最新北师大版八年级下册等腰三角形练习题

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北师大版八年级数学下册等腰三角形测试题(附答案)

北师大版八年级数学下册等腰三角形测试题（附答案）一、单选题1.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则其周长等于（）A. 10B. 11C. 10或11D. 不确定2.等腰三角形周长是29，其中一边长是7，则等腰三角形的底边长是（）A. 1B. 15 或7C. 7D. 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，则∠DAC等于（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°4.等腰三角形的底角是顶角的2倍，则底角度数为（）A. B. C. D.5.等腰三角形的对称轴是（）A. 顶角的平分线B. 底边上的高C. 底边上的中线D. 底边上的高所在的直线6.如图，已知在△ABC，AB=AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE=ECB. AE=BEC. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC=∠ABE7.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 12或15C. 15D. 98.等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是A. 9cmB. 12 cmC. 12 cm或15 cmD. 15 cm9.等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的腰长为（）A. B. C. D. 910.已知等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长为（）A. B. C. D. 或二、填空题11.等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的底角的大小是________.12.等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________13.等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为________.14.一个等腰三角形的两边长分别为5和3，则这个三角形的周长为________.15.等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为________．16.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为________．17.等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其他两边分别长为________18.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小等于________度.19.如图有一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面离地面的高度为40cm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为________度．20.△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE=________．三、解答题21.如图所示，的外角平分线，求证：为等腰三角形．22.已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．23.已知：如图，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．24.已知，如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．答案一、单选题1. C2. C3. D4. D5. D6. C7. C8. D9. A 10. B二、填空题11. 或12. 或13. 14. 11或13 15. 67.5°或22.5°16. 80°，50°，130°17. 7cm,7cm 18. 45 19. 120 20. 67.5°三、解答题21. 证明：，，,平分，,即为等腰三角形.22. 证明：过O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，∵∠1=∠2，∴OB=OC，∵AO平分∠BAC，∴OD=OE，∴RTΔODB≌RTΔOEC（HL），∴∠ABO=∠ACO，∴∠ABO+∠1=∠ACO+∠2，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴ΔABC是等腰三角形．23. 证明：作AF⊥BC于F，∵AB=AC（已知），∴BF=CF（三线合一），又∵AD=AE（已知），∴DF=EF（三线合一），∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．24. 证明：如图，连结AC．∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD（已知），∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD。

北师版八年级数学下册等腰三角形直角三角形综合练习题含答案

GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF4GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF等腰三角形的性質1D 2C 3A 4C 5B 6 60 7 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合 8 90°+1/2n°9 70°10略11 20= 2AB+BC 16=AB+1/2BC+AD 2AD=12 AD=6 12略等腰三角形的判定1A 2C 3A 4C角平分線上的點到兩角邊的高相等 5 1 6 AB=AC 7 2cm9方法一等腰三角形的性質法二證兩個大三角形全等再證兩個小三角形全等10略GAGGAGAGGAFFFFAFAF11等邊三角形1C 2 D 第四個是等邊三角形。

理由如下: ∵等腰三角形一腰上的中線也是這條腰上的高，∴這條中線是這條腰的垂直平分線∴腰與底邊相等∴這個等腰三角形是等邊三角形。

3A 4C 5 B∵AB=AC，∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD，∠BAC=∠CAD=60°∴△ADE是等邊三角形6. 60°7. 70°8. 3, 三邊的高，也是過邊中點并垂直于邊的直線同時也是角平分線9.1cm 11 ∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B＝∠C＝30°∵AD⊥AC∴△ACD為直角三角形∴DC=2AD （30°角所對的直角邊是斜邊的一半）∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴∠B＝∠BAD∴BD=AD （等角對等邊）∴BC=BD+CD=3AD12 證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC＝AC∠BCE＝∠ACDCE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，∠CBF＝∠CAHBC＝AC∠BCF＝∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等邊三角形．（4）∵△CHF為等邊三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD．GAGGAGAGGAFFFFAFAF13.連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，在△BCE與△ACE中，AC＝BCAE＝BECE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS），∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE與△BCE中，GAGGAGAGGAFFFFAFAFBD＝BC∠DBE＝∠CBEBE＝BE，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．直角三角形1.B 設∠A=∠B=X,5X=180°所以∠A=∠B=36°2.D3.B ∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠AEB=90°∴∠DBF與∠DFB互余,∠EAF與∠AFE互余,而∠DFB=∠AFE∴∠DBF=∠EAF又∵BF=AC∴ΔBDF≌ΔCADGAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文檔∴BD=AD∴ΔABD是等腰直角三角形,∴∠ABD=45°5. 因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D6.C斜邊上的中線是斜邊的一半等腰直角三角形則斜邊上的高就是中線所以斜邊上的高是a/2填空 1. 30°或150°2. 15°或75° 3.4,10 (a-b)2=4，a2+b2=52，2ab=48，（a+b)2=a2+b2+2ab=100 5. 90度 6. 1 2 3 10.二分之根號2 11.135°35103 891F 褟N)21261 530D 匍39930 9BFA 鯺,m 39206 9926 餦25726 647E 摾oq23132 5A5C 婜R-GAGGAGAGGAFFFFAFAF。

北师大版八年级下册数学等腰三角形同步练习

1.1等腰三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）A．5 B．7.5 C．9 D．102．如图，AB∥CD，∠A＝70°，OC＝OE，则∠C的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°3．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4 D．34．如果等腰三角形的一个外角为140°，那么底角为（）A．40°B．60°C．70°D．40°或70°5．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，BA＝BC，DB＝DA，若∠BAC＝m，∠ADB＝n，则m 与n之间的关系是（）A．3m+n＝180°B．4m﹣n＝180°C．3m﹣n＝180°D．2m+n＝180°6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是（）A．∠ADB＝∠ACB+∠CAD B．∠ADE＝∠AEDC．∠B＝∠C D．∠BAD＝∠BDA8．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（）A．70°或40°B．40°或55°C．55°或70°D．70°9．已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm10．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍二、填空题11．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．12．如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝80°，则∠ADC等于°．13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．14．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于．15．在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB，若∠ACD＝42°，则∠BAC＝°．三、解答题16．如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．（1）求证：△AFD为等腰三角形；（2）若DF＝10cm，求DE的长．17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．18．已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：△ABD为等腰三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A 同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQ∥BC？。

(完整版)北师大版八年级下册等腰三角形练习题

北师大版八年级下册等腰三角形练习题进门考试一、选择题1.下列式子正确的是（）A．9=-B5=±2.3.①任何正数的两个平方根的和等于0；②任何实数都有一个立方根；③无限小数都是无理数；④实数和数轴上的点一一对应．A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE=5，BF=3，则CF的长是（）A．9 B．10C．12 D．155.在平面直角坐标系中，点M(-3，2)向右平移2个单位，向下平移3个单位后得点N，则点N的坐标是（）A．(1，1) B．(-1，1) C．(-1，-1) D．(1，-1)6.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点240m，他在水中实际游了510m，那么该河的宽度为（）A．450m B．350mC．270m D．650m7.关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能是（）A．B．C．D．8.如图，直线y1=kx+b与两坐标轴的正半轴相交，与直线y2=x-1相交于点M，且点M的横坐标为2，则下列结论：①k<0；②kb<0；③当x<2时，y1<y2，其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3B F CAEy 2=x -1y 1=kx+b2yxOM1.等腰三角形一、主要知识点1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一） 3、等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步选择专项练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步选择专项练习题（附答案）1．等腰三角形一边为6，另一边是方程4x﹣5＝7的根，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC 上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+αC．90°﹣αD．30°+α4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A．20°B．50°或70°C．70°D．20°或70°5．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E．若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．4C．6D．86．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AD，AC＝DC，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．46°7．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3B．4C．5D．68．如图，已知点A（2，2），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（）A．8B．9C．10D．1110．如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，DE过点I，且DE∥BC，若AB＝A．8B．9C．10D．1111．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，BD＝2，CD＝7，则AB长为（）A．4B．5C．6D．712．如图，DE＝11，FG＝3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．则BD+CE＝（）A．3B．11C．7D．813．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③14．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．615．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，A．B．4C．D．4.516．如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB＝120°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若AD＝2，则BE的长为（）A．2B．3C．4D．617．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE ＝2，下列结论错误的是（）A．∠ADE＝30°B．BD＝4C．△EFC的周长为18D．△ABC的周长为2118．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°．DE垂直平分AB，交BC于点E．若BE＝10cm．则AC＝（）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，点M，N在边AB上，CM＝CN．若MN＝2，则AM＝（）A．1B．2C．3D．420．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作EF ∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（）A．4B．2.5C．2D．1.522．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个23．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定参考答案1．解：∵4x﹣5＝7，∴x＝3，当腰3时，三角形的三边为3、3、6，此时构不成三角形；当腰为6时，三角形三边的长为3、6、6，此时周长为15；综上，该等腰三角形的周长为15．故选：B．2．解：∵BD为△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．3．解：∵∠A＝α，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠D＝∠B＝90°﹣，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠A+∠1＝∠D+∠2，∵∠1＝2∠2，∴α+2∠2＝90°﹣+∠2，∴∠2＝90°﹣α，∴∠EGF＝∠D+∠2＝90°﹣+90°﹣α＝180°﹣2α，故选：A．4．解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．故选：D．5．解：设∠C＝x，∵ED是AC的垂直平分线，∴∠EDA＝90°，EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∵∠BAE＝45°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+x，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°+x，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2（x+45°）+x＝180°，解得：x＝30°，∴∠EAC＝∠C＝30°，∵DE＝2，∴AE＝2DE＝4，故选：B．6．解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD＝x°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，∵∠C+∠ADC+∠CAD＝180°，∴5x°＝180°，∴x＝36，∴∠B＝36°，故选：B．7．解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD和△ABC是等腰三角形，∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，∴AD＝AE，BC＝BE，∴△ADE和△BEC是等腰三角形，∵AD＝BC，∴AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形，故选：C．8．解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA 为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的，故符合条件的点有4个．故选：B．9．解：如图所示：满足条件的点C有9个，故选：B．10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I，∴∠DBI＝∠CBI，∠ECI＝∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠BCI＝∠EIC，∴∠DBI＝∠DIB，∠ECI＝∠EIC，∴DB＝DI，EI＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故选：B．11．解：在CD上取一点E，使BD＝DE＝2，∵CD＝7，∴CE＝5，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝2∠C，∵∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝CE＝5，∴AB＝5，故选：B．12．解：∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECG＝∠BCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EGC＝∠ECG，∴∠DBF＝∠DFB，∠EGC＝∠ECG，∴BD＝DF，EG＝CE，∴BD+CE＝DF+EG＝DE﹣FG＝11﹣3＝8，故选：D．13．解：∵有两个角等于60°，则第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°，∴这个三角形是等边三角形，故①选项符合题意；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故②选项符合题意；∵三个外角都相等，∴三个内角也都相等，∴这个三角形是等边三角形，故③选项符合题意；∵一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，∴腰和底边相等，∴这个三角形是等边三角形，故④选项符合题意，∴正确的选项有①②③④，故选：A．14．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．15．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故选：B．16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∵DE⊥AB于E，∴在△ADE中，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝2，∴AE＝1，在△ABD中，AB＝2AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝3．故选：B．17．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°∵AE＝2，∴AD＝2AE＝BD＝4，故选项A，B正确，∴AB＝BC＝AC＝8，∴△ABC的周长为24，故选项D错误．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴△EFC的周长＝3×（8﹣2）＝18，故选项C正确，故选：D．18．解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA＝10cm，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AE＝5（cm），故选：C．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵CM＝CN，且MN＝2，∴DM＝MN＝1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝2，∴AM＝2﹣1＝1．故选：A．20．解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B ≥90°，故选：A．21．解：∵BD平分∠ABC，BE＝8，CF＝6，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED＝8，同理可得FD＝FC＝6，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC＝8﹣6＝2．故选：C．22．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．23．解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．。

北师大版八年级数学下册等腰三角形(提高)巩固练习含答案解析

【巩固练习】一.选择题1．如图，在△ABC 中，若 AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 等于()．A ．30°B ．36°C ．45°D ．54° 2．用反证法证明：a ，b 至少有一个为 0，应假设（）A. a ，b 没有一个为 0B. a ，b 只有一个为 0C. a ，b 至多有一个为 0D. a ，b 两个都为 03. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于 F ，过 F 作 DE∥BC ，交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，那么下列结论正确的有( ①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF.A ．1 个B ．2 个 D ．4 个)C ．3 个 4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A ．顶角的一半B ．底角的一半C ．90°减去顶角的一半D ．90°减去底角的一半5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，ED⊥AB 于 D ．如果∠A=30°，AE=6cm ，那么 CE 等于（）A ． cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是（）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7二.填空题7．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则 a≠b ．”时，应假设,则其余两边长分别为________.．． 9. 等腰三角形的周长为 22cm ，其中一边的长是 8cm10.（2015 春•盐城校级月考）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm ，BC=4cm ．动点 D 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿射线 AC 运动，当 t= 等腰三角形．时，△ABD 为 11．如图，钝角三角形纸片 ABC 中，∠BAC ＝110°，D 为 AC 边的中点．现将纸片沿过点 D 的直线折叠，折痕与 BC 交于点 E ，点 C 的落点记为 F ．若点 F 恰好在 BA 的延长线上，则∠ ADF ＝_________°．12. 如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点 D 、E 分别在 AC 和 AB 上，且 AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°．三.解答题13. 用反证法证明：一条线段只有一个中点．14．（2016 秋•宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x ，2x ﹣3，4x ﹣6，求这个三角形的周长．15.（2015 秋•东台市期中）如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=6cm ，若动点 P 从点C 开始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒 1cm ，设出发的时间为 t 秒．（1）出发 2 秒后，求△ABP 的周长．（2）问 t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？（3）另有一点 Q ，从点 C 开始，按 C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒 2cm ，若 P 、Q两点同时出发，当 P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 t 为何值时，直线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；x 【解析】设∠A ＝ x ，则由题意∠ADE ＝180°－2 x ，∠EDB ＝，∠BDC ＝∠BCD ＝90°－ 2x ，因为∠ADE ＋∠EDB ＋∠BDC ＝180°，所以 x ＝45°. 22. 【答案】A ；【解析】由于命题：“a ，b 至少有一个为 0”的反面是：“a ，b 没有一个为 0”，故选 A.3. 【答案】C ；【解析】①②③正确.4. 【答案】A ；【解析】解： △ ABC 中， ∵ AB=AC ，BD 是高， 180A∴ ∠ ABC= ∠C= 2 180 A A 在 Rt △ BDC 中， ∠ CBD=90 °-∠ C=90 °- 故选 A ．= . 2 25. 【答案】C ；【解析】解：∵ED⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2ED ，∵AE=6cm ，∴ED=3cm ，∵∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，∴ED=CE ，∴CE=3cm ；故选：C ．6. 【答案】D;【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．二.填空题7.【答案】69°或21°；【解析】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．8.【答案】a=b；【解析】a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b.9.【答案】7cm ，7cm或8cm，6cm；【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.10.【答案】5，6，；【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，有三种情况：①若AB=AD，则t=5；②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，即（t﹣3）+4=t，222解得：t=，综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.12.【答案】15°；【解析】设∠A＝，∠BED＝∠EBD＝2，∠CBD＝120°－2，∠C＝∠BDC＝30°＋，x x x x而∠A＋∠C＝60°，所以＋30°＋＝60°，解得＝15°.x x x三.解答题13.【解析】已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M．14.【解析】解：①x=2x﹣3，则x=3，∴4x﹣6=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能构成三角形；②x=4x﹣6，则x=2，∴2x﹣3=1，∵1、2、2任意两边之和大于第三边，∴这个三角形的周长为1+2+2=5；③2x﹣3=4x﹣6，则x= ，∴2x﹣3=0，∴此三角形不存在．综上可知：这个三角形的周长为5．15．【解析】解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P 从点C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2 秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．∵∠C=90°，∴有勾股定理得PB=2 cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2 =（16+2 ）cm；（2）若P 在边AC 上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P 在AB 边上时，有两种情况：①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P 运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s 时△BCP为等腰三角形；②若CP=BC=6cm，过C 作斜边AB 的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P 运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP=CP 时，则∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC∴PA=PB=5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s 时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s 或12s 或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，∵直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，∵直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16=12，∴t=12，∴当t 为4 或12 秒时，直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分．9.【答案】7cm ，7cm或8cm，6cm；【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.10.【答案】5，6，；【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，有三种情况：①若AB=AD，则t=5；②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，即（t﹣3）+4=t，222解得：t=，综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.12.【答案】15°；【解析】设∠A＝，∠BED＝∠EBD＝2，∠CBD＝120°－2，∠C＝∠BDC＝30°＋，x x x x而∠A＋∠C＝60°，所以＋30°＋＝60°，解得＝15°.x x x三.解答题13.【解析】已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M．14.【解析】解：①x=2x﹣3，则x=3，∴4x﹣6=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能构成三角形；②x=4x﹣6，则x=2，∴2x﹣3=1，∵1、2、2任意两边之和大于第三边，∴这个三角形的周长为1+2+2=5；③2x﹣3=4x﹣6，则x= ，∴2x﹣3=0，∴此三角形不存在．综上可知：这个三角形的周长为5．15．【解析】解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P 从点C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2 秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．∵∠C=90°，∴有勾股定理得PB=2 cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2 =（16+2 ）cm；（2）若P 在边AC 上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P 在AB 边上时，有两种情况：①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P 运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s 时△BCP为等腰三角形；②若CP=BC=6cm，过C 作斜边AB 的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P 运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP=CP 时，则∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC∴PA=PB=5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s 时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s 或12s 或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，∵直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，∵直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16=12，∴t=12，∴当t 为4 或12 秒时，直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分．9.【答案】7cm ，7cm或8cm，6cm；【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.10.【答案】5，6，；【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，有三种情况：①若AB=AD，则t=5；②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，即（t﹣3）+4=t，222解得：t=，综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.12.【答案】15°；【解析】设∠A＝，∠BED＝∠EBD＝2，∠CBD＝120°－2，∠C＝∠BDC＝30°＋，x x x x而∠A＋∠C＝60°，所以＋30°＋＝60°，解得＝15°.x x x三.解答题13.【解析】已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M．14.【解析】解：①x=2x﹣3，则x=3，∴4x﹣6=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能构成三角形；②x=4x﹣6，则x=2，∴2x﹣3=1，∵1、2、2任意两边之和大于第三边，∴这个三角形的周长为1+2+2=5；③2x﹣3=4x﹣6，则x= ，∴2x﹣3=0，∴此三角形不存在．综上可知：这个三角形的周长为5．15．【解析】解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P 从点C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2 秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．∵∠C=90°，∴有勾股定理得PB=2 cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2 =（16+2 ）cm；（2）若P 在边AC 上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P 在AB 边上时，有两种情况：①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P 运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s 时△BCP为等腰三角形；②若CP=BC=6cm，过C 作斜边AB 的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P 运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP=CP 时，则∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC∴PA=PB=5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s 时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s 或12s 或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，∵直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，∵直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16=12，∴t=12，∴当t 为4 或12 秒时，直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分．。

北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形同步练习 (含解析)

1.1等腰三角形同步练习一．选择题1．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或172．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（）A．65°，65°B．80°，50°C．65°，65°或80°，50°D．不确定3．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．65．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM 的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.56．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．67．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对8．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设P A＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题11．已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于．12．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．13．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝度．14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝．15．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝°．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．18．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？参考答案一．选择题1．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；综合上述：三角形的周长是17，故选：C．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，故选：C．3．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．4．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．5．解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．6．解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故选：D．7．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故选：C．8．解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；故选：A．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．10．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：B．二．填空题11．解：∵等腰三角形的一个外角等于130˚，∴与其相邻的内角为50°．当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°．所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．13．解：∵BD＝BC，∠ACE＝25°∴∠BDC＝∠C＝25°∴∠ABD＝50°∵AD＝BD∴∠A＝∠ABD＝50°∴∠ADE＝∠A+∠C＝75°．故填75．14．解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵∠DAE＝60°∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC∴△ADC≌△BFC（SAS）∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF∴△DCE≌△FCE（SAS）∴DE＝EF∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，故答案为4.6．15．解：∵a∥b，∴∠1＝∠ACD，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，∴∠1＝36°．故答案为36．三．解答题16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．17．解：∵BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，设∠BCD＝∠CBD＝x°，∵AB＝BC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，∴∠ABC＝3∠C＝3x°，∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180，解得x＝36，∴∠C＝36°∴∠ABC＝3∠C＝108°．18．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．。

北师大版八年级下册数学等腰三角形专项训练(原创)

北师大版八年级下册数学等腰三角形专项训练（原创) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 中，,AB AC =延长BC 至点,D 恰好使得,CA CD =若84BAD ∠=︒，则B 为（）A ．32B ．48C ．52D ．64 2．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70° 3．一个等腰三角形的三边长分别为21x -、1x +、32x -,该等腰三角形的周长是（） A ．10或4 B ．10或7 C ．4或7 D ．10或4或7 4．若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（）A ．80°B ．50°C ．80°或50°D ．80°或20° 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个6．已知等腰三角形的两边长x ，y 满足2|4|(8)0x y -+-=，则这个等腰三角形的周长为（）A ．16B ．20C ．16或20D ．以上都不对 7．如图，已知 AB ＝AC ＝BD ，则∠1与∠2的关系是（）A ．3∠1﹣∠2＝180°B ．2∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．∠1＝2∠28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠ACB ＝60°，AB ＝16，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ACB 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（）A B ． C ．163 D ．二、填空题10．有两边相等的三角形的一边是7，另一边是4，则此三角形的周长是_____． 11．等腰三角形的一个底角为50︒，则它的顶角的度数为__________．12．有一个顶角为30°的等腰三角形,若腰长为4，则腰上的高是________13．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，32BC =，AB =_______．14．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长度为_______cm ． 15．在ABC 中，AB AC =，60A ∠=︒，6BC =，则AB =____．三、解答题16．已知：如图，AB AC =，DE AC ，求证：DBE 是等腰三角形．17．已知：如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，AD BC =，E 是AB 上一点，且AE CD =，60B ∠=，求证：EBC ∆是等边三角形.18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 边上，AD AC =，过点B 作BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ．（1）求BCD ∠的度数；（2）求证：2CD BE =．19．如图，以平行四边形ABCD 的边DC BC 、分别做等边BCE ∆和等边CDF ∆．（1）求证：AE AF =；（2）求EAF ∠的度数．20．已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH的形状并说明理由．21．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．参考答案1．D【来源】重庆市西南大学附中2018-2019学年七年级下学期期末数学试题【解析】【分析】根据等边对等角可得CAD D ∠=∠，再通过三角形外角的性质可得2ACB CAD D D =+=∠∠∠∠，再根据等边对等角可得2B ACB D ==∠∠∠，再根据三角形内角和定理求出32D ∠=︒，即可求出B 的度数．【详解】∵CA CD =∴CAD D ∠=∠∴2ACB CAD D D =+=∠∠∠∠∵AB AC =∴2B ACB D ==∠∠∠∵84BAD ∠=︒∴180180284BAD B D D D ∠=︒--=︒--=︒∠∠∠∠∴32D ∠=︒∴264B D ==︒∠∠故答案为：D ．【点睛】本题考查了三角形内角的度数问题，掌握等边对等角、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键．2．B【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB ）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．【详解】∵AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB ）=70°． ∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．3．B【来源】湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题【解析】【分析】三边的长度都不清楚，所以需要讨论三种情况，然后找出能组成三角形的组合，算出答案.【详解】解：若21x -=1x +，则x=2，则三边为3,3,4，符合条件，周长为10；若21x -=32x -，则x=1，则三边为1，1，2 无法构成三角形.若1x +=32x -，则x=32，则三边为52，52，2，符合条件，周长为7；综上该等腰三角形的周长为10或7.【点睛】求三角形的周长一定要注意三边能否构成三角形.4．C【来源】【区级联考】山东省枣庄市薛城区2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，分两种情况解答本题即可得到答案.【详解】①当80°为顶角时，底角=()18080250︒︒︒-÷=，②当80°为底角时，底角为80°，∴底角为 80°或50°，故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及分类讨论思想.分两种情况讨论是解答本题的关键. 5．C【来源】2014-2015学年四川省自贡赵化中学八年级上学期第三次段考数学试卷（带解析)【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①AB 的垂直平分线交AC 一点P 1（PA=PB ），交直线BC 于点P 2；②以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有二点P 3，P 4，交BC 有一点P 2，（此时AB=AP ）； ③以B 为圆心，BA 为半径画圆，交BC 有二点P 5，P 2，交AC 有一点P 6（此时BP=BA ）． 2+（3-1）+（3-1）=6，∴符合条件的点有六个．故选C ．6．B【来源】山西省运城市芮城县2018-2019学年七年级下学期期末数学试题【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】根据题意得，x−4＝0，y−8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4＋4＝8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4＋8＋8＝20．所以，三角形的周长为20．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．7．A【来源】湖北省武汉市洪山区2018-2019学年八年级上学期期中调研考试数学试卷（word)【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1 和∠C 之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1 和∠2 之间的关系．【详解】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．8．A【来源】山东省德州市武城县实验中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题【解析】【分析】由等边对等角可求出∠ABC=∠ACB=72°，再根据角平分线与三角形外角性质求出图中其余角度，在图中标注出角度，根据相等的角找出等腰三角形即可得解．【详解】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°∴∠ABC=∠ACB=()1180A 2-∠=72° ∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，∠ACE=∠BCE=12∠ACB=36° ∴∠CDE=∠A+∠ABD=72°，∠CED=∠BCE+∠CBD=72°，在图中标注如下：等腰三角形有：△ABC ，△ABD ，△BCE ，△CDE ，△BCD ，总共5个，故选A.【点睛】本题考查等腰三角形的判断，根据三角形内角和与外角性质求出角度是关键.9．C【来源】广东省汕头市潮南区两英镇2018-2019学年八年级期末数学试题【解析】【分析】在Rt △ABD 中，利用等腰直角三角形的性质列方程求解可求出AD 和BD 的长度，在Rt △ADC 中；根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质可列方程解出CD ，同理可得DE 的长度，再利用AE=AD −DE 即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，即△ABD 、△ADC 和△CDE 为直角三角形，在Rt △ABD 中，∵∠ADB =90°，AB =16，∠B =45°，∴∠B=∠BAD =45°，则AD =BD ，设AD =BD=x ，由勾股定理得：22216+=x x ，解得：=x AD =BD=在Rt △ADC 中，∵∠ADC =90°，∠ACD =60°，AD =∴∠CAD =30°，则12CD AC =，设CD =x ，则AC =2x ，由勾股定理得：222(2)+=x x ，解得：3=x ，即CD 3=， ∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD =30°，在Rt △CDE 中，同理得：DE =，∴AE =AD ﹣DE =3=3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，根据勾股定理构造方程是解题的关键．10．15或18【来源】北京交大附中2018-2019学年七年级下学期期末数学试题【解析】【分析】有两边相等的三角形是等腰三角形，由于不确定哪边是底，哪边是腰，故分两种情况讨论，并结合构成三角形的三边的关系，即可得解．【详解】若7为底，则三边为7，4，4，由于4+4>7，故可以构成三角形，周长为15；若4为底，则三边为4，7，7，也可以构成三角形，周长为18．故答案为：15或18．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分类讨论哪边为底哪边为腰是解题关键．11．80【来源】四川省成都市2018年中考数学试题【解析】分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．详解：∵等腰三角形底角相等，∴180°-50°×2=80°，∴顶角为80°．故答案为80°．点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．12．2【来源】上海市静安区实验中学九年级下学期沪教版五四制第一轮复习直角三角形【解析】【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，∵AC=AB=4，∠A=30°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴BD=12AB=2，故答案为2．【点睛】此题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．3【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2017-2018学年八年级下学期期末数学试题【解析】【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝32，∴AB＝2BC＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．14．4【来源】福建省平潭县2018-2019学年八年级上学期期中数学试题【解析】【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可.【详解】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm，∴该直角三角形斜边长度为4cm，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.15．6【来源】吉林省名校2019-2020学年八年级上学期期中调研A数学试题【解析】【分析】根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】=AB AC∴是等腰三角形ABC∠=︒A60∴等腰ABC是等边三角形∴==AB BC6故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．16．见解析【来源】北京市第一六六中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题【解析】试题分析：根据等角对等边即可证明.试题解析：=，证明：∵AB AC∠=∠，∴B C∵DE∥AC，∠=∠=∠，∴C ADE B=，∴DB DE∴DBE 为等腰三角形．17．见解析.【来源】安徽省宿州市萧县2018-2019学年八年级下学期期末数学试题【解析】【分析】由已知条件证得四边形AECD 是平行四边形，则CE=AD ，从而得出CE=CB ，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证得结论.【详解】证明：//CD AB ，AE CD =，∴四边形AECD 是平行四边形，CE AD ∴=，AD BC =，BC EC ∴=60B ∠=，BEC ∴∆是等边三角形.【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等边三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.18．（1）22.5︒；（2）见解析【来源】广西壮族自治区贵港市覃塘区2018-2019学年八年级下学期期中数学试题【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可；（2）过点作AF CD ⊥于点F ，得出122.52CAF BAC ∠=∠=︒，因此，22.5BCE CAF ∠=∠=︒，再证明BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，然后即可证明结论．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴45BAC ABC ∠=∠=︒，∵AD AC =， ∴()11804567.52ACD ADC ︒︒∠=∠=⨯-=︒， ∴9067.522.5BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）证明：如图，过点作AF CD ⊥于点F ．∵AD AC =，45BAC ∠=︒， ∴122.52CAF BAC ∠=∠=︒， ∴22.5BCE CAF ∠=∠=︒，又BE CD ⊥，∴90AFC BEC ∠=∠=︒，∵BC AC =，∴BCE CAF ≌△△，∴BE CF =，又12CF DF CD ==， ∴2CD BE =．【点睛】本题考查的知识点是三角形的内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，根据图形找准各角之间的数量关系是解此题的关键．19．（1）见解析（2）60°【来源】河南省洛阳市高新区三山学校2018-2019学年八年级下学期期中数学试题【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD ，BC=AD ，∠ABC=∠ADC ，根据等边三角形的性质得出DC=DF ，BC=BE ，∠EBC=∠CDF=60°，求出AB=DF ，BE=DA ，∠ABE=∠FDA ，根据SAS 推出△ABE ≌△FDA 即可．（2）连结EF ，设∠ABC=α，则∠BCD=180°-α，通过图形上角的关系，用α表示出∠FCE ，∠ABE 即可得到关键条件∠ABE=∠FCE ，再用同（1）的方法证明△ABE ≌△FCE ，得到EF=AE ，进一步得到AE=AF=EF ，△AEF 为等边三角形求得EAF ∠=60°. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，BC=AD ，∠ABC=∠ADC ，∵△BCE 和△CDF 为等边三角形，∴DC=DF ，BC=BE ，∠EBC=∠CDF=60°，∴AB=DF ，BE=DA ，∠ABE=∠FDA ，在△ABE 和△FDA 中AB DF ABE FDA BE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△FDA （SAS ），∴AE=AF ．（2）连结EF ，设∠ABC=α，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD=180°-α， ∴∠FCE=360°-∠BCE-∠DCF-∠BC,D=360°-60°-60°-(180°-α)= 60°+α，而∠ABE=∠CBE+∠ABC=60°+α，∴∠ABE=∠FCE ，又∵△BCE 和△CDF 为等边三角形，∴EC=BE ，CF=CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∴CF=AB ，在△ABE 和△FCE 中AB CF ABE FCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△FCE(SAS),∴EF=AE,∴AE=AF=EF,∴△AEF 为等边三角形，∴EAF ∠=60°【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．20．①证明见解析②证明△BCF≌△ACH；③△CFH 是等边三角形【来源】人教版八年级上册数学第13章13.3.2《等边三角形》【同步练习】【解析】试题分析：①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE ≌△ACD ；②利用△BCE ≌△ACD 得出∠CBF=∠CAH ，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH 进而得出△BCF ≌△ACH 因此CF=CH ．③由CF=CH 和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH 是等边三角形．试题解析：①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ．又BC=AC 、CE=CD ，∴△BCE ≌△ACD ．②∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF=∠CAH ．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．21．(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【来源】湖北省孝感市八校联谊2017-2018学年八年级上12月联考数学试卷含答案【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解：(1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩①② -②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩①② -①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①② -①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．。

新北师大八下数学下册第一章等腰三角形习题(共4课时)含答案

第1课时等腰三角形的有关概念知识要点基础练知识点1全等三角形1.(成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是SSS.知识点2等腰三角形的性质3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D)A.15 cmB.15 cm或16 cmC.17 cmD.16 cm或17 cm4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为(D)A.30°B.75°C.75°或105°D.30°或75°知识点3等腰三角形三线合一5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C)A.5B.6C.8D.106.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=4.综合能力提升练7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B'的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是(D)A.是边BB'上的中线B.是边BB'上的高C.是∠BAB'的平分线D.以上三种性质都有8.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是(B)A.20°B.30°C.35°D.40°9.若实数m,n满足等式|m-4|+-=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两边的边长,则△ABC的周长是(B) A.22 B.20C.16D.20或1610.(张家界中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为15°.11.如图,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,M是CD的中点.求证:AM⊥CD.证明:连接AC,AD.在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD,∴△ACD是等腰三角形.∵M是CD的中点,∴由三线合一知AM⊥CD.12.如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.解:过点E作EG∥AC交BC于点G,∴∠F=∠DEG,∠EDG=∠FDC,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠B=∠EGB,∴BE=EG.∵BE=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF.拓展探究突破练13.(常州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC;(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴△BEC≌△CDB,∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°.∵∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=100°.第2课时等腰三角形的有关性质知识要点基础练知识点1等腰三角形中相等的线段1.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,BE,CD交于点O.若AB=AC,BE是边AC上的中线,且BE=CD,则线段CD(D)A.是边AB上的中线B.是边AB上的高线C.是∠ACB的平分线D.不一定是边AB上的中线2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2BM,AN=2NC.求证:DM=DN.证明:∵AM=2MB,∴AM=AB.同理AN=AC.又∵AB=AC,∴AM=AN.∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.在△AMD和△AND中,∴△AMD≌△AND(SAS),∴DM=DN.知识点2等边三角形的性质3.(福建中考)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)A.15°B.30°C.45°D.60°4.如图所示,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC 的度数为(A)A.60°B.45°C.40°D.30°5.边长为 6 cm的等边三角形中,其一边上高的长度为3cm.6.如图,在等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线上一点,CE=CD,DM⊥BC于点M.求证:M是BE的中点.证明:连接BD.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵CD=CE,∴∠CDE=∠E=30°.∵BD是AC边上的中线,∴BD平分∠ABC,即∠DBC=30°,∴∠DBE=∠E,∴DB=DE,又∵DM⊥BE,∴DM是BE边上的中线,即M是BE的中点.综合能力提升练7.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(A)A.顶角的一半B.底角的一半C.90°减去顶角的一半D.90°减去底角的一半8.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是(A)A.100°B.80°C.70°D.50°9.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,则下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是(B)A.3B.2C.1D.010.(徐州中考)边长为a的正三角形的面积等于a2.11.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下几个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③∠AOB=60°.恒成立的有①②③.(把你认为正确的序号都填上)12.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以PB为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.解:猜想:AP=CQ.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠PBQ=60°,∴∠ABC=∠PBQ,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中,∴△ABP≌△CBQ(SAS).∴AP=CQ.拓展探究突破练13.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内(如图2),点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不用证明.解:当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h仍然成立.理由:连接PA,PB,PC,则S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC,∴AB·PD+BC·PF+CA·PE=BC·AM,∴PD+PE+PF=AM,即h1+h2+h3=h.当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是h1+h2-h3=h.提示:∵S△PAB+S△PCA-S△PBC=S△ABC,∴AB·PD+CA·PE-BC·PF=BC·AM,∴PD+PE-PF=AM,∴h1+h2-h3=h.第3课时等腰三角形的判定知识要点基础练知识点1等腰三角形的判定1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)A.∠A=3°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为182.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是(B)A.(4,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)3.(桂林中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是3.知识点2反证法4.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应假设(D)A.a∥bB.a与b垂直C.a与b不一定平行D.a与b相交5.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,应先假设(B)A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中每一个内角都小于60°C.三角形中有一个内角大于60°D.三角形中每一个内角都大于60°综合能力提升练6.如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为(A)A.5B.6C.7D.87.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设a=b.8.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是等腰直角三角形.9.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是①②③④.(写出所有正确答案的序号)①∠BAD=∠CAD;②BD=CD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.10.如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.解:△AFC是等腰三角形.理由:∵∠BAD=∠BCE,∠B=∠B,BD=BE,∴△ABD≌△CBE,∴AB=CB,∴∠BAC=∠BCA,∴∠FAC=∠FCA,∴△AFC是等腰三角形.拓展探究突破练11.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E.(1)求证:△ADE是等腰三角形;(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.解:(1)∵BD=AB,∴∠BAD=∠BDA.∵DE⊥BC,∴∠BDE=90°.又∵∠BAC=90°,∴∠EAD=∠EDA,∴△ADE是等腰三角形.(2)还有三个等腰三角形:△ABD,△ABC,△CDE.第4课时等边三角形的判定知识要点基础练知识点1等边三角形的判定1.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为(C)A.6B.8C.9D.122.如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截出AD=AE,则△ADE(C)A.不是等边三角形B.不一定是等边三角形C.一定是等边三角形D.无法判断3.如图,点D在BC上,点E在AD上,BE=AE=CE,并且∠BED=∠CED=60°.下列结论:①△ABC是等边三角形;②BD=CD;③BE平分∠ABC;④AD ⊥BC.其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2含30°角的直角三角形4.如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为(C)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=4 cm,则BC=2cm.综合能力提升练6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是(D)A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A 等于(B)A.25°B.30°C.45°D.60°8.(淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.4D.89.如图,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=60°.(1)OP=10时,△AOP为等边三角形;(2)OP=5或20时,△AOP为直角三角形.拓展探究突破练10.如图,△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.证明:由条件知∠ACD=120°,∴∠ACE=∠ECD=60°,在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠B=∠ACE,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AE=AD,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE是等边三角形.。

北师大版八年级数学下册《等腰三角形》习题精选

《等腰三角形》习题精选一、选择题（1）等腰三角形中的一个角等于，则另两个内角的度数分别为（）（A），（B），（C），（D），或，（2）等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角分别为（）（A），，（B），，（C），，（D），，或，，（3）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大，那么顶角为（）（A）（B）（C）（D）（4）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）（A）顶角（B）顶角的一半（C）顶角的2倍（D）底角的一半（5）在下列命题中，正确的是（）（A）等腰三角形是锐角三角形（B）等腰三角形两腰上的高相等（C）两个等腰直角三角形全等（D）等腰三角形的角平分线是中线（6）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（）（A）（B）（C）（D）或（7）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（）（A）（B）（C）（D）或（8）在中，，若的周长为24，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（9）在中，，若的周长为24，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（10）三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形（11）如图，已知.那么（）（A）（B）（C）（D）（12）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为（）（A）（B）（C）或（D）以上答案都不对（13）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）（A）底角大于相邻外角（B）底角小于或等于相邻外角（C）底角大于或等于相邻外角（D）底角小于相邻外角（14）已知的周长为，且，又，D为垂足，的周长为，那么AD的长为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（1）等边三角形的三个内角的度数分别为_______.（2）有一个底角为的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.（3）顶角为的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______.（4）有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.（5）有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.（6）如果中，，它的两边长为和，那么它的周长为________.（7）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为，那么它的三边长为______.（8）如果等腰三角形的周长为，那么它的底边的取值范围是_______.（9）等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.（10）已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为，则其顶角的度数为______.（11）等边三角形的周长为，则它的边长为________.（12）在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.（13）如图，，交BC于点D，，那么BC 的长为_________.（14）如图，在中，，BD是的角平分线，且，，则_______.（15）如图，在中，D是AC上的一点，且，，则_______，______，________.三、解答题（1）如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，求的度数.（2）如图，已知：在中，，，BD是的高，求的度数.（3）如图，已知：在中，，，，求的度数.（4）如图，已知：在中，D是AC上一点，且，.求：的度数.（5）如图，已知：在中, ，CD平分交AB于D点，若.求：的度数.（6）如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且，BE和CD相交于点P.求：的度数.（7）如图，已知：在中，，，点O在内，且，求：的度数.（8）如图，已知：在中，，，，.求：的度数.（9）如图，已知：在中，，.求：的度数.参考答案：一、选择题（1）A （2）D （3）D （4）B （5）B （6）D （7）C（8）C （9）C （10）C （11）D （12）B （13）D （14）C二、填空题（1），，（2），（3），（4），或，（5），（6）（7）或（8）（9）（10）（11）（12）90；36 （13）（14）（15）；；三、1．计算题（1）解：由，，得.∴，∴.（2）由，得又∵，∴（3）解：由条件易得，，，且∴，又∴∴（4）解：，∴，，∴（5）解：，∴，∴（6）解：易证，∴.（7）解：∵，∴∴（8）解：由已知条件易证.∴∴∴（9）解：，。

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形培优训练同步习题

等腰三角形培优训练同步习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A. B. C. D. 32．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．103．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）C. 2D. -1B. 1+24．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为＋＋A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题5．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上的任意一点，PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M、N，BD是AC边上的高，BD=10,则PM+PN=_________.6．如图，）ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则）CEF周长的最小值为______．7．如图，在△ABC中，AB=AC=BD）DA=DC，则∠B的度数是______.8．如图，△ABC中，AB＋14＋AM平分∠BAC＋∠BAM＋15°，点D＋E分别为AM＋AB的动点，则BD＋DE的最小值是______＋9．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2=4，则△A n B n A n+1的边长为__________．三、解答题10．已知△ABC中，AB）AC）BC）6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP）CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.11．＋1＋如图1，已知：在△ABC中，AB＋AC＋10＋BD平分∠ABC＋CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB＋AC于E＋F两点，则图中共有______个等腰三角形；EF与BE＋CF 之间的数量关系是_____＋△AEF的周长是___________＋＋2＋如图2，若将(1)中“△ABC中，AB＋AC＋10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB＋8＋AC＋10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE＋CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长＋＋3＋已知：如图3＋D在△ABC外，AB＋AC，且BD平分∠ABC＋CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB＋AC于E＋F两点，则EF与BE＋CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明12．如果经过三角形某一个顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形,那么我们称该三角形为等腰三角形的生成三角形,简称生成三角形.(1)如图,已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,试说明:△ABC是生成三角形;(2)若等腰三角形DEF有一个内角等于36°,请你画出简图说明△DEF是生成三角形.(要求画出直线,标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数)13．如图，△ABC中，AC＝BC＝10 cm，AB＝12 cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P 从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2 cm，设运动时间为t秒．）1）求CD的长）（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？14．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰三角形ABC.(要求：1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上；3、只需画出图形即可，不写画法；4）标．上字母．．．，．每漏标一个扣．．．．．．1．分．）)15．如图）已知∠AOB）点P是∠AOB内部的一个定点）点E）F分别是OA）OB上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小）试在图上确定点E）F的位置．(2)若OP）4）要使得△PEF的周长的最小值为4）则∠AOB）________）16．如图，已知点B＋C＋D在同一条直线上，＋ABC和＋CDE都是等边三角形.BE交AC于F＋AD交CE于H＋＋求证：＋BCE＋＋ACD＋＋求证：CF=CH＋＋判断＋CFH的形状并说明理由＋参考答案1．C【解析】如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC 中，利用勾股定理，可求出S △ABC =12 故选：C ．点睛：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．2．B【解析】延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF ∥BC ，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8．故选B.点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和30°直角三角形的性质，正确作出辅助线，求得MN 的长是解决问题的关键．3．B【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为2；第一次折叠后，，腰长为12，所以周长为11122++=+. 故答案为B.4．B【解析】由等边三角形的性质得，点B ，C 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点P ，则EP+CP=BE 最小，又BE=AD ，所以EP+CP 的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.5．10【解析】解：如图，连接AP ．∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12AC •BD =12AB •PM +12AC •PN ．∵AB =AC ，∴PM +PN =BD ．∵BD =10，∴PM +PN =10．点睛：本题考查了等腰三角形的性质）三角形的面积）作辅助线把）ABC 分成两个三角形是解题的关键．6．6【解析】如图，因为90ADC ABC ∠=∠=︒，所以分别作点C 关于AD 、AB 的对称点M 、N ，连接MN ，MN 与AD 交于点E ，与AB 交于点F ，连接CE 、CF ，则此时△CEF 的周长最小，连接AC ，交MN 于点P ，由作图可知CE=ME 、CF=FN ，∴△CEF 的周长：CE+CF+EF=MN ，∵△ABD 是等边三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，∴CD=CB ，∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=12∠DAB=30°，∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，∴MN=2MP=6，即△CEF周长的最小值是6，故答案为：6.【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及到等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键.7．36°【解析】试题解析：设∠B=x）∵AB=AC）∴∠C=∠B=x）∵DA=DC）∴∠C=∠DAC=x）∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x）∵AB=BD）∴∠ADB=∠BAD=2x）在△ABD中，∠B=x）∠ADB=∠BAD=2x）∴x+2x+2x=180°）解得x=36°）∴∠B=36°）故选C.8．7【解析】作点E关于AM的对称点H，则DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，当BH⊥AC 时，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂线段BH的长.因为∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7.故答案为7.9．2n【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∵∠MON=30°，∵OA2=4，∴OA1=A1B1=2，∴A2B1=2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，以此类推△A n B n A n+1的边长为2n．故答案为：2n．点睛：本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．10．（1）CD＝32；（2）线段DE的长度保持不变，理由见解析.【解析】）1）过P点作PF∥AC交BC于F，即可构成小等边三角形BPF，再证明△PFD≌△QCD 即可求解；）2）根据（1）分两种情况：点P在线段AB上时，点P在BA的延长线上时分别求解即可得出结论.解：）1）过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P为AB的中点，∴BP＝12A B＝3，∵AB）AC）BC ）∴∠B）∠ACB）∠BAC）60°）∵PF∥AC）∴∠PFB）∠ACB）60°）∠BPF）∠BAC）60°）∴△PBF是等边三角形）∴BF）FP）BP）3）∴FC）BC）BF）3）由题意，BP）CQ）∴FP）CQ，∵PF∥AC）∴∠DPF）∠DQC，又∠PDF）∠QDC）∴△PFD≌△QCD，∴CD＝DF＝12FC＝32；）2）当点P）Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变）分两种情况讨论：①当点P在线段AB上时）过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB）PF，∵PE⊥BC）∴BE）EF，由（1）知△PFD≌△QCD）CD）DF，∴DE＝EF＋DF＝12BC＝3，②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE）3）∴当点P）Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定、性质和等边三角形的性质.综合运用已知条件并构造辅助线是解题的关键.11．＋1＋5＋BE＋CF＋EF＋C△AEF＋20＋(2) 2＋EF＋BE＋CF＋C△AEF＋18＋(3) EF＋FC＋BE【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义可得＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD，然后求出＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD，再根据等角对等边可得BE=DE＋CF=DF，然后解答即可；＋2）根据角平分线的定义可得＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD，然后求出＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD，再根据等角对等边可得BE=DE＋CF=DF，然后解答即可；＋3）由（2）知BE=ED＋CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE＋CF＋EF有怎样的数量关系．试题解析：解：（1＋BE+CF=EF．理由如下：＋AB=AC＋＋＋ABC=＋ACB＋＋BD平分＋ABC＋CD平分＋ACB＋＋＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD＋＋＋DBC=＋DCB＋＋DB=DC＋＋EF＋BC＋＋＋AEF=＋ABC＋＋AFE=＋ACB＋＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD＋＋＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD＋＋BE=DE＋CF=DF＋AE=AF＋＋等腰三角形有＋ABC＋＋AEF＋＋DEB＋＋DFC＋＋BDC共5个，＋BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF＋＋AEF 的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20＋故答案为：5＋BE+CF=EF＋20＋＋2＋BE+CF=EF＋＋BD平分＋ABC＋CD平分＋ACB＋＋＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD＋＋EF＋BC＋＋＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD＋＋＋E BD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD＋＋BE=DE＋CF=DF＋＋等腰三角形有＋BDE＋＋CFD＋＋BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF＋＋AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18＋此时有两个等腰三角形，EF＋BE＋CF＋C△AEF＋18＋＋3＋BE＋CF=EF＋由（1）知BE=ED＋＋EF＋BC＋＋＋EDC=＋DCG=＋ACD＋＋CF=DF＋又＋ED＋DF=EF＋＋BE＋CF=EF＋点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．12．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得△ABD））ACD的形状，可得证明结论；（2）根据顶角是36°，可画底角的角平分线，可得答案，根据顶角是108°的等腰三角形，把顶角分成12，可得答案．试题解析：证明：过点A作AD）BC，垂足为D）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，））B=）BAD））C=）CAD）））ABD和△ACD是等腰三角形，∴△ABC是生成三角形；）2）如图：））DEG 与△EFG 都是等腰三角形，△DEF 是生成三角形．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角对等边是判定等腰三角形的方法． 13．（1）8；（2）1.8；（3）1.8或5；（3）当 2.5t =或3t =或 3.6t =或 6.4t =时，△ADP 是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）根据题意，运用等腰三角形的性质，求得AD 的长，再根据勾股定理求得CD 的长即可；（2）分两种情况进行讨论：当DP⊥AC 时，△ADP 是直角三角形，当PD⊥AD 时，△ADP 是直角三角形，分别根据相似三角形的性质求解即可；（3）分三种情况进行讨论：当PA=PD 时，当AP=AD 时，当AD=PD 时，分别做辅助线构造三角形，运用速度、路程、时间的关系，求得t 的值即可. 试题解析：解：（1））AB ）12 cm ）点D 是AB 的中点 ∴162AD AB cm == ）AC ）BC ，点D 是AB 的中点 ∴CD AB ⊥在Rt ADC ∆中， 8CD ===（2）当APD ∆为直角三角形时，有两种情况，分别为：①当90APD ∠=︒时，即点P 在AC 边上由1122AC DP AD CD ⋅=⋅，得68 4.810DP ⨯==在Rt APD ∆中， 3.6AP ==∴ 3.61.82AP t v === ②当90ADP ∠=︒时，点P 与点C 重合如图，此时， 1052AC t v ===（秒） ∴ 当t 为1.8秒或5秒时，△ADP 是直角三角形．（3）当 2.5t =或3t =或 3.6t =或 6.4t =时，△ADP 是等腰三角形． 14．答案见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．试题解析：解：如图所示：点睛：本题考查了对等腰三角形的性质和勾股定理的应用，主要培养学生的观察能力和画图能力，题型较好，难度也不大． 15．(1) 作图见解析. (2)30° 【解析】试题分析：（1）分别作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E）OB 于F. ）2）由轴对称的性质知OP=OC）OP=OD ，且）PEF 周长的最小值是CD ，所以dqga4OCD 是等边三角形，而）COD=2∠EOF ，由此即可求解.试题解析：(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E）OB于F.此时，△PEF的周长最小．(2)根据轴对称的性质得，OC=OP=OD））COE=∠POE，∠DOF=∠POF，）PEF的周长的最小值=CD）因为OP=4）△PEF的周长的最小值为4）所以）OCD是等边三角形.因为∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，所以∠PEF=12∠COD=30°.16．＋证明见解析②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形【解析】试题分析：①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．③由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．试题解析：①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又BC=AC、CE=CD，∴△BCE≌△ACD．②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．。

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》知识点分类练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》知识点分类练习题（附答案）一．等腰三角形的性质1．等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（）A．12B．16C．20D．16或202．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OA'A的度数为（）A．33°B．37°C．43°D．47°3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（）A．50°B．27°C．64°或27°D．63°或27°4．若实数m、n满足等式+|n﹣4|＝0．且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC的度数为．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于．7．如图，在等腰△ABC中，∠A＝56°，AB＝AC．在边AC上任取一点A1，延长BC到C1，使A1C＝CC1，得到△A1CC1；在边A1C1上任取一点A2，延长CC1到C2，使A2C1＝C1C2，得到A2C1C2，…，按此做法继续下去，则∠A2022C2022C2021的度数是（）A．×62°B．×62°C．×62°D．×62°8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）若∠E＝24°，求∠B；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．9．如图，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC内一点，OD是AB的垂直平分线，OF⊥AC，OD＝OF．（1）当∠DOF＝126°时，求：∠OBC的度数．（2）判断△AOC的形状，并证明．二．等腰三角形的判定10．如图，已知点P是射线MN上一动点，∠AMN＝35°，当∠A为时，△AMP 是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．三．等腰三角形的判定与性质12．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A ＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.513．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．四．等边三角形的性质14．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．五．等边三角形的判定15．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C 向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？六．等边三角形的判定与性质16．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．17．如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．七．含30度角的直角三角形18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB 于点E．若DB＝12cm，则AC＝（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm19．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或15°B．75°C．15°D．75°和30°20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为30°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．21．已知△ABC为等边三角形，且边长为4，P为BC上一动点，且PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E两点，则PD+PE＝．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长．八．反证法23．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（）A．AC＞BC B．AC＜BC C．∠A＝∠B D．AC＝BC24．用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设．25．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中．26．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中．参考答案一．等腰三角形的性质1．解：当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当8为腰时，三边为8，8，4，符合三角形三边关系定理，周长为：8+8+4＝20．故选：C．2．解：∵秋千旋转了86°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′＝86°，OA＝OA′，∴∠OAA'＝（180°﹣86°）＝47°．故选：D．3．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．4．解：∵+|n﹣4|＝0．，∴+|n﹣4|＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，∴m＝2，n＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，∴4+4+2＝10；综上所述：△ABC的周长是10．故答案为：10．5．解：∵∠BAC＝50°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣50°＝130°，又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，∴∠PBA＝∠PCB，∴∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC＝130°×＝65°，∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．6．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∴2∠1＝2∠3+∠A，∵∠1＝∠3+∠D，∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．故答案为：15°．7．解：∵∠A＝56°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝62°，∵A1C＝CC1，∴∠A1C1C＝∠C1A1C＝∠ACB＝×62°，∵A2C1＝C1C2，∴∠A2C2C1＝∠C2A2C1＝∠A1C1C＝（）2×62°，同理，∠A3C3C2＝∠C3A3C2＝∠A2C2C1＝（）3×62°，∴∠A2022C2022C2021＝（）2022×62°．故选：C．8．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝24°，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；（2）在Rt△ADB中，，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，∴．9．（1）解：∵∠DOF+∠BAC＝180°，∠DOF＝126°，∴∠BAC＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝63°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠DAO＝∠BAC＝27°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠DAO＝27°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝63°﹣27°＝36°；（2）△AOC是等腰三角形，证明：∵OD＝OF，AO＝AO，∴Rt△ADO≌Rt△AFO（HL），∴AF＝AD＝AB，∵CA＝BA，∴AF＝AC，∴OF垂直平分AC，∴OA＝OC，∴△AOC是等腰三角形．二．等腰三角形的判定10．解：若△AMP为等腰三角形则有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三种情况，①当AM＝AP时，则有∠M＝∠APM＝35°，∴∠A＝110°；②当AM＝MP时，则∠A＝∠APM＝72.5°；③当MP＝AP时，则∠A＝∠AMN＝35°，综上可知∠A为110°或72.5°或35°，故答案为：110°或72.5°或35°．11．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．三．等腰三角形的判定与性质12．解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCE，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDB≌△CDE（ASA），∴BD＝DE，CE＝BC＝6，即△BCE为等腰三角形，∴AE＝AC﹣CE＝4，又∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE，∴，故选：C．13．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案为：12；四．等边三角形的性质14．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，∵∠DAE＝80°，∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．五．等边三角形的判定15．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．六．等边三角形的判定与性质16．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴CD＝CF．17．证明：（1）∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠C＝60°．∵AB＝AC，AE＝CD，∴△ADC≌△BEA．（2）∵△ADC≌△BEA，∴∠ABE＝∠CAD．∵∠CAD+∠BAD＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°．∴∠BPQ＝60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ．七．含30度角的直角三角形18．解：如图，连接AD，∵DE是AB的垂直平分线，DB＝12cm，∴DA＝DB＝12cm，∵∠B＝15°，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在△ACD中，∠C＝90°，∴．故选：C．19．解：分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，∴这个等腰三角形的底角是75°；当等腰三角形为钝角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∴∠ABC+∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°，∴这个等腰三角形的底角是15°；综上所述：这个等腰三角形的底角是75°或15°，故选：A．20．解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．21．解：连接AP，过A点作AF⊥BC于F，∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴BC•AF＝AB•PD﹣AC•PE，∵△ABC为等边三角形，且边长为4，∴AB＝AC＝BC＝4，BF＝CF＝BC＝2，∴AF＝＝2，∴×4×2＝×4PD﹣×4PE，∴PD+PE＝2．故答案为：2．22．解：连接AE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∵直线ED是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝6，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，∴BE＝2AE＝12，∴线段BE的长为12．八．反证法23．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，先假设AC＝BC．故选：D．24．解：用反证法证明“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设|a|≥2．故答案为：|a|≥2．25．解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，第一步假设直角三角形中每个锐角都大于45°，故答案为：每个锐角都大于45°．26．解：反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，假设这个三角形中每一个内角都大于或等于45°，故答案为：每一个内角都大于或等于45°．。

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm 2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长（）A．B．1C．2D．5．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．4B．5C．6D．5.56．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE＝10，则DF等于（）A．5B．4C．3D．27．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（）A．AC＞BC B．AC＜BC C．∠A＝∠B D．AC＝BC8．如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有（）个．A．8B．7C．6D．59．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．60°B．80°C．70°D．100°10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°二．填空题11．等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为84°，则等腰三角形的顶角大小为．12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为．13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝3cm，DE＝4cm，则CD＝cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是．15．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AB＝6，CD＝1，则BC的长为．16．如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝度；（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）若∠E＝24°，求∠B；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．20．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC 于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，，求BD的长．22．如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，O点在AC的垂直平分线，（1）求证：△BOC是等腰三角形；（2）若∠BAC＝80°，求∠BCO的度数．23．动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．24．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．2．解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：C．3．解：设∠C＝α，∵∠A＝∠B＝2∠C，∴∠A＝∠B＝2α，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2α+2α+α＝180°，∴α＝36°，∴∠A＝∠B＝72°，∴该三角形是等腰三角形．故选：A．4．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故选：B．5．解：过点P作PD⊥OB于点D，∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝13，∴∠OPD＝30°，∴DO＝＝6.5，∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1，∴MO＝DO﹣MD＝6.5﹣1＝5.5．故选：D．6．解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠BAD＝15°，∴∠DEG＝15°×2＝30°，∴ED＝AE＝10，∴在Rt△DEG中，DG＝ED＝×10＝5，∴DF＝DG＝5．故选：A．7．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，先假设AC＝BC．8．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：C．9．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝50°，∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，∵直线l1∥l2，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，故选：C．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．二．填空题11．解：设∠ABC＝∠C＝2x°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠A＝180°﹣4x°，①当∠ADB＝84°时，在△ABD中，x+180﹣4x+84＝180，解得：x＝28，∴∠A＝180°﹣4×28°＝68°；②当∠CDB＝84°时，∵∠CDB＝∠A+∠ABD，∴84＝180﹣4x+x，解得：x＝32，∴∠A＝180°﹣4×32°＝52°；综上所述：∠A的度数为52°或68°，故答案为：52°或68°．12．解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∴∠BAC＝100°，∵∠ADE＝40°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，综上，∠BAD的度数为60°或30°，故答案为：60°或30°．13．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理∠ADE＝∠AED，∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE＝3cm，∴CD＝DE+CE＝4+3＝7（cm），故答案为：7．14．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠A＝60°，由作图可知AD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．故答案为：30°．15．解：分两种情况：当高AD在△ABC内时，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD+CD＝4；当高AD在△ABC外时，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝2；综上所述：BC的长为4或2，故答案为：4或2．16．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，可得2x＝，解得：x＝36°，则∠A＝36°；故答案为：36；（2）设∠C＝x．①当AD＝AE时，∵2x+x＝27°+27°，∴x＝18°．②当AD＝DE时，∵27°+27°+2x+x＝180°，∴x＝42°．所以∠C的度数是18°或42°．故答案为：18°或42°．三．解答题17．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝24°，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；（2）在Rt△ADB中，，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，∴．18．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°，∴∠ADC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°．19．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．20．（1）解：设∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度数为36°；（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠F AB＝72°，∴∠AFB＝∠F AC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．21．（1）证明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD＝DF＝．在Rt△CDE中，CE＝＝1．∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD＝＝＝2．22．（1）证明：∵D点是AB的中点，OD⊥AB于D，∴OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∵O点在AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OB＝OC，∴△BOC是等腰三角形；（2）解：∵OA＝OB，OA＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠OCA，∴∠ABO+∠ACO＝∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠BCO＝10°．23．解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s，∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，∴2t＝6﹣3t，∴t＝1.2，∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形．（2）①当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴PB＝BQ，∴2t＝（6﹣3t），∴t＝，②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BQ＝PB，∴6﹣3t＝×2t，∴t＝1.5，∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s．24．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x；（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠BAC＝180°﹣2y，∵∠BAD＝x，∴∠AED＝y+x，∴x．25．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．。

北师大版八年级下册数学《直角三角形与等腰三角形》练习题

等腰三角形和直角三角形一、填空题： 1．等腰三角形的，和互相重合。

2．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______． 3．直角三角形中,30度角所对的等于斜边的。

4. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC＝_____°．5．已知等腰三角形有两边的长度分别是3和6，那么这个等腰三角形的周长是 6．在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠B=700，则∠A= 度。

7．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A=1200，BC 边上的高线的长是5，则AB= 。

8．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的的顶角等于___________度。

9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是 .10．如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点， BC ＝3BD ，CE ⊥AD ，则CEAE=_______________。

11.已知直角三角形的两条直角边分别为6㎝、8㎝那么斜边上的高为㎝.12.如图，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足，AD=2 cm ，DB=8cm ，则CD= cm 。

13等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为________度．14等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____． 15，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是____________．二、选择题：1．若等腰三角形的顶角是1200，底边长为2cm ，则它的腰长为( ) （A ）33 （B ）332 （C ）2 （D ）334 2．直角三角形两直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的中线长等于( )A OB 东北（A ）25m （B ）512cm （C ）5cm （D ） 3cm3．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高线，DC=2，那么BD 等于（）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）1024、两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为（）(A)、6 (B)、4 (C)、3 (D )、25．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高线，若BD=2，BC=6，则AB=（）（A ）2 （B ）6 （C ）32 （D ）226．等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则周长为（）（A ）21 （B ）27 （C ）21或27 （D ）16 7．在Rt △ABC 中,AD 是斜边上的高，BC=3AC ，则△ABD 与△ACD 的面积比是（）（A ） 2∶1 (B) 3∶1 (C) 4∶1 (D) 8∶18．如图，在△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，D 是AB 上一点，且DB=DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ： DB ＝1：3，BC=64，则PE+PF 的长是（）（A ） 64 （B ） 6 （C ）24 （D ）629．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 边上一点，且BD ＝BC ＝AD ．则∠A 等于（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°10．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（） A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里三、证明题：1.已知：如图，点D 、E 在ABC 的边BC 上，BD=CE ，AB=AC ，求证：AD=AEB2.已知：如图，在∆ABC中，∠C=90︒，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E,若∠A=30︒，DE=2，求∠DBC的度数和CD的长。

北师大初二数学8年级下册第1章(三角形的证明)1.1 等腰三角形同步练习(含答案)

1　等腰三角形第1课时　全等三角形和等腰三角形的性质1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA第1题图第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B ＝．3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BC＝15，DE＝6，则CE的长为．6．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE ∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数．7．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3第7题图第8题图8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是．10．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．11．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17C．13或17 D．13或1012．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于．13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°第13题图第14题图14．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且△AMK≌△BKN.若∠MKN＝52°，则∠P的度数为（）A．38°B．76°C．96°D．136°第15题图第16题图16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE 的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：(1)∠C＝∠BAD；(2)AC＝EF.18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.第2课时　等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是（）A．BD，CE分别为AC，AB上的高B．BD，CE为△ABC的角平分线C．∠ABD＝13∠ABC，∠ACE＝13∠ACBD．∠ABD＝∠BCE第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是（）A．BD＝CE B．AE＝ADC．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE3．求证：等腰三角形两腰上的高相等．4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D.若BD＝2，则AC＝（）A．2 B．3 C．23D．4第4题图第5题图5．如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使BD＝DE，则∠CDE 的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°6．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．第6题图第7题图7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.10．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在边AC上，求∠EDC 的度数．11．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1＋∠2的度数为（）A．180°B．220°C．240°D．300°第11题图第12题图12．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)13．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°第13题图第14题图14．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝120°，则∠3的度数为．15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE 的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.(1)求证：AM＝BN；(2)求∠BQM的度数．17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．第3课时　等腰三角形的判定与反证法1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则（）A．AB＝BC B．AB＝ACC．BC＝AC D．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是（）A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别是70°，40°的三角形B．有一个角为45°的直角三角形C．一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°，50°的三角形4．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于点E.若DE＝5，AE＝7，则AC的长为．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.8．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（）A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF.(用反证法证明)10．如图，已知每个小方格的边长都为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个11．如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．AE＝AD B．BD＝CEC．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB第11题图第12题图12．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．813．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设．14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(填序号)．,①) ,②) ,③) ,④)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：(1)AD∥FG；(2)△AEF是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE ＝CD，DF⊥BE，垂足为F.(1)求BD的长；(2)求证：BF＝EF.17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D 不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝，∠DEC＝；点D从B向C 运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．第4课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD是等边三角形．第3题图第4题图4．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE 为等边三角形．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝（）A．8 B．6 C．4 D．2第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．第9题图第10题图10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是（）A．1 B．2C.3D．23第12题图第13题图13．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN.若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6第14题图第15题图15．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上．如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交BC于点F.若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．参考答案：第1课时　全等三角形和等腰三角形的性质1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是(A) A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA第1题图第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为34°．4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝40度．第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BC＝15，DE＝6，则CE的长为4.5．6．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE ∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数．解：∵AB＝BD，∠ABD＝20°，∴∠ADB＝80°.∵BD＝DC，∴∠CBD＝40°.∵AE∥BD，∴∠AEB＝40°.7．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B)A．10 B．5 C．4 D．3第7题图第8题图8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE 上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB 与AC ，当固定点B ，C 到杆脚E 的距离相等，且B ，E ，C 在同一直线上时，电线杆DE 就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是(C)A ．等边对等角B ．垂线段最短C ．等腰三角形“三线合一”D ．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．10．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC ，AD ＝AB ，连接BD 并延长，交AC 的延长线于点E ，求∠E 的度数．解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°.∵AD ＝AB ，∴∠BDA ＝12×(180°－40°)＝70°.∴∠E ＝∠BDA －∠CAD ＝70°－40°＝30°.11．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为(B)A ．13B ．17C ．13或17D ．13或1012．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于70°或20°．13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)A．20°B．35°C．40°D．70°第13题图第14题图14．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(C) A．40°B．45°C．55°D．70°15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且△AMK≌△BKN.若∠MKN＝52°，则∠P的度数为(B)A．38°B．76°C．96°D．136°第15题图第16题图16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE 的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：(1)∠C＝∠BAD；(2)AC＝EF.证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°.∴∠C ＝∠BAD.(2)∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠AEB.∵AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB.∴∠B ＝∠FAE.∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝90°＝∠BAC.在△ABC 和△EAF 中，{∠B ＝∠FAE ，AB ＝EA ，∠BAC ＝∠AEF ，∴△ABC ≌△EAF(ASA)．∴AC ＝EF.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ；(2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°.又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，{∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD.∴BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.第2课时　等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(D) A．BD，CE分别为AC，AB上的高B．BD，CE为△ABC的角平分线C．∠ABD＝13∠ABC，∠ACE＝13∠ACBD．∠ABD＝∠BCE第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是(C)A．BD＝CE B．AE＝ADC．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE3．求证：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.求证：CE＝BD.证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D.若BD＝2，则AC＝(D)A．2 B．3 C．23D．4第4题图第5题图5．如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使BD＝DE，则∠CDE 的度数为(C)A．15°B．20°C．30°D．40°6．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．第6题图第7题图7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°.∴∠EAB＝∠DCA＝120°.在△EAB和△DCA中，{AE＝CD，∠EAB＝∠DCA，AB＝CA，∴△EAB≌△DCA(SAS)．∴BE＝AD.10．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在边AC上，求∠EDC的度数．解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠CAD)＝75°.∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.11．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1＋∠2的度数为(C)A．180°B．220°C．240°D．300°第11题图第12题图12．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(B)A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)13．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B) A．45°B．60°C．75°D．90°第13题图第14题图14．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝120°，则∠3的度数为60°．15．如图，在等边△ABC 中，D 是BC 上的一点，延长AD 至E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O.求∠E 的度数．解：∵△ABC 是等边三角形，BF 是△ABC 的高，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE.∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，{AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三角形，点M 是线段BC 上任意一点，点N 是线段CA 上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q.(1)求证：AM ＝BN ；(2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝60°，AB ＝BC.在△AMB 和△BNC 中，{AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN.(2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ＝∠NBC ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.17．已知，如图所示，P 为等边△ABC 内的一点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的高AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h.证明：连接PA ，PB ，PC.∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC.∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时　等腰三角形的判定与反证法1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BCB ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(D)A．有两个内角分别是70°，40°的三角形B．有一个角为45°的直角三角形C．一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°，50°的三角形4．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于点E.若DE＝5，AE＝7，则AC的长为12．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE.∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.∴△BDE是等腰三角形．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，{AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEC，即∠GFE＝∠GEF.∴GE＝GF.8．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设(A)A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF.(用反证法证明)证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°.∵AB∥CD，∴∠AME＝∠CNE.∴∠CNE≠90°，与已知条件CD⊥EF相矛盾．∴假设不成立．∴AB⊥EF.10．如图，已知每个小方格的边长都为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有(A)A．8个B．7个C．6个D．5个11．如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)A．AE＝AD B．BD＝CEC．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB第11题图第12题图12．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A) A．5 B．6 C．7 D．813．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设_这个三角形中至少有两个角是直角或钝角．14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是②(填序号)．,①) ,②) ,③) ,④)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：(1)AD∥FG；(2)△AEF是等腰三角形．证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°.∴∠ADC＝∠FGC.∴AD∥FG.(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE.∴△AEF是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE ＝CD，DF⊥BE，垂足为F.(1)求BD的长；(2)求证：BF＝EF.解：(1)∵BD是等边△ABC的中线，∴BD ⊥AC ，AD ＝CD.∵AB ＝6，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝33.(2)证明：∵BD 是等边△ABC 的中线，∴BD 平分∠ABC.∴∠DBE ＝12∠ABC ＝30°.∵∠ACB ＝60°，∴∠ACE ＝120°.又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ＝180°－120°2＝30°.∴∠DBE ＝∠E.∴BD ＝ED.又∵DF ⊥BE ，∴BF ＝EF.17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E.(1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE.理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°.∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°.∴∠ADB ＝∠DEC.又∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°.第4课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是(D)A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD是等边三角形．第3题图第4题图4．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝48米．5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．证明：∵DC＝DB，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°.∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE 为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝(C)A．8 B．6 C．4 D．2第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是(D)A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．第9题图第10题图10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝12BC＝4 cm.∴AD＝AB－DB＝12 cm.12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)A．1 B．2C.3D．23第12题图第13题图13．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A) A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．6第14题图第15题图15．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A 在l2上．如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120°.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交BC于点F.若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF.∵AF＝BF，∴∠BAF＝∠B.∴∠CAF＝∠BAF＝∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠BAF＋∠B＝90°.∴∠BAF＝∠B＝30°.∵CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDB＝90°.∴∠BCD＝∠DEA＝60°.∴∠CEF＝60°.∴∠CFA＝∠CEF＝∠ECF＝60°.∴△CEF是等边三角形．17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(2)存在．证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE，即∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．。

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形课堂练习

第一章三角形的证明第1节等腰三角形课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，在ABC中，AB AC=，40A∠=︒，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则ABD∠的度数为（）A．10︒B．20︒C．30D．40︒2．如图，在ABC中，AB AC=，AD BC⊥，若3AD=，8BC=，则AB的长为（）A．5B．4C．3D．13．若等腰三角形的一个内角为50°，则其顶角的度数为（）A．80°B．50°C．50°或65°D．50°或80°4．等腰三角形两边长a，b是方程组233a ba b-=⎧⎨+=⎩的解，则该等腰三角形周长为（）A．5B．4或5C．4D．5或65．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；①等腰三角形两腰上的高相等；①等腰三角形的最短边是底边；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个6．如图，ABC∆中，AB AC=，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（）A．2对B．3对C．4对D．5对7．已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．7C．3或7D．3或58．若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．40°B．70°C．80°D．100°9．如图，在①ABC中，AB＝AC＝4，①ABC和①ACB的平分线交于点E，过点E作MN①BC分别交AB、AC于M、N，则①AMN的周长为（）A．4B．6C．8D．10评卷人得分二、填空题10．在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，2BC=，则AC的长为_______________________．11．已知一个三角形工件尺寸（单位：dm）如图所示，则高h是________dm，它的面积是________2dm．12．已知等腰三角形的三边长分别为：1x+、23x+、7，则其中x的值为___________．13．一个等腰三角形一边长为3cm，另一边长为7cm，那么这个等腰三角形的周长_________cm．14．已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为___________．15．如图，在四边形ABCD中，==120,=A B AB AD∠∠①ADC和①DCB的平分线交于点P，且点P在AB边上．若BC＝3，DC＝21，则AB的长是__________．评卷人得分三、解答题16．如图，在ABC中，AB AC=，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE CE=．（1）求证：AEF CEB△≌△；（2）若12AF=，求CD的长．17．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，①BAD＝30°，且①ADC＝60°，BD＝3，求CD．18．某初中“数学兴趣小组”开展实践活动，在校园里测量一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度．经测量得知AB＝AD＝60米，①A＝60°，BC＝80米，①ABC＝150°．如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出CD的长度．19．如图，①ABC是等边三角形，边长是6（1）求高AD的长；（2）求①ABC的面积．20．已知等腰三角形的周长为30cm，其底边长为x，腰长为y．（1）请写出y与x的函数关系式，并求其中自变量x的取值范围；（2）当这个三角形中有一个角为60°时，求x的值．参考答案：1．C【解析】【分析】在△ABC中可求得①ACB＝①ABC＝70°，在△BCD中可求得①DBC＝40°，由此可求出①ABD．【详解】解：①AB＝AC，①A＝40°，①①ABC＝①ACB＝（180°－40°）÷2＝70°，又①BC＝BD，①①BDC＝①BCD＝70°，①①DBC＝180°－70°×2＝40°，①①ABD＝①ABC﹣①DBC＝70°﹣40°＝30°，故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．2．A【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，再根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：①AB＝AC，AD①BC，BC＝8，BC＝4，①BD＝CD＝12①AD＝3，BD＝4，AD①BC，①AB＝2222++＝5，D D=34A B故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．D【解析】【分析】分①50︒的内角为等腰三角形的顶角，①50︒的内角为等腰三角形的底角两种情况，分别根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当50︒的内角为等腰三角形的顶角时，则这个等腰三角形的顶角的度数为50︒；①当50︒的内角为等腰三角形的底角时，则这个等腰三角形的顶角的度数为180505080︒-︒-︒=︒；综上，这个等腰三角形的顶角的度数为50︒或80︒，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，正确分两种情况讨论是解题关键．4．A【解析】【分析】先解二元一次方程组求出a、b的值，然后进行分类讨论a为腰和为底时的情形.【详解】解：解方程组233a ba b-=⎧⎨+=⎩得：21ab=⎧⎨=⎩所以，等腰三角形的两边长为2，1．若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故选A.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行逐一判断即可得到答案.【详解】解：等腰三角形的顶角的角平分线、底边的中线和底边的高重合，故①错误；等腰三角形两腰上的高相等，故①正确；等腰三角形的最短边不一定是底边，故①错误；故选：A.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 6．C【解析】【分析】根据AB AC =，D 是BC 的中点，可得CAD BAD ∠=∠ ，90ADC ADB ︒∠=∠= ，BD CD = ，从而AOC BOC ≅，Rt OCD Rt OBD ≅，ACD ABD ≅，再根据EF 垂直平分线AC ，可得Rt AOE Rt COE ≅，即可求解．【详解】解：①AB AC =，D 是BC 的中点，①CAD BAD ∠=∠ ，90ADC ADB ︒∠=∠= ，BD CD = ，①AO AO = ，①()AOC AOB SAS ≌，①OC OB = ，①()Rt OCD Rt OBD HL ≅ ，①AB AC =，AD AD = ，①()ACD ABD SSS ≅ ，①EF 垂直平分线AC ，①AO CO = ，①OE OE = ，①()Rt AOE Rt COE HL ≅ ，①图中全等三角形的对数是4对．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．7．C【解析】【分析】已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论．最后要根据三角形三边关系将不合题意的解舍去．【详解】解：本题可分两种情况：①当腰长为7时，底边长=17-2×7=3；经检验，符合三角形三边关系；①底边长为7，此时腰长=（17-7）÷2=5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或7．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180402︒︒-＝70°．故选：B．【点睛】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．9．C【解析】【分析】根据BE、CE是角平分线和MN①BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出①AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案．【详解】解：①BE，CE分别是①ABC与①ACB的角平分线，①①MBE=①EBC，①NCE=①ECB，①MN①BC，①①MEB=①EBC，①NEC=①ECB，①①MBE=①MEB，①NCE=①NEC，①MB=ME，NC=NE，①AB=AC=4，①①AMN的周长=AM+ME+NE+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=4+4=8．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键．10．23【解析】【分析】利用含30°直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半的性质求得AB的长，然后利用勾股定理求解AC．【详解】解：如图：①在Rt①ABC中，①C＝90°，①A＝30°，BC＝2，①AB＝2BC＝4，①AC＝2222AB BC-=-=，4223①AC的长为23，故答案为：23．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．11．412【解析】【分析】过点A作AD①BC于点D，由等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，故可得出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点A作AD①BC于点D，则AD=h，①AB=AC=5dm，BC=6dm，①AD是BC的垂直平分线，①BD=12BC=3dm．在Rt①ABD中，AD=2222534AB BD-=-=dm，即h=4（dm）．S=164122⨯⨯=2dm故答案为：4，12．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．2【解析】【分析】因为x+1，2x+3，7是等腰三角形的三边长，但没有明确指明哪是腰，哪是底，因此要分类讨论．【详解】解：①当x+1=2x+3时，解得x=-2（不合题意，舍去）；①当x+1=7时，解得x=6，则等腰三角形的三边为：7、15、7，因为7+7=14＜15，不能构成三角形，故舍去；①当2x+3=7时，解得x=2，则等腰三角形的三边为：3、7、7，能构成三角形．所以x的值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．13．17【解析】【分析】分3cm为等腰三角形的腰和7cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【详解】解：分两种情况：当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17．故答案为：17．【点睛】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．14．19cm【解析】略15．12【解析】【分析】在CD上截取DE=AD，CF=CB，证明△ADP①①EDP（SAS），由全等三角形的性质得出①A=①DEP=120°，AP=PE，同理△CFP①①CBP（SAS），证出△PEF为等边三角形，求出AP 的长，则可得出答案．【详解】解：在CD上截取DE=AD，CF=CB，①PD 平分①ADC ，CP 平分①DCB ，①①ADP =①EDP ，①FCP =①PCB ，在△ADP 和△EDP 中，DE DA ADP EDP DP DP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ADP ①①EDP （SAS ），①①A =①DEP =120°，AP =PE ，同理△CFP ①①CBP （SAS ），①①B =①PFC =120°，PB =PF ，①①PEF =①PFE =60°，①①PEF 为等边三角形，①PE =PF ，①P A =PB ，设P A =PB =x ，则AD =2x ，EF =x ，①BC =3，DC =21，①2x +x +3=21，解得x =6，①AB =12．故答案为12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明△ADP ①①EDP 是解题的关键．16．（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）先证①EAF ＝①ECB ，再结合①AEF ＝①CEB ＝90°且AE ＝CE 利用全等三角形的判定得①AEF ①①CEB ；（2）由全等三角形的性质得AF ＝BC ，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC ＝2CD ，等量代换得出结论．【详解】（1）证明：①CE ①AB ，①①AEF ＝①CEB ＝90°．①①AFE +①EAF ＝90°，①AD ①BC ，①①ADC ＝90°，①①CFD +①ECB ＝90°，又①①AFE ＝①CFD ，①①EAF ＝①ECB ．在①AEF 和①CEB 中，90EAF ECB AE CE AEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①AEF ①①CEB （ASA ）；（2）①①AEF ①①CEB ，AF ＝12，①AF ＝BC ＝12，①AB ＝AC ，AD ①BC ，①CD ＝BD ＝12BC ＝6，①CD 的长为6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；以及HL （直角三角形的判定方法）．17．CD ＝6．【解析】【分析】先根据题意求出①B 、①C 、①DAC 的度数，然后再根据等腰三角形的判定与性质以及含30度直角三角形的性质即可即可．【详解】证明：①①ADC ＝60°，①BAD ＝30°，①①B＝①ADC﹣①BAD＝60°﹣30°＝30°＝①BAD，①BD＝AD＝3，①AB＝AC，①①B＝①C＝30°，①①BAC＝120°，①①DAC＝120°﹣30°＝90°，①CD＝2AD＝6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、含30度角直角三角形性质等知识，灵活应用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键．18．CD的长度为100m【解析】【分析】直接利用等边三角形的判定与性质得出BD的长，再利用勾股定理得出DC的长．【详解】解：连接BD，①AB＝AD＝60m，①A＝60°，①①ABD为等边三角形，①BD＝AB＝AD＝60m，且①ABD＝60°，①①ABC＝150°，①①DBC＝①ABC﹣①ABD＝90°，在Rt①CBD中，①DBC＝90°，BC＝80m，BD＝60m，根据勾股定理得：BC2+BD2＝CD2，即CD＝22BC BD＝100（m）答：CD的长度为100m．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，正确得出①BCD是直角三角形是解题关键．19．（1）33；（2）93．【解析】【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD＝3，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，（2）根据三角形的面积公式即可求三角形ABC的面积，即可解题．【详解】解：（1）①等边三角形ABC，AD为高线，①BD＝CD＝12BC＝1632⨯=，在直角三角形ABD中，①AD＝226333-=．（2）①BC＝6，AD＝33，①等边①ABC的面积＝12BC•AD＝12×6×33＝93．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键．20．（1）y＝15﹣12x（0＜x＜15）；（2）10cm【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的周长公式求出y与x的函数关系式，由三角形三边的关系可得取值范围；（2）若有一个角是60°则三角形是等边三角形，进而可得x的值．【详解】解：（1）∵等腰三角形的周长为30cm，腰长为ycm，底边长为xcm，∴2y+x＝30，∴y＝1512-x（0＜x＜15）；（2）若有一个角是60°则三角形是等边三角形，所以x＝3013⨯=10（cm）．答：x的值是10cm．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键．。

北师版八年级数学(下册)等腰三角形直角三角形综合练习题含答案

4等腰三角形的性质1D 2C 3A 4C 5B 6 60 7 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 8 90°+1/2n°9 70°10略11 20= 2AB+BC 16=AB+1/2BC+AD 2AD=12 AD=6 12略等腰三角形的判定1A 2C 3A 4C角平分线上的点到两角边的高相等 5 1 6 AB=AC 7 2cm 9方法一等腰三角形的性质法二证两个大三角形全等再证两个小三角形全等10略11等边三角形1C 2 D 第四个是等边三角形。

理由如下: ∵等腰三角形一腰上的中线也是这条腰上的高，∴这条中线是这条腰的垂直平分线∴腰与底边相等∴这个等腰三角形是等边三角形。

3A 4C 5 B∵AB=AC，∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD，∠BAC=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形6. 60°7. 70°8. 3, 三边的高，也是过边中点并垂直于边的直线同时也是角平分线9.1cm 11 ∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B＝∠C＝30°∵AD⊥AC∴△ACD为直角三角形∴DC=2AD （30°角所对的直角边是斜边的一半）∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°∴∠B＝∠BAD∴BD=AD （等角对等边）∴BC=BD+CD=3AD12 证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC＝AC∠BCE＝∠ACDCE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，∠CBF＝∠CAHBC＝AC∠BCF＝∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．（4）∵△CHF为等边三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD．13.连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，AC＝BCAE＝BECE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS），∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，BD＝BC∠DBE＝∠CBEBE＝BE，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．直角三角形1.B 设∠A=∠B=X,5X=180°所以∠A=∠B=36°2.D3.B∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠AEB=90°∴∠DBF与∠DFB互余,∠EAF与∠AFE互余,而∠DFB=∠AFE∴∠DBF=∠EAF又∵BF=AC∴ΔBDF≌ΔCAD∴BD=AD∴ΔABD是等腰直角三角形,∴∠ABD=45°5. 因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D6. C斜边上的中线是斜边的一半等腰直角三角形则斜边上的高就是中线所以斜边上的高是a/2填空 1. 30°或150° 2. 15°或75° 3.4,10 (a-b)²=4，a²+b²=52，2ab=48，（a+b)²=a²+b²+2ab=100 5. 90度 6. 1 2 3 10.二分之根号2 11.135°。

北师大八年级下《1.1等腰三角形》课时练习含答案解析

北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为6×32=33，∵33＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ；答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ；答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．。

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北师大版八年级下册等腰三角形练习题进门考试一、选择题1. 下列式子正确的是（）A ．2(9)9-=-B ．255=±C ．2(1)1-=D ．2(2)2-=-2.在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm ，方差分别为2 1.5s =甲，2 2.5s =乙，2 2.9s =丙，2 3.3s =丁，则这四队女演员的身高最整齐的是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁3.下列说法正确的有（） ①任何正数的两个平方根的和等于0； ②任何实数都有一个立方根； ③无限小数都是无理数；④实数和数轴上的点一一对应． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长是（） A ．9 B ．10 C ．12 D ．155.在平面直角坐标系中，点M (-3，2)向右平移2个单位，向下平移3个单位后得点N ，则点N 的坐标是（） A ．(1，1) B ．(-1，1) C ．(-1，-1) D ．(1，-1)6.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点240m ，他在水中实际游了510m ，那么该河的宽度为（） A ．450m B ．350m C ．270m D ．650m7. 关于x 的一次函数y =kx +k 2+1的图象可能是（）xOy yOxOy xOy xA ．B ．C ．D ．8. 如图，直线y 1=kx +b 与两坐标轴的正半轴相交，与直线y 2=x -1相交于点M ，且点M 的横坐标为2，则下列结论：①k <0；②kb <0；③当x <2时，y 1<y 2，其中正确的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B FC DA Ey 2=x -1y 1=kx+b2yxOM1.等腰三角形一、主要知识点1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一） 3、等边三角形的有关知识点。

性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法二、重点例题分析例1: 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠ABC 的平分线于点D ，求证：MD =MA .例2 如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD .例3：如图：已知AB=AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF ⊥CD ，F 为垂足,图2　图1A B CDO O DCB A求证: ① AC ＝AD ； ②CF ＝DF 。

例4 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由（4分）（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？（8分）例5 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.2．直角三角形一、主要知识点1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等例2：如图，ABC ∆中，3590,12,,22C CD BD ∠=︒∠=∠==，求AC 的长。

例3 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

CADB例4：如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？CA 1B 1A B例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC 中，AE=CD ，AD ，BE 交于P 点，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ ．D A B A l Q P DC B A作业【板块一】等腰三角形1. 如果等腰三角形的一个底角为α，那么（）A ．α>45°B ．0°<α<90°C ．α≤90°D ．0°<α<180° 2. △ABC 中，∠A =40°，∠B =70°，则△ABC 为_____三角形．图1 3. 如图1，∠A =20°，∠C =40°，∠ADB =80°，则∠DBC =____，图中共有等腰三角形个．4. 等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为（） A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm5. 等腰三角形的周长是25 cm ，一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为_____．6. 如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，（1）若∠ADE =80°，则∠DEB = . （2）若DF ⊥BE ，则BF BE ．7. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角的度数．8. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．9. 如图，已知线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．【板块二】等边三角形10. 如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．11. 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．HGF E DC BA【板块三】拓展拔高12. 如图，△ABD 、△ACE 都是正三角形，BE 和CD 交于O 点，则∠BOC =_______．13. 已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD相交于点F H ，是BC 边的中点，连接DH ，与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =．出门考试 1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A . ①B . ②C . ③D . ①和② 2．下列说法中，正确的是（）.A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC 长为（）.A ．4cmB ．5cmC ．8cmD ．34cm4．如图3，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（）.A ．045 B ．055 C ．060 D ．0755．如图4，在ABC ∆中，AB=AC ，036A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个O E DC B A6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A ．3个B ．2个C ． 1个D ．0个8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ∆≌EDC ∆，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定ABC ∆≌EDC ∆的条件是( ).A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL。