高斯公式与散度

所以
R Rdx dy z dV .

P 同 理 可 证 Pdy dz dV , x

Q Qdz dx y dV .

故
Pdy dz Qdz dx Rdx dy

P Q R ( )dV . x y z
P Q R z 2z 0 3z. x y z
I (
1 1
)xzdy dz 2 yzdz dx 3 xydx dy
2 y x2 1 4
3 zdV 3

xy dxdy 30 zdz
0 .
注:
（1） Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续， 三者缺一不可.
( 2 ) 正确确定P , Q , R 三个函数 , 并注意分别对哪个变 若积分曲面 不 封闭，则添加辅助曲面使之封闭； 量求偏导数; Gauss 公式中的符号应为负号； 当封闭曲面取内侧时，
( 3 ) 令 P x, Q y, R z, 由Gauss 公式得 P Q R Gauss P ,d Q , R , d ,V , 3V ,的 应用 xdy 公式前首先要检验 d z y d z d x z d x y 3 x y z
过有向封闭曲面 外侧的流量 v dS ， 其 中n 为

. ， 所围成的区域为 外 侧的单位法向量
总流量 流出的流量 流入的流量 .
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源” ；
（2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞” ；
1

0 6z(1 z )dz
1
2 y x 2 1 z 4
dxdy 0
10.6.2
向量场的散度
一、通量
定义 1 设 A( x, y,z) 为一向量场， 为场中一有向
曲面，称

A dS 为 向 量 场A 穿 过 曲 面 的 通 量.
当 A 是电场强度 E 时， E dS 即为电通量；
P xz, Q x 2 y, R y 2 z ,
P Q R z x2 y2 , x y z
I
( z x

2
y )dV 2 d d
0 0
2

o
1
1
x

8 .
2
0
( z )dz
2
例2. 计 算 I x 3 dy dz y 3dz dx z 3dx dy ,
o

D xy
[ R( x, y, z 2 ( x, y )) R( x, y, z1 ( x, y ))]dxdy,
2
x
D xy
y
又 Rdx dy

Rdx dy Rdx dy
1

D xy
[ R( x, y, z2 ( x, y)) R( x, y, z1 ( x, y))]dxdy,
例 1．计算 I


xzdy dz x 2 ydz dx y 2 zdx dy ,其中
是 旋转抛物面 z x 2 y 2 ,圆柱面 x 2 y 2 1 和三个坐标面
在第一卦限内所围成的闭区域 的整个边界曲面的外侧.
解：用 Gauss 公式计算.
z
y
1
四、散度的计算公式
设向量场 A { P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} ，其
中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，在场中取包含点
M ( x , y,z ) 的任一闭曲面 ，其所围区域 的 体积 为 V , d 为 的直径, n 为 外侧的单位法向量，

公式说明一区域中的总 散度等于通过边界的通 量.
五、散度的性质
（1） div(A B ) divA divB ，其中 , 是常数.
（2）若 u( x , y ,z ) 的梯度存在，则 div( uA) udivA A gradu .
z x2 y2 z2 ( 2 ) 2 , 2 2 2 2 2 z x y z (x y z )
故 div(grad u) x2 y2 z2 (x y z )
2 2 2 2

1 x y z
2 2 2
.
作
业
习 题 6.8（P67）
18（1)(5)(6)； 19 ； 20（2）.
2
o x
D xy
y
{( x, y, z ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ),( x, y ) D xy }.
z
由三重积分的计算法得

1
2


R dV z
D xy
dxdy z ( x, y) z dz
1
z 2 ( x , y ) R
（3） 若u u( x , y , z )具有二阶连续偏导数 , 则 ，
div(gradu) 2u x
2

2u y
2

2u z
2
.
例 5. 求向量场 A( x , y , z ) { xy 2 , ye z , x ln(1 z 2 ) } 在点 M (1,1,0)处的散度divA.
1
z
4
1

dV
dz
0 4
D xy
16 xdxdy
x
2
x2 y2 z
dxdy 0
D xy o
2
y
zdz 8 .
0
4
课堂练习
计算曲面积分 I
xzdy dz 2 yzdz dx 3 xydx dy
1 比式 V A dS 的极限存在，则称此极限为 A( x, y,z)

在点 M 处的散度，记为 divA M （简记为 divA ） ，即
div A lim
1 d 0 V

A dS .
三、散度的物理意义
设一稳定的不可压缩的流体速度场为 v ( x , y ,z ) ，流

当 A 是磁场强度 H 时， H dS 即为磁通量.

二、散度的概念
定义 2
设有向量场 A( x, y,z) , 在场中取包含 点 M 的任
一闭曲面 ，设 所围的空间域 的体积为 V ， 直径为d ， 外侧的单位法向量为 n . 若当d 0 时 ，
由高斯公式得

P Q R A dS ( x y z )dV

积分中值定理 ( P Q R ) V ( M ) x y z M
divA M lim V d 0 A dS
球面坐标

0
2
d
0

3 r 2 r 2 dr
3 5 12 5 2 2 a a . 5 5
例 3. 计算 I ( x 2 x 2 )dy dz 8 xydz dx 4 x(8 z )dx dy

其中 是 旋转抛物面 z x 2 y 2 (0 z 4) 的上侧 .
1 z 2 }, 解 : P xy2 , Q ye z , R x ln(
P Q R 2 xz 2 z divA y e , x y z 1 z2
div A M 2.
例 6. 设 数 量 场u ln x 2 y 2 z 2 , 求div(gradu).
（3）0 ，流出等于流入.
1 比式 V
“洞”的平均状态，而 divv M 则表示在点 M 处有
“源”与有“洞”的状态.

v dS 表示小区域 内有“源”与有
若 divv M 0 ，则表示点 M 处有“源” ； 若 divv M 0 ，则表示点 M 处有“洞” ； 若 divv M 0 ，则表示点 M 处既无“源”也无“洞”. divv M 表示点 M 处“源”与“洞”的强度.

P Q R ( )dV x y z

高斯公式
其中 取外侧 .
证: 设 为 xy 型空间区域, 在 oxy 面上的投 影区域为 Dxy .
z

1
1 2 ,
1 : z z1 ( x, y ), 取下侧 ,
2 : z z 2 ( x, y), 取上侧 ,
P Q R 1 4 x 8 x 4 x 1, x y z
x x
D xy o o
2
2
yy
由Gauss 公式得
I ( x 2 x 2 )dy dz 8 xydz dx 4 x(8 z )dx dy


1




是 球 面x2 y2 z2 a2 的 内 侧 .
解： P x 3 ， Q y 3 ， R z 3 ，
P Q R 3( x 2 y 2 z 2 ), x y z
由Gauss 公 式 得 I 3( x 2 y 2 z 2 )dV

y2 其中为曲面 z 1 x (0 z 1) 的上侧 . 4
2
2 y 1), 解: 添 加 平 面 1 : z 0 ( x 2 4
z
1

取 下 侧,
则 1 是一个封闭曲面, 取外 侧, 设其所围成的空间区域 为 .