浦东新王牌暑假班高一数学暑假班晋s老师命题的形式及等价关系

1.4命题的形式及等价关系 教学目标：：

1.理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。

4.理解充分、必要条件的概念；

5.掌握充分、必要条件的判断方法。

6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联系。

教学内容：

1、命题：能够判断对错的语句。真命题：判断为正确的命题。假命题：判断为错误的命题。

通常可以化简为：,αβ若则的形式。

2、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推

出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结

论的命题是真命题。

3、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ

4、命题的四种形式：如果把命题：,αβ若则称为原命题；则我们把命题：,βα若则，称

为原命题的逆命题，简称逆命题。命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。命

题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。其中αβ和分别是αβ和的否定形

式。

5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α成立，可以推出β也成立，即α

⇒β，那么α叫做β的充分条件。

[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即

行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定

要 x = 0.

6、必要条件：如果β⇒α，那么α叫做β的必要条件。

[说明]：①可以解释为若β⇒α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，

有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，若xy ≠0，则一定有 x

≠0；若xy = 0也不一定有 x = 0。

注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有

性质β元素的集合记为B ，若A B ⊆，则αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，若αβ⇒，则

A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，则由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元

素组成的集合的子集。而子集需要符合的条件往往可以用一种特例的形式来表示，即特例就

可以作为充分条件。

7、αβ与等价：如果αβ⇒，且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做αβ与等价，也称αβ与互为充

要条件。特别的：原命题和它的逆否命题一定是等价的。即两个命题同时为真或同时为假。

而逆命题和否命题同样也是等价的。当直接证明一个命题比较困难，我们有时会利用这一点

来证明它的真假——这就是所谓的反证法。

练习一：

一、填空题

1. 给出下列语句：（1）上海的空气质量越来越好（2）空集是任何集合的子集（3）菱形的

对角线相等（4）这次数学考试成绩及格的未必有几个。其中是命题的语句的序号为

2. 命题“能被2整除的数是偶数”的逆命题是

3. 已知命题():,,,;:d b M ax b cx d a b c d R N x a c

-+=+∈=-命题，则命题M 与N 的推出关系是

4. 有以下命题：（1）有男生爱踢足球（2）所有男生都爱踢足球（3）所有男生都不爱踢足

球（4）至少有一个男生不爱踢足球（5）所有女生都爱踢足球，上述命题中互为否命题

的一对命题的序号是

5. 下列说法中，正确说法的序号是

（1）“0a =且0b =”的否定形式是“00a b ≠≠或”

（2）命题“对顶角相等”的否命题是“对顶角不等”

（3）“方程()0f x =至多有一个实根”的否定形式是“方程()0f x =至少有两个实根”

（4）命题“若a ，b 是正数，则a+b 是正数”的逆否命题是“若a+b 不是正数，则a ，b

都不是正数”

6. 设有两个命题：（1）方程2

40x mx ++=没有实根；（2）实数m 是非负数。如果这两个

命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 二、选择题

7. 下列命题中的真命题是 （ ）

（A ）若集合A ，B 的交集是空集，则A ，B 中至少有一个是空集

（B ）对于实数a ，b ，c ，若22

,a b ac bc >>则

（C ）方程2320mx x +-=的两根异号

（D ）若集合A 不是集合B 的子集，则A B B ⋃≠

8. 下列各组命题中的两个命题互为等价命题的是 （ ）

（A ）“和是正数的两个数的差为整数”与“差为整数的两个数的和为整数”

（B ）“A a ∈集合”与“a A B ∈⋃集合 （C ）“A B A ⋂=”与“A B B ⋃=”

（D ）“若,a M a N ∈∉则”与“若,a M a N ∉∈则”

9. 若命题A 的否命题是B ，命题B 的逆命题是C ，则命题C 是A 的逆命题的（ ）

（A ）否命题 （B ）逆命题 （C ）逆否命题 （D ）不能确定

10. 某个命题与自然数n 有关，当()

*n k k N =∈时该命题成立，可推得1n k =+时，该命

题也成立，现已知n=5时该命题不成立，则可推得 （ ）

（A ）n=4时该命题不成立 （B ）n=4时该命题成立 （C ）n=6时该命题不成立 （D ）n=6

时该命题成立 三、解答题

11. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假，

（1）矩形的对角线相等（2）若实数a ，b 满足0,12a b a b +≠≠≠则且

12. 试写出一个命题，再写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并使这四个命题都是真命题。

13. 如图，BM ，CN 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的高，且:BM CN AB AC ≠≠求证

A B

C

M

N