2013年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题2：动点问题

2013年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题2：动点问题1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。

又∵OB=2，∴。

（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则。

∵D和E是中点，∴DE=。

（3）∵BD=x，∴。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F。

∴DF=OF=。

由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x。

∴OE=。

∴。

【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD 的长。

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 。

（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。

∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴。

2. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。

∴。

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。

∴AD：AC=AE：AD，∴。

当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1。

∴AE的最小值为。

∴CE的最大值= 。

②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。

∴点D与B重合，不合题意舍去。

当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。

∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。

∴BD=1。

当DA=DE时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。

∴DC=CA=。

∴BD=BC－DC=2－。

综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。

【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。

（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。

②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。

3. （2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。

∵顶点在直线x＝上，∴，解得。

∴所求函数关系式为。

（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。

∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。

∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x＝5时，；当x＝2时，。

∴点C和点D都在所求抛物线上。

（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，解得，。

∴直线CD对应的函数关系式为。

当x＝时，。

∴P()。

（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。

∴，即，得。

设对称轴交x于点F，则。

∵，，(0＜t＜4)。

∵，，0＜＜4，∴当时，S取最大值是。

此时，点M的坐标为(0，)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。

（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。

（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。

（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可。

4. （2012广东省9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。

∴AB=9，OC=9。

（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。

∴s=m2（0＜m＜9）。

（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。

∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。

又，过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。

∴。

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。

（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l 2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。

求证：DE=EF=FG;(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由。

【答案】解：（1）∵抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点，∴，解得。

∴抛物线的解析式为：．（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（－1，0），C（0，），得∴，解得，∴直线l1的解析式为：y=-x。

直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x。

∵抛物线，∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，）。

点E为x=1与直线l2：y= x的交点，令x=1，得y=，∴E（1，）。

点G为x=1与直线l1：y=-x的交点，令x=1，得y=，∴G（1，）。

∴各点坐标为：D（1，0），E（1，），F（1，），G（1，），它们均位于对称轴x=1上。

∴DE=EF=FG=。

（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG。

△PCG为等腰三角形，有三种情况：①当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG。

∵C（0，），对称轴x=1，∴P1（2，）。

②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。

如图，C（1，），H点在x=1上，∴H（1，）。

在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y G－y H|=|－（）|= ，∴由勾股定理得：。

∴PC=2．如图，CP1=2，此时与①中情形重合。

又Rt△OAC中，，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。

③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形。

由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。

∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，）。

又，∴∠CGE=30°。

∴∠HCG=60°。

又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形。