(整理)考研数学：求数列极限的方法总结.

考研：求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解：变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知：｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描（n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知：｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2：（0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)，归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。

考研数学极限七种运算方法及适用情况

考研数学极限七种运算方法及适用情况考研数学极限七种运算方法及适用情况
除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的.隐含之意为。

极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。

第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，
需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;
第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需
要注意一下几点：
1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;
第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不
必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原
则会在强化阶段给出;
第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现
不等关系的目的;
第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的
问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决
夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、
极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;
第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。

极限的求法总结

a xn
=
a 0 xn
a
即 {xn} 有下界，由此得
xn+1 −
xn
=
1 2
(
xn
+
a xn
)
−
xn
=
a − xn2 2 xn
0
既
xn 单调下降，因此
lim
x→+
xn
存在。
（2）设
lim
x→+
xn
=
，由（1）
a 0
对递推公式两端取极限，得 = 1 ( + 2 ) 2
解得 = a （舍去负值），所以 = a.
=
a0
(
lim
x→x0
x)n
+
a1
(
lim
x→x0
x) n−1
++
an
= a0 x0n + a1 x0n−1 + + an = Pn (x0 ).
２
极限的求法总结
例3. lim x2 + 5x − 6 x→−1 3x2 + 2
商的法则(代入法)
方法总结：多项式函数与分式函数(分母不为0)用代入法求极限;
极限的求法总结
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种求极限的方法和相关问题
１
1.代入法求极限
极限的求法总结
例1.lim(x2 + x − 2) x→2
例2.设有多项式Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + ... + an ,
求
lim
x → x0
Pn
(

考研数学浅谈求数列极限常用方法

考研数学浅谈求数列极限的常用方法来源：文都教育更多考研数学函数、微积分、向量代数、空间几何等考试要求及技巧请查看：/zRGhCBV前面我们已经探讨了求函数极限的常用方法，在此基础上，我们继续探讨求数列极限的常用方法。

对于数列极限，我们可以转化成函数极限求解，这里就不在赘述，主要探讨数列极限的常用方法。

1利用子数列与数列的关系求极限定理1：若数列{a }n 收敛，则任何子数列收敛，且子数列与原数列具有相同的极限；若任何子数列收敛且具有相同极限，原来数列收敛（实际应用时经常判定奇数列与偶数列的敛散性）；若存在子数列发散，原数列发散；若存在两个子数列极限值不等，原数列发散。

【例1】判断数列nx (1)1n n n =-+，n2x (1)1n n n =-+的敛散性，若收敛求出极限. 【解】数列nx (1)1n n n =-+的奇数列收敛于-1，偶数列收敛于-1，所以数列n x (1)1n n n =-+发散；数列n 2x (1)1n n n =-+的奇数列与偶数列均收敛于0，所以数列n2x (1)1n n n =-+收敛.【例2】求1lim [(1)e]nn n n→∞+-【解】1ln(1)00ln(1)ln(1)11200001(1)e1(1)e e e lim [(1)e]lim lim lim111e 1ln(1t)t 1lim lim lim lim 22t x t t x x x t t t t t tt t t t t x x x t t xe t e e e e t t t t +→∞→∞→→++--→→→→+-+--+-===--+-+=====- 2利用单调有界数列必有极限定理2（1）设{a }n 单调递增，,则当{a }n 无上界时,lim n n a →∞=∞；当{a }n 有上界时，lim n n a →∞存在，且lim n n n a a →∞≤.（2）设{a }n 单调递减，,则当{a }n 无下界时,lim n n a →∞=-∞；当{a }n 有下界时，lim n n a →∞存在，且lim n n n a a →∞≥【例3】设222111(1)(1)(1)23n x n=+++，证明数列{}n x 收敛. 【解】显然数列{}n x 单调递增.222111ln(1)ln(1)ln(1)23n n x e++++++=因为2222111111ln(1)ln(1)ln(1)11(n 1)n 232nn++++++≤++=-≤-⋅，所以数列{}n x 有界，由极限存在定理得{}n x 收敛.3.利用夹逼定理求极限定理3设n n n a b c ≤≤，且lim lim ,lim n n n n n n a c a b a →∞→∞→∞===则.【例4】22212lim()12n nn n n n→∞++++++【解】因为2221)(i 1,2n)1i i n n n i n ≤++=+++，所以 222221(n 1)121(n 1)21221n n n n n n n n n n ++≤+++≤⋅+++++ 221(n 1)1(n 1)1lim lim 2212n n n n n n n →∞→∞++==++且，有夹逼定理得， 222121lim()=122n n n n n n →∞++++++ 4.利用定积分求极限定积分是求解数列和式和乘积形式的一种重要方法。

考研高数中求极限的几种特殊方法

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

考研数列极限计算汇总

数列极限及其计算（习题部分）数列极限存在性的证明以及数列极限的计算，是考研数学的重难点，有时会命制成压轴题。

在考研范围内，数列极限计算常用的方法主要有单调有界准则、夹逼准则、初等变形、定积分定义、归结原理、级数收敛的必要条件、转化为幂级数求和等。

本章部分题目涉及到后续章节的知识（如利用定积分定义求极限），自学本讲义的同学可暂时跳过。

题型一、递推数列的极限（一）单调有界准则例题1收敛并求极限值注：利用单调有界准则证明递推数列的收敛性，是常考题型。

在具体证明单调性和有界性时，常用到一些经典的不等式放缩，如均值不等式，柯西不等式等等；有时也可用数学归纳法证明。

（在进行含有自然数的命题的证明时，我们常常可以考虑数学归纳法，这是一个很好用也很流氓的一个方法。

）类题1 ，证明收敛并求极限值类题2 ，证明收敛并求极限值，问此时是否收敛，该如何证明？若将，又该如何证明？类题3 ，证明收敛并求极限值[注]：此题对于极限值的取舍才是关键点，这是很多辅导书都没有讲清楚的地方，希望大家好好思考。

类题4 设数列，证明收敛并求极限类题5设可导，且，对于数列收敛，且极限值满足方程类题6 收敛并求极限值类题7 （2018年数学二压轴题）设,证明收敛并求极限注：这题是我当年考研时的原题，当时考完以后，很多人就在吹这个题多么的不常规，是考研史上最难的数列极限题。

也正常，弱者总喜欢找各种理由。

例题2设收敛注：①.该题说明，某些不是递推型的数列，也可以用单调有界准则来证明②.是一个非常重要的极限，我们将这个极限值定义为欧拉常数，和是等价无穷是发散的。

() 例题3问数列的单调性和函数的单调性之间有无必然联系？请猜想并证明你的判断。

例题4 （2013年数学二压轴题）设函数(1) 求的最小值(2)设数列收敛并求极限注：本题的解法值得借鉴。

该题说明，即使某些数列的递推关系由不等式给出，也能使用单调有界准则。

类题1 收敛并求极限类题2 ，证明收敛并求极限（二）非单调的迭代数列例题1收敛并求极限值注：对付这种不单调的数列，我们可以采取“先斩后奏”的办法——即先把极限值找出来，然后再用递推放缩的方法，证明这个数字就是该数列的极限。

[整理]考研数学：求数列极限的方法总结

2016考研数学：求数列极限的方法总结
极限是考研数学高数第一章的内容，在考研数学中占有一定的比例，一般有几分到二十分左右的分值。

极限一般有数列极限和函数极限，求数列极限和函数极限的方法很多，有些方法也可以使二者联系起来。

下面中公考研的数学教研老师总结了几种求数列极限的方法，后续会给出求函数极限的方法总结，希望能帮助同学们掌握求极限的方法。

1、定义法
2、利用奇子列和偶子列的极限
一般在选择题中出现，不常考。

3.夹逼准则(两面夹法则)
4、单调有界定理
单调递增有上界，数列极限存在;单调递减有下界，数列极限存在。

5.海涅定理(归结原则)
6、定积分的定义
7、利用级数收敛的必要条件
以上就是几种常用的求数列极限的方法，希望同学们务必重点掌握，在做题的过程中能熟练运用。

考研数学中数列极限的若干计算技巧

考研数学中数列极限的若干计算技巧作者：杨元启
来源：《科技经济市场》2020年第06期
摘要：极限思想是微积分的灵魂，也是现代数学最基本的思想。

极限的求法和应用技巧一直是数学学习者最感兴趣的数学问题之一，也是考研数学必考的内容之一。

弄清极限思想，掌握常用的极限计算技巧，对考研数学的复习备考至关重要，也能极大提升自己的考研自信心。

本文通过分析近三十年考研真题，以及国内各种考研辅导资料，结合本人多年教学体会，对考研数学中数列极限的若干计算技巧进行了探索。

关键词：数列极限;收敛;单调有界定理;夹逼准则
极限是贯穿现代数学的一条主线，掌握极限理论的概念、性质和极限的计算技巧是学好极限和微积分的前提和基礎，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解。

本文主要归纳了考研数学中求极限的多种方法与技巧，利用极限的几个重要结论和重要极限、极限存在准则，结合不同实例分析、探讨、归纳、总结了极限理论和计算中的若干方法与技巧，旨在帮助学生在解题过程中效仿与拓展，从而强化其创新意识，使其灵活掌握所学技巧，为考研复习打下扎实基础。

极限理论在现代数学中有非常重要的理论意义和应用价值。

国内外数学学者对极限理论的讨论及其在实际应用的研究从未间断，尽管已有丰硕成果，至今仍存在很多内容等待着我们去探讨、去解决、去突破。

参考文献：
[1]Rudin W 著.数学分析原理[M]赵慈庚译.北京：高教出版社，1979.
[2]孙本旺.数学分析中的典型例题和解题方法[M].长沙：湖南科学技术出版社，1985.。

考研高数知识点超强归纳

(t )
连续，
公式 2 ． lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = e ； lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞u = e ；
n→∞⎝ n ⎠
u→∞⎝ u ⎠
lim (1
+
v
)1 v
=
e
v→0
则 dy dx
=
f [ϕ2 (x)]ϕ2′ (x) −
f [ϕ1(x)]ϕ1′(x)
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2
( )e x ′ = e x
de x = e x dx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′(t)存在，且ϕ ′(t) ≠ 0 ，则
(arcsin x)′ = 1
1− x2
d arcsin x = 1 dx 1− x2
(arccos x)′ = − 1
d arccos x = − 1 dx
1− x2
1− x2
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a, ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
且有
dy = dy du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)
dx du dx
对应地 dy = f ′(u)du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)dx
由于公式 dy = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量
6．隐函数运算法则
设 y = y(x) 是由方程 F (x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方

考研数分知识点总结

考研数分知识点总结一、数列与数学归纳法1. 有限数列与无限数列2. 等差数列与等比数列3. 数列的通项公式与前n项和公式4. 数列的求和公式5. 数学归纳法的基本思想与定理证明二、极限与连续1. 极限的定义与性质2. 极限存在的判定方法3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小5. 函数的极限与连续性6. 连续函数的性质与运算法则7. 间断点及其分类三、导数与微分1. 导数的定义与几何意义2. 导数的性质与运算法则3. 高阶导数4. 隐函数与参数方程的导数5. 微分的定义与运算法则6. 泰勒公式与泰勒展开式四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质2. 不定积分的运算法则3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的定义与性质5. 定积分的几何应用6. 定积分的计算方法五、微分方程1. 微分方程的基本概念2. 微分方程的分类3. 微分方程的解法与初值问题4. 一阶线性微分方程5. 可分离变量的微分方程6. 齐次微分方程7. 非齐次线性微分方程六、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分3. 多元函数的微分法4. 多元函数的极值与最值5. 多元函数的泰勒公式6. 隐函数与参数方程的高阶导数7. 多元函数积分的计算方法七、级数1. 级数的概念与性质2. 级数收敛的判定方法3. 正项级数的审敛法4. 幂级数的收敛半径5. 幂级数的性质与收敛域6. 幂级数展开式与幂级数解析函数以上就是考研数学分析的基本知识点总结。

希朼对大家有所帮助。

求极限方法总结

求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。

高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

考研数学中求极限方法的总结

考研数学中求极限方法的总结1.引言19 世纪建立的极限理论奠定了微积分的基础[1]，使数学这门古老的学科有了质的飞跃，由此建立起来的理论及其应用开创了一个崭新的数学时代。

但是对于数列及函数极限的求解问题，看似简单，但实则方法过于多种多样，往往就是一个比较难一点的极限问题，就会导致学者因选错方法而浪费大量的时间或者根本做不出来。

因此本文针对求极限的方法进行总结归纳，给学者梳理出了一些求极限的方法。

2.利用几种已知公式求极限2.1.和差化积公式积化和差公式解题思路：此方法一般求解的比较简单的极限，比较明显的是两个三角函数相减或相乘的形式。

2.2.伯努利不等式己知实数x＞-1 ，当n≥1时，有(1+x)n≥1+ nx；当0≤n≤1，有(1+x)n≤1+ nx。

解题思路：此种类型一般是在求解极限的过程中，所以在这里就不举例说明。

2.3.泰勒公式[2]解题思路：对于型不定式中，如果运用洛必达则比较麻烦。

此类题目比较明显的特征是含有 e x，sin x，cos x，ln (1+ x)等混在一起的混合运算，此类题大多数是用洛必达做不出来的，而用泰勒公式进行简单的替换就很容易求出来的。

例1.3 求极限解：由泰勒公式展开到第三项得：3.利用洛必达法则求极限[3]定理：对在数列 x n与 y n间有一定关系的商的极限，我们可以用序列的洛比达法则。

满足4.利用单调有界性求极限单调有界定理[3]：在实数系中，有界的单调数列必有极限。

有上界的递增数列必有极限，有下界的递减数列必有极限。

5.利用迫敛性(两边夹定理)求极限迫敛性[3]：设收敛数列{a n }，{b n }都是以a为极限，则数列{c n }满足，存在正数N0，当n ＞N0时有 a n≤c n≤b n，则数列收敛，且满足。

解题思路：一般适用于较复杂的通项。

首先要把从 x n的表达式写出来，然后通过放缩法找到两个有相同极限值的数列。

例题4.1 求极限解：因为由迫敛性得。

考研数学极限知识点总结

考研数学极限知识点总结一、数列极限1. 数列的概念数列是由一列数按照一定的规律排列组成的数集，用{an}或an来表示。

其中，an为数列的第n个元素。

2. 数列极限的定义对于一个数列{an}，如果存在一个常数a，当n趋于无穷大时，数列的元素an无限地接近于a，那么称a为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=a。

即对于任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an−a|<ε。

3. 数列极限存在的判别法（1）夹逼定理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，那么必有lim(n→∞)bn=a。

（2）单调有界准则：如果数列{an}单调增加且有上界（或单调减少且有下界），那么该数列收敛。

4. 收敛数列的性质（1）收敛数列的极限唯一。

（2）收敛数列的有界性：收敛数列必有界，即存在正数M，使得|an|≤M。

（3）子数列的极限：如果数列{an}的极限为a，那么{an}的任意子数列也收敛且极限为a。

5. 重要极限（1）正整数幂极限：l im(n→∞)(1+1/n)n=e。

（2）调和数列极限：lim(n→∞)1/nlnn=0。

（3）几何数列极限：当−1<l<1时，lim(n→∞)ln=0。

二、函数极限1. 函数极限的概念设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称当x趋于x0时，函数f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。

2. 函数极限性质（1）函数极限的唯一性：如果lim(x→x0)f(x)存在，则其极限唯一。

（2）两函数之和的极限：lim(x→x0)(f(x)+g(x))=lim(x→x0)f(x)+lim(x→x0)g(x)。

（3）函数与常数的乘积的极限：lim(x→x0)c⋅f(x)=c⋅lim(x→x0)f(x)。

证明数列极限存在的方法大总结

证明数列极限存在的方法大总结最近几年证明数列极限存在已经成为考研数学的压轴大题了，而且有的题目确实挺操蛋的，关于证明数列极限存在的问题确实有一定的难度，这里唐老师给大家进行详细的总结这类问题的方法：一、利用夹逼准则夹逼准则利用夹逼准则关键是进行不等式放缩，这里是有一定技巧的。

1.比如在求数列n项和极限利用夹逼准则时，往往对分母进行统一化放缩，分母都取最大的，整体就放小了；分母都取最小的，整体就放大了，然后再计算两边的极限即可，这里举一道例题2.关于数列非n项和（不妨称为m项和），其计算方法也是利用夹逼准则，但是我们可以将其总结为固定的答题公式，关于公式怎么来的，我们不在这里详述（主要是因为不太方便打字，哈哈哈哈哈哈），其经典模式及公式为数列m项和极限计算公式照猫画虎，我们举例说明本题也是2023年数学四考研真题稍加改变再给出一道经典例题，改题的出法就明显高于上面的考研真题了，请同学们好好琢磨：4.有的考研真题需要综合利用定积分定义和夹逼准则方可解决，如何1998年数学一的真题二、利用单调有界准则当然，以上还没有涉及到证明数列极限存在的难题。

考研中，证明数列极限存在的题目十之八九考查单调有界准则，而单调有界准则是大多数同学们比较困难的地方，因为既要证明单调性，又要证明有界性，往往这两个并不是容易证明的。

单调性的证明往往有两种手段：若某_{n+1}-某_{n}>0 ，则数列 {某_n} 单调增加，否则单调减少；若 \frac{某_{n+1}}{某_n}>1 ，则数列 {某_n} 单调增加，否则单调减少。

利用单调有界证明数列极限存在的题目往往都是已知递推式的特点，我们来看2002年数学二的一道真题2002年数学二，解析出自《考研数学核心考点1200题》这个题目的有界性证明利用了数学归纳法，这也是很多题目证明有界性的常见方法。

有的题目的有界性及单调性的证明除了利用归纳法外，还需要根据题目条件及常见的不等式来处理，比如2023年考研数学真题，这个题目成了当然的压轴题：2023年真题，解析来自《考研数学核心考点1200题》《考研数学核心考点1200题》当然，可能会出现比较操蛋的题目，就是数列不具备单调性，我们应该如何处理，这是再利用单调有界就属于重在参与了，如同学们可以观察发现数列某_n 不具备单调性（当然可能有点为难大家了，因为你们可能观察不出来），我们可以令某_{n+1}=y,某_n=某，得到函数 y=f(某) ，如果 f'(某)>0 ，可以得出数列 {某_{n}} 具备单调性。

2022考研数学讲解之求极限的11种方法

例 13
求极限
ax ax 2
lim
,
x0
x2
(a 0).
【解】 a x e x ln a 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x 2 ) , 2
a x 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x2 ) ; 2
a x a x 2 x 2 ln 2 a ( x 2 ).
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim
n
xn1 xn
xn2
.
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在.
【详解】（Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.
2
例 8：求极限 lim sin x x x0 tan3 x
【解】 lim sin x x
lim sin x x
lim
cos x 1 lim
1 2
x2
1
x0 tan3 x x0
x3
x0 3x 2
x0 3x 2
6
6．用罗必塔法则求极限
例 9：求极限 lim ln cos 2x ln(1 sin 2 x)
1 cosx ~ 1 x2 , 1 axb 1 ~ abx ；
2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因．式．；
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例 7：求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】
lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2

求极限的五种方法

【中图分类号】O171
【文献标识码】B
【文章编号】2095-3089（2015）19-0246-02
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一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，然后求左右两
边数列的极。当然，要保证这两个极限的值相同。
例1 求
lim
nof
§ ¨©
n2
1 n
1

n2
2 n

2

L
n· n2 n n ¸¹
2015年第19期新教师教学 247
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个
i n
(n
o
f
,i=1,2,3…)所构成的式子，否则此法不能使用。
例5
求
lim
nof
n(
n2
1 12

n2
1
22
L
1 n2 n2 )
解：
lim
nof
n(
n2
1
12

n2
1
22
L
n2
1
n2
)
lim( 1 1
nof
1

(
1 n
)2
1

(
2 n
)2
L

1

1 n (n
键。三、习惯影响终身发展，重视学生的学习习惯养成一个人的学习习惯关乎到他一生的成就。没有一个人因为不
好的学习习惯而成为一个杰出的人，具有良好的学习习惯才可以提高学习效率。对学生的书写习惯、读书习惯、作文观察习惯、记读书笔记的习惯等，都应该认真打好基础，这些良好的习惯可以让学生受益一生。不动笔墨不读书，学会在读书的时候圈圈点点，做好标注，这些阅读理解的前提和基础。另外一点是学生的写作能力的培养，写作能力是语文工具性的表现，而写作能力既是技巧的体现也是观察能力的体现。培养学生观察生活的能力，是积累写作素材的关键。生活中的一切都可以作为写作的素材，关键是如何撷取、如何提炼，将生活中的真善美体现出来，提高学生的写作水平。经常给学生推荐阅读书目，经常举办读书活动，激发学生的阅读兴趣和阅读能力。阅读是语文学习的核心，读书有益，不管是文化积淀还是文学积累，都依靠阅读来实现。重视学生的阅读能力培养，重视学生阅读习惯的培养，重视学生阅读量的保证，是做好新课改下小学语文教学的关键问题。

考研数学求极限方法小结

一．求极限方法小结极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1. 知识要点（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限.（10）利用罗必达法则求极限. （11）利用导数定义求极限. （12）利用定积分定义求极限. （13）利用Taylor 公式求极限.2．典型例子例1：设 ,12,,12,21121nn x x x x x +=+==+ 求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.)21(+答案：例2：求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim （答案：1）例3：求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n 1212)1(1)1(111lim （答案：1）例4：求nn n 2642)12(531lim⋅⋅-⋅⋅∞→ （答案：0）例5：求 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 （答案：21）例6：xx x cos lim 0+→ （答案：21-e）例7：求常数c ，使dt te c x c x ct xx ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-+2lim （25=c ）例8：已知 ,11,,11,1111121++=++==--n n n x x x x x x x ,证明数列}{n x 收敛，并求出此数列的极限. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251例9：设)0(3)1(3,010≥++=>+n x x x x nn n ，求n n x ∞→lim （答案：3）例10：求 1tan 1tan 1lim---+→xx e xx （答案：1）例11：求 xx x x x x x cos sec )1ln()1ln(lim 220-+-+++→ （答案：1）例12: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++→x x e e x xx sin 12lim 410 （答案：1）例13：设x x x g tdt x f x 6702sin )(,tan )(2+==⎰，证明：当0→x 时，)(x f 与)(x g 是同阶无穷小量.例14：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot1lim （答案：32）例15：求 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n n 1sin 212sin 1sin lim πππ （答案：π2）例16：求 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n n n n n n 222sin 22sin 211sin 1lim （答案：1cos 1sin -）例17：设)(x f 在原点的邻域内二次可导，且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x ，求)0("),0('),0(f f f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+→220)(3lim x x f x x （答案：29,9,0,3-）例18：设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(''),0('),0(f f f 及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.（答案：4)0('',0)0(',0)0(===f f f ，210)(1lim e x x f xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→）例19：设}{n a ，}{n b ，}{n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有)(A n n b a <对任意n 成立； )(B n n c b <对任意n 成立； )(C 极限n n n c a ∞→lim 不存在； )(D 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2003年数学一）例20：已知011lnarctan 2lim≠=-+-→c x x xx px ，求c p , （答案：34,3-==c p ）例21：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0('≠f ，0)0(''≠f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→λ时，)0)3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小.例22：求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++→)1ln(1)1ln(1lim20x x x x （答案：21-）例23：已知当0→x 时⎰-222cos x dt t x 与kAx 是等价无穷小，求常数A 和k .（答案：10,101==k A ）例24：设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是)(A 若}{n x 收敛，则)}({n x f 收敛. )(B 若}{n x 单调，则)}({n x f 收敛. )(C 若)}({n x f 收敛, 则}{n x 收敛. )(D )}({n x f 若单调，则}{n x 收敛.(答案：B) （2008年数学一）例25：求极限 40sin )]sin(sin [sin limx x x x x -→ （答案：61）（2008年数学一）例26：(I)证明:对任意的正整数n ,都有nn n 1)11ln(11<+<+ (II)设),2,1(1211 =+++=n na n ,证明数列}{n a 收敛. （2011年数学一、二）。

考研数学数列极限内容概括及考点总结

考研数学数列极限内容概括及考点总结来源：文都教育数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。

一、数列极限1. 数列极限的定义设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列{}n a 收敛于A ，记为A ann =∞→lim 。

2. 收敛数列的性质（1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性.3. 极限存在准则（1）夹逼准则如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件：从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞→∞→lim lim ，则A b n n =∞→lim 。

（2）单调有界准则单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。

【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。

此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。

4. 重要结论（1）若lim lim n n n n a a a a→∞→∞=⇒=.（2）lim 0lim 0n n n n a a →∞→∞=⇔=.（3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a-→∞→∞→∞=⇔==.【考点一】数列极限的概念与性质例1设().lim 0,n n n n n x a y y x a→∞≤≤-=且为常数，则数列{}n x 和{}n y （）。

（A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散（D ）都发散例2设(){}{}.lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim nn a →∞ （）。