1.1 认识无理数(第1课时)教学设计
北师大版八年级数学上册第二章实数第1节认识无理数优秀教学案例
2.案例分析：让学生分析一些实际问题，如测量物体长度、计算圆的面积等，运用无理数解决实际问题。
3.小组分享：各小组向全班分享自己的讨论成果和案例分析，促进学生之间的交流和合作。
（四）总结归纳
1.无理数的定义和性质：引导学生总结无理数的定义和性质，加深学生对无理数概念的理解。
北师大版八年级数学上册第二章实数第1节认识无理数优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是北师大版八年级数学上册第二章实数的第一节——认识无理数。在学习了有理数的基础上，本节课引导学生认识无理数，理解无理数的概念和性质，体会数学的广泛应用。无理数是数学中的一个重要概念，它在生活中和学科领域中有着广泛的应用。如圆周率π就是一个无理数，它在几何学、物理学等领域有着重要应用。另外，无理数在数学分析、高等数学等领域也是基本概念。因此，本节课对于学生理解和掌握数学知识体系，培养学生的数学思维能力具有重要意义。
5.注重学生的反思与评价：在教学过程中，我注重学生的反思与评价，及时反馈，指导学生的改进方向。通过引导学生进行自我反思和相互评价，我帮助学生检查自己对无理数概念的理解和掌握程度，发现自己的不足，明确改进的方向。这种教学方式能够培养学生的评价能力和批判性思维，提高学生的自我认知和自我改进能力。
作为一名特级教师，我深知教学案例亮点的重要性。在教学过程中，我努力将教学内容与学生的生活实际和学科领域相结合，采用多种教学方法和手段，关注学生的个体差异，创设生动有趣的情境，引导学生在问题导向的过程中自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。同时，我注重学生的反思与评价，及时反馈，调整教学策略，以达到最佳教学效果。
（二）讲授新知
1.无理数的定义：详细讲解无理数的定义，并通过实例进行说明，让学生理解和掌握无理数的概念。
2.1.1 认识无理数(第1课时)
a
有理数 。
a既不是整数又不是分数，所以a一定不是
那么a到底是什么数呢？
找一找
在下列正方形网格中，先找出长度为有 理数的线段，再找出长度不是有理数的 线段.
画一画（1）
在下面的正方形网格中，画出一条 长度 是有理数的线段和一条长度不 是有理数的线段
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形 1．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数 3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数
,
,
越来越大， 所以
a
a不可能是整数
3 9，
2
（2）a可能是分数吗? a可能是以2为分母的分数吗?
,
a
3 3 9 ...... 2 2 4,
结果都为分数，所以a不可能是
以2为分母的分数。
（2）a可能是分数吗? a可能是以3为分母的分数吗?
仿一仿
例：在数轴上表示满足x2 2 x 0 的 x
仿：在数轴上表示满足 x 5 x 0的 x
2
巧妙的组合：
（1）图2-1中，以直角三角形的斜边 为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b， 2 b满足什么样条件？ （3）b是有理数吗？
S ?
b 1
图2-1
随堂练习:
如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是
整数吗？可能是分数吗？
解 : 因为ABC是正三角形, 且AD BC
所以BD DC, 则BD AB 由勾股定理得: h
A
h
D C
h不可能是整数； h也不可能是分数。
认识无理数教案
认识无理数教案一、教学目标1.了解无理数的概念，能够区分有理数和无理数。
2.掌握无理数的基本性质，包括无理数的无限不循环小数表示、无理数的数轴表示等。
3.培养学生对无理数的理解、应用和推理能力。
二、教学重点无理数的概念和特点。
三、教学难点无理数的无限不循环小数表示。
四、教学准备教学课件、黑板、白板笔、教学用具。
五、教学过程Step 1 引入新知1.教师出示一组有理数（例如：2、3、4）和一组无理数（例如：√2、π），请学生观察并分析它们的特点。
2.引导学生发现有理数和无理数的不同之处。
3.出示定义：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的实数。
4.让学生举例区分有理数和无理数。
Step 2 理解无理数1.通过分数、小数和百分数的例子，帮助学生理解有理数的概念。
2.通过根号、π等例子，引导学生理解无理数的概念。
3.让学生总结无理数的特点。
Step 3 无理数的无限不循环小数表示1.举例介绍无理数的无限不循环小数表示。
2.通过几个简单的例子，帮助学生理解无理数的无限不循环小数表示方法。
3.让学生自己尝试将某些无理数表示为无限不循环小数。
4.让学生总结无理数的无限不循环小数表示的特点。
Step 4 无理数的数轴表示1.通过数轴上有理数和无理数的位置关系，帮助学生理解无理数在数轴上的表示方法。
2.通过绘制数轴上的有理数和无理数，让学生直观感受无理数的数轴表示方法。
3.让学生总结无理数的数轴表示的特点。
六、教学拓展1.引导学生了解无理数的一些应用领域，如几何、物理等。
2.组织学生进行讨论，深入探究无理数的其他性质和应用。
七、课堂小结1.复习本节课的重点内容和要点。
2.检查学生对无理数的理解情况，解答学生提出的问题。
八、课后作业1.查资料，了解无理数的发现历史和研究成果。
2.预习下节课的内容。
认识无理数教学设计
认识无理数教学设计一、教学目标1.了解无理数的概念和特点。
2.能够区分有理数和无理数。
3.能够正确运用无理数进行简单的计算。
二、教学重难点1.无理数的概念和特点。
2.有理数和无理数的区分方法。
3.无理数的运算规律。
三、教学准备1.教学工具：黑板、白板、投影仪等。
2.教学材料：有理数和无理数的定义、例题、练习题等。
四、教学过程Step 1 引入新知1.教师将黑板上划分为两个区域，一个区域写有理数，一个区域写无理数。
2.教师向学生提问：“你们知道什么是有理数吗？有理数有哪些特点？”学生回答。
3.教师引导学生复习有理数的定义和特点，然后进一步提问：“你们知道什么是无理数吗？无理数有哪些特点？”学生回答。
Step 2 学习无理数的定义和特点1.教师向学生介绍无理数的定义和特点，可以使用PPT或投影仪展示相关内容。
2.教师向学生阐述无理数的定义：“无理数是指不能表示为两个整数的比值（或两个有理数的差）的实数，它们也没有无限循环小数表示。
”3.教师向学生解释无理数的特点：“无理数的小数表示是无限不循环的，它们不能用分数表示，例如π和根号2、”Step 3 区分有理数和无理数1.教师向学生提问：“如何区分有理数和无理数？”学生回答。
2.教师向学生解释区分方法：“有理数和无理数之间不存在其中一种简单的关系，只能通过判断其小数表示是否有循环来确定。
”3.教师通过例题和练习题让学生进行练习，巩固区分有理数和无理数的方法。
Step 4 无理数的运算规律1.教师向学生介绍无理数的运算规律，可以使用PPT或投影仪展示相关内容。
2.教师向学生解释无理数的运算规律：“无理数的加减乘除运算与有理数的运算规律相同。
”3.教师通过例题和练习题让学生进行练习，巩固无理数的运算规律。
Step 5 拓展应用1.教师向学生提问：“无理数在生活中有哪些应用？”学生回答。
2.教师通过举例向学生介绍无理数的应用领域，例如建筑设计、物理学和金融等。
北师版数学八年级上册1 认识无理数(1课时)教案与反思
1 认识无理数祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇一、基本目标【知识与技能】1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由．【过程与方法】1．让学生亲自动手实践，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神．2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练学生的思维判断能力．【情感态度与价值观】1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情．2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养合作与钻研精神．3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养为真理而奋斗的献身精神．二、重难点目标【教学重点】无理数的概念．【教学难点】判断一个数是有理数还是无理数．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P21～P23的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．无限不循环小数称为无理数.2．下列实数中，是无理数的是( B )A．13B．πC．0 D．9环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－53，，－0.125，－5π，0.35，227，5.313 113 111 3…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．【互动探索】(引发学生思考)有理数和无理数的区别是什么？【解答】有理数：3.14，－53，，－0.125,0.35，227；无理数：－5π，5.313 113 111 3…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．【互动总结】(学生总结，老师点评)有理数与无理数的主要区别：(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列说法正确的是( B )A．有理数只是有限小数．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．π3是分数2．在13，3.141 592 6,0.707 007 000 7…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，π中，无理数有( B )A．1个B．2个C ．3个D ．4个3．已知半径为1的圆． (1)它的周长l 是有理数还是无理数？说说你的理由；(2)估计l 的值(结果精确到十分位)；(3)如果结果精确到百分位呢？解：(1)它的周长l ＝2π是无理数，理由如下：2π是无限不循环小数．(2)果精确到十分位，2π≈6.28≈6.3.(3)结果精确到百分位，2π≈6.282≈6.28.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】正数x 满足x 2＝17，则x 精确到十分位的值是________.【互动探索】哪个正整数的平方最接近17，下一步该怎么办呢？【解答】已知x 2＝17，所以4<x <5,4.12＝16.81<17,4.22＝17.64>17，所以4.1<x <4.2.又因为4.12＝16.9744<17,4.132＝17.0569>17，所以4.12<x <4.13.故x 精确到十分位是4.1.互动总结】(学生总结，老师点评)估计x 2＝a (a >0)中的正数x 各位上的数字的方法：(1)估计x 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小数即为整数部分；(2)确定x 的十分位上的数，同样寻找它在哪两个连续整数之间；(3)按照上述方法可以依次确定x 的百分位、千分位…上的数，从而确定x 值．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)无理数⎩⎨⎧ 定义：无限不循环小数识别请完成本课时对应练习！【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
北师大版八年级上册第二章实数第二节认识无理数 第一课时算术-平方根教案
第二章第一节认识无理数第一课时算术- 平方根教案一、教学目标1. 掌握平方根的概念，理解无理数的含义。
2. 能够正确地计算平方根，掌握平方根的运算法则。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学重点和难点教学重点：1. 平方根的概念和运算法则。
2. 无理数的理解和计算。
教学难点：1. 如何理解平方根的概念。
2. 如何正确进行无理数的计算。
三、教学过程1. 复习导入：回顾已学的平方运算和开方运算，引出新的概念。
2. 概念讲解：详细讲解平方根的概念，让学生理解平方根的含义和特点。
3. 运算讲解：选取具有代表性的例题，引导学生掌握平方根的运算法则，让学生能够进行平方根的计算。
4. 探究与发现：引导学生探究无理数的特点，理解无理数的概念，并能够进行无理数的计算。
5. 巩固提高：通过提问、小组讨论等方式，让学生回顾所学知识，巩固记忆。
6. 课堂小结：总结本节课所学的知识点和重点，帮助学生形成清晰的知识框架。
四、教学方法和手段1. 讲解与演示：教师通过讲解和演示，让学生理解平方根的概念和运算法则。
2. 练习与讨论：学生进行课堂练习和小组讨论，加深对平方根和无理数的理解和掌握。
3. 多媒体辅助：使用多媒体设备展示平方根和无理数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：选取适当的练习题，让学生在课堂上进行平方根的计算和无理数的运算，检验学习效果。
2. 课后作业：布置适量的作业题，让学生在家中继续巩固平方根和无理数的知识和技能。
3. 互动评价：学生之间互相评价课堂练习和作业，互相学习和帮助，共同提高。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：提供详细的PPT讲解，帮助学生更好地理解平方根和无理数的概念和性质。
2. 数学软件：使用数学软件展示平方根和无理数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
3. 参考资料：提供相关的数学参考资料，供学生自主学习和研究。
七、结论本节课介绍了平方根的概念和运算法则，以及无理数的特点和计算方法。
2.1 第1课时 认识无理数(教学设计——精品教案)
2.1认识无理数教学目标【知识与能力】感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【过程与方法】经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.【情感态度价值观】通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.教学重难点【教学重点】感受无理数产生的背景.【教学难点】会判断一个数是不是无理数.教学准备两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?第二环节：新知构建探究活动问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA 的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P 表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.第三环节：课堂小结通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.第四环节：检测反馈1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )A .是有理数B .不是有理数C .不确定D .4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )A .16B .25C .2D .4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .答案:略第五环节：布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b 2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略板书设计2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a ,b 存在,但不是有理数.教学设计反思成功之处大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.不足之处在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解. 再教设计设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.。
认识无理数优秀教案
2.1认识无理数（第一课时）一、教学目标叙写１．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1．２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在.３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解．二、教学重难点１．重点：让学生经历无理数的发现过程.２．难点：会判断一个数是否为无理数．三、教学过程（一）、情景引入［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？（二）、自主探究1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？［生甲］a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a 2=2.［生丙］由a 2=2可判断a 应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数. ［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了.活动内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】将两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形.设这个大的正方形的边长为a,a 满足什么条件？【议一议】： 已知22a =，请问：①a 可能是整数吗？②a 可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？释2．满足22a =的a 为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础（四）、整理反思1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？2.1认识无理数（第二课时） 一、教学目标叙写1、学生通过预习教材22-23页,初步感知无理数的估算过程．2、学生通过合作探究“活动1”部分，让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想，通过学生的活动2并探究得出无理数的概念.3、学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．4、学生通过完成“五、当堂评价”，能正确地对给出的数进行分类，加深对有理数和无理数的理解．二、教学重难点１．重点：了解无理数与有理数的区别并能正确判断.２．难点：无理数概念的建立及估算，会判断一个数是无理数还是有理数．三、教学过程（一）、复习引入1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…)有理数分数(如31，52-，119，0.5，… )2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.（二）、自主探究1.探索无理数的小数表示请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.(归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数).［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.［生］因为 1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.［生］我的探索过程如下.［师］还可以继续下去吗？［生］可以.［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念思考：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？——分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［生］3=3.0，54=0.8，95=•5.0， •=71.0458，••=818.1112 ［生］3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数. ［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.（三）、合学应用例1：填空：0.351， 4.96••-，0.4583，•7.3，－π，－71，18. 3.14159， 6， －5.2323332…，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 ：判断下列说法是否正确：(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）（四）、整理反思1．无理数的定义.2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3．请把已学过的数怎样分类？易错点： .（五）、当堂评价1、以下各正方形的边长是无理数的是（ ）(A)面积为25的正方形；(B)面积为254 的正方形； (C)面积为8的正方形； (D)面积为1.44的正方形.2.已知：在下数中254 ，5，1.42••-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ，－1.424224222…， （1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.（六）、变练拓展1. 设面积为5π的圆的半径为a .(1)a 是有理数吗？说说你的理由.(2)估计a 的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢？解：∵πa 2=5π∴a 2=5(1)a 不是有理数，因为a 既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数.(2)估计a ≈2.2.(3)a ≈2.24.。
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第二章实数
1. 理解无理数（第1课时）
一、学生起点分析
通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．
二、教学任务分析
《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存有，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存有性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是：
①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存有；
②能判断三角形的某边长是否为无理数；
③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手水平和探索精神；
④能准确地实行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；
三、教学过程设计
本节课设计了6个教学环节：
第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．
第一环节：质疑
内容：【想一想】
⑴一个整数的平方一定是整数吗？
⑵一个分数的平方一定是分数吗？
目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的实行起了很好的铺垫的作用
第二环节：课题引入
内容：1．【算一算】
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？
2．【剪剪拼拼】
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？
目的：选择客观存有的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．
第三环节：获取新知
内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】
【议一议】：已知22
a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？
【释一释】：释1．满足22
a=的a为什么不是整数？
释2．满足22
a=的a为什么不是分数？
【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，
那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新
数”（无理数）的学习奠定了基础
【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出
长度不是有理数的线段
目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存有，从而激发学习新知的兴趣
效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存有一种数与以往学过的数不同，
产生了学习新数的必要性．
第四环节：应用与巩固
内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】
【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：
1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段
【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）
2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数
【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x
解： （右2）
仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x
【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把
它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）
目的：进一步感受“新数”的存有，而且能把“新数”表示在数轴上 效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．
第五环节：课堂小结
内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？
2．客观世界中，的确存有不是有理数的数，你能列举几个吗？
3．除了本课所理解的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化． 效果：学生总结、相互补充，学会实行概括总结．
第六环节：布置作业
习题2.1
六、教学设计反思
（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力
大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验表现出来，然后实行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．
（二）化抽象为具体
常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，所以对新数的学习不能仅仅停留于感性理解，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言实行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存有，让学生觉得新数并不抽象．
（三）强化知识间联系，注意纠错
既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不能够用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这个点：“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．。