中考数学复习第一章数与式：分式及其运算学案
中考数学复习方案 第一单元 数与式 第03课时 分式课件
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考向一 分式(fēnshì)的有关概念
1.[2019·衡阳] 如果分式
1
+1
在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 ( A )
A.x≠-1
B.x>-1
C.全体实数
D.x=-1
2
2.如果分式 2 +1在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 (
A.x≠-1
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17.观察下列各组式子:
2
5
①1+3 = 3 =
1
2
11
3
5
15
1
2
17
② + =
③ + =
6×1-1
1×3
;
=
6×2-1
=
6×3-1
3×5
;
.
× -
+ =
=
× .
(1)请根据上面的规律写出第 4 个式子:
5
7
35
5×7
(2)请写出第 n 个式子并证明.
-2
-1
解: 2 -4+4 + 2 - ÷-1
=
(+2)(-2)
(-2)2
+2
+ (-1)·-2
1
= -2 + -2
+3
= -2 .
3+3
-1+3
2
当 x=3 时,原式= 3-2 =6. 答案不唯一,还可以选择 x=-1,此时原式= -1-2 =-3
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分母同号
安徽中考数学总复习教学案：第一章数与式
第一章数与式第一章数与式第1讲实数及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：有理数、数轴、相反数、绝对值、平方根、算数平方根、立方根、无理数、实数、近似数等的相关概念；有理数的加、减、乘方运算；有理数的大小比较，用科学记数法表示数等．题型多以选择题、填空题为主，偶尔也有解答题出现，但难度都属于基础题的要求．科学记数法、实数的运算，都是安徽中考的重点考查对象，要求考生熟练掌握.年份考察内容题型题号分值有理数的乘法选择题14科学记数法填空题115倒数选择题14科学记数法选择题24有理数的加法选择题14科学记数法填空题11 51．实数的有关概念(1)数轴：规定了__原点__，__正方向__和__单位长度__的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体__实数__一一对应．(2)相反数：只有__符号__不同，而__绝对值__相同的两个数称为互为相反数．a ，b 互为相反数⇔a ＋b ＝__0__．(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商__，叫做这个数的倒数．a ，b 互为倒数⇔ab ＝__1__．(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的__距离__，叫做这个数的绝对值．|a |＝⎩⎨⎧ a ，（a ＞0） 0 ，（a ＝0） －a ，（a ＜0）|a |是一个非负数，即|a |__≥0__． (5)科学记数法，近似数：科学记数法就是把一个数表示成__±a ×10n __(1≤a ＜10，n 是整数)的形式；一个近似数，__四舍五入__到哪一位，就说这个数精确到哪一位．(6)平方根，算术平方根，立方根：如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，记作__x ＝±a __；正数a 的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作__x ＝3a __.(7)识记：112＝________，122＝________，132＝________，142＝________，152＝________，162＝________，172＝________，182＝________，192＝________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________．13＝________，23＝________，33＝__________，43＝________，53＝________，63＝__________，73＝________，83＝________，93＝__________，103＝________．2．实数的分类按实数的定义分类：实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫ 正整数 零 自然数负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧ 正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ 正无理数负无理数 无限不循环小数根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数零负实数3．零指数幂，负整数指数幂任何非零数的零次幂都等于1，即__a 0＝1(a ≠0)__；任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数p 次幂的倒数，即__a －p ＝1ap (a ≠0，p 为正整数)__．4．实数的运算实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，如果有括号，先算__小括号__，再算__中括号__，最后算__大括号__，同级运算应__从左到右依次进行__．五种大小比较方法实数的大小比较常用以下五种方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．(3)差值比较法：设a ，b 是两个任意实数，则：a －b ＞0⇒a ＞b ；a －b ＝0⇒a ＝b ；a －b ＜0⇒a ＜b .(4)倒数比较法：若1a ＞1b，a ＞0，b ＞0，则a ＜b .(5)平方比较法：∵由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，∴可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．1．(·安徽)(－2)×3的结果是( C )A ．－5B ．1C ．－6D ．6 2．(·安徽)－2的倒数是( A ) A ．－12 B .12C ．2D ．－23．(·安徽)下面的数中，与－3的和为0的是( A ) A ．3 B ．－3 C .13 D ．－134．(·安徽)据报载，我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为__2.5×107__．5．(·安徽)安徽省棉花产量约37800吨，将37800用科学记数法表示应是__3.78×104__．实数的分类【例1】 (·合肥模拟)实数π，15，0，－1中，无理数是( A )A ．πB .15C ．0D ．－1【点评】 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．1．(1)(·安顺)下列各数中，3.14159，－38，0.131131113…，－π，25，－17无理数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)(·安庆模拟)下列各数中，为负数的是( B )A ．0B ．－2C ．1D .12实数的运算【例2】 (·重庆)计算：4＋(－3)2－0×|－4|＋(16)－1.解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13【点评】 实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．2．(·东营)计算：(－1)＋(sin 30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.解：原式＝1＋2＋1－32＋3－1＝6－3 2科学记数法与近似值、有效数字【例3】 (1)(·芜湖模拟)餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( A )A ．5×1010千克B ．50×109千克C ．5×109千克D ．0.5×1011千克(2)下列近似数中精确到千位的是( C ) A ．90200 B ．3.450×102 C ．3.4×104 D ．3.4×102【点评】 (1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n 的值时，把大数的总位数减1即为n 的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0”的个数(含小数点前的那个“0”)即为n 的值；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验；(3)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断．3．(1)近似数2.5万精确到__千__位． (2)(·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为( C )A ．4×106B ．4×10－6C ．4×10－5 D ．4×105与实数相关的概念【例4】 (1)(·河北)－2是2的( B )A ．倒数B ．相反数C ．绝对值D ．平方根(2)已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，那么a ＋b －c ＝__2或0__．【点评】 (1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.4．(1)计算：－(－12)＝__12__；|－12|＝__12__；(－12)0＝__1__；(－12)－1＝__－2__． (2)若ab ＞0，则|a |a ＋|b |b －|ab |ab的值等于__1或－3__．数轴【例5】 (·呼和浩特)实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是( D )A ．ac ＞bcB ．|a －b|＝a －bC ．－a ＜－b ＜cD ．－a －c ＞－b －c【点评】 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号．5．(1)(·蚌埠模拟)在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是( D )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．23－1D ．23＋1 (2)(·宁夏)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．b ＜aC ．ab ＞0D ．|b|＜|a|实数的大小比较【例6】 (1)(·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是( A ) A ．－3＜－2＜1 B ．－2＜－3＜1 C ．1＜－2＜－3 D ．1＜－3＜－2(2)(·河北)a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是( A ) A ．2，3 B ．3，2 C ．3，4 D ．6，8【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．6．(1)(·阜阳模拟)比较大小：－2__＞__－3. (2)比较2.5，－3，7的大小，正确的是( A ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D .7＜2.5＜－3第2讲整式及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：用字母表示数，代数式的实际背景或几何意义，求代数式的值，代数式的分类，整式加、减、乘、除运算，运用乘法公式进行计算，整数指数幂的简单计算，这里要重点指出的是用字母表示数中渗透合情推理思想，它是安徽中考的一个重点，同时也是难点，要求复习时重点突破．年份考察内容题型题号分值乘方运算选择题 2 4整式加减解答题15 8整式运算选择题 4 4乘方运算选择题 3 4代数式的表示选择题 5 4整式加减解答题15 81．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，数字因数叫做__单项式的系数__．单独的数、字母也是单项式．2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个__多项式的次数__，其中不含字母的项叫做__常数项__．3．整式：__单项式和多项式__统称为整式．4．同类项：多项式中所含__字母__相同并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．5．幂的运算法则：(1)同底数幂相乘：__a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)__；(2)幂的乘方：__(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)__；(3)积的乘方：__(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)__；(4)同底数幂相除：__a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)__．6．整式乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__；多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__.7．乘法公式：(1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；(2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__．8．整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．一座“桥梁”用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性．二种思维方法法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用，可起到化难为易的功效．1．(·安徽)x2·x4＝( B )A．x5B．x6C．x8D．x92．(·安徽)下列运算正确的是( B )A ．2x ＋3y ＝5xyB ．5m 2·m 3＝5m 5C ．(a －b)2＝a 2－b 2D ．m 2·m 3＝m 6 3．(·安徽)计算(－2x 2)3的结果是( B ) A ．－2x 5 B ．－8x 6 C ．－2x 6 D ．－8x 5 4．(·安徽)某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是( B )A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a(1－10%)(1＋15%)万元C ．(a －10%－15%)万元D ．a(1－10%－15%)万元5．(·枣庄)如图，在边长为2a 的正方形剪去一边长为(a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )A ．a 2＋4B ．2a 2＋4aC ．3a 2－4a －4D ．4a 2－a －2整式的加减运算【例1】 (1)(·邵阳)下列计算正确的是( A ) A ．2x －x ＝x B ．a 3·a 2＝a 6 C ．(a －b)2＝a 2－b 2 D ．(a ＋b)(a －b)＝a 2＋b 2 (2)(·威海)已知x 2－2＝y ，则x(x －3y)＋y(3x －1)－2的值是( B ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4【点评】 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果．1．(1)(·威海)下列运算正确的是( C ) A ．2x 2÷x 2＝2x B ．(－12a 2b)3＝－16a 6b 3C ．3x 2＋2x 2＝5x 2D ．(x －3)3＝x 3－9(2)(·厦门)先化简下式，再求值：(－x 2＋3－7x)＋(5x －7＋2x 2)，其中x ＝2＋1.解：原式＝x 2－2x －4＝(x －1)2－5，把x ＝2＋1代入原式，原式＝(2＋1－1)2－5＝－3同类项的概念及合并同类项【例2】 若－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y ，则a ＋b ＝__3__．【点评】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．2．(·淮南模拟)已知12x n －2m y 4与－x 3y 2n 是同类项，则(mn)的值为( C )A ．B ．－C ．1D ．－1幂的运算【例3】 (1)(·济南)下列运算中，结果是a 5的是( A ) A ．a 3·a 2 B ．a 10÷a 2 C ．(a 2)3 D ．(－a)5(2)(·芜湖模拟)计算(a 2)3÷(a 2)2的结果是( B ) A ．a B ．a 2 C ．a 3 D ．a 4【点评】 (1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．3．(1)(·)下列各式计算正确的是( D ) A ．a 2＋2a 3＝3a 5 B ．(a 2)3＝a 5 C ．a 6÷a 2＝a 3 D ．a ·a 2＝a 3(2)(·随州)计算(－12xy 2)3，结果正确的是( B )A .14x 2y 4B ．－18x 3y 6C .18x 3y 6D ．－18x 3y 5 整式的混合运算及求值【例4】 (·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2＝1＋14＝54【点评】 注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．4．(·合肥模拟)化简2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]，若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等乘法公式【例5】 (·芜湖模拟)如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S 1，图②中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1和S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．(1)S 1＝a 2－b 2；S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b)(2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【点评】 (1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想．(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．5．(1)整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A＝__4mn__．(2)(·广州)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.①化简多项式A；②若(x＋1)2＝6，求A的值．解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3②(x＋1)2＝6，则x＋1＝±6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3 6第3讲因式分解～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：用提取公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)分解因式等．题型多以选择题、填空题为主，偶尔也有解答题出现，但难度都属于基础题的要求．年份考察内容题型题号分值因式分解选择题 4 4因式分解填空题12 5因式分解选择题 4 41．因式分解把一个多项式化成几个__整式__积的形式，叫做因式分解，因式分解与__整式乘法__是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法：ma＋mb－mc＝__m(a＋b－c)__．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．3．因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．思考步骤多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，拿到一道题目，先试试这个方法，再试试那个办法．解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；(2)看有几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止．变形技巧当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.1．(·安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是( B)A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5y D．x2－5y2．(·毕节)下列因式分解正确的是( A)A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)B．x2＋2x－1＝(x－1)2C．x2＋1＝(x＋1)2D．x2－x＋2＝x(x－1)＋23．(·安徽)因式分解：x2y－y＝__y(x＋1)(x－1)__．4．(·安徽)下面的多项式中，能因式分解的是( D)A．m2－n B．m2－m－1C．m2＋n D．m2－2m＋15．(·哈尔滨)把多项式3m2－6mn＋3n2分解因式的结果是__3(m－n)2__．因式分解的意义【例1】(·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是( D )A．y(x＋y)2B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．1．(·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( D )A．x2＋y2B．x2－yC．x2＋x＋1 D．x2－2x＋1提取公因式法分解因式【例2】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__(a＋b)(a＋b＋c)__．【点评】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是__x－2__．(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( D )A．m＋1 B．2mC．2 D．m＋2运用公式法分解因式【例3】(1)(·东营)3x2y－27y＝__3y(x＋3)(x－3)__；(2)(·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__n(m－1)2__．【点评】(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．3．分解因式：(1)9x2－1；(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；(3)(·淮北模拟)a－6ab＋9ab2；(4)(·湖州)mx2－my2.解：(1)9x2－1＝(3x＋1)(3x－1)(2)25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)(3)a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2(4)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)综合运用多种方法分解因式【例4】给出三个多项式：12x2＋x－1，12x2＋3x＋1，12x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．解：(12x 2＋x －1)＋(12x 2＋3x ＋1)＝x 2＋4x ＝x(x ＋4)；(12x 2＋x －1)＋(12x 2－x)＝x 2－1＝(x＋1)(x －1)；(12x 2＋3x ＋1)＋(12x 2－x)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2【点评】 灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．4．(1)(·武汉)分解因式：a 3－a ＝__a(a ＋1)(a －1)__； (2)(·黔东南州)分解因式：x 3－5x 2＋6x ＝__x(x －3)(x －2)__；因式分解的应用 【例5】 (1)(·河北)计算：852－152＝( D )A ．70B ．700C ．4900D ．7000 (2)已知a 2＋b 2＋6a －10b ＋34＝0，求a ＋b 的值．解：∵a 2＋b 2＋6a －10b ＋34＝0，∴a 2＋6a ＋9＋b 2－10b ＋25＝0，即(a ＋3)2＋(b －5)2＝0，∴a ＋3＝0且b －5＝0，∴a ＝－3，b ＝5，∴a ＋b ＝－3＋5＝2【点评】 (1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．5．(1)(·马鞍山模拟)若ab ＝2，a －b ＝－1，则代数式a 2b －ab 2的值等于__－2__．(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 3＋ab 2＋bc 2＝b 3＋a 2b ＋ac 2，则△ABC 的形状是( C )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形(3)(·北京)已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．解：原式＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y)2＋1，把x －y ＝3代入，原式＝3＋1＝4第4讲 分式及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：分式的概念、分式的基本性质、约分与通分，分式的加、减、乘、除运算等，题型有选择题、填空题，也有解答题，但难度都属于基础题和中档题的要求．这里要重点指出的是分式的加减乘除运算，它一直是安徽中考的一个重点，这是因为分式的加减乘除运算几乎可以涵盖所有代数式的基本运算，因此考生一定要注意．年份 考察内容 题型 题号 分值 分式方程的计算 填空题 13 5 分式方程的应用解答题 20(2) 8 分式计算选择题 6 41．分式的基本概念(1)形如__AB(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式；(2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式AB 无意义；当__A ＝0且B ≠0__时，分式AB的值为零．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷MB÷M(M 是不等于零的整式)__．3．分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ；－a b ＝a－b ＝－a b .(2)分式的加减法：同分母加减法：__a c ±b c ＝a±bc __；异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±adac __．(3)分式的乘除法： a b ·c d ＝__acbd __； a b ÷c d ＝__adbc __． (4)分式的乘方：(a b )n ＝__a nbn (n 为正整数)__． 4．最简分式如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是增根，需舍去．两个技巧(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．(2)分式求值中的常用技巧分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．1．(·温州)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足( A )A ．x ≠2B ．x ≠－1C ．x ＝2D ．x ＝－1 2．(·广州)计算：x 2－4x －2，结果是( B )A ．x －2B ．x ＋2C .x －42D .x ＋2x3．(·安徽)化简x 2x －1＋x1－x 的结果是( D )A ．x ＋1B ．x －1C ．－xD ．x 4．(·济南)化简m －1m ÷m －1m 2的结果是( A )A ．mB .1mC ．m －1D .1m －15．(·安徽)方程4x －12x －2＝3的解是x ＝__6__．分式的概念，求字母的取值范围【例1】 (1)(·贺州)分式2x －1有意义，则x 的取值范围是( A )A ．x ≠1B ．x ＝1C ．x ≠－1D ．x ＝－1 (2)(·毕节)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．1．(1)(·铜陵模拟)若代数式xx －1有意义，则实数x 的取值范围是( D )A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1(2)当x ＝__－3__时，分式|x|－3x －3的值为0.分式的性质【例2】 (1)(·贺州)先化简，再求值：(a 2b ＋ab)÷a 2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.解：原式＝ab(a ＋1)·a ＋1（a ＋1）2＝ab ，当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3－1＝2(2)(·济宁)已知x ＋y ＝xy ，求代数式1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．解：∵x ＋y ＝xy ，∴1x ＋1y －(1－x)(1－y)＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy)＝x ＋y xy －1＋x ＋y －xy＝1－1＋0＝0【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．2．(1)(·安庆模拟)下列计算错误的是( A ) A .0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －b B .x 3y 2x 2y 3＝x yC .a －b b －a＝－1 D .1c ＋2c ＝3c(2)(·广安)化简(1－1x －1)÷x －2x 2－2x ＋1的结果是__x －1__．分式的四则混合运算【例3】 (·深圳)先化简，再求值：(3x x －2－x x ＋2)÷xx 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．解：原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）（x －2）x ＝2x ＋8，当x ＝1时，原式＝2＋8＝10【点评】 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.3．(1)(·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( B )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－5(2)(·黄山模拟)先化简x 2－4x 2－9÷(1－1x －3)，再从不等式2x －3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）÷x －3－1x －3＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －4），不等式2x －3＜7，解得x ＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x ＝1时，原式＝14分式方程的解法【例4】 (·舟山)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1.解：去分母，得x(x －1)－4＝x 2－1，去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3，经检验x ＝－3是分式方程的解【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，需舍去．4．(1)(·阜阳模拟)若分式方程x x －1－m1－x ＝2有增根，则这个增根是__x ＝1__；(2)(·)解分式方程：3x 2－9＋xx －3＝1.解：方程两边都乘(x ＋3)(x －3)，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9，解得x ＝－4，检验：把x ＝－4代入(x ＋3)(x －3)≠0，∴x ＝－4是原分式方程的解第5讲 二次根式及其运算～安徽中考命题分析 安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：二次根式的加、减、乘、除运算(不要求分母有理化)，用有理数估计无理数的大致范围仍将是安徽中考的主要考察点．尤其是用有理数估计无理数的大致范围是安徽中考的一个重点．题型以选择题、填空题居多．无论什么形式，计算的难度都不会太大，难度均属于基础题．年份 考察内容 题型题号 分值 用有理数估计无理数的大致范围选择题6 4 二次根式有意义 填空题 11 5 － －－－1．二次根式的概念式子__a(a ≥0)__叫做二次根式． 2．二次根式的性质 (1)(a)2＝__a(a ≥0)__．(2)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a ＞0） ； 0（a ＝0） ； －a （a ＜0） Ｗ.3．二次根式的运算(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；(2)二次根式的乘法：a·b ＝__ab(a ≥0，b ≥0)__； (3)二次根式乘法的反用：ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)； (4)二次根式的除法：ab＝__ab(a ≥0，b ＞0)__；(5)二次根式除法的反用：a b ＝__ab(a ≥0，b ＞0)__． 4．最简二次根式运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．“双重非负性”算术平方根a 具有双重非负性，一是被开方数a 必须是非负数，即a ≥0；二是算术平方根a 的值是非负数，即a ≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：(1)某些二次根式的题目中隐含着“a ≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 求值问题“五招”(1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数．1．(·安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．(·安徽)若1－3x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__x ≤13__．3．(·徐州)下列运算中错误的是( A ) A .2＋3＝ 5 B .2×3＝ 6 C .8÷2＝2 D ．(－3)2＝34．(·福州)若(m －1)2＋n ＋2＝0，则m ＋n 的值是( A ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．25．(·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( C )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2二次根式概念与性质【例1】 (1)等式2k －1k －3＝2k －1k －3成立，则实数k 的范围是( D ) A ．k ＞3或k ＜12 B ．0＜k ＜3C ．k ≥12D ．k ＞3(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，试化简：（a ＋b ＋c ）2＋（a －b －c ）2＋（b －c －a ）2＋（c －a －b ）2.解：原式＝|a ＋b ＋c|＋|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a －b|＝(a ＋b ＋c)＋(b ＋c －a)＋(c ＋a －b)＋(a ＋b －c)＝2a ＋2b ＋2c【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于0；(2)注意二次根式性质(a)2＝a(a ≥0)，a 2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．1．(1)(·达州)二次根式－2x ＋4有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≥－2 B ．x ＞－2 C ．x ＜2 D ．x ≤2(2)如果（2a －1）2＝1－2a ，则( B ) A ．a ＜12 B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12二次根式的运算【例2】 (1)(·济宁)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝ab；②a b ·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是( B ) A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③ (2)计算：24－32＋23－216. 解：原式＝26－126＋136－136＝326【点评】(1)二次根式化简，依据ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将其移到根号外；(2)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．2．(1)(·黄山模拟)若20n是整数，则正整数n的最小值为__5__．(2)(·抚州)计算：27－3＝__23__．二次根式混合运算【例3】计算：(10－3)·(10＋3).解：原式＝(10－3)×(10＋3)×(10＋3)＝[(10－3)(10＋3)]×(10＋3)＝1×(10＋3)＝10＋3【点评】(1)二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细；(2)可以运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．3．(1)(·荆门)计算：24×13－4×18×(1－2)0；解：原式＝26×33－4×24×1＝22－2＝ 2(2)已知10的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．解：∵3＜10＜4，∴10的整数部分a＝3，小数部分b＝10－3.∴a2－b2＝32－(10－3)2＝9－(10－610＋9)＝－10＋610。
中考数学第一轮复习-数与式-教案
九年级第一轮复习----- 数与式第一部分《数学课程标准》的考查要求一、实数1..在具体环境中，理解实数及其运算的意义。
2..能用数轴上的点表示实数，会比较实数的大小。
3..借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求相反数与绝对值。
4.. 了解平方根，算术平方根，立方根，无理数和实数，近似数，有效数字的概念。
会求某些数（非负数）的平方根与某些数的立方根。
5..会估算一个无理数的范围。
6..能运用实数及其运算法则解决简单的实际问题。
二、代数式1.．会根据实际问题列代数式，理解代数式的含义，能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。
2.．理解合并同类项和去括号法则，并会进行运算。
3.．会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
4.．根据数量关系或图形关系寻找规律，分析，归纳，总结两变量间的关系。
5.．整式加减在运算时要注意同类项的识别和合并同类项的方法；在整式的乘除运算中要注意理解和区分幂的运算性质，记住乘法公式，理解其特点和应用范围。
6.．弄清因式分解与整式乘法的区别，并加强对基本类型的练习。
会用提公因式法，公式法进行因式分解。
7.．会利用分式的基本性质进行约分和通分。
会进行简单的分式加，减，乘，除运算。
第二部分考点分析9 8 4 数与式是初中数学的基础，中考着重对基本概念和计算能力的考查，题型以选择、填空及简单的解答题为主。
题量一般在 3 个左右。
分值在 17 分左右，所占比例为 14%（指河南省）。
近几年，出现更多贴近学生生活实际、探究规律的开放型问题、估算无理数的大致范围等热点题目，强化了实数的应用和规律探索问题，并注意数形结合、分类讨论思想的应 用和创新意识的培养。
分式的化简求值常常在河南中招试卷中以解答题的形式考查，以探索 规律，写出公式是方式考查学生思维过程和数学思想方法的应用题目越来越成为热点。
第三部分 典型例题第一节 实数典例 1．把下列各数分别填入相应的集合里.作者：牛保中 高玉平22-1 π- -3 ，21.3，－1，1.234，－,0， sin 60 , - , -3， -, ,782( 2 － 3 ) 0 ， 3-2，1.2121121112 …中无理数集合｛｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合 ｛ ｝ 非负数集合｛ ｝点拨： 实数分类不能只看表面形式，应先化简再根据结果去判断。
(完整版)中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案 第一章 数与式《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35%左右，分量之中，不容忽视！一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右） （一） 实数（一课时）（二） 整式与因式分解（一至两课时） （三） 分式与二次根式（两课时）（四） 数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）说明：您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容。
二、课时教案第一课时 实数教学目的1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数．4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数 2．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧科学记数法运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算（二）例习题讲解与练习例1 在3.14，1-5，0，2π，cos30°，722，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易）（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-不是无理数） ③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2π是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2 （1）已知a -2与2a+1互为相反数，求a 的值；（2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易）（这是基础知识，由学生解答，老师总结） 【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数⇔a+b=0；a 、b 互为倒数⇔a ·b=1．（2）非负数概念：例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．（3）①化简=-π5_________；②347-=__________；③估计215-与0.5的大小关系是215- 0.5（填“ > ”、“=”、“<”） ． （答案：（1）3x +；（2）a+b<a<-b<a-b ；（3）①7-π；②347-；③ >）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等． 考查层次：中）（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x -，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．（3）绝对值的意义：（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法． 练习一：（供选用）1．21的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____；9的算术平方根是____；-8的立方根是____．2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ． 3．下列各式中正确的是（ ）2题图A ．2)2(2-=-B ．2121-=-C ．()()22--=-+D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121 4．（1）写出一个小于2-的数： ；（2）绝对值小于5的所有整数的和是_____． 5．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（ ）。
金溪县第二中学中考数学第一轮复习 第一章《数与式》《分式及其运算》导学案 新人教版
§1.4 分式及其运算学习目标1.了解分式的有关概念.2.根据分式的基本性质进行分式的约分、分式的通分.3.能熟练地进行分式的运算.知识梳理1.分式: 如果A、B是整式,B中含有字母且B,那么式子叫做分式.注：分式与整式的区别是分式的分母中必须含有字母，整式的分母中不能含有字母；分式中分母的值不为0时，分式有意义，否则分式无意义，分式的值为0时的条件是分子=0，而分母.2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变，用式子表示是：（其中M是不等于0的整式）。
3.分式的约分:分子、分母同时除以一个不等于0的整式.4.分式的通分:分子、分母同时乘以一个不等于0的整式.5.分式的运算(1)分式乘除：(2)分式乘方：(3)分式加减：考点精析考点１分式的有关概念【思考】当分式的值为0时，则x的值是.【点拨】分式的值为0是指分式的分子为0且分母不为0.考点2 分式的基本性质【思考】化简的结果是.【点拨】将分式中的分子、分母分解因式，约去分子、分母的公因式.考点3 分式的运算【思考】化简：【点拨】异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式后再加减，最后约分.考点巩固1.计算: 12.已知a+ ，求3.若从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，则原来这卷电线的总长度是多少？4.已知分式 ,及一组数据：-2,-1,0,1,2.(1)从已知数据中随机选取一个数代替x ，能使已知分式有意义的概率是多少？(2)先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有意义的数代替x 求值.5. 阅读下列题目的计算过程：）（）（ ）（）（D 1 C 223 B )1(23 A )1)(1()1(2)1)(1(312132⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+--=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯---=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-+---+-=+---x x x x x x x x x x x x x x1．上述计算过程，从哪一步开始出现错误？请你写出该步的代号；2．错误的原因是；3．本题目正确的结论是．学案整理注意点：1.在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算遇到有括号的先算里面的，运算结果必须是最简分式或整式.2．在分式的乘除混合运算中，应先将除法运算转化为乘法运算，如分子、分母是多项式，可先将分子、分母分解因式，先约分化简再相乘.3.在分式的乘方法则中，“分子、分母各自乘方”指的是分子、分母的整体分别乘方，而不是部分乘方.知识点：运用到数学方法与数学思想：。
中考数学复习 第一章数与式 第4课 分式及其运算课件
5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再 将除法化为乘法，进行约分化简，最后 进行加减运算．遇有括号，先算括号里 面的．灵活运用运算律，运算结果必须 是最简分式或整式．
6．解分式方程，其思路是去分母转化为整 式方程，要特别注意验根，使分母为0 的未知数的值，是增根，需舍去．
[难点正本 疑点清源]
解：原式＝ － ＝0，
去分母，5(x－1)－(x＋3)＝0， 去括号，5x－5－x－3＝0，
[2分]
探究提高
1.按照基本步骤解分式方程，其关键是确 定各分式的最简公分母．若分母为多项式 时，应首先进行分解因式．将分式方程转 化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原 分式方程的每一项，不要漏乘常数项．
2.检验是否产生增根：分式方程的增根是 分式方程去分母后整式方程的某个根，但 因为它使分式方程的某些分母为零，故应 是原方程的增根，须舍去．
C
×
＝1.
5．(2011·芜湖)分式方2程×1－1－25 ＝－－31 ( )3
2－1
A．x＝－2 B．x＝2
的解是
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 【例1】 (1)当x1＝______x－_2 时1 ，分式 无意
义； 解析：当x－1＝0，2 x＝1时，xx－ ＋分22式无意义．
基础自测
1．(2011·江津)下列式子是B分式的是( )
x
x
x
x
A. 2 B. x＋1 C. ＋2 y D. 3
解析：根据分式的定义，分母中必含字母 的代数式叫分式．
2．值(是20(11·南)充)当xx－＋分12 式 的值为0时B，x的 A．0 B．1 C．－1 D．－2
解x＋析21：＝＋a当3≠x0＝，1a－时1 1 ，a分－aa1子x－1＝C0，而分母 所以a－分1 式的值为0a.－1
中考总复习 第一章数与式
多项式的乘方只涉及
(a b) 2 a 2 2ab b 2 , (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca.
（二）讲解知识要点
| a | | b | (a, b同号) ab | a | | b | (a, b异号) 0(a或b为零)
a 1 a (b 0) b b (5)乘方的相关运算性质 ①乘方的意义 a n aa a
(4)除法法则
n个
1 a n an ②运算性质： a 1(a 0) ；( ) n . ；a n n (a 0, n为正整数 ). a b b
a m a n a m n (m, n是整数) a m a n a mn (a 0, m, n是整数)
多项式乘(除)以单项式， 先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单 项式，再把所得的积(商)相加． 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加． 遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算： ( x a)(x b) x 2 一、知识点 因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项 式的因式（十字相乘法） 、因式分解一般步骤。 二、课标要求 理解因式分解的概念， 掌握提取公因式法、 公式法等因式分解方法， 能把简单多项式分解因式。 三、考查重点与常见题型 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重 点考查的分式提取公因式、 应用公式法、 分组分解法及它们的综合运用。 习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 四、过程 （一）自学并完成下列知识要点： 因式分解知识点 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因 式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多项式 am bm cm m(a b c), 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可 以是一个多项式． (2)运用公式法，即用
鲁教版九年级数学中考复习第一章数和式：分式及其运算课件(13张PPT)
【经典考题剖析】——把握考点
考点一：分式的概念，求分式中字母的值 例 1. 已知分式的值等于0则x的值为（ ）． A .±1 B.0 C.-1 D.1
剖析：此题考查了分式值为零的可行条件。即：当=0时，需满足A=0且B≠0. 解：
由①，得 由②，得 综上所述，x的值为
在学案上把过程补充完整
【经典考题剖析】——把握考点
【要点梳理】——夯实基础
3．分式的运算法则
【要点梳理】——夯实基础
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式 的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式 的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公 分母． 6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最 后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必 须是最简分式或整式．
【（经1） 典考题剖析】——把握考点
考点三——分式的混合运算
例3.计算
1
2 x
x 1 x2
x x2
4 2x
【点评】 (1)分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，当分子是多项 式时，一定要添加括号；(2)分式化简时，分子分母能因式分解的一定要先因式 分解，既可方便确定最简公分母，又有利于约分达到简化运算的效果；(3)乘除 法是同级运算，必须严格按照从左到右的顺序，切不可先乘后除，如a÷b× ＝ a是错误的．
考点二：分式的基本性质
例2 (1)如果把 的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值( ) A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
中考数学复习学案 第一章 数与式 第3讲：分式
第3讲：分式主备人：宋树东 审核人：王海军 九年级（ ）班 姓名： 【学习目标】1．了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件． 2．掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活进行分式的化简和求值． 【巩固练习】 一、选择题： 1．（10东阳）使分式有意义，则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．2．（10嘉兴）若分式3621x x -+的值为0，则 （ ） A ．x ＝－2 B ．x ＝－12 C ．x ＝12D ．x ＝23．（09烟台）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是 （ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的4．（09包头）化简22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是 （ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x +二、填空题：5．（10广西桂林）已知13x x +=，则代数式221x x+的值为_________． 6．（10湖北黄冈）已知，1,2,______则式子＝．=-+=+b aab a b a b7．（09滨州）化简：2222444m mn n m n -+-= ． 8．(09成都) 化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝______ ． 9．（08芜湖）已知，则代数式的值为 ．10．(09内江)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝________ _．三、解答题：12-x xx 21≥x 21≤x 21>x 21≠x 113x y -=21422x xy yx xy y----1112221222-++++÷--x x x x x x 11．（10德州）先化简，再求值： 其中12+=x ．12．（08遵义）小敏让小惠做这样一道题：“当7x =时，求223622444x x x x x -+÷--++的值”．小惠一看：“太复杂了，怎么算呢？”，你能帮助小惠解这个题吗？请写出具体过程．13．(10贵阳)先化简：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，再从－2＜a ＜2的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．14．（09崇左）已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．。
数学中考一轮复习学案 第一章 数与式 第5节 分式
第一章 数与式 第5节分式考点1.分式的概念1．分式：形如__AB __(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．2．与分式有关的结论(1)分式AB 无意义的条件是__B ＝0__．(2)分式AB 有意义的条件是__B ≠0__．(3)分式AB 值为0的条件是__A ＝0且B ≠0__．考点2. 分式的性质 1．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.A B ＝A ·MB ·M ，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__公因式__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__同分母__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 考点3. 分式的计算 分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． (2)分式的加减法：同分母加减法，__分母不变，分子相加减__；异分母加减法，__先通分，后加减__．(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝__ac bd __；a b ÷c d ＝__adbc __．(4)分式的乘方：(a b )n ＝__anbn __．（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先 算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
考点1.分式的概念 ◇典例 ：1. 下列式子是分式的是（ ） A ．5x B ．1x x + C ．6x y + D ．3xy π【考点】分式的定義【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 解：A 、分母中不含有字母的式子是整式，故A 错误； B 、分母中含有字母的式子是分式，故B 正确； C 、分母中不含有字母的式子是整式，故C 错误； D 、分母中不含有字母的式子是整式，故D 错误； 故选：B ．2.一项工程，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要________小时． 【考点】列分式【分析】甲单独做一天可完成工程总量的1x ，乙单独做一天可完成工程总量的1y ，二人合作一天可完成工程总量的11x y +，工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需天数=111()1x y xyx y xy x y +÷+=÷=+ 3.（2017年江苏连云港市）分式有意义的x 的取值范围为 ．【考点】分式有意义的条件．【分析】分式有意义时，分母不等于零． 解：当分母x ﹣1≠0，即x ≠1时，分式有意义．故答案是：x ≠1．4.（2017年广西桂林市）若分式的值为0，则x 的值为（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．2 D ．±2【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x 的值． 解：由题意可知：解得：x=2 故选（C ）◆变式训练1．下列式子是分式的是（ ） A ．2x B ．11x + C ．2x y + D ．2xy π【考点】分式的定義【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式. 解：2x 、2x y + 、2xy π的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 11x +分母中含有字母，因此是分式． 故选：B ．2.（2018年湖南省湘西州）要使分式有意义，则x 的取值范围为 ．【考点】分式有意义的条件【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案． 解：由题意可知：x+2≠0， ∴x ≠﹣2 故答案为：x ≠﹣2【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（2017年山东淄博市）若分式的值为零，则x 的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．2【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 解：∵分式的值为零，∴|x|﹣1=0，x+1≠0， 解得：x=1． 故选：A ．4.（2018年浙江省湖州市）当x=1时，分式的值是_____．【考点】分式的值【分析】把x=1代入分式计算即可 解：把x=1代入分式得：=211= 故答案为： 考点2. 分式的性质 ◇典例： 1. 如果把分式中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ． 扩大4倍B ． 扩大2倍C ． 不变D ． 缩小2倍 【考点】分式的基本性质． 【分析】 把分式中的x 和y 都扩大2倍，分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，利用分式的基本性质化简即可． 解：把分式中的x 和y 都扩大2倍后得：==2•，即分式的值扩大2倍． 故选：B ．点评：根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．2.不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（）A． B． C． D．【考點】分式的基本性質【分析】分式的分子、分母同乘以-1，再同乘以10，再化简即可．解：原式===，故选D．◆变式训练1.把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．变为原来的 D．不变【分析】根据题意得出式子，化简后即可得出答案．解：把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍得出：，∵=，∴把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，分式的值不变，故选D．2.下列变形不正确的是（）A．-= B． C．= D．=【分析】同时改变分式和分子的符号可对A、B进行判断；同时改变分子和分母的符号可对C、D进行判断．解：A、-=，所以A选项的计算正确；B、=-，所以B选项的计算错误；C、=，所以C选项的计算正确；D、=，所以D选项的计算正确．故选B．考点3. 分式的计算◇典例：1.（ 2018年天津市）计算的结果为（）A. 1B. 3C.D.【考点】分式的混合运算【分析】根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．解：原式=.故选：C．点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．2. （2017年山东省潍坊市）计算：（1﹣）÷= ．【考点】分式的混合运算．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．解：（1﹣）÷===x+1，故答案为：x+1．3.（2018年贵州省安顺市）先化简，再求值：，其中.【考点】分式的化简求值【分析】先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将x=-2代入化简后的式子即可解答本题．解：原式=.∵，∴，舍，当时，原式.点睛：本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．◆变式训练1．（2017年山东枣庄市）化简：÷= ．【考点】分式的乘除法．【分析】根据分式的乘除法的法则进行计算即可．解：÷=•=，故答案为：．2．（2018年天津市）计算的结果为（）A. 1B. 3C.D.【考点】分式的混合运算【分析】根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．解：原式=.故选：C．点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3．（2017年黑龙江省绥化市）计算：（ +）•= ．【考点】分式的混合运算．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式=×=故答案为：4. (2018年贵州省遵义市)化化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．【考点】分式化简求值【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．解：原式=[﹣]÷=（﹣）•=•=a+3，∵a≠﹣3、2、3，∴a=4或a=5，则a=4时，原式=7．1.（2017年广西贺州市）下列式子中是分式的是（）A． B． C．D．【考点】分式的定义．【分析】根据分式的定义求解即可．解：、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．故选：C．2.（2018年湖北省武汉市）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x+2≠0， 解得：x ≠﹣2． 故选：D ．3.（2018年浙江省温州市）若分式的值为0，则的值是（ ）A. 2B. 0C. -2D. -5 【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，得出混合组，求解得出x 的值。
中考数学复习 第一章 数与式 第五节 分式及其运算课件
在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”“同一个” “不等于0”这些字眼的意义，否则(fǒuzé)容易出错．
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4．下列(xiàliè)等式成立的是C(
)
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5．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列(xiàliè)分式的值保持
不变的是( D )
a
A．a≠0 B．a>－2且a≠0 C．a>－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
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错解 正解 错因 警示
A 要使式子有意义，则 ∴a≥－2且a≠0.故选D 忽略隐含条件二次根式中被开方数大于等于0 做题时要考虑周全，注意不要忽略题目中的隐含条件
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内容(nèiróng)总结
x3
为 _－__3_．
的值为0，则x的值
3．(2018·广西贵港中考)若分式 值为 __－_1_．
的2 值不存在，则x的
x 1
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考点二 分式的基本性质(xìngzhì)
例2 分式－ 1 可变形为( )
1 x
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【分析】利用(lìyòng)分式的基本性质求解即可． 【自主解答】 根据分式的性质，分子、分母都乘－1，分式的值不 变，可得答案．故选D.
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【自主(zìzhǔ)解答】
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分式化简求值的易错点
(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简 时不能跨度太大，而缺少(quēshǎo)必要的步骤，代入求值的模式一般 为“当…时，原式＝…”．
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江西省中考数学复习第1单元数与式第4课时分式教案
第一单元数与式第4课时分式教学目标【考试目标】1。
了解分式和最简分式的概念2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算.【教学重点】1.了解分式的相关概念，并且熟记分式有意义的条件。
2.了解分式的基本性质及其相关概念.3.掌握分式的运算法则。
教学过程一、知识体系图引入，引发思考通过上述知识体系图，复习回顾实数的相关知识，为本节课的学习打下基础。
二、引入真题，归纳考点【例1】（2015年金华）要使分式错误!有意义，则x的取值应满足 (D）A．x＝－2 B．x≠2C．x＞－2 D．x≠－2【解析】此题考查了分式的概念，要使分式有意义则分式的分母不能为0,x +2≠0，即x ≠—2,故选D 选项。
【考点】考查了对分式概念的理解，记牢分式有意义的情况.【例2】（2014年无锡)分式错误!可变形为 （D)A 。
错误!B ．－错误!C 。
2x －2D ．－错误! 【解析】此题考查了分式的变形，运用了分式的基本性质,此题难度不高,选择D 选项。
【考点】考查分式的基本性质。
【例3】（2014年长沙模拟）如果分式x 2－1x ＋1的值为零,那么x 的值是___1___． 【解析】此题考查了分式的概念，若分式的值为0，则分式的分值为0，分母不为0（分母为0时，此分式无意义）。
所以x 2—1=0，且x +1≠0。
解得x =1.【考点】考查分式的概念，要熟记分式有意义的情况，切记不能多写，将分式无意义的情况也答出.【例4】【例4】（2016年江西）先化简，再求值： 解:原式.6,931322=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x x 其中()()().21696,6.9332333132931322-=-=∴=-=+--=-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=原式x x x x x x x x x x x x x x x x【解析】此题考查了分式的综合运算,涉及了分式的除法法则、分式的加减法、平方差公式、多项式与单项式相乘等多方面知识.熟练运用分式、整式的运算法则，此题不难解出。
中考数学复习第一单元数与式第04课时分式及其运算
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考
点
知
识
梳
理
高
频
考
向
探
究
课
时
分
层
训
练
考向一 分式(fēnshì)的有关概念与性质
1.[2019·衡阳]如果分式+在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 ( A )
A.x≠-1
B.x>-1
C.全体实数
D.x=-1
-
2.[2019·黄石]若式子 - 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 ( A )
-
7
2 2 -8
解: x+3--3 ÷
因为
-3
=
(+3)(-3)
-3
÷
-
7
,再从 0≤x≤4 中选一个适合的整数代入求值.
-3
− -3 ·2 2 -8 =
(+4)(-4)
-3
-3
·2(-4) =
+4
2
.
-3 ≠ 0,
2 2 -8 ≠ 0,
所以 x 不能取 0,3,4,考虑到从 0≤x≤4 中选一个整数,故 x 只能取 1 或 2.
代入求值。(2)化简时,不要随意去掉分母。(3)当未知数的值没有明确给出时,所选取(xuǎnqǔ)的未知数的值必须
使原式及化简过程中的分式都有意义.
No
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12/9/2021
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几个分式中,各分母的所有因式的最高次幂的积
公分母
变号法则
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分
最简
课
时
分
层
中考数学复习方案 第一单元 数与式 第04课时 分式数学课件
解:原式=
(+3)(-3)
-3
-
7
-3
·
7
-3
-3
2 2 -8
2 2 -8
÷
=
-3
,再从 0≤x≤4 中选一个适合的整数代入求值.
(+4)(-4)
-3
·
-3
2(-4)
=
+4
2
.
-3 ≠ 0,
因为 2 2 -8 ≠ 0,
2 ≠ 0,
所以 x 不能取 0,3,4,考虑到从 0≤x≤4 中选一个整数,故 x 只能取 1 或 2.
(-2)(+2)
(-2)
+2
-2
+
+3
2
2
+
-2
-2
·
2 +3
=
2
∵a2+3a-2=0,
∴a2+3a=2.
2
∴原式= =1.
2
,
2 -2
-2
1
·
-2
1
2
÷
2
2
+3 -2
=
-2
·
2
19.先化简,再选一个合适的数代入求值:
解:原式=
=
+1
(-1)2
2
15.[2013·江西 17 题]先化简,再求值:
2 -4+4
2
÷
2 -2
2
+1,在 0,1,2 三个数中选一
个合适的数代入求值.
(-2)2
解:原式=
2
·
2
+1=
(-2)
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鲁教版九年级中考复习学案第一章数与式第三讲 分式及其运算
【知识梳理】——夯实基础
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
将一个分式约分的
主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通
分。
通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。
2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：
(0)A A M A M M B B M B M
⨯÷==≠⨯÷其中 （2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。
即：
a a a a
b b b b
--==-=--- 3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 的基本性质及分式的符号法 则： ①若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时，一般要化为整数。
②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。
（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；
（3）分式乘方是____________________，公式_________________。
4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。
5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
【经典考题剖析】——把握考点
考点一：分式的概念，求分式中字母的值
()n n
a b a b c c a c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad d b c bc a a n b ⎧±⎧±=⎪⎪⎪⎪⎨±⎪⎪±=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⋅=⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪÷=⋅=⎪⎪⎩⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b
例 1. 已知分式的值等于0则x 的值为（ ）．
A .±1 B.0 C.-1 D.1 剖析：此题考查了分式值为零的可行条件。
即：当=0时，需满足A=0且
B ≠0.
解：
由①，得 由②，得 综上所述，x 的值为
跟踪训练：若分式2
2
1x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．x=－1或x=2 B 、x=0 C ．x=2 D ．x=－1
考点二：分式的性质
例 2 (1)如果把 的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值( )
A ．不变
B ．扩大50倍
C ．扩大10倍
D ．缩小到原来的
对应训练：若a ＝2b≠0，则 的值为______．
考点三：分式的混合运算
例3（自主解答）
2214
122x x
x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭
对应训练：
1.（2015·山东泰安，T8，3分）化简的结果等于（ ）
A .a-2 B.a+2 C. D..
2.（2016·山东泰安，T4，3分）化简的结果为（
）
D.a
3. （2017·山东泰安，T5，3分化简的结果为（ ）
4.计算
（1）()241222a a a a -÷-⨯+-； （2）2
22
x x x --- 考点四：分式的化简求值
例4.先化简，再求值：，其中22x =-.
分析：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的。
当然，此题亦可以利用乘法的分配率先算乘法，再算减法能使运算简便，达到化简的目的。
所以此类题先根据分式的混合运算顺序法则或者运算律化简原式，再将x 的值代入计算即可。
注意：当分子、分母是多项式时先分解因式。
解答过程见课件
对应训练：
1．（2018·山东泰安，19，6分）先化简，再求值：
，其中m ＝2
－2．
2. （2019·山东泰安，T19，8分）先化简，再求值
其中a= 自主解答
【大显身手】——形成能力
一、选择题
1．(2013·成都)要使分式5x －1
有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x >1 C ．x <1 D ．x ≠－1
2．(2013·南京)计算a 3·(1a
)2的结果是( ) A ．a B ．a 5 C ．a 6 D ．a 9
3．下列运算正确的是( )
A.y －x －y ＝－y x －y
B.2x ＋y 3x ＋y ＝23
C.x 2＋y 2x ＋y ＝x ＋y
D.y －x x 2－y 2＝－1x ＋y
4．计算：(a b －b a )÷a －b a
＝( ) A.a ＋b b B.a －b b C.a －b a D.a ＋b a
二、填空题 5．(2014·昆明)当x ＝__ __时，分式
1x －10无意义． 6．要使分式11
x +有意义，则x 应满足的条件是 __ __． 7．（2019·贵阳）若分式的值为0，则x 的值是 .
8．(2014·泰安)化简：
的结果为_ __．
三、解答题 9．先化简，再求值：2x x 2－1－1x －1
，其中x ＝2－1. 10．（2018·福建，19，8分）化简求值：m m m m 11122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其中13+=m
11.（2018·广东，18，6分）先化简，再求值：.2
341642222=--⋅+a a a a a a ，其中。