固体物理第三章2

U U U0 i 1 ui
3N
2 1 3N U ui 2 u u i , j 1 i j 0
ui u j , 0
因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取U0为能 量零点，并略去二次以上的高次项，得到
上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是
简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。
处理小振动问题的理论方法和主要结果－－做为晶格振动这部分
内容的理论基础。
在第二章已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互
作用势能
1 A B ' U0 m n 2 i j r r ij ij
用独立简谐振子来表述。
下面根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论， 并引入声子概念－－晶格振动中的简谐振子的能量量子。
数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）= 动能 +
势能（化成）= 独立简谐振子能量之和
一、简谐近似和简正坐标
从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力 学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。
(9)
代表q空间均匀分布的点子。 若 K 是倒格矢，则 q q' q K h h
u
l p
不变。
因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。
h3 h1 h2 q b1 b2 b3 (10) N1 N2 N3
波矢q的点阵具有周期性，均匀分布。 其中
b1 b2 b3 是波矢q的基矢，最小重复单元的体积为 , , N1 N 2 N3
对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有3个
自由度，所以晶体的总自由度数也是3nN。 概括起来，得到以下结论： • 波矢q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。－－第一布里渊区。
• 晶格振动的波矢数目Nq等于晶体的原胞数N；
• 格波振动模式数目Nω等于晶体中所有原子的自由度数之和3nN 。
倒空间原 胞体积
b1 b2 b3 ( 2 ) 3 ( 2 ) 3 N1 N 2 N 3 N N V
原胞体积
一个重复单元对应一个波矢点，单位波矢空间内的波矢数目，
即波矢密度为
波矢密度： q
1
(2 ) 3 V N N h , 另由边界条件： 2 2
l X p Rl rp
l X p Rl rp
rp ：原胞内第p个原子的位置矢量。
l 该原子相对于平衡点的位移为 u p 它沿坐标轴的分量为 u l p
x, y, z; Rl l1a1 l2a2 l3a3
(3)
Ap 有非零解的条件是系数行列式等于零，可解出3n个实根。
由此可得到3n个色散关系
j j (q), j 1,2,3n
每个色散关系代表一支格波，共有3n支格波。
格波的色散关系中，有3支当 q 0, 0,
ω- Ai v- Ai (q) q (i 1,2,3)
即
e
iq N i ai
1(8)
也就是说
h1 q N1a1 2 h1 , x1 N1 h2 q N 2a2 2 h2 , x2 N2 h3 q N 3 a3 2 h3 , x3 N3
应用到关系
(9)
ai bj 2 ij
b1 / 2 , b2 / 2 , b3 / 2 ,
b1 / 2 b1
b2 / 2 b3
b2 / 2 b2
Vq b1 b2 b3
* • •
此即倒空间原胞体积 可见第一布里渊区的体积(q的取值范围)即为倒空间原胞体积
V N N q q Vq N 3 3 (2 ) (2 )
1 3 N 2U U 2 i , j 1 ui u j
ui u j 0
上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。
处理小振动问题一般都取简谐近似。 对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐 近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致。 在有些物理问题中就需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。
简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：
m i ui a ij Q j
j 1
3N
在简正坐标中，势能和动能化成：
1 3N 2 2 U i Qi , 2 i 1
1 3N 2 T Qi 2 i 1
1 3N 2 2 U i Qi , 2 i 1
1 3N 2 T Qi 2 i 1
l l1 u u p
l l1 u u p
l l1 u u p
l2 p
l2 p
l2 p
l3 l1 N1 l2 u p
l3 l1 u
l3 l1 u
l l u u 1 p l l u u 1 p
l l u u 1 p
l2 p l2 p
l2 p
l3 l1 N1 l2 u p l3 l1 u
l3 l1 u
§3.3 简正振动
声子
理论考虑：前面根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解一维 链的振动模，得出如下结论： 晶体中原子的集体振动-----格波，可展开成简谐平面波的线性 迭加。 当振动微弱时(即相当于简谐近似情况)，每个格波就是一个简 谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成独立格波模式。 在玻恩-卡门周期性边界条件下，得到分立的独立格波模式，可
l3 l2 N 2 l3 (5) p l2 l3 N 3 p
或写成
u Rl N 1 a 1 u Rl u Rl N 2 a 2 u Rl (6) u Rl N 3 a 3 u Rl
N1 N h1 1 2 2 N N 2 h2 2 2 2 N N 3 h3 3 2 2

q hi bi (i 1,2,3) Ni

V (2 ) 3
1, 2, 3
则q在三个基矢方向上 的长度为：
b1 b q 1 2 2 b b 2 q 2 2 2 b b 3 q 3 2 2
是原子（l,p）与原 子（l’,p’）之间的准 弹性力系数
l , l ' 1, 2 N ;
p, p' 1, 2n; x, y, z
上式是3nN个相耦合的运动方程组。
把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：
l i Rl rp q t u A e p p i q Rl t Ap e (2)
q x1b1 x2b2 x3b3 (4)
Hale Waihona Puke h1 , h2 , h3 为整数。代回（4）式：
q x1b1 x2b2 x3b3 (4)
q h h1 h b1 2 b2 3 b3 (10) N1 N2 N3
h1 N1 h x2 2 N2 h3 x3 N3 x1
N个原子体系的势能函数为：
3N 1 2 N个原子体系的动能函数为：T m u i i 2 i 1
为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标：
Q1,Q2 , , Q3 N
ui ui (Q Q3 N ) 1 , Q2 ,......, i 1 ,2,........, 3N
e

如果q改变一个倒格子矢量 K h b h b h b m 1 1 2 2 3 3 由于 R K 2 h l h l h l l h 1 1 2 2 3 3 不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别。将波矢q的
取值限制在一个倒格原胞范围内—简约布里渊区。
对每一个波矢q，有3n个 j (q) 与之对应，每一组 , q 表示 晶格的一种振动模式，由此可知三维晶体中振动模式数目为3nN个。
每个原胞中，n个不同原子平衡位置的相对坐标为： r 1, r 2 , r n
第p个原子在 方向的运动方程为：
' ' l l, l l l uα u β (1) α m pu φαβ p p p, p' p' ' ' l pβ
3 （2） *
即：第一布里渊区里共有 N N1 N 2 N 3 个q值。
从三维晶格行波试解：
l i q Rl t u A e ( 2) p p
可以看出，q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系， 具体表现在位相因子：
i q Rl
取最小值。 相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。N个原子的位移
矢量共有3N个分量，写成
ui ( i 1, 2, 3 N )
原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即
U U ( u1 , u2 , , u3 N )
将
U U ( u1 , u2 , , u3 N )
在平衡位置展开成泰勒级数
振动系统的拉格朗日函数为：
1 3N 2 1 3N 2 2 L T U Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
Ap A p e
iq r p
na
振幅Apα与指标l 无关，因为它对于一个确定的q，任意元胞中第p 个原子在α方向上的运动有相同的振幅。