斯公式通量与散度

①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立,假设存在 M 0 G, 使

P x
Q y
R z
M 0

0
23
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
24
(M0 ) G,使在 (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设 (M 0 )的边界为取外侧, 则由高斯公式得
P d y d z Q d z d x R d x d y

(M0)
P Q R x y z
0
d
01dr
03r(r
sin
z) dz

9
2
.
)
(
1y
利用柱面坐标得
5
使用Guass公式时应注意:
1. P, Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
6
例 2 利用高斯公式计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS ,
:
00

r

2，
h,

r z h.

202
d
h
0
dr
h
r
(r
cos

r
sin

z)
r
dz

10、6高斯公式通量与散度

10、6高斯公式通量与散度§10.6 高斯公式通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω∑++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )((1) 或Ω∑γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()((1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，}γ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。

设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。

这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。

根据三重积分的计算法，有[]Ω-=??=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz zRdv z R )],(,,[)],(,,[12),(),(21 (2) ∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知∑=30),,(dxdy z y x R把以上三式相加，得∑-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12(3)比较(2)、(3)两式，得Ω∑=??dxdy z y x R dv z R),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好有两点，那么类似地可得Ω∑=??dydz z y x P dv x P),,( Ω∑=??dzdx z y x Q dv y Q),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。

10.6高斯公式散度

1 h h
o x

y
2 z z d z h (先二后一)
2 4
0
h
1 4 h 2
例3
S
x 2 dydz y 2 dzdx z 2dxdy , 其中S是锥面 x 2 y 2 z 2
z
与平面z=h(>0)所围的空间区域的表面, 方向取外侧. 解: 设S围成的区域为V, 由高斯公式, 得

P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy
—————— 高斯公式由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS .

(r sin z )r dr d d z

2

o 1 x
y
0
9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 2
1 3
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
y
x
可化为关于 xy , yz , xz 的第二类曲面积分。
由于曲面 x 0, y 0, 与x
2
y2 1
都与xy平面垂直,故将其
转化为关于xy的第二型曲面积分比较简单.
例9、利用高斯公式计算
( xy yz zx )dxdydz
V
其中V是由
x 0, y 0, 0 z 1与x y 1

(Gauss 公式)
下面先证:

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Dxy
-3-
Dxy
第十章曲线积分与曲面积分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是其它类型区域 , 则可引进辅助面相应的区域, 将其分割成若干个相应的区域在辅助面正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式：三式相加即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第十章曲线积分与曲面积分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
= ∫∫ Pd ydz +Qdzdx + Rdxd y
Σ
= ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
∂R 下面先证: 下面先证 ∫∫∫ d xd ydz = ∫∫ Rdxd y ∂z Σ Ω
-2-
Σ
第六节
高斯公式与散度
证明: 证明设
第十章曲线积分与曲面积分
- 13 -
r r 上的叠加（代数和） Φ = ∫∫ A ⋅ ndS 为 dΦ 在 Σ 上的叠加（代数和）
Σ
第六节
高斯公式与散度
第十章曲线积分与曲面积分
Φ>0 Φ<0 Φ=0 Φ>0 Φ<0 Φ=0
流向 Σ 正侧的 > 流向 Σ 负侧的流向 Σ 正侧的 < 流向 Σ 负侧的流向 Σ 正侧的 = 流向 Σ 负侧的流出的 > 流入的，Σ 内有“泉” 流入的，内有“ 流出的 < 流入的，Σ 内有“汇” 流入的，内有“ 流出的 = 流入的，流入的，
2 2
解
z
Px + Q y + Rz = 2( x + y + z )
原式 = 2 ∫∫∫ x + y + z )dxdydz
x
o y
Ω a
= 2∫0 dx ∫0 dy
b
∫0 ( x + y + z )dz
-5-
c
= (a + b + c )abc
第六节
高斯公式与散度
例2 计算
第十章曲
其中∑ 其中∑
∫∫∫
∫∫∫
2π 0
∫∫∫
o
y
=∫
9 π dϕ∫ ρdρ∫ (− z) dz = − 0 0 2
1 3
-6-
思考: 改为内侧, 结果有何变化? 思考若 ∑ 改为内侧结果有何变化
第六节
高斯公式与散度
2 2
第十章曲线积分与曲面积分
取上侧, 例3. 设Σ 为曲面 z = 2− x − y , 1≤ z ≤ 2 取上侧求 I = ∫∫(x3z + x)d ydz − x2 yzdzdx − x2z2 dxd y. 解: 作取下侧的辅助面 2 2 Σ1 : z = 1 (x, y)∈Dxy : x + y ≤ 1
r ∂P ∂ Q ∂ R r divA = + + = ∀⋅ A ∂x ∂y ∂z
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第六节
高斯公式与散度
证
第十章曲线积分与曲面积分
由高斯公式 r r uu ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
Σ
= ∫∫∫ ( Px + Q y + Rz )dxdydz
r r Φ = ∫∫ A ⋅ ndS
Σ
z
1
= ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
Σ
= 3 ∫∫∫ dxdydz
Ω
o x
y
=π
- 15 -
第六节
高斯公式与散度
第十章曲线积分与曲面积分
r 定义设有向量场 A( x , y , z ), 在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ , Σ 包围的区域为 Ω , 记体积为 V , 若当区
称面，
r n
r A
上面元素，为 Σ 上面元素，则 r r r r r uu A dΦ = A ⋅ ndS = A ⋅ dS dS r r r =| A | cos( A, n)dS r r cos( A, n ) > 0, dΦ > 0, 流向 dS 正侧，正侧， r r cos( A, n ) < 0, dΦ < 0, 流向 dS 负侧，负侧，
由中值定理知，由中值定理知，存在 M * ∈ Ω = ( Px + Q y + Rz ) M *V r r uu A ⋅ dS = lim ( Px + Q y + Rz ) M * Ω→ M V
-8-
第六节
高斯公式与散度
则
第十章曲线积分与曲面积分
I =(
Σ+Σ1
∫∫
− ∫∫ )(x2 cosα + y2 cosβ + z2 cosγ )dS
Σ1
在Σ1 上α = β = π , γ = 0, z = h 2
2 Dxy
= 2∫∫∫(x + y + z)dxdydz −∫∫ h dS
2 2 2 其中 ∑ 为锥面 x + y = z 介于
z
Σ1
z = 0 及z = h 之间部分的下侧之间部分的下侧. 解: 作辅助面 ∑1: z = h,
h
Σ
(x, y)∈Dxy : x2 + y2 ≤ h2, 上侧
o
y
x
记∑,∑ 所围区域为Ω, ∑1 所围区域为Ω
在Σ1 上α = β = π , γ = 0 2
r 电场，电位移为 D 电场，穿过有向曲面 Σ 的电通量 r r uu r r Φ = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ ndS Σ Σ r 磁场，磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面Σ 的磁通量 r r uu r r Φ = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ ndS
r 为有向曲面指定侧的单位法向量。其中 n 为有向曲面指定侧的单位法向量。
第六节
高斯公式与散度
第六节高斯公式与散度
第十章曲线积分与曲面积分
一高斯公式二通量与散度
-1-
第六节
高斯公式与散度
一高斯公式
第十章曲线积分与曲面积分
由分片光滑的闭曲面定理设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲面∑ 所围成, 的方向取外侧, 围成 ∑ 的方向取外侧函数 P, Q, R 在Ω 上有连续的一阶偏导数 , 则有
所围空间闭为柱面及平面 z = 0 , z = 3 所围空间闭的整个边界曲面的外侧. 域 Ω 的整个边界曲面的外侧 z 解: 这里 P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 3
线利用利用Gauss 公式得公式, 积 ( y − z)dxd ydz (用柱坐标用柱坐标) 用柱坐标原式 = 分与 Ω 曲 (−z)ρdρ dϕdz x 面 (−z)dxdydz = = 积 Ω Ω 分
Ω
z
= 2 ∫ dϕ ∫ ρdபைடு நூலகம் ∫ zdz − πh4 0 0 ρ
2π
h
h
Σ1
h
Σ
1 4 =− πh 2
x
-9-
o
y
第十章曲线积分与曲面积分
在闭区域 Ω上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( 二阶连续偏导数证明格林 Green )第一公式第一公式 ∂v P=u ∂x ∂2v ∂2v ∂2v ∂v ∫∫∫u ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 dxd ydz Q= u = Ω ∂y ∂v ∂v ∂v dS ∂v = ∫∫ u cosα + cos β + cosγ R= u = ∂y ∂z ∂x Σ ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v − ∫∫∫( )dxd ydz + + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Ω 边界面的外侧. 其中 ∑ 是整个 Ω 边界面的外侧 ∂P ∂Q ∂R 分析: 分析高斯公式 ∫∫∫( )dxd ydz + + ∂x ∂y ∂z Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzdx + Rdxd y 例5 设函数
∑ = ∑1 U∑2 U∑3, ∑1 : z = z1(x, y), ∑2 : z = z2(x, y), z2 ( x, y) ∂R ∂R dz 则 ∫∫∫ d xd ydz = ∫∫ dxd y∫ z1( x, y) ∂z ∂z Ω z = z ( x, y) D