高数之 高斯公式,通量与散度
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高斯公式

高斯公式 仍成立. 好抵消,因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分:
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知: P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时, 是Ω的整个边界曲面的外侧, 、 、 cos cos cos 是 上点( x,y,z )处的法向量的方向余弦,以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式,同样可得:
如果穿过Ω内部,且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个,
P 有: x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部,且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个,
Q 有: dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧, 2 取上侧, 3是以Dxy的边界 曲线为准 线, 母线平行于z轴的柱面上的一 部分,取外侧.
则(3)式左边:
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度

Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0, 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0, 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件;
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ,
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ,其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
高斯公式通量与散度课件

通过高斯公式,可以对流体的能量进 行分析,了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场,可以对流速 场进行分析,了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理,将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分, 再通过坐标变换和代数运算,得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式,它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中,高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中,高斯公式被用于解决 各种实际问题,如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中,高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三:流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性,其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用,可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用,但其实它也可以推广到 更高维度的空间,为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质,它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场,散度等于标量场在某一点的梯度的散度;对于矢量场,散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
通量与散度

环面所围区域
既是一维也是二维单连通区域 ;
是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但
立方体中挖去一个小球所成的区域
不是二维单连通区域 .
2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2.
设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单
为G内任一闭曲面, ① 则
P d y d z Q d z d x Rdx d y
下面先证:
(Gauss 公式)
R z d x d y d z R d x d y
证明: 设
为XY型区域 ,
1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y ), 则 z 2 R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd 3 z1 ( x , y ) z y 1 R( x, y, z 2 ( x, y ) ) Dx y y D xy R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y x
高斯公式 通量与散度
Green 公式
一、高斯公式 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x R d x d y
( M 0 )
P Q R d x d y d z x y z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
既是一维也是二维单连通区域 ;
是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但
立方体中挖去一个小球所成的区域
不是二维单连通区域 .
2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2.
设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单
为G内任一闭曲面, ① 则
P d y d z Q d z d x Rdx d y
下面先证:
(Gauss 公式)
R z d x d y d z R d x d y
证明: 设
为XY型区域 ,
1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y ), 则 z 2 R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd 3 z1 ( x , y ) z y 1 R( x, y, z 2 ( x, y ) ) Dx y y D xy R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y x
高斯公式 通量与散度
Green 公式
一、高斯公式 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x R d x d y
( M 0 )
P Q R d x d y d z x y z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
高等数学(下册)第11章第7讲高斯公式、通量和散度

P Q R
x
y
z
dV
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
P x
Q y
R z
dV
P cos
Q cos
R cos
dS
其中取外侧,cos,cos ,cos 是在点(x, y, z)处的正法向量方向余弦.
注意:格林公式取边界曲线的正向,高斯公式取边界曲面的外侧
3
一、高斯公式
证
Pdydz
xdydz ydzdx zdxdy
3 外
1 3dxdydz 3 4 π 3 4π
3 外
3 3
故 I 0 4π 4π.
11
本讲内容
01 高斯公式 02 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 03 通量和散度
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
空间二维单连通区域 对于空间区域G,如果G 内任一闭曲面所围成的 区域全属于G.
空间一维单连通区域 如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于G 的曲面.
空间二维单连通区域 空间一维单连通区域
非空间二维单连通区域 空间二维单连通区域 空间一维单连通区域 非空间一维单连通区域
13
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理11.9
设G是空间二维单连通区域,若P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在G 内具有
z
Dxy
z z1 ( x, y)
x
R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y Dxy
2
Dx y
3 1
y
Rdxdy ( )Rdxdy R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y
高斯公式通量与散度课件

测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初,经过多位数学家的努力,最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况,对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理(如格 林公式、斯托克斯公式等)的内在联 系,有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域,高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估,为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用,例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外,高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用,例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中,高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一:二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上,高斯公式可以用来计算通量或散度。例如,在电磁学中,高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中,高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二:三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度,可以判 断矢量场的流动方向,对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
高斯公式散度

包围的区域为V ,记体积为V .若当V 收缩成点 M 时,
极限
lim
lim
A dS
存在,
V V M
V M
V
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
根据高斯公式, 流量可表为
lim VM V
17
lim VM V
积分中值定理,
P x
Q y
ndS AndS
其中是空间闭区域的边界曲面,
An是向量A在曲面的外侧法向量上的投影.
(
An
A
n
P
cos
Q cos
R cos
)
19
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
量的方向余弦.
2
证明:设闭区域在面 xoy上的投影区域为 Dxy.
由1 ,2 和3 三部分组成,
z
1 : z z1( x, y)
2
2 : z z2(x, y)
3
3 : 柱面
1
下面先证:
R z
d
v
R
d
x
d
y
o
Dxy
x
y
3
根据三重积分的计算法
R dv { z2(x,y) R dz}dxdy
x
12
解: 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
高数 高斯公式 通量与散度

P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成,函数P(x,y ,z)、Q(x,y ,z) 、R(x,y ,z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数,则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
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证:设 cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的外法线向量的方向余弦,则
∂v = vx cos α + v y cos β + vz cos γ . ∂n
故
∫∫ u ∂ndS = ∫∫ (uv
Σ Σ
∂v
x
cos α + uv y cos β + uvz cos γ )dS
0 0
1
3
2π 0
dθ ∫ ρ d ρ ∫ zdz
0 0
1
3
1 9 9 = 0 − 2π ⋅ ⋅ = − π . 2 2 2
2
(2) 【P228, 例 3】 I=
∫∫ ( z
Σ
2
1 2 2 + x)dydz − zdxdy , 其中 ∑ 是旋转抛物面 z = ( x + y ) 介于平面 z = 0 2
Ω
= −∫
2π 0
π 1 1 2 dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr = −2π ⋅1⋅ = − π . 0 0 5 5
例 2【P232,例 3】 设函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) 在空间闭区域 Ω 上具有一阶及二阶连续偏导数, 证明 Green 第一公式:
Σ1 Σ1
h 2 dxdy = h 2 ⋅ π h 2 = π h 4 .
x 2 + y 2 ≤ h2
故,原式 =
Σ+Σ1
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy − ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 h
2 2 2 2 2 2
π
4
− π h4 = −
π
2
h4 .
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
下面我们来解释 Gauss 公式的物理意义. 设在空间闭区域 Ω 上有稳定流动、不可压缩的流体(假定流体的密度为 1)的速度场
v ( x, y, z ) = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ))
其中 P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 均具有一阶连续偏导数, Σ 是 Ω 的边界曲面的外侧,
定理
设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 Σ 所围成的,函数 P( x, y, z ) 、
Q( x, y, z ) 、 R ( x, y, z ) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数,则有 Gauss 公式:
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ,
Dxy Dxy
(3) 【P231, 例 2】 ( x cos α + y cos β + z cos γ ) dS , 其中 ∑ 为锥面 x + y = z 介于平面 z = 0
2 2 2 2 2 2
Σ
∫∫
与 z = h ( h > 0) 之间的部分的下侧, cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余 弦; 解:原式 = z
+ + ⎟ dV = ∫∫ v ⋅ ndS = ∫∫ v dS ∫∫∫ ⎜ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
n Ω Σ Σ
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
1 V
+ + ⎟dV = ∫∫ v dS . ∫∫∫ ⎜ V ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
n Ω Σ
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
1
左端为 Ω 内的源头在单位时间、单位体积内所产生的流体质量的平均值. 左端应用中值定理得: ⎜
3
Σ1
(4)
∫∫ xy dydz + yz dzdx + zx dxdy ,其中 ∑ 为上半球面 z =
2 2 2
1 − x 2 − y 2 的下侧.
z 1 Σ Ω O Σ1 1 1 y
Σ
解:如图,取 Σ1 为 z = 0( x + y ≤ 1) 的上侧,
2 2
记 Ω 为由 Σ 与 Σ1 所围成的闭区域, 则由 Gauss 公式, 原式 =
= ∫∫∫ [
Ω Ω
∂ (uvx ) ∂ (uv y ) ∂ (uvz ) + + ]dxdydz ∂x ∂y ∂z
= ∫∫∫ [(u x vx + uvxx ) + (u y v y + uv yy ) + (u z vz + uvzz )]dxdydz = ∫∫∫ (u x vx + u y v y + u z vz )dxdydz + ∫∫∫ u∆vdvdxdydz
Σ+Σ1
∫∫ ( z
+ x)dydz − zdxdy − ∫∫ ( z + x)dydz − zdxdy
2
Σ1
= 0 − ∫∫ − zdxdy = ∫∫ zdxdy
Σ1 Σ1
O x
y
= ∫∫ 2dxdy = 2 ∫∫ dxdy = 2 ⋅ π ⋅ 22 = 8π . (其中 Dxy : x 2 + y 2 ≤ 4 . )
z1 x , y )
∂R dz = ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y , z 2 ( x, y ) ⎤ ⎦−R⎡ ⎣ x, y, z1 ( x, y ) ⎤ ⎦ dxdy , ∂z Dxy
{
}
1
而
∫∫ Rdxdy =∫∫ Rdxdy + ∫∫ Rdxdy + ∫∫ Rdxdy
Σ Σ1 Σ2 Σ3
= − ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y, z1 ( x, y ) ⎤ ⎦ dxdy + ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y , z 2 ( x , y ) ⎤ ⎦ dxdy + 0
∫∫∫ u∆vdvdxdydz = ∫∫ u ∂ndS − ∫∫∫ (u v
Ω Σ Ω
∂v
x x
+ u y v y + u z vz )dxdydz ,
其中 ∑ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面, 符号 ∆ =
∂v 为函数 v( x, y, z ) 沿 ∑ 的外法线方向的(Laplace)算子. + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Ω Σ
∂P
∂Q
∂R
( 1)
z
n
或
∂P ∂Q ∂R + )dv = ( + ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z Ω
Σ Ω
O y x
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS , (1′ )
Σ
其中 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧,
cos α 、 cos β 、 cos γ 是 ∑ 在点 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余弦.
Ω Ω
⇒ ∫∫∫ u ∆vdvdxdydz =
Ω
∫∫ u ∂ndS − ∫∫∫ (u v
Σ Ω
∂v
x x
+ u y v y + u z vz )dxdydz .
4
*二、通量与散度
高斯公式:
+ + ⎟ dV = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ∫∫∫ ⎜ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Ω Σ
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy .
2 2 2
Σ
如图,取 Σ1 为 z = h( x + y ≤ h ) 的上侧,
2 2 2
h
Σ1
记 Ω 为由 Σ 与 Σ1 所围成的闭区域, 则由 Gauss 公式,有
Σ+Σ1
Ω Σ
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = ∫∫∫ (2 x + 2 y + 2 z )dv
§11.6
高斯(Gauss)公式, 通量与散度
*
教学目的:理解和掌握高斯公式及应用,了解通量与散度的概念及其求法 教学重点:高斯公式 教学难点:高斯公式的应用 教学内容:
一、Gauss 公式
Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而 Gauss 公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 这个关系可陈述如下:
⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ 1 + + = ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ (ξ ,η ,ζ ) V
∫∫ v dS , (ξ ,η , ζ ) ∈ Ω .
n Σ
令 Ω 缩为一点 M ( x, y, z ) ,取极限,得
Dxy Dxy
= ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y , z 2 ( x, y ) ⎤ ⎦−R⎡ ⎣ x, y, z1 ( x, y ) ⎤ ⎦ dxdy ,
Dxy
{
}
故
∫∫∫ ∂z dv = ∫∫ Rdxdy ;
Ω Σ
∂R
类似, 若过 Ω 内部且平行于 x 轴的直线以及平行于 y 轴的直线与 Ω 的边界曲面 Σ 的交点也都恰 好是两个,同理有
∫∫∫ ∂x dv = ∫∫ Pdydz ,
Ω Σ
∂P
∫∫∫ ∂y dv = ∫∫ Qdzdx .
Ω Σ
∂Q
由以上三式相加,即可证得高斯公式. (二)若 Ω 不是(一)的情形,则将 Ω 适当分割之.引进几张辅助曲面把 Ω 分为有限个闭区域, 使得每个闭区域满足情形(一)的条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相 等而符号相反,相加时正好抵消,因此 Gauss 公式对于这样的闭区域仍然是正确的. 例 1 求下列积分: (1) 【P231, 例 1】